\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction }
\newcommand{\Ch}{Polynesie Juin 2013}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Chaptitres 1 \`a 13}
\newcommand{\Cl}{TG6}
%\newcommand{\num}{10}	
%\newcommand{\tps}{4h}	
\newcommand{\Annee}{Juin 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item $f(0)=2$ et $f(x)=0 \iff x=-2$ donc les points d'intersection sont $A(0;2)$ et $B(-2;0)$.
        \item $\Lim{+\infty}f(x) = 0$ car $\Lim{+\infty} xe^{-x} = 0$ donc on a l'asymptote horizontale $y=0$ en $+\infty$\\
        $\Lim{-\infty}f(x) = -\infty$ par produit de $\Lim{-\infty} x-2 = -\infty$ et $\Lim{-\infty} e^{-x} = +\infty$. 
        \item $f'(x)= ... = e^{-x}-(x+2)e^{-x} = -e^{x}(x+1)$ \qquad $f'(x)=0 \iff x=-1$.\\
        \begin{center}
  \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$ /1,Signe de $x+1$/1.5, Signe de $-e^{-x}$/1.5, Signe de $f’(x)$/1.5,
Variations de $f$/3 }{$-\infty$,$-1$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{, - , z , + }
\tkzTabLine{ , - , t , - }
\tkzTabLine{, + , z , - }
\tkzTabVar{ -/ $-\infty$, +/ $\dfrac{1}{e}$ , -/$0$ } 
\end{tikzpicture} 
 \end{center}
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item $\mathscr D \simeq 1.642$
       \item \Algo{8cm}{
	\Var{$k$ est un nombre eniter \\
	$S$ est un nombre réel
       }
       \Deb{
       Affecter à $S$ la valeur $0$.\\
       \For{k variant de $0$ à $N-1$}{
       Affecter à $S$la valeur $S+\dfrac1N f\left(\dfrac1N\right)$
       }
       Afficher S
       }
       }
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item $\mathscr A = \int_0^1 f(x)dx = g(1)-g(0) = ... = 3-\dfrac4e$
\item Il est clair que $\mathscr D \geq \mathscr A$. 
Donc l'écart est $\mathscr D- \mathscr \simeq 0.1134$ quand $N=3$
      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}
 
\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item $d$ car $i=e^{i\frac{\pi}2}$
 \item $c$ car si $z=a+ib$ sous forme algébrique, on doit avoir $a=0$, donc c'est l'axe des imaginaires.
 \item $a$ (évident)
 \item $b$ car si $\vec u$ est un vecteur directeur de $\Delta$, on a $\vec u \cdot \vec n$ donc $\Delta // \mathscr P$\\
 De plus, on vérifie que $D \notin \Delta$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \partieBac{}
 \begin{enumerate}
  \item $P(C \cap H) = ... = \dfrac14$
  \item \begin{enumerate}
         \item $P_C(H)=\dfrac56 \neq P(H)$ donc les événements ne sont pas indépendants.
         \item $P(H)=P(J \cap H) + P(C \cap H) + P(V \cap H) \iff ... \iff P(J\cap H) = \dfrac15$\\
         $P_J(H)=... = \dfrac45$
        \end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{enumerate}
 \item $I=... \simeq [0.184 ; 0.416]$
 \item $\dfrac{12}{60}=0.2 \in I$ donc la lecture aléatoire n'est probablement pas défectueuse.
\end{enumerate}
\partieBac{}
\begin{enumerate}
 \item $P(180 \leq X \leq 220) \simeq 0.683$
 \item $P(X \geq 4\times 60) = \dfrac12 - P(200 \leq X \leq 240) \simeq 0.023$
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item $u_1 = ... = \dfrac34$ \quad et \quad $u_2 = ... = \dfrac9{10}$
         \item Initialisation : $u_0 >0$\\
         Hérédité : on suppose ...\\
         $u_k>0$ donc $3u_k >0$ et $1+2u_k>0$. \quad D'où $u_{k+1}>0$\\
         Conclusion : ...
        \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Tous les termes sont positifs, donc on peut comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.\\
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=... = \dfrac3{1+2u_n}$. \qquad Or $u_n<1$ donc ... ie $\dfrac3{1+2u_n}>1$.
\item $(u_n)$ est croissante majorée.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item $v_{n+1}=... = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}\times \dfrac{1+2u_n}{1+2u_n-3u_n}= ... = 3v_n$
       \item $v_0= .. = 1$ donc $v_n=3^n$ pour tout $n$.
       \item $v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n} \iff ... \iff u_n = \dfrac{v_n}{1+v_n}$\\
       D'où la réponse.
       \item $u_n=\dfrac{3^n}{3^n\left(1+\dfrac1{3^n}\right)}=\dfrac{1}{1+\dfrac1{3^n}}$\\
       Donc $\Lim[n]{+\infty}=1$
      \end{enumerate}

 \end{enumerate}

\end{ExoF}

 
\end{document}
