  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Trigonométrie}
\newcommand{\Cl}{1 S}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
\pagestyle{styleDav}
\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
%\renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{#1}}
\lhead{Chapitre 2}
\rhead{Trigonométrie}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du Devoir Maison 2}

\Exoi{\textit{Angles de vecteurs}\\
\begin{footnotesize}
$ABCD$ est un polygone tel que :
$$\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}\right)=-\dfrac{\pi}{3}\qquad \left(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\pi}{4}\qquad \text{et}\qquad \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=-\dfrac{\pi}{6}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Dessiner ce polygone tel que $AB=4$ cm et $AD=6$ cm.}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.8,-5.51)(4.91,0.35)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(3,-1)
\psline(3,-1)(3,-5.2)
\psline(3,-5.2)(0,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](-0.34,-0.08){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4,0)
\rput[bl](4.08,0.03){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,-5.2)
\rput[bl](3.06,-5.15){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](3,-1)
\rput[bl](3.17,-1.18){$C$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Déterminer des mesures de $\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)$ et $\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{CD}\right)$}\\
On utilise les propriétés sur les angles de vecteurs :
$$\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)= \left(-\overrightarrow{CB};-\overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA}\right)=-\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]$$
Et de même on a :
$$\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{CD}\right)=\left(-\overrightarrow{AD};-\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=-\dfrac{\pi}{6}[2\pi]$$
\item{\footnotesize  A l'aide de la relation de Chasles, calculer la mesure principale de $ \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$}\\
On utilise la relation de Chasles afin de trouver une mesure de l'angle $ \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$ :
$$\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{AB}\right)+\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =-\dfrac{\pi}{4}+\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{CD}\right)=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{3\pi+4\pi+2\pi}{12}=-\dfrac{9\pi}{12}=-\dfrac{3\pi}{4}  $$
De plus $-\pi<-\dfrac{3\pi}{4}<\pi$, par conséquent le mesure principale de l'angle $ \left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)$  est $-\dfrac{3\pi}{4}$ rad.
\end{enumerate} }

\Exoi{\textit{Equations trigonométriques}\\
\begin{enumerate}
\item
\begin{footnotesize}
Résoudre dans $\R$ les équations trigonométriques suivantes :
\end{footnotesize}
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\sin x=\sin \dfrac{\pi}{4}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}[2\pi] \quad \text{ou} \quad x=\pi-\dfrac{\pi}{4}[2\pi] $.\\
On conclut que $x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in \Z$ où $x=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi;\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi \qquad \text{avec} \quad k \in\Z\right\}$$
\item $\cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos \dfrac{\pi}{6}\Longleftrightarrow \cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longleftrightarrow \cos \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right)$ 
\\
Ainsi $x-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ ou $x-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ avec $k\in\Z$. \\
Par conséquent $ x=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}+2k\pi=\dfrac{8\pi}{6}+2k\pi=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}+2k\pi=-\dfrac{2\pi}{6}+2k\pi=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \qquad \text{avec} \quad k \in\Z\right\}$$
\item $\sin 2x=\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\quad \text{ou}\quad 2x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ avec $k\in\Z$.\\
Par conséquent : $ x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ ou $x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi$ avec $k\in \Z$, d'où :
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{12}+k\pi;\dfrac{5\pi}{12}+k\pi \qquad \text{avec} \quad k \in\Z\right\}$$
i.e :
$$  \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{12}+2k\pi; \dfrac{13\pi}{12}+2k\pi;\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi; -\dfrac{7\pi}{12}+2k\pi \qquad \text{avec} \quad k \in\Z\right\}$$
\item $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longleftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ avec $k\in \Z$. Au final :
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi;-\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\qquad \text{avec} \quad k \in\Z\right\}$$
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\item \begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $\cos \dfrac{\pi}{5}=\sin \dfrac{3\pi}{10}$.}\\
On sait que pour tout $x\in\R$ on a : $\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$, appliquons cette égalité pour $x=\dfrac{\pi}{5}$, et on obtient :
$$\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{5}\right)=\cos \dfrac{\pi}{5} \Longleftrightarrow \sin \dfrac{3\pi}{10}=\cos \dfrac{\pi}{5}$$
\item \begin{footnotesize}
Résoudre dans $\R$ l'équation trigonométrique :
$$ \cos x=\sin \dfrac{3\pi}{10}$$
\end{footnotesize}\\
On vient de montrer que $x=\dfrac{\pi}{5}$ est solution de cette équation, par conséquent :
$$\cos x=\sin \dfrac{3\pi}{10}\Longleftrightarrow \cos x=\cos \dfrac{\pi}{5}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{5}+2k\pi \quad \text{ou}\quad x=-\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\text{avec} k\in\Z$$
$$ \mathscr S=\left\{\dfrac{\pi}{5}+2k\pi;-\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\qquad \text{avec} \quad k \in\Z\right\}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Exoi{\\
\begin{footnotesize}
Un élève propose deux \og nouvelles \fg formules à ajouter aux formules trigonométriques classiques :
\begin{eqnarray}
 & \cos 2a=2\cos a\\
 & \sin 2a=2\sin a
\end{eqnarray}
Ces deux formules sont-elles :
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item{\footnotesize  vraies pour tout nombre réel $a$ ?}\\
Ces formules ne sont pas vraies pour tout nombre réel $a$. Prenons l'exemple de $\dfrac{\pi}{3}$ :
$$ \cos \left(2\times \dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}\neq 2\cos \dfrac{\pi}{3}=1$$
De même :
$$ \sin \left(2\times \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 2\sin\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}$$
\item {\footnotesize vraies pour quelques valeurs de $a$ ? Si oui, lesquelles ?}\\
Il n'existe a priori aucune solution évidente à ce problème. On décide alors de tracer la représentation graphique de la fonction $f$ où $f(x)=\cos 2x$ et de la fonction $g$ où $g(x)=2\cos x$. 
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.14,-3.09)(8.71,2.25)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.14,-3.09)(8.71,2.25)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200]{-7.141208334096865}{8.710434479851937}{2*COS(x)}
\psplot[linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-7.141208334096865}{8.710434479851937}{COS(2*x)}
\rput[tl](2.47,1.65){$\ccqqqq{\mathscr C_f : y=\cos 2x}$}
\rput[tl](6.76,-1.2){$\blue{\mathscr C_g: y=2\cos x}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Il existe des points d'intersection entre les deux courbes, par conséquent il existe des valeurs de $a$ telles que $f(a)=g(a)$.\\
En procédant de la même manière pour la deuxième égalité on observe :
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.14,-3.09)(8.71,2.25)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.21,-2.54)(7.48,2.44)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200]{-7.2057114584669515}{7.484875116820289}{2*SIN(x)}
\psplot[linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-7.2057114584669515}{7.484875116820289}{SIN(2*x)}
\rput[tl](3.57,1.65){$\ccqqqq{\mathscr C_f : y=\sin 2x}$}
\rput[tl](5.6,-1.32){$\blue{\mathscr C_g: y=2\sin x}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
L'égalité a lieu lorsque $2\sin x=0\Longleftrightarrow \sin x=0\Longleftrightarrow x=0+k\pi$ avec $k\in \Z$ 
\item {\footnotesize fausses pour toute valeur de $a$ ?}\\
Les réponses à la question précédente impliquent que les deux formules ne sont pas fausses pour toute valeur de $a$.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\begin{footnotesize}
On se propose de résoudre l'équation $(E)$ :
$$ \cos x+\sin x=\sqrt{2}\qquad \text{pour} x\in \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize $(E)$ admet une \og solution évidente \fg. Laquelle ?}\\
Pour $x=\dfrac{\pi}{4}$ on a :
$$ \cos \dfrac{\pi}{4}+\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Ainsi $\dfrac{\pi}{4}$ est une solution évidente de $(E)$.
\item \begin{enumerate}
\item \begin{footnotesize}
Soit $P$ le polynôme du second degré définie sur $\R$ par :
$$ P(x)=2x^2-2\sqrt{2}x+1$$
Déterminer la forme canonique de $P$.
\end{footnotesize}
\\
On cherche les antécédents de $c$, donc de $1$.
\begin{eqnarray}
& & P(x)=1\\
&\Longleftrightarrow & 2x^2-2\sqrt{2}x+1=1\\
&\Longleftrightarrow & 2x^2-2\sqrt{2}x=0\\
&\Longleftrightarrow & x^2-\sqrt{2}x=0\\
&\Longleftrightarrow & x(x-\sqrt{2})=0 \\
&  \Longleftrightarrow & x=0\qquad \text{ou}\qquad x=\sqrt{2}
\end{eqnarray}\\
L'équation de l'axe de symétrie de la parabole est donc $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , ainsi $\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et :
$$ \beta=P(\alpha)=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-2\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+1=1-2+1=0$$
La forme canonique de $P$ est donc :
$$ P(x)=2\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$
\item {\footnotesize A l'aide de la question précédente déterminer l'antécédent de $0$ par $P$.}\\
\begin{eqnarray}
& & P(x)=0\\
&\Longleftrightarrow & 2\left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=0\\
&\Longleftrightarrow & \left(x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=0\\
&\Longleftrightarrow & x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0\\
&\Longleftrightarrow & x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray}
$0$ n'a qu'un antécédent qui est $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item {\footnotesize En posant $X=\cos x$ et $Y=\sin x$ et ajoutant une équation supplémentaire toujours vérifiée par $X$ et $Y$, former un système de deux équations à deux inconnues que l'on résoudra (en utilisant le résultat de la question précédente).}\\
On sait que $\forall x\in \R$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1\Longleftrightarrow X^2+Y^2=1$, par conséquent $X$ et $Y$ vérifient le système suivant :
$$ \left\{\begin{array}{l}X^2+Y^2=1\\
X+Y=\sqrt{2}
\end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}X^2+Y^2=1\\
Y=\sqrt{2}-X
\end{array}\right.\Longleftrightarrow  \left\{\begin{array}{l}X^2+(\sqrt{2}-X)^2=1\\
Y=\sqrt{2}-X
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}X^2+2-2\sqrt{2}X+X^2=1\\
Y=\sqrt{2}-X
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2X^2-2\sqrt{2}X+1=0\\
Y=\sqrt{2}-X
\end{array}\right.$$
Ainsi $ 2X^2-2\sqrt{2}X+1=0\Longleftrightarrow P(X)=0\Longleftrightarrow X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\\
Par conséquent $Y=\sqrt{2}-X=\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. On a déterminé les valeurs de $X$ et $Y$, d'où :
$$ \left\{\begin{array}{l}
X=\cos x\\
Y=\sin x
\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right.\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \quad \text{avec } k\in\Z$$
L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc :
$$ \mathscr S_E=\left\{\dfrac{\pi}{4}+2k\pi \quad \text{avec } k\in\Z\right\}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}}



\Exoi{\textit{Sur les pas de Claude Ptolémée}\\
\begin{footnotesize}
A l'aide du théorème de Ptolémée :
\begin{theo}
Si le quadrilatère convexe $ABCD$ est inscrit dans un cercle, alors :
$$ AB\times CD+BC\times AD=AC\times BD$$
\end{theo}
démontrons que : \og si $0<b<a<\dfrac{\pi}{2}$, alors $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$\fg.
\\
Sur le demi-cercle de diamètre $AD=1$ et de centre $O$, on place les points $B$ et $C$ tels que :
$$ \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=a\qquad \text{et}\qquad \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB}\right)=b$$
\end{footnotesize}
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=4.7cm,yunit=4.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.05,-0.34)(2.1,2.12)
\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1*2*cos(t)+0*2*sin(t)+0|0*2*cos(t)+1*2*sin(t)+0}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=ccqqqq](-2,0)(2,0)
\rput[tl](-1.78,0.13){$a$}
\rput[tl](-1.63,0.1){$b$}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.27392921626094563}{0.33*cos(t)+-2|0.33*sin(t)+0}\lineto(-2,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(-2,0)(0.33,0.33){0}{14.07}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.5054505304428348}{0.2*cos(t)+-2|0.2*sin(t)+0}\lineto(-2,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(-2,0)(0.2,0.2){0}{26.19}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=ccqqqq](-2,0)(1.06,1.69)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=ccqqqq](-2,0)(1.71,1.04)
\psline(0,-0.11)(0,2.08)
\psline(0,0)(1.71,1.04)
\psline(0,0)(1.06,1.69)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,1.04)(1.71,1.04)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,1.69)(1.06,1.69)
\rput[tl](-0.2,1.08){$\sin 2b$}
\rput[tl](-0.18,1.73){$\sin 2a$}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0109010608856697}{0.12*cos(t)+0|0.12*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.12,0.12){0}{53.3}
\rput[tl](0.13,0.15){$2a$}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{0.5478584325218913}{0.32*cos(t)+0|0.32*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.32,0.32){0}{29.66}
\rput[tl](0.34,0.16){$2b$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=ccqqqq](1.71,1.04)(2,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=ccqqqq](1.06,1.69)(2,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](-2,0)
\rput[bl](-2,-0.05){$D$}
\psdots[dotstyle=*](2,0)
\rput[bl](2.03,-0.01){$A$}
\psdots[dotstyle=*](0,0)
\rput[bl](0,-0.07){$O$}
\psdots[dotstyle=*](1.06,1.69)
\rput[bl](1.07,1.73){$C$}
\psdots[dotstyle=*](1.71,1.04)
\rput[bl](1.72,1.07){$B$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Déterminer en fonction de $\sin a$, $\sin b$, $\cos a$ et $\cos b$ les longueurs $AB$, $BD$, $AC$ et $DC$.}\\
Le triangle $ABD$ est rectangle en $B$, par conséquent :
$$ \sin b=\dfrac{AB}{AD}=AB\qquad \text{et}\qquad \cos b=\dfrac{BD}{AD} =BD$$
De la même manière le triangle $ACD$ est rectangle en $C$, par conséquent :
$$ \sin a=\dfrac{AC}{AD}=AC\qquad \text{et}\qquad \cos a=\dfrac{DC}{AD}=DC$$
\item \begin{footnotesize}
Montrer que $$ \left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\right)=2a-2b$$
\end{footnotesize}\\
D'après le théorème de l'angle au centre dans un cercle on a :
$$ \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)=2\times  \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DB}\right)=2b \quad ; \quad  \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}\right)=2\times  \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=2a $$
On en déduit, en utilisant la relation de Chasles que :
$$  \left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC}\right)= \left(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OA}\right)+ \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}\right)=- \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)+ \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OC}\right)=-2b+2a=2a-2b$$
\begin{footnotesize}
En déduire que $BC=\sin(a-b)$.
\end{footnotesize}
\\
Dans le triangle $OBC$ isocèle en $O$, on considère la hauteur issue de $O$ qui est aussi médiane et bissectrice dans le triangle $OBC$. Notons $I$ le milieu de $[BC]$.\\
Dans le triangle rectangle $OIB$ on a :
$$ \sin\left(\dfrac{2a-2b}{2}\right)=\dfrac{IB}{OB} \Longleftrightarrow \sin (a-b)=\dfrac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}}\Longleftrightarrow \sin(a-b)=BC$$
\item {\footnotesize Conclure à l'aide du théorème de Ptolémée.}\\
D'après le théorème de Ptolémée on a, dans le cas où  $0<b<a<\dfrac{\pi}{2}$ alors $ABCD$ est un quadrilatère convexe donc :
$$ AB\times CD+BC\times AD=AC\times BD\Longleftrightarrow \sin b\times \cos a+\sin(a-b)\times 1=\sin a \times \cos b\Longleftrightarrow \sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$$
\end{enumerate}
}

\Exoi{
\begin{footnotesize}
\textit{Problème ouvert : un escargot se déplace.}\\Un escargot se déplace dans un potager rectangulaire de dimensions $3$ m $\times 4$ m. \\
Un repère orthonormé $(O; I, J)$ est tracé sur le sol tel que :
\begin{itemize}
\item $O$ est le centre du potager ;
\item $\overrightarrow{OI}$ a pour direction la longueur du potager ;
\item le plan est orienté. 
\end{itemize}
L'escargot par de $O$ et avance à la vitesse de $6$ cm.min$^{-1}$ en suivant l'axe des abscisses dans le sens positif pendant $1$ minute, puis tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{45}$. Il poursuit son chemin pendant $1$ minute, tourne encore et ainsi de suite.\\
Arrivera-t-il sur une des clôtures en moins de $2$ heures ?
\end{footnotesize}
Voici ici un dessin représentant le déplacement de notre escargot dans un potager rectangulaire. On s'aperçoit graphiquement qu'il va sortir du potager en moins d'une demi-heure.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=7.0cm,yunit=7.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.82,1.33)(4.03,3.1)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(4,0)(3.96,3)(-0.04,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(4,0)
\psline[linecolor=zzttqq](4,0)(3.96,3)
\psline[linecolor=zzttqq](3.96,3)(-0.04,3)
\psline[linecolor=zzttqq](-0.04,3)(0,0)
\psline(1.98,1.5)(2.06,1.5)
\psline(2.06,1.5)(2.14,1.51)
\psline(2.14,1.51)(2.22,1.52)
\psline(2.14,1.51)(2.22,1.52)
\psline(2.22,1.52)(2.3,1.54)
\psline(2.94,2)(2.9,1.93)
\psline(2.9,1.93)(2.84,1.87)
\psline(2.84,1.87)(2.79,1.82)
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