  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Suites}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 6}
\rhead{Suite}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir maison 6 : Suite}

\Exoi{\hfill \textbf{La suite de Syracuse}\\
On étudie l'algorithme suivant :
\begin{center}
\Algo{8cm}{
\Entree{ \\
$u$ est un nombre réel.\\
$p$ est un nombre entier.\\ \\
%\textbf{Début Algo}\\
}
{
$p:=1$\\
Entrer $u$ \\
  \While{$u\neq 1$}
{
\IfThenElse{$u$ est pair}
{$u:=\dfrac{u}{2}$}
{$u:=3u+1$}
$p:=p+1$
}
Afficher $p$
%\textbf{Fin Algo}
}
}
\end{center}
\partieBac{Comprendre un algorithme}
\begin{enumerate}
\item On applique cet algorithme pas à pas avec la valeur $u=12$ lue en entrée. Reproduire et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
$u$ & $12$ & $6$ & $3$ & $10$ & $5$ & $16 $ & $8$ & $4$ & $2$ & $1$\tabularnewline
\hline 
\hline 
$p$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item {\footnotesize Qu'affiche alors l'algorithme pour $u=12$ ?}\\
Il affiche $10$.
\item {\footnotesize Appliquer également l'algorithme avec $u=14$ puis $u=100$.}\\
Pour $u=14$, comme $u$ est pair on obtient $u=7$ et $p=2$, puis $u=22$ et $p=3$, puis $u=11$ et $p=4$, puis $u=34$ et $p=5$, puis $u=17$ et $p=6$, puis $u=52$ et $p=7$, puis $u=26$ et $p=8$, puis $u=13$ et $p=9$, puis $u=40$ et $p=10$, puis $u=20$ et $p=11$, puis $u=10$ et $p=12$, puis $u=5$ et $p=13$, puis $u=16$ et $p=14$, puis $u=8$ et $p=15$, puis $u=4$ et $p=16$, puis $u=2$ et $p=17$, puis $u=1$ et $p=18$.\\
Si l'utilisateur entre $u=14$ alors l'algorithme affiche $18$.\\
Pour $u=100$, on obtient pour commencer $u=50$ et $p=2$, puis $u=25$ et $p=3$, puis $u=76$ et $p=4$, puis $u=38$ et $p=5$, puis $u=19$ et $p=6$, puis $u=58$ et $p=7$, puis $u=29$ et $p=8$, puis $u=88$ et $p=9$, puis $u=44$ et $p=10$, puis $u=22$ et $p=11$, puis $u=11$ et $p=12$, puis $u=34$ et $p=13$, puis $u=17$ et $p=14$, puis $u=52$ et $p=15$, puis $u=26$ et $p=16$, puis $u=13$ et $p=17$, puis $u=40$ et $p=18$, puis $u=20$ et $p=19$, puis $u=10$ et $p=20$, puis $u=5$ et $p=21$, puis $u=16$ et $p=22$, puis $u=8$ et $p=23$, puis $u=4$ et $p=24$, puis $u=2$ et $p=25$, puis $u=1$ et $p=26$.\\
Ainsi si on entre $p=100$ alors l'algorithme affiche $26$.
\end{enumerate}
\partieBac{Vers la conjecture de Syracuse}
\begin{footnotesize}
La suite de Syracuse d'un nombre entier $N$ est définie par récurrence, de la manière suivante :
    $$ \left\{\begin{array}{l} u_0=N\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2} \quad \text{lorsque } u_n \quad \text{est pair}.\\ u_{n+1}=3u_n+1\quad \text{lorsque } u_n \quad \text{est impair}.\end{array}\right.$$
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Quelle est la suite de syracuse de l'entier $N=12$ ? de l'entier $N=14$ puis $N=100$ ?}\\
D'après la première question la suite de syracuse de l'entier $N=12$ est la suite de nombre suivante :
$$ 12 ; 6;3;10;5 ;16 ; 8; 4; 2; 1 ; 4 ; 2; 1 ; 4; 2; 1\dotfill$$
Ici $u_9=1$, par conséquent $u_{10}=4$, $u_{11}=2$ et $u_{12}=1$. 
\\
La suite de syracuse de l'entier $N=14$ est la suite de nombre commençant ainsi :
$$ 14; 7 ; 22 ; 11 ; 34 ; 17 ; 52 ; 26 ; 13 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 4 ; 2 ; 1 ; 4 ; 2  ; 1\dotfill$$
Et enfin la suite de syracuse de l'entier $N=100$ est la suite de nombre commençant ainsi :
$$ 100 ; 50 ; 25 ; 76 ; 38 ; 19 ; 58 ; 29 ; 88 ; 44 ; 22 ; 11 ; 34 ; 17 ; 52 ; 26 ; 13 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4; 2 ; 1 ; 4 ;2 ; 1\dotfill$$
On observe qu'au bout d'un certain temps pour chacune des trois suites le cycle $1 ; 4; 2; 1$ se repète indéfiniment.
\item \begin{footnotesize}
%\textbf{Il s'agit de la conjecture de Syracuse}
\end{footnotesize}Selon vous, atteint-on toujours le nombre $1$, quelque soit le nombre entier strictement positif $N$ choisit ? \\
Si l'on était parti d'un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ n'atteigne jamais la valeur 1, soit qu'elle aboutisse à un cycle différent du cycle trivial, soit qu'elle diverge vers l'infini. Or, on n'a jamais trouvé d'exemple de suite obtenue suivant les règles données qui n'aboutisse à 1 et, par suite, au cycle trivial.
\\
\textbf{La conjecture de Syracuse} : La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3x+1 est l'hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint 1.
\item {\footnotesize Si vous avez fait de l'erreur de répondre non à la question précédente, trouver un entier $N$ tel que nous n'atteignons jamais $1$.}\\
En espérant que les chercheurs ont trouvé un tel exemple afin que nous devenions tous très riche$\dots$
\end{enumerate}
\textit{Remarque historique} : 
\begin{itemize}
\item En dépit de la simplicité de son énoncé, cette conjecture défie depuis de nombreuses années les mathématiciens. Paul Erdős a dit à propos de la conjecture de Syracuse : \og les mathématiques ne sont pas encore prêtes pour de tels problèmes \fg.
\item Cette conjecture mobilisa tant les mathématiciens durant les années 1960, en pleine guerre froide, qu'une plaisanterie courut selon laquelle ce problème faisait partie d'un complot soviétique visant à ralentir la recherche américaine.
\end{itemize}
\pagebreak
\partieBac{Temps de vol - vol en altitude}
\begin{footnotesize}
On donne les deux définitions suivantes :
\end{footnotesize}\begin{itemize}
\item \textbf{Temps de vol} : Il s'agit du plus petit entier $n$ tel que $u_n=1$.
\item \textbf{Temps de vol en altitude} : Il s'agit du plus petit entier $n$ tel que $u_{n}<u_0$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer le temps de vol de l'entier $N=17$, puis de $N=12$, $N=14$ et enfin de $N=100$.}\\
Ici, $u_0=17$, $u_1=52$, $u_2=26$, $u_3=13$, $u_4=40$, $u_5=20$, $u_6=10$, $u_7=5$, $u_8=16$, $u_{9}=8$, $u_{10}=4$ et donc $u_{12}=1$.\\
Le temps de vol de $17$ est donc $12$.\\
En exploitant les résultats de la partie $A$ (et en faisant attention à un petit décalage d'indice) on trouve que le temps de vol de $12$ est $9$, le temps de vol $14$ est $17$ et enfin celui de $100$ est $25$.
\item {\footnotesize Déterminer le temps de vol en altitude des entiers $N=17$, $N=12$, $N=14$ et enfin $N=100$.}\\
En exploitant les résultats des questions précédentes il vient que le temps de vol en altitude de $17$ est $4$, celui de $12$ est $1$, celui de $14$ est $1$ et celui de $100$ est $1$.
\end{enumerate}}

\Exoi{\hfill \textbf{Le flocon de Koch}\\
Le flocon de Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral pa réitération d'une transformation appliquée à chaque côté du triangle.\\
\textbf{Description de la transformation} : Pour chacun des côtés du triangle on effectue la transformation suivante :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{flocon3.eps}
\end{center}
Ce qui donne :
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{flocon1.eps}
\end{center}
\partieBac{Etude du nombre de côtés}
Pour tout entier naturel $n$, $n\geq 0$, on note $C_n$ le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape $n$ (ainsi $C_0=3$, $C_1=12$).
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Donner $C_2$, $C_3$ et $C_4$.}\\
$C_2=48$, $C_3=192$ et $C_4=192\times 4=800-32=768$.
\item {\footnotesize Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$. }\\
Chaque segment enfante de $4$ segments à l'étape suivante, par conséquent :
$$ C_{n+1}=4\times C_n$$
\item {\footnotesize Vérifier, sur les premiers termes, que $C_n=3\times 4^{n}$.}\\
$3\times 4^0=3=C_0$, $3\times 4=12=C_1$, $3\times 4^2=48=C_2$ et encore $3\times 4^3=192=C_3$ et $3\times 4^4=768=C_4$, la formule semble correcte.\\
Il faut encore attendre un peu avant de pouvoir la démontrer$\dots$
\end{enumerate}
\partieBac{Etude du périmètre}
\begin{footnotesize}
Pour tout entier naturel $n$, $n\geq 0$, on note $u_n$ la longueur du segment à l'étape $n$ (ainsi $u_0=1$, $u_1=\dfrac{1}{3}$).
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.}\\
A chaque étape tout segment se divise en trois segments égaux, par conséquent :
$$ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n$$ 
\item {\footnotesize Vérifier, sur les premiers termes, que $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$}\\
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{0}=1=u_0$, $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}=\dfrac{1}{3}=u_1$, $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}=u_2$, la formule semble correcte.\\
Il faut encore attendre un peu avant de pouvoir la démontrer$\dots$
\item {\footnotesize Déterminer le périmètre, noté $p_n$, du flocon à l'étape $n$.}
\\
Très clairement $p_0=3$, $p_1=4\times \dfrac{1}{3}\times 3=4$, $p_2=C_2\times u_2=3\times 4^2\times \dfrac{1}{9}=\dfrac{16}{3}$. Et de manière générale, comme à l'étape $n$ il y a $C_n$ segments de longeur $u_n$, le périmètre $p_n$ vaut :
$$ p_n=C_n\times u_n=3\times 4^n\times \dfrac{1}{3^n}=\dfrac{4^n}{3^{n-1}}=4\times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{n-1}$$
\item {\footnotesize Donner la limite de la suite $p$.}\\
On conjecture que $$ \lim\limits_{n\to+\infty}p_n=+\infty$$
Le périmètre du flocon ne cesse de grandir et peut dépasser la taille que l'on veut.
\end{enumerate}
\partieBac{Etude de l'aire}
\begin{footnotesize}
Pour tout entier naturel $n$, $n\geq 0$, on note $a_n$ l'aire du flocon à l'étape $n$.
\end{footnotesize}\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Calculer $a_0$.}\\
On cherche l'aire d'un triangle équilatéral de côté $1$. Calculons la longueur $\ell$ d'une hauteur, grâce au théorème de Pythagore, on obtient :
$$ 1^2=0.5^2+\ell^2\Longrightarrow \ell=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Ainsi $$ a_0=\dfrac{1\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\simeq 0,433$$
\item \begin{footnotesize}
De l'étape $n$ à l'étape $n+1$, l'aire est augmentée de celle des $C_n$ triangles équilatéraux de côté $u_{n+1}$.\\
En déduire $a_{n+1}-a_n$ en fonction de $n$.
\end{footnotesize}\\
De l'étape $0$ à l'étape $1$, on a augmenté l'aire de $3=C_0$ triangle équilatéraux qui ont pour côté $\dfrac{1}{3}=u_1$, ainsi :
$ a_1-a_0$ vaut $3$ fois l'aire d'un triangle équilatéral de côté $\dfrac{1}{3}$.\\
De manière générale déterminons l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$. Commencons par calculer la longueur de la hauteur $h$ :
$$ c^2=\left(\dfrac{c}{2}\right)^2+h^2\Longrightarrow h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}c$$
Ainsi l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ vaut $$ \dfrac{c\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}c}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}c^2$$
Il vient que $$a_1-a_0=C_0\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}u_1^2$$
De manière générale on obtient :
$$ a_{n+1}-a_n=C_n\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}u_{n+1}^2$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer alors que, pour $n\geq 0$ on a :
$$ a_{n+1}=a_n+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{n}$$
\end{footnotesize}
Simplifions $u_{n+1}^2$ dans un premier temps :
$$ u_{n+1}^2=\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]^2=\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\right]^{n+1}=\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n+1}$$
De la question précédente, pour $n\geq 1$ on tire :
$$a_{n+1}-a_n=3\times 4^n \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n+1}=3\times 4^n \times \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times\left(\dfrac{1}{9}\right)^{n}\times \dfrac{1}{9}= \dfrac{\sqrt{3}}{12} \times\left(\dfrac{4}{9}\right)^{n}$$
On obtient (comme souhaité) :
$$a_{n+1}=a_n+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{n} $$
\item {\footnotesize Donner de $a_{2}$, $a_3$, $a_4$ et $a_5$ arrondie au millième.}
$$a_1=a_0+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{0}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{12}= \dfrac{4\sqrt{3}}{12}\simeq 0,577$$
$$ a_2=a_1+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{1}=\dfrac{4\sqrt{3}}{12}+\dfrac{4\sqrt{3}}{12\times 9}=\dfrac{10\sqrt{3}}{27}\simeq 0,641$$
puis :
$$ a_3=a_2+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{2}=\dfrac{10\sqrt{3}}{27}+\dfrac{4\sqrt{3}}{243}=\dfrac{94\sqrt{3}}{243}\simeq 0,670$$
puis :
$$  a_4=a_3+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{3}=\dfrac{94\sqrt{3}}{243}+\dfrac{16\sqrt{3}}{2187}=\dfrac{862\sqrt{3}}{2187}\simeq 0,683$$
Et enfin :
$$  a_5=a_4+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\times \left(\dfrac{4}{9}\right)^{4}=\dfrac{862\sqrt{3}}{2187}+\dfrac{64\sqrt{3}}{19683}=\dfrac{7822\sqrt{3}}{19783}\simeq 0,688$$
\item {\footnotesize \textbf{On ne demande aucune justification} : Selon vous, la suite $a$ est-elle convergente ou divergente ?}\\
On constate que l'aire augmente, mais peu, on peut imaginer que la suite $a$ est convergente, en réalité elle l'est et elle converge vers le réel $\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$.\\
Ainsi, \og à l'étape $+\infty$ \fg on obtiendrait une figure qui aurait un bord infini mais une aire finie, c'est une fractale. 
\end{enumerate}
}

\newcommand{\Fin}{	node[xshift=-1.5ex,rotate=-10]{F} 
									node[rotate=-170]{i}
									node[xshift=1.5ex,rotate=30]{n}}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=5,transform shape] 
	\draw (0,0) \Fin; 
	\draw (-1em,-1ex) -- (1em,-1ex); 
	\path[scope fading=south] (-1em,-0.25em) rectangle (1em,-3.75ex); 
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\end{tikzpicture}
\includegraphics[scale=0.3]{koch.eps}
\end{center}
\end{document}