\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitres 1 \'a 13}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{ROC}	  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{13}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha
%\debutExoCha

\section{Limites de suites}

\begin{theo}[Théorème de comparaison]
Soient $u$ et $v$ deux suites telles que $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang. 
Si $\lim\limits_{n\to + \infty}u_n = + \infty$\quad alors \quad $\lim\limits_{n\to + \infty}v_n = + \infty$
\end{theo}

\Dem[ROC]{Soient $u$ et $v$ deux suites telles que $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang $N$.
Soit $A$ un réel.
\begin{enumerate}
 \item Justifier l'existence d'un entier $p$ tel que pour tout entier $n \leq p$, $u_n >A$
 \item Démontrer que l'intervalle $]A ; + \infty [$ contient toutes les valeurs de $v_n$ à partir du rang 
 max$(N,p)$.
 \item Conclure sur le comportement à l'infini de $u$.
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item On sait que $u$ diverge vers $+\infty$ donc par définition, pour tout $n \geq p$ on a $ u_n>A$.
\item Par conséquent, 
\begin{itemize}
\item Si $N \leq p$, à partir du rang $n\geq p\geq N$, on a $u_n>A$ (car $n\geq p$) 
et $v_n \geq u_n$ (car $n \geq N$), donc $v_n > A $
\item Si $p \leq N$, à partir du rang $n \geq N \geq p$, on a aussi $v_n \geq u_n >A$
\end{itemize}
D'où, pour tout $n \geq $ max $(N,p)$ on a $v_n >A$.
\item Ceci étant vrai pour tout réel $A$, par définition, on a $v$ diverge vers $+\infty$. 
\end{enumerate}
}

\begin{prop}
Si $q>1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$
\end{prop}

\Dem[ROC]{
  \begin{enumerate}
   \item Démontrer par récurrence l'inégalité :
    $$ \text{$\forall x \geq 0$ et $\forall n\in\N$ on a :} (1+x)^n\geq 1+nx$$
    \item En déduire que pour tout $q>1$ on a $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$
  \end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
\item p 17 du Déclic ou Exo 10 du chapitre précédent.
\item Si $q>1$ alors $q=1+x$ avec $x>0$ et on a $q^n=(1+x)^n \geq 1+nq'$.\\
Or $\lim\limits_{n\to + \infty}(1+nx)=+\infty$ car $x>0$. \\
D'après le théorème de comparaison, on a donc  $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty$.
\end{enumerate} 
}

\begin{theo}
 Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers un réel $\ell$.\\
 Si la suite $(u_n)$ est croissante, alors la suite $(u_n)$ est majorée par $\ell$, 
 ie que pour tout $n$, $u_n \leq \ell$
\end{theo}

\Dem[ROC]{On suppose qu'il existe un entier naturel $n_0$ tel que $u_{n_0}> \ell$
    \begin{enumerate}
 \item Quelle hypothèse permet d'affirmer que $\forall n \geq n_0$ on a $u_n \geq u_{n_0}> l$ ?
 \item On désigne par $I$ l'intervalle ouvert $\left] \ell-1; u_{n_0}\right[$
\begin{enumerate}
 \item Pourquoi $I$ contient $\ell$ ?
 \item Quelle hypothèse permet d'affirmer qu'il existe un rang $n_1$ à partir duquel tous les termes $u_n$ 
sont dans $I$ ?
 \end{enumerate}
\item On pose $N=max(n_0, n_1)$. Expliquer alors pourquoi pour tout $n \geq N$ on obtient une absurdité
et conclure.
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item On sait que la suite $u$ est croissante, donc  $\forall n \geq n_0$ on a $u_n \geq u_{n_0}> l$ 
 \item \begin{enumerate}
 \item On a les inégalités suivantes : $\ell - 1 < \ell <u_{n_0}$ d'après ce qui précède.\\
\textit{(Les inégalités sont strictes et c'est important pour conclure car $I$ est ouvert)} \quad 
Donc $I$ contient $\ell$.
 \item On sait que la suite $u$ converge vers $\ell$, donc par définition de la convergence, 
 il existe un rang $n_1$ à partir duquel tous les termes $u_n$ sont dans $I$.
 \end{enumerate}
\item On pose $N=max(n_0, n_1)$. Alors pour tout $n\leq N$ , on a en particulier :
\begin{itemize}
 \item $n\geq n_0$ donc $u_n \geq u_{n_0}$ d'après le 1) autrement dit $u_n \notin I$
 \item $n\geq n_1$ donc $u_n \in I$ d'après le 2b)
\end{itemize}
Donc pour tout $n\leq N$ , on a à la fois $u_n\notin I $ et $u_n \in I$, ce qui est absurde.\\
Notre hypothèse de départ est donc fausse. \\
On conclut donc que si une suite est croissante et converge vers $\ell$, 
alors la suite est majorée par $\ell$.
\end{enumerate}  
}

\begin{theo}
Toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.
\end{theo}

\Dem[ROC]{Soit $A \in \R$.
  \begin{enumerate}
   \item Quelle hypothèse du théorème permet d'affirmer qu'il existe un entier naturel $n_0$ tel que $u_{n_0}>A$
   \item En déduire que pour tout $n \geq n_0$ on a $u_n >A$.
   \item Conclure.
  \end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item La suite $u$ n'étant pas majorée, il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0} > A$. 
\item La suite $u$ étant croissante, pour tout $n \geq n_0$ on a $u_n \geq u_{n_0} >A $
 \item Pour tout $A\in R$, il existe donc un rang $n_0$ tel que pour tout $n\geq n_0$ on a $u_n>A$.\\
 Donc par définition, la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
}

\section{Fonction exponentielle}

\begin{theo}
 Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que 
 $$f'=f \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad f(0)=1 $$
\end{theo}

\Dem[ROC : Unicité (car l'existence est admise ...)]{
 \begin{enumerate}
\item On considère la fonction $c$ définie sur $\R$ par  \quad $ c(x)=f(x)f(-x)$.\\
Montrer que $c$ est une fonction constante égale à $1$ sur $\R$.
 \item En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
\item Soit $g$ une fonction dérivable sur $\R$ vérifiant les mêmes propriétés que $f$, ie $g'=g$ et $g(0)=1$. \\
On définit la fonction $h$ sur $\R$ par $h=\dfrac{g}{f}$, 
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $h$ est définie sur $\R$.
 \item Montrer que $h$ est une fonction constante égale à $1$ sur $\R$
 \item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item On dérive $c=uv$ avec $u(x)=f(x)$ et $v(x)=f(-x)$. \\
   Ainsi $u'(x)=f'(x)=f(x)$ et $v'(x)=-f'(x)=-f(x)$. \\
    Donc $c'(x)= ... = 0$. $c$ est donc une fonction constante sur $\R$.\\
    Comme $c(0)=f(0)f(-0)=1$, on conclut que $c$ est la fonction constante égale à 1 sur $\R$.
    \item S'il existe $a \in \R$ tel que $f(a)=0$, alors $c(a)=f(a)f(-a)=0$ ce qui contredit 1).\\
    Donc $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
    \item \begin{enumerate}
           \item $f$ et $g$ sont définies sur $\R$ et $f$ ne s'annule pas sur $\R$, donc $h$ est définie sur $\R$.
           \item On dérive $h=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=g(x)$ et $v(x)=f(x)$.\\
           Ainsi $u'(x)=g'(x)=g(x)$ et $v'(x)=f'(x)=f(x)$.\\
           Donc $h'(x)= ... = 0$ est donc une fonction constante sur $\R$.\\
           Comme $h(0)=\dfrac{g(0)}{f(0)}=1$ on conclut que $h=1$.
           \item Ainsi $\dfrac{g}{f}=1 \iff g=f$. Donc $f$ est l'unique fonction définie sur $\R$ vérifiant
           les conditions $f'=f$ et $f(0)=1$
          \end{enumerate}
  \end{enumerate}
}

\begin{theo}
 $$\Lim{+\infty} e^x = + \infty \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad \Lim{-\infty}=0$$
\end{theo}

\Dem[ROC]{
  \begin{enumerate}
 \item Soit $g$ la fonction définie sur $\R+$ par $g(x)=e^x-x$.\\
 En étudiant la fonction $g$ sur $\R^+$, montrer que $e^x \geq x$ pour tout $x\in\R^+$
        \item En déduire que $\lim\limits_{x\to + \infty} e^x = +\infty$
        \item Grâce à un changement de variable, en déduire que $\lim\limits_{x\to - \infty} e^x = 0$
\end{enumerate}
}

\Sol{
\begin{enumerate}
 \item $g'(x)=e^x-1$. Or pour tout $x\in\R^+$, on a $e^x \geq 1$ donc $g'(x) \geq 0$ et $g$
 est croissante sur $\R^+$.\\
 Sa valeur minimale est atteinte quand $x=0$ et vaut $g(0)=e^0-1 = 0$. Donc $g$ est positive sur $\R^+$.\\
 Ainsi, $e^x \geq x $ pour tout $x \in \R^+$.
 \item On a $\Lim{+\infty}x = + \infty$.\quad Par comparaison, on a donc $\Lim{+\infty} e^x = + \infty$
 \item On pose $X=-x$. Alors 
 $$\Lim{-\infty} e^x = \Lim{+\infty} e^{-X}=\Lim{+\infty} \dfrac{1}{e^{X}} = 0$$
 d'après ce qui précède.
\end{enumerate}
}

\section{Intégration}

\begin{theo}[Fondamental]
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.\\
 Alors la fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par :
 $$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$
 est dérivable sur $[a;b]$ et pour tout réel $x\in[a;b]$ on a $F'(x)=f(x)$.\\
 Plus précisément, $F$ est \textbf{la primitive} de $f$ sur $[a;b]$ qui s'annule en $a$.
\end{theo}

\Dem[ROC : Cas où $f$ est croissante]{
  \begin{minipage}{8.5cm}
 On considère une fonction $f$ continue, positive et 
 croissante sur l'intervalle $[a;b]$. Soit $F$ la fonction suivante :
 $$\begin{array}{ccccl}
    F & : & [a;b] & \longrightarrow & \R\\
      &   &  x & \longmapsto & F(x)=\int_a^x f(t)dt
   \end{array}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=0pt 0]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(3.5,2.5)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{2}{1.4^(x-2)+1}\lineto(2,0)\lineto(-1,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.5}{3.5}{1.4^(x-2)+1}
\psline(2.52,0)(2.52,2.19)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,2)
\rput[bl](-1.05,-0.4){{$a$}}
\rput[bl](1.93,-0.4){{$x$}}
\rput[bl](2.36,-0.4){{$x+h$}}
\rput[bl](0.43,0.8){\blue{$F(x)$}}
\rput[bl](0.44,-0.4){$\vec i$}
\rput[bl](-0.2,1.01){$\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
 Soit $x\in[a;b]$ et $h\neq 0$ tel que $x+h\in[a;b]$. un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item Ecrire le taux d'accroissement $\tau(h)$ de la fonction $F$ entre $x$ et $x+h$.
  \item \begin{enumerate}
         \item On suppose $h>0$. 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)dt$. 
   \item Hachurer l'aire correspondante sur le graphique.
    \item En utilisant deux rectangles bien choisis, montrer que 
  $$ f(x)\leq \dfrac{ F(x+h)- F(x)}{h}\leq f(x+h) $$
 \end{enumerate}
 \item On suppose $h<0$. Reprendre le raisonnement précédent sur $F(x)-F(x+h)$ puis encadrer $\tau(h)$.
 %\item Pour tout $h\neq 0$, donner alors un encadrement de $\tau(h)$.
        \end{enumerate}
   \item Quelle hypothèse sur $f$ nous permet d'affirmer que $\lim\limits_{h\to 0} f(x+h)=f(x)$ ?
 \item En déduire que $\Lim[h]{0^+}\tau(h) = \Lim[h]{0^-} \tau(h) = f(x)$.
 \item Que peut-on en déduire pour $F$ ?
 \item Que vaut $F(a)$ ?  
 \item Conclure.
\end{enumerate}
}

\Sol{\begin{enumerate}
      \item $\tau(h)=\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$
      \item \begin{enumerate}
             \item \begin{enumerate}
                    \item $F(x+h)=\int_a^{x+h}f(t)dt=\int_a^x f(t)dt + \int_x^{x+h}f(t)dt = F(x) + \int_x^{x+h}f(t)dt$ \\
                    Donc $ F(x+h)-F(x) =\int_x^{x+h}f(x)dx$. 
                    \item $F(x+h)-F(x)$ est l'aire sous la courbe de $f$ entre $x$ et $x+h$.
                    \item Elle est donc comprise entre les aires des rectangles de base $h$ et de 
                    hauteur $f(x)$ et $f(x+h)$ (avec $f(x+h) >f(x)$ car $f$ croissante).\\
                    Ainsi $$ hf(x)\leq  F(x+h)- F(x)\leq hf(x+h)  \iff f(x)\leq \dfrac{ F(x+h)- F(x)}{h}\leq f(x+h) 
                    \iff f(x) \leq \tau(h) \leq f(x+h) $$
                   \end{enumerate}
  \item Si $h<0$, les rectangles ont pour base $-h>0$ et pour 
  hauteur $f(x+h)$ et $f(x)$ (avec $f(x+h)<f(x)$). \\
  Donc on obtient l'encadrement $$ -hf(x+h)\leq F(x)- F(x+h)\leq -hf(x) 
  \stackrel{\iff}{-h >0}  f(x+h) \leq \dfrac{F(x)-F(x+h)}{-h} \leq f(x) \iff f(x+h) \tau(h) f(x) $$
            \end{enumerate}
        \item $f$ est continue sur $[a;b]$ donc en $x$, d'où $\lim\limits_{h\to 0} f(x+h)=f(x)$.
    \item D'après le théorème des gendarmes, $\Lim[h]{0^+} \tau(h) = \Lim[h]{0^+} \dfrac{ F(x)- F(x+h)}{h} = f(x)$\\
     et $\Lim[h]{0^-} \tau(h) = \Lim[h]{0^-} \dfrac{ F(x)- F(x+h)}{h} = f(x)$\\
 \item Ainsi, pour tout $x \in[a;b]$, on a $\Lim[h]{0} \dfrac{ F(x+h)- F(x)}{h} = f(x)$\\
Donc $F$ est dérivable sur $[a;b]$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x \in[a;b]$. Autrement dit, $F$ est une
primitive de $f$ sur $[a;b]$.
 \item $F(a) = \int_a^a f(t)dt = 0$ 
 \item Il n'existe qu'une primitive de $f$ qui s'annule en $a$, ainsi $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
       \end{enumerate}
}

\begin{coro}[du théorème fondamental]
 Toute fonction continue sur un intervalle $I$  admet des primitives sur $I$.
\end{coro}

\Dem[ROC : cas $I$ fermé borné]{
\textbf{Prérequis} : 
\begin{itemize}
 \item le théorème fondamental pour les fonctions continues et positives sur $[a;b]$
 \item On admet que dans ce cas, $f$ admet un minimum $m$ sur $[a;b]$.
\end{itemize}
Soit $g$ la fonction définie sur $I=[a;b]$ par $g(x)=f(x)-m$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $g$ est continue et positive sur $I$.
 \item En déduire qu'elle admet une primitive $G$ sur $[a;b]$.
% \item Montrer que $f(x)=G'(x)+m$, pour tout $x\in I$.
 \item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $[a;b]$.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item $f$ est continue sur $I$, donc $g$ l'est aussi.\\
   De plus, pour tout $x\in I$ on a $f(x) \geq m \iff g(x) \geq 0$.
   \item D'après le théorème fondamental, $g$ admet donc une primitive $G$ sur $I$.  $\left( G(x) = \int_a^x g(t)dt \right)$\\
 On a donc $G'(x)=g(x)$ pour tout $x \in I$.   
\item Ainsi, pour tout $x\in I$ on a $f(x) = g(x)+m = G'(x) + m$
Une primitive $F$ de $f$ sur $I$ est donc définie par $F(x)=G(x) +mx$. \\
En effet, $F'(x)=G'(x)+ m$ pour tout $x \in I$.
\item On a trouvé une primitive $F$ de $f$. Donc $f$ admet des primitives sur $I$ (toutes les fonctions de la forme
$F+c$).
   \end{enumerate}
}



\section{Géométrie}

\begin{theo}[du toit]
 Cf Livre Déclic p 270, exercice 16 (corrigé et avec de beaux dessins) ou encore exercice 9 de la fiche du chapitre 3.
\end{theo}

\begin{theo}
 Si une droite $\Delta$ est orthogonale à deux droites $d_1$ et $d_2$ \textbf{sécantes} d'un plan $\mathscr P$, alors 
 $\Delta$ est orthogonale à toute droite du plan $\mathscr P$.
\end{theo}

\Dem[ROC]{On note $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$ des vecteurs directeurs respectivement de $d_1$
et $d_2$ et $\vec u $ un vecteur directeur de $\Delta$. \\
Soit $\mathscr D$ une droite de $\mathscr P$ de vecteur directeur $\vec w$.
\begin{enumerate}
 \item Traduire les hypothèses d'orthogonalité de l'énoncé en termes de produit scalaire.
  \item Expliquer pourquoi il existe $a$ et $b$ tel que $\vec w = a \vec v_1 + \vec v_2$.
 \item Conclure.
  \end{enumerate}


}

\Sol{Soient $\vec u$ un vecteur directeur de $\Delta$ et $d_1$ et $d_2$  deux droites sécantes de $\mathscr P$, 
de vecteurs directeurs $\overrightarrow{v_1}$ et $\overrightarrow{v_2}$.
\begin{enumerate}
 \item Par hypothèse, on a $\vec u \cdot \overrightarrow{v_1} =0=\vec u \cdot \overrightarrow{v_2}$.
 \item $d_1$ et $d_2$ sont sécantes. Donc $\left(\vec v_1 , \vec v_2 \right)$ constitue une base de 
 $\mathscr P$. De plus $\mathscr D \in \mathscr P$.\\
 Ainsi, il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec w = a \overrightarrow{v_1} + b\overrightarrow{v_2} $
\item On a donc 
\begin{eqnarray*}
\vec u \cdot \vec w &=& \vec u  \cdot \left(a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}\right)\\
&=& a\vec u \cdot \overrightarrow{v_1} + b \vec u \cdot \overrightarrow{v_2}\\
&=& a \times 0 + b \times 0 =0
\end{eqnarray*}
Autrement dit, $\Delta \perp \mathscr D$. Donc $\Delta$ est orthogonale à toute droite de $\mathscr P$
\end{enumerate}
}


\begin{propo}
Soit $\mathscr P$ un plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.\\
Le plan $\mathscr P$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tel que : \qquad $ \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0$
et dans tout repère orthonormé de l'espace, le plan $\mathscr P$ a une équation cartésienne de la forme 
$$ax+by+cz+d=0$$
où $a$, $b$ et  $c$ sont les coordonnées de $\vec n$ dans ce repère (et sont donc non tous nuls),
et $d$ est un réel.
\end{propo}


\Dem[ROC]{Soit $M$ un point de l'espace.\\
On appelle $H$ le point d'intersection de $\mathscr P$ et de la droite $(d)$ 
de vecteur directeur $\vec n$ passant par $M$. 
\begin{enumerate}
 \item Etablir que pour tout $M$, $\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{n} =\overrightarrow{HM} . \overrightarrow{n}$
 \item En déduire que $\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{n} = 0 \iff M=H$
 \item Quelle conséquence en tire-t-on pour un point $M$ de l'espace vérifiant $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{ n} = 
 0$ ?
 \item On note $M(x,y,z)$ et $\overrightarrow{n} (a,b,c)$.\\
 Montrer que $M \in \mathscr P \iff ax+by+cz+d=0$.
 \end{enumerate}
}

\Sol{\begin{enumerate}
      \item Il est clair que $(d) \perp \mathscr P$, donc $(d)$ est orthogonal à toute droite de $\mathscr P$.\\
      Or $A$ et $H$ appartiennent à $\mathscr P$, donc $(AH) \subset \mathscr P$ et $(AH) \perp (d)$.\\
      Comme $H\in (d)$ on peut dire que $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $d$.\\
      De plus, $M \in mathscr (d)$, donc $\overrightarrow{HM}$ est le projeté orthogonal 
      de $\overrightarrow{AM}$ sur $\vec n$. \\
      Comme $\vec n \neq \vec 0$, on a bien l'égalité voulue (caractérisation du produit scalaire).
      \item $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{n} = 0 \iff \overrightarrow{HM} . \overrightarrow{n} = 0$\\
      Or $\overrightarrow{HM}=k\overrightarrow{n}$. Donc ce produt scalaire vaut $0$
      si et seulement si $k\overrightarrow{n}^2 = 0 \iff k=0 \iff \overrightarrow{HM}=0 \iff M=H$
      \item Ainsi $\mathscr P$ est l'ensemble des points de l'espace tels que $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{n} = 0$
      \item $M\in \mathscr P \iff \overrightarrow{AM} . \overrightarrow{n}=0 \iff 
      \left(\begin{array}{c}
             x-x_A \\ y-y_A \\ z-z_A
            \end{array}\right) . \left(\begin{array}{c}
             a \\ b \\ c
            \end{array}\right) = 0 \iff ... \iff ax+by+cz+d=0$\quad 
            avec $d=-ax_A-by_A-cz_A$
      \end{enumerate}
}

\section{Probabilités}

\begin{theo}
 Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors il en est de même pour $\overline{A}$ et $B$
\end{theo}

\Dem[ROC]{
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que pour tout événement $A$ et $B$ on a \qquad 
 $P\left(\overline{A} \cap B \right) = P(B) - P\left(A\cap B \right)$
 \item En déduire si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $B$ le sont aussi.
\end{enumerate}
}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item $B= \left(A\cap B \right) \cup \left(\overline{A}\cap B\right)$ \qquad qui est une union disjointe.\\
Donc  $P(B)= P\left(A\cap B \right) + P\left(\overline{A}\cap B\right)$.\qquad 
Ainsi $P\left(\overline{A} \cap B \right) = P(B) - P\left(A\cap B \right)$
\item \begin{eqnarray*}
P\left(\overline{A} \cap B \right) &=& P(B) - P\left(A\cap B \right)\\
&=& P(B) - P(A) \times P(B) \qquad \text{car } A \text{ et } B \text{ sont indépendants}\\
&=& P(B) \times \left( 1 - P(A) \right) \\
&=& P(B) \times P\left(\overline{A}\right)  \qquad\qquad \text{Donc $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.}
\end{eqnarray*}
  \end{enumerate}
}


\begin{prop}
 Soit $T$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. 
 Alors \quad $E(T)=\dfrac1{\lambda}$
\end{prop}

\Dem[ROC]{On note $f$ la fonction densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda >0$.
    \begin{enumerate}
   \item  Montrer qu'il existe deux réels $c$ et $d$ (en les déterminant) tels que la fonction 
 \quad $G : t \longmapsto (ct+d)e^{-\lambda t}$ \quad 
 soit une primitive sur $[0;+\infty[$ de la fonction $g : t \longmapsto t\times \lambda e^{-\lambda t}$.
      \item En déduire pour tout $x$, la valeur de l'intégrale $\int_0^x tf(t)dt$.
   \item Déterminer alors $E(T)$.  
  \end{enumerate}
}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item $G=uv$ avec $u(t)=ct+d$ et $v(t)=e^{-\lambda t}$. \\
   Alors $u'(t)=c$ et $v'(t)=-\lambda e^{-\lambda t}$.\\
   Ainsi $G'(t)=c \times e^{-\lambda t} + (ct+d)\left(-\lambda e^{-\lambda t}\right) = e^{-\lambda t}\left(c -\lambda(ct+d)\right)$\\
   Donc $G'(t)=g(t) \iff c-\lambda(ct+d)=t \lambda \iff \left\{\begin{array}{c}
                                                                -\lambda c t=\lambda t \\ c-\lambda d= 0
                                                               \end{array}\right.
                                                   \iff \left\{\begin{array}{c}
                                                                 c =-1 \\  d= -\dfrac1{\lambda}
                                                               \end{array}\right.$
D'où $G(t)=\left(-t-\dfrac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda t}$.
\item $\int_0^x tf(t)dt=\int_0^x g(t)dt = \left[G(t)\right]_0^x = G(x)-G(0) = 
\left(-x-\dfrac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda x} - \left(0-\dfrac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda \times 0}
=\left(-x-\dfrac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda  x} + \dfrac1{\lambda}$
\item $E(T)=\Lim{+\infty}\int_0^x tf(t)dt=\Lim{+\infty} \left(-x+\dfrac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda  x} - \dfrac1{\lambda}$\\
Or $\Lim{+\infty} -xe^{-\lambda x} = \Lim[X]{-\infty}\dfrac{X}{\lambda}e^{X} = 0$ \quad d'après le cours \\
(on a posé $X=-\lambda x$ et $X \rightarrow - \infty$ car $\lambda >0$).\\
Et $\Lim{+\infty} -\dfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda x} = 0$  \quad car $\lambda >0$.\\
Donc $E(T) = 0 + 0 + \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{\lambda}$.
  \end{enumerate}
}

\begin{prop}
  Soit $T$ est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. \\
  Pour tous réels $t$ et $h$ strictement positifs, on a :
 $$P_{(T\geq t)}(T\geq t+h)=P(T\geq h)$$
\end{prop}

\Dem[Simples calculs]{
  Pour tous réels positifs $t$ et $h$ on a $P(T\geq t+h)=e^{-\lambda(t+h)}$ et $P(T\geq t)=e^{-\lambda t}$.\\
  On a $P_{(T\geq t)}(T\geq t+h)=\dfrac{P\big((T\geq t)\cap (T\geq t+h)\big)}{P(T\geq t)}=
  \dfrac{P\big(T\geq t+h\big)}{P(T\geq t)}=\dfrac{e^{-\lambda(t+h)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda h}=P(T\geq h)$
}



\begin{theo}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathscr N(0,1)$.\\
 Pour tout réel $\alpha \in ]0;1[$, il existe un unique réel positif $u_{\alpha}$ tel que 
 $$P\left(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}\right) = 1- \alpha$$
\end{theo}


\Dem[ROC]{
On considère la fonction $g$ définie sur $\R^+$ par $g(t)=P(-t\leq X\leq t)= \int_{-t}^t f(x)dx$
où $f$ est la fonction densité de la loi normale centrée réduite.\\
\begin{enumerate}
 \item Déterminer $g(0)$ et $\Lim[t]{+\infty} g(t)$.
 \item Montrer que pour tout $t$ positif, $g(t)=2\int_0^t f(x)dx$
 \item En déduire $g'(t)$ pour tout $t\geq 0$.
 \item Dresser le tableau de variation de $g$ sur $\R^+$.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
}

\Sol{On cherche à applique le TVI à $g$.
\begin{enumerate}
 \item $g(0)=0$ et $\Lim[t]{+\infty}g(t)=\Lim[t]{+\infty}\int_{-t}^tf(x)dx= 1$ 
 car $f$ est une fonction densité sur $\R$.
 \item Comme $f$ est paire, on a pour tout $t$ positif, $g(t)=2\int_0^t f(x)dx$.
 \item De plus, $f$ est continue, donc $2f$, et $g$ est la primitive de $2f$ qui s'annule en $0$ (d'après le 
théorème fondamental).\\
Autrement dit, $g'=2f$ sur $\R^+$.
\item $f$ est positive, donc $2f$ aussi. Ainsi $g$ est strictement 
croissante sur $\R^+$.
\item $g$ est continue sur $\R^+$, strictement croissante de $0$ à $1$.\\
Comme $0 < \alpha < 1 \iff 0 < 1-\alpha < 1$, on peut appliquer le corollaire du TVI : \\
il existe un uniquement réel $u_{\alpha} \in]0;1[$ tel que $g\left(u_{\alpha}\right)=1-\alpha$.
\end{enumerate}
}

\begin{theo}[Définition]
 Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathscr B(n,p)$ et $\alpha$ un réel 
 tel que $0 < \alpha < 1$.\\
 Alors \qquad  $\Lim[n]{+\infty} P\left(\dfrac{X_n}{n} \in I_n \right)=1- \alpha$ \quad où
  $$I_n=\left[p-u_{\alpha} \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+u_{\alpha} \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$$
\end{theo}

\textbf{Rappel} : Soit $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathscr N(0,1)$. On note $u_{\alpha}$ 
 l'unique réel tel que :
 $$P\left(-u_{\alpha} \leq Z \leq u_{\alpha} \right) = 1- \alpha$$
 
\Dem[ROC]{
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la variable centrée réduite $Z_n$ correspondante à $X_n$.
\item Déterminer $\Lim[n]{+\infty} P\left(-u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha} \right)$ 
 en fonction de $\alpha$.
 \item Montrer que $Z_n \in [-u_{\alpha} ; u_{\alpha}] \iff \dfrac{X_n}{n} \in I_n$
 \item Conclure.
 \end{enumerate} 
}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item $Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 
   \item On applique le théorème de Moivre-Laplace et la définition de $u_{\alpha}$, en notant $Z$ une variable aléatoire 
   qui suit la loi normale $\mathscr N(0,1)$. On a :   
$$\Lim[n]{+\infty} P\left(-u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha} \right)
=P\left(-u_{\alpha} \leq Z \leq u_{\alpha} \right)=1-\alpha$$
 \item \begin{eqnarray*}
 -u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha} &\iff & -u_{\alpha} \leq \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq u_{\alpha} \\
&\iff & np-u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \leq X_n \leq np+u_{\alpha}\sqrt{np(1-p)} \\
&\iff & p-u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq \dfrac{X_n}{n} \leq p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{np(1-p)}}{\sqrt{n}}\\
& \iff & \dfrac{X_n}{n} \in I_n
\end{eqnarray*}
\item Donc $\Lim[n]{+\infty} P\left(\dfrac{X_n}{n} \in I_n \right)
=\Lim[n]{+\infty} P\left(-u_{\alpha} \leq Z_n \leq u_{\alpha} \right)=1- \alpha$
  \end{enumerate}
}

\begin{theo}
Pour une valeur de $p$ fixée, l'\textbf{intervalle de confiance} au seuil de $95\%$, est :
 $$J=\left[F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}} , F_n +\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] $$
Autrement dit, $J$ contient, pour $n$ assez grand, la proportion $p$ avec une probabilité d'au moins $0.95$
\end{theo}

 
\Dem{
On sait que pour $n$ suffisamment grand
\begin{eqnarray*}
&& P\left(p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq F_n \leq p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 0.95 \\
&\iff & P\left(-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq F_n-p \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 0.95\\
&\iff & P\left(-\dfrac{1}{\sqrt{n}}-F_n \leq -p \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}-F_n\right) \geq 0.95\\
&\iff & P\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}+F_n \geq p \leq -\dfrac{1}{\sqrt{n}}+F_n\right) \geq 0.95\\
&\iff & P\left(F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \leq -p \leq F_n\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) \geq 0.95
\end{eqnarray*}
}


\end{document}
