  \documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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\title{Chapitre 1 : Les nombres complexes 1/2 }
\author{D. Zancanaro \and C. Aup\'erin}
\date{2012-2013}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
\input macrodwicky.tex
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\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Les fonctions de référence}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
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\fancyhead{\href{http://www.wicky-math.fr.nf}{wicky-math.fr.nf}}
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\lhead{Chapitre 1}
\rhead{Les fonctions de référence}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Cadre jaune

\Cr{Correction du devoir maison 1}

\Exoi{\\\begin{footnotesize}
On définit pour chaque couple de réels $(a;b)$ la fonction $f$ par :
$$ f(x)=a-\sqrt{x+b}$$
Deux nombres réels $u$ et $v$ sont dits \textsc{échangeables} s'il existe au moins un couple de réels $(a;b)$ tel que la fonction $f$ vérifie à la fois $f(u)=v$ et $f(v)=u$.
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Montrer que $2$ et $3$ sont échangeables.}\\
On cherche s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$\left\{ \begin{array}{l}f(2)=3\\f(3)=2\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a-\sqrt{2+b}=3\\a-\sqrt{3+b}=2\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{2+b}=a-3\\\sqrt{3+b}=a-2\\ \end{array}\right.$$
Dans un premier temps on constate du fait de la présence de la racine carrée que $2+b\geq 0\Longleftrightarrow b\geq -2$ et $3+b\geq 0\Longleftrightarrow b\geq -3$ et de même puisque une racine est toujours positive on a aussi $a\geq 3$ et $a\geq 2$. Ainsi on est sûr que :
$$ b\geq -2\qquad \text{et} \qquad a\geq 3$$
Elevons le tout au carré :
$$ \left\{ \begin{array}{l}2+b=a^2-6a+9\\3+b=a^2-4a+4\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b=a^2-6a+7\\b=a^2-4a+1\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a^2-6a+7=a^2-4a+1\\b=a^2-4a+1\\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6=2a\Longrightarrow a=3\\b=a^2-4a+1=9-12+1=-2\\ \end{array}\right. $$
\textit{Vérification} : Si $a=3$ et $b=-2$ on a :
$$ f(2)=3-\sqrt{2-2}=3\qquad \text{et}\qquad f(3)=3-\sqrt{3-2}=3-1=2$$
On a donc trouvé un couple de réels $(a;b)$ tels que $f(2)=3$ et $f(3)=2$ ce qui signifie que $2$ et $3$ sont échangeables.
\item {\footnotesize Peut-on en dire autant de $4$ et $7$ ?}\\
Probablement qu'on ne peut pas en dire autant de $4$ et $7$, mais procédons à l'identique pour s'en assurer$\dots$
\\
On cherche s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$\left\{ \begin{array}{l}f(4)=7\\f(7)=4\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a-\sqrt{4+b}=7\\a-\sqrt{7+b}=4\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{4+b}=a-7\\\sqrt{7+b}=a-4\\ \end{array}\right.$$
Dans un premier temps on constate du fait de la présence de la racine carrée que $4+b\geq 0\Longleftrightarrow b\geq -4$ et $7+b\geq 0\Longleftrightarrow b\geq -7$ et de même puisque une racine est toujours positive on a aussi $a\geq 4$ et $a\geq 7$. Ainsi on est sûr que les entiers cherchés sont tels que :
$$ b\geq -4\qquad \text{et} \qquad a\geq 7$$
Elevons le tout au carré :
$$ \left\{ \begin{array}{l}4+b=a^2-14a+49\\7+b=a^2-8a+16\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b=a^2-14a+45\\b=a^2-8a+9\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a^2-14a+45=a^2-8a+9\\b=a^2-8a+9\\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36=6a\Longrightarrow a=6\\b=a^2-8a+9=36-48+9=-3\\ \end{array}\right. $$
$a$ ne peut pas être égal à $6$ (puisqu'il ne peut être que supérieur ou égal à $7$), il vient qu'il n'existe pas de couple d'entiers $(a;b)$ tels que $f(4)=7$ et $f(7)=4$ et donc que $4$ et $7$ ne sont pas échangeables.
\item {\footnotesize A quelle condition deux \textbf{entiers} $u$ et $v$ sont-ils échangeables ?}\\
Les deux premières questions amènent à conjecturer que :
\\
Deux entiers $u$ et $v$ sont échangeables si et seulement si $u=v$ ou si $u$ et $v$ sont consécutifs.
\\
Si $u=v$, alors $u$ et $u$ sont échangeables si et seulement si il existe un couple de réels $(a;b)$ tels que $f(u)=u$.\\
Or, en choisissant $a=u$ et $b=-u$, on a :
$$ f(u)=u-\sqrt{u-u}=u$$
Ainsi tout nombre entier $u$ est échangeable avec lui-même.
\\
Supposons désormais que $u\neq v$ et notons $u$ le plus grand des deux entiers.
\\
On cherche s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
$$\left\{ \begin{array}{l}f(u)=v\\f(v)=u\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a-\sqrt{u+b}=v\\a-\sqrt{v+b}=u\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt{u+b}=a-v\\\sqrt{v+b}=a-u\\ \end{array}\right.$$
Dans un premier temps on constate du fait de la présence de la racine carrée que $u+b\geq 0\Longleftrightarrow b\geq -u$ et $v+b\geq 0\Longleftrightarrow b\geq -v$ et de même puisque une racine est toujours positive on a aussi $a\geq u$ et $a\geq v$. Ainsi on est sûr que les entiers cherchés sont tels que :
$$ b\geq -v\qquad \text{et} \qquad a\geq u$$
Elevons le tout au carré :
$$ \left\{ \begin{array}{l}u+b=a^2-2av+v^2\\v+b=a^2-2au+u^2\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b=a^2-2av+v^2-u\\b=a^2-2au+u^2-v\\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-2av+v^2-u=-2au+u^2-v\\b=a^2-2au+u^2-v\\ \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=\dfrac{u^2-v^2+u-v}{2u-2v}\\b=a^2-2au+u^2-v\\ \end{array}\right. $$
Simplifions l'expression de $a$ :
$$ a=\dfrac{u^2-v^2+u-v}{2u-2v}=\dfrac{(u-v)(u+v)+u-v}{2u-2v}=\dfrac{(u-v)(u+v+1)}{2u-2v}=\dfrac{u+v+1}{2}$$
De plus on sait que $a\geq u$ et :
$$ a\geq u\Longleftrightarrow \dfrac{u+v+1}{2}\geq u\Longleftrightarrow u+v+1\geq 2u\Longleftrightarrow v+1\geq u$$
Or $u$ et $v$ sont deux entiers avec $v<u$ et $v+1\geq u$, nous avons donc démontré que deux entiers (différents) et non consécutifs ne sont pas échangeables.\\
De plus si $u=v+1$, alors $a=\dfrac{v+1+v+1}{2}=v+1$ et $b=(v+1)^2-2(v+1)^2+(v+1)^2-v=-v$. (on a bien $a\geq u$ et $b\geq -v$) donc les deux réels conviennent, ainsi deux entiers consécutifs sont échangeables, et la fonction permettant l'échange est définie par :
$$ f(x)=v+1-\sqrt{x-v}$$
\end{enumerate}}

\Exoi{\\\begin{footnotesize}
Le plan est rapporté au repère orthonormal $(O,I,J)$. Soit un point $A(a;0)$, avec $a\geq 0$, situé sur l'axe des absisses. \\
On construit successivement :
\begin{itemize}
\item les points $B(a-1;0)$ et $C(2a;0)$ ;
\item la droite $d$ perpendiculaire à $(BC)$, passant par $A$ ;
\item $\mathscr C$ est le cercle de diamètre $[BC]$.
\item le point $M$, d'ordonnée positive, situé à l'intersection du cercle $\mathscr C$ et de la droite $d$.
\end{itemize}
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Construire une première figure pour $a=2$, puis une seconde pour $a=4$.}
\begin{center}
Figure pour $a=2$.
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.34,-1.06)(6,2.06)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.34,-1.06)(6,2.06)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.34,-1.06)(6,2.06)
\psline(-3.54,-0.9)(-1.54,-0.9)
\psline(1,0)(4,0)
\psline(2,-1.06)(2,2.06)
\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1*1.5*cos(t)+0*1.5*sin(t)+2.5|0*1.5*cos(t)+1*1.5*sin(t)+0}
\rput[tl](3.82,1.52){$\mathscr C$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](-3.29,-0.9)
\rput[bl](-3.5,-0.68){$a = 2$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2,0)
\rput[bl](2.08,0.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1,0)
\rput[bl](1.08,0.08){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4,0)
\rput[bl](4.08,0.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+,linecolor=ccqqqq](2,1.41)
\rput[bl](2.08,1.5){\ccqqqq{$M$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
Figure pour $a=4$.
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.22,-0.84)(8.6,2.66)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.22,-0.84)(8.6,2.66)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.22,-0.84)(8.6,2.66)
\psline(-3.54,-0.9)(-1.54,-0.9)
\psline(3,0)(8,0)
\psline(4,-0.84)(4,2.66)
\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1*2.5*cos(t)+0*2.5*sin(t)+5.5|0*2.5*cos(t)+1*2.5*sin(t)+0}
\rput[tl](7.76,2.08){$\mathscr C$}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](-3.04,-0.9)
\rput[bl](-3.26,-0.68){$a = 4$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](4,0)
\rput[bl](4.08,0.08){$A$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](3,0)
\rput[bl](3.08,0.08){$B$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](8,0)
\rput[bl](8.08,0.08){$C$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+,linecolor=ccqqqq](4,2)
\rput[bl](3.66,2.08){\ccqqqq{$M$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item {\footnotesize Montrer que le lieu $\mathscr L$ des points $M$ quand $A$ se déplace le long de l'axe des abscisses est la représentation graphique d'une fonction de référence que l'on déterminera.}\\
L'ordonnée de $M$ obtenue pour $a=2$ est (graphiquement) environ $1,4$ et pour $a=4$ est (graphiquement) environ $2$.\\
\textit{Conjecture} : L'ordonnée de $M$ est $\sqrt{a}$. Démontrons le.\\
Notons $y$ l'ordonnée de $M$, on cherche à montrer que $y=\sqrt{a}$.\\
On a $M(a;y)$.\\
Nommons $O$ le centre du cercle $\mathscr C$. Alors $O$ a pour coordonnées (étant le milieu de $[BC]$) :
$$ O\left(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)\Longleftrightarrow O\left(\dfrac{a-1+2a}{2};0\right)\Longleftrightarrow O\left(\dfrac{3a-1}{2};0\right)$$
$OM$ est un rayon du cercle $\mathscr C$, ainsi on a :
\begin{eqnarray*}
& & OM=\dfrac{BC}{2}\\
&\Longleftrightarrow &  \sqrt{\left(a-\dfrac{3a-1}{2}\right)^2+(y-0)^2}=\dfrac{\sqrt{(2a-a+1)^2+0^2}}{2}\\
&\Longleftrightarrow & \left(\dfrac{2a}{2}-\dfrac{3a-1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{(a+1)^2}{4}\\
& \Longleftrightarrow & \left(\dfrac{2a-3a+1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{(a+1)^2}{4}\\
& \Longleftrightarrow & \dfrac{(1-a)^2}{4}+y^2=\dfrac{(a+1)^2}{4}\Longleftrightarrow y^2=\dfrac{(a+1)^2-(1-a)^2}{4}\\
& \Longleftrightarrow & y^2=\dfrac{a^2+2a+1-(1-2a+a^2)}{4}=\dfrac{a^2+2a+1-1+2a-a^2}{4}\\
&\Longleftrightarrow & y^2=\dfrac{4a}{4}=a\\
& \Longleftrightarrow & y=\sqrt{a}
\end{eqnarray*}
Le lieu $\mathscr L$ des points $M$ quand $A$ se déplace le long de l'axe des abscisses est la représentation graphique de la fonction racine carrée.
\end{enumerate}
}

\Exoi{\\
\begin{footnotesize}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=|x+3|-|2-x|$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Ecrire, en fonction des valeurs de $x$, l'expression de $f(x)$ sans utiliser de valeurs absolues.}
\\
$$ |x+3|=\left\{ \begin{array}{l}x+3 \qquad \text{lorsque } \quad x\geq -3\\-x-3 \qquad \text{lorsque } \quad x\leq -3\\ \end{array}\right.$$
De même :
$$ |2-x|=\left\{ \begin{array}{l}2-x \qquad \text{lorsque } \quad 2-x\geq 0\\-2+x \qquad \text{lorsque } \quad 2-x\leq 0\\ \end{array}\right.=\left\{ \begin{array}{l}2-x\qquad \text{lorsque } \quad x\leq 2\\-2+x \qquad \text{lorsque } \quad x\geq 2\\ \end{array}\right.$$
Nous distinguons ainsi $3$ cas :
\begin{itemize}
\item lorsque $x\leq -3$, $|x+3|=-x-3$ et $|2-x|=2-x$, par conséquent :
$$ f(x)=-x-3-(2-x)=-x-3-2+x=-5\qquad \text{lorsque } x\leq -3$$
\item lorsque $-3\leq x\leq 2$, $|x+3|=x+3$ et $|2-x|=2-x$, par conséquent :
$$ f(x)=x+3-(2-x)=x+3-2+x=2x-1\qquad \text{lorsque } -3\leq x\leq 2$$
\item lorsque $x\geq 2$, $|x+3|=x+3$ et $|2-x|=-2+x$, par conséquent :
$$ f(x)=x+3-(-2+x)=x+3+2-x=5\qquad \text{lorsque } x\geq 2$$
\end{itemize}
Au final, on obtient :
$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{l}-5 \qquad \text{lorsque } \quad x\leq -3\\2x-1 \qquad \text{lorsque } \quad -3\leq x\leq 2\\ 5 \qquad \text{lorsque } \quad x\geq 2\\\end{array}\right.$$
\item {\footnotesize En déduire le tableau des variations de $f$.}\\
De l'expression de $f$ obtenue à la question précédente on tire le tableau des variations de $f$ :
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\input tabvar
$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{-3}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&&\fhb&\txb{-5}&\fm&\txh{5}&\fhh&\cr
}$$
\item {\footnotesize Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x)\leq 0$.}\\
On cherche $x$ tel que $2x-1=0\Longleftrightarrow 2x=1\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$.
\\
D'après la question précédente $f$ est décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$, par conséquent :
$$  x\leq \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow  f(x)\leq f\left(\dfrac{1}{2}\right)\Longleftrightarrow f(x)\leq 0$$
On conclut que $f(x)\leq 0$ pour $x\in \left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$
\end{enumerate}
}

\Exoi{\\
\begin{footnotesize}
La vitesse du son dans l'air, exprimée en km.h$^{-1}$, en fonction de la température $T$, exprimée en degré celcius, est donnée par la formule suivante :
$$ v(T)=3,6\times \sqrt{\dfrac{11,63(T+273)}{0,029}}$$
\end{footnotesize}
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize A quelle vitesse, à $1$ km.h$^{-1}$ près, vole un avion qui franchit le \og mur du son \fg, c'est-à-dire lorsque sa vitesse atteint la vitesse du son, à $15^\circ$ C ?} \footnote{On dit qu'il vole à Mach 1}\\
On calcule $v(15)$ :
$$ v(15)=3,6\sqrt{\dfrac{11,63(15+273)}{0,029}}\simeq 1223 \quad  \text{km.h}^{-1}$$
\item {\footnotesize Etudier les variations de la vitesse du son dans l'air en fonction de la température.}\\
On cherche à montrer notre conjecture suivante :
\\
\textit{Conjecture} : $v$ est une fonction strictement croissante sur $[-273;+\infty[$ i.e on cherche à montrer :
$$ -273\leq t<t'\Longrightarrow v(t)<v(t')$$
\begin{eqnarray*}
& & -273\leq t<t'\\
& \Longleftrightarrow &  0\leq t+273<t'+273\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq 11,63(t+273)<11,63(t'+273)\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq \dfrac{11,63(t+273)}{0,029}< \dfrac{11,63(t'+273)}{0,029}\\
& \Longleftrightarrow & 0 \leq  \sqrt{\dfrac{11,63(t+273)}{0,029}} < \sqrt{\dfrac{11,63(t'+273)}{0,029}}\qquad \qquad \text{car la fonction $x\longmapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$}
\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq 3,6\sqrt{\dfrac{11,63(t+273)}{0,029}} < 3,6\sqrt{\dfrac{11,63(t'+273)}{0,029}}\\
& \Longleftrightarrow & 0\leq v(t)<v(t')\\
\end{eqnarray*}
Ainsi image et antécédent sont rangés dans le même ordre, la fonction $v$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-273;+\infty[$.
\item {\footnotesize Un jour d'orage, la température est de $30^\circ$ C. Sami observe qu'il s'écoule $8$ secondes entre l'éclair et le coup de tonnerre. En considérant que la propagation de la lumière est instantannée, à quelle distance de Sami la foudre est-elle tombée ?}
\\
On sait que $v=\dfrac{d}{t}\Longleftrightarrow d=v\times t$.\\
Or, $$v(30)=3,6\sqrt{\dfrac{11,63(30+273)}{0,029}}\simeq 1255 \quad  \text{km.h}^{-1}\simeq \dfrac{1255}{3600}\simeq 0,3486 \quad  \text{km.s}^{-1}$$
Ainsi :
$$ d=0,3486*8\simeq 2,8 \quad km$$
La foudre entendue par Sami est tombée à un peu moins de $3$ km.
\end{enumerate}
}

\end{document}