\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions}
\newcommand{\Ch}{Probabilit\'es (Loi Normale)}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Annales \`a th\`eme}
\newcommand{\Cl}{TG6}
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%\newcommand{\tps}{4h}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\footskip=30pt




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha




\section{Pondichéry avril 2013 \hfill (6 points)}

\noindent Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. 
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,
		\quad 
		 $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. 
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. 
		\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme  suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
				&J prend la valeur $1$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
Traitement		&Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\
				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher J \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?
 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
	\end{enumerate} 
\item Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$.
 
On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
		 
Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$. 
		\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ 
		
		par la loi normale  centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.
		 
On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. 

Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& $-1,55$ &$-1,24$ &$-0,93$ &$- 0,62$ &$- 0,31$ &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline 
$P(Z < x)$& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal  à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section{Liban mai 2013 \hfill (5 points)}
L'entreprise \emph{Fructidoux} fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50~grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination \og compote allégée \fg. 

La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à-dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
 
L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
 
Ainsi, dans la production totale, 70\,\% des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30\,\% de la chaîne F$_{2}$.
 
La chaîne F$_{1}$ produit 5\,\% de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1\,\%.
 
On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
 
$E$ : \og Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ \fg 

$C$ : \og Le petit pot est conforme. \fg

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. \fg 
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $C$. 
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $m_{1} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{1} = 0,006$. 

Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\alpha$& $\beta$&$P(\alpha \leqslant X \leqslant \beta)$\\ \hline  
0,13 &0,15 &\np{0,0004}\\ \hline 
0,14 &0,16 &\np{0,0478}\\ \hline 
0,15 &0,17 &\np{0,4996} \\ \hline
0,16 &0,18 &\np{0,9044}\\ \hline 
0,17 &0,19 &\np{0,4996}\\ \hline 
0,18 &0,20 &\np{0,0478}\\ \hline 
0,19 &0,21 &\np{0,0004} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{1}$ soit conforme. 
\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$, associe sa teneur en sucre.
 
On suppose que $Y$ suit la loi normale d'espérance $m_{2} = 0,17$ et d'écart-type $\sigma_{2}$.
 
On suppose de plus que la probabilité qu'un petit pot prélevé au hasard dans la production de la chaîne F$_{2}$ soit conforme est égale à $0,99$.
 
Soit Z la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{Y - m_{2}}{\sigma_{2}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle loi la variable aléatoire $Z$ suit-elle ? 
		\item Déterminer, en fonction de $\sigma_{2}$ l'intervalle auquel appartient $Z$ lorsque $Y$ appartient à l'intervalle [0,16~;~0,18]. 
		\item En déduire une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sigma_{2}$.
		 
On pourra utiliser le tableau donné ci-dessous, dans lequel la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $1$.
	\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$\beta$&$P(- \beta  \leqslant Z \leqslant \beta)$\\ \hline 
\np{2,4324} &0,985\\ \hline 
\np{2,4573} &0,986\\ \hline 
\np{2,4838} &0,987\\ \hline 
\np{2,5121} &0,988\\ \hline 
\np{2,5427} &0,989\\ \hline 
\np{2,5758} &0,990\\ \hline 
\np{2,6121} &0,991\\ \hline 
\np{2,6521} &0,992\\ \hline
\np{2,6968} &0,993\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\end{enumerate} 


\newpage
\section{Amérique du Nord mai 2013 \hfill (5 points)}

\begin{center}
\emph{Les parties A. B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center}
 
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385~grammes est commercialisable.
 
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\medskip
 
\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$. 
\item Calculer la probabilité $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
 
Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième.
 
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300. 
\item Parmi les 300~pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables. 

Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.

\medskip
 
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip
 
\item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ? 
\item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ? 
\end{enumerate}

\section{Exercices type Bac sur la loi Normale}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Lorsque Lisa appelle de chez elle un taxi de la société \og Blue Taxi \fg, le temps d'attente $X$, en minutes, est distribué
  selon la loi normale de moyenne 19 minutes et d'écart type 3 minutes.
  \begin{enumerate}
   \item Quelle est la probabilité que Lisa doive attendre son taxi moins d'un quart d'heure ?
   \item Quel temps d'attente minimal peut-elle accepter si elle veut qu'il soit respecté avec une probabilité au moins
   égale à $0.9$ ?
  \end{enumerate}
 \item Lorsque Lisa appelle de chez elle la société concurrente \og Green Taxi \fg, le temps d'attente $Y$, en minutes,
 est également distribué selon une loi normale, d emoyenne $\mu$ et d'écart type 7 minutes.\\
 On admet que la probabilité pour Lisa de devoir attendre un taxi de cette société plus de 8 minutes est égale
 à $0.97725$.\\
 Quelle est la valeur de $\mu$ ?
 \item Pour avoir son train, Lisa doit prendre un taxi dans les 10 minutes.\\
 Etudier à quelle société doit-elle faire appel ?
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
 \textbf{La sélection chez les vaches laitières de race \og Française Frisonne Pis Noir \fg}\\
 La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire
 à densité $X$, de loi normale de moyenne $\mu=6000$ et d'écart-type $\sigma=400$. La fonction $g$ désigne la fonction
 densité de cette loi normale.
 \begin{enumerate}
  \item Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée), en déterminant la taille optimale
  de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite dispose de certaines probabilités.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de $5800$ litres par an.
   \item Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre $5900$ et $6100$ litres de lait par an.
   \item Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de $6250$ litres de lait par an.
  \end{enumerate}
\item Dans son futur troupeau, Loïc souhaite connaître :
 \begin{enumerate}
  \item La production maximale prévisible des $30\%$ de vaches les moins productives du troupeau.
    \item La production minimale prévisible des $20\%$ des vaches les plus productives. 
 \end{enumerate}
 Aidez le à déterminer ces valeurs.
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une coopérative produit du beurre en microplaquettes de 12,5g pour des collectivités et des chaînes
hôtelières. Les microplaquettes sont conditionnées dans des boîtes de 40.
La masse des microplaquettes peut être modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale
d’espérance $\mu= 12,5$ et de variance $\sigma^2= 0,2$
et on admet que la variable aléatoire $X$ égale à la masse
d’une boîte de 40 microplaquettes suit alors une loi normale d’espérance
$\mu= 500$ et de variance $\sigma^2= 1,6$.\\

La boîte est jugée conforme si sa masse est comprise entre 496,2 g et 503,8 g (soit environ
$500 \pm 3\sigma$ )
\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité qu’une boîte prélevée aléatoirement en fin de chaîne de
conditionnement soit non conforme.
 \item Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d'alerte
$\mu-h$ et $\mu+h$ tels que $P(\mu-h < X < \mu + h) = 0,99$. Ces poids d’alerte sont inscrits sur une carte 
de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en
lien avec des normes de conformité. \\
Calculer les poids d'alerte.\\ 
\textit{Grâce à des échantillons prélevés en sortie de chaine, ces masses d'alerte permettent de déceler des anomalies
en temps réel.}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La durée de vie d'un certain type d’appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi
normale de moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que $80\%$ de la
production des appareils ait une durée de vie entre 120
et 200 jours et que $5\%$ de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les valeurs de $\mu$ et $\sigma^2$ ?
 \item Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours
et 230 jours ?
\end{enumerate}

\end{ExoF}
\newpage

\section{Exercices type Bac sur l'échantillonnage}

\begin{ExoF}
 Prenons un cas très classique : un sondage politique.\\
Le 18 avril 2002, l’institut IPSOS 13 effectue un sondage dans la population en âge de voter.\\
On constitue un échantillon de 1000 personnes (inscrites sur les listes électorales) que l’on suppose
choisies ici de manière aléatoire. Ce n’est pas le cas en pratique, mais le principe reste le même 
que dans cet exemple.\\
Les résultats partiels en sont les suivants : sur les 1000 personnes
\begin{itemize}
 \item 135 ont déclaré vouloir voter pour Jean-Marie Le Pen
\item 195 ont déclaré vouloir voter pour Jacques Chirac
\item 170 ont déclaré vouloir voter pour Lionel Jospin.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Pour chacun des trois candidats ci-dessus, déterminer l'intervalle de confiance au seuil de $95\%$.
 \item L'institut ne donne qu'une valeur unique en pourcentage à la presse pour chaque candidat. Lesquelles ?\\
 Evaluer l'imprécision.
 \item Les vrais résultats ont respectivement été : $16,9\%$, $19.9\%$ et $16.2\%$.
 Commenter.
 \item L'institut CSA lui donnait $14\%$ pour Jean-Marie Le Pen (dans les mêmes conditions d'échantillonnage).\\
 Retrouver l'intervalle de confiance correspondant et commenter par rapport au score réel.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item On peut déterminer trois intervalles de confiance au niveau de confiance de $95\%$ :
\begin{itemize}
 \item Jean-Marie Le Pen $[0,135-0,032 ; 0,135+0,032] = [0,103 ; 0,167]$
\item Jacques Chirac $[0,195-0,032 ; 0,195+0,032]=[0,163 ; 0,227]$
\item Lionel Jospin $ [0,170-0,032 ; 0,170+0,032]=[0,138 ; 0,202]$.
\end{itemize}
\item Les valeurs centrales des intervalles en pourcentage, et donc une imprécision de $\pm 3 \%$.
\item Ok pour Jacques et Lionel, pas pour Jean-Marie. Voir note de bas de page.
\item $[0.108 ; 0.172]$ donc contient le score réel.
  \end{enumerate}
}



\begin{ExoF}
 Une société qui produit des jus de fruits propose au service commercial deux nouveaux mélanges : OPK (Orange Pamplemousse Kiwi) et 
 OMA (Orange Mangue Ananas). Dans un sondage aléatoire réalisé sur $60$ consommateurs, $56\%$ préfère le mélange $OPK$.
 On fait l'hypothèse $(H)$ que, dans l'ensemble des consommateurs, $50\%$ préfère le mélange $OPK$.
 \begin{enumerate}
  \item Peut-on rejeter l'hypothèse $(H)$ au risque de $5\%$ ? \textit{Bien détailler la démarche.}
  \item Déterminer toutes les valeurs de $p$ que l'on ne peut pas rejeter ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une ferme piscicole possède plusieurs bassins dans lesquels grandissent les alevins. Lorsque les poissons ont une 
 masse supérieur ou égal à $650 g$, ils sont prêts à être commercialisés.
 \begin{enumerate}
  \item On extrait au hasard un échantillon de $50$ poissons. Le nombre de poissons est suffisamment grand pour 
  considérer qu'il s'agit d'un tirage avec remise. On constate que $14$ d'entre eux ont une masse inférieur à $650$ g
  et $8$ une masse supérieure ou égale à $1$ kg.
  Donner un intervalle de confiance au niveau $95\%$ de la proportion de poissons commercialisables dans ce bassin.
  \item On suppose désormais que la variable aléatoire $M$ qui à tout poisson du bassin associe sa masse en grammes suit une loi 
  normale $\mathscr N(\mu , \sigma^2)$.
  Déterminer $\mu$ et $\sigma$ en utilisant les données de la questions 1.
  \item La ferme expédie les poissons par boîte de $20$. On remplit les boîtes en prélevant au hasard $20$ poissons
  dans le bassin et on appelle $X$ la variable aléatoire qui à toute boîte associe le nombre de poissons dont la masse
  est inférieure à $650$ g.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer la loi de $X$.
   \item Quelle est la probabilité que la boîte contienne 20 poissons dont la masse est supérieure ou égale à $650$ g.
   \item Quelle est en moyenne, par boîte, le nombre de poissons dont la masse est insuffisante pour être commercialisés ?
  \end{enumerate}

 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\newpage
\section{Autres lois continues \hfill (5 points)}

\begin{ExoF} 
\textbf{QCM : Une ou plusieurs réponses sont possibles. Les déterminer dans chaque cas.}
 \begin{enumerate}
  \item $X$ est une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. 
  On suppose que $P(1\leq X \leq 3)=\dfrac38$.
  \begin{enumerate}
   \item Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0;N]$, alors $N$ est égal à :
   $$8 \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad  \dfrac{16}3 \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad 5.3$$
 \item Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, alors :
 $$\lambda = \ln(2) \qquad \qquad \qquad \lambda \text{ prend deux valeurs dont la valeur } \ln(2) \qquad\qquad \qquad \text{il n'existe pas de tel } \lambda$$
  \end{enumerate}
\item $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi définie par la densité $f : t \longmapsto kt^n$ sur $[1;10]$.
Alors on peut avoir 
\begin{center}
$n=0\,$ et $\,k=\dfrac1{10}$ \qquad\qquad\qquad\qquad $n=1\, $ et $\,k=\dfrac2{99}$ \qquad\qquad\qquad\qquad$n=-2\, $ et $\,k=\dfrac{10}{9}$\end{center}
  \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Le laboratoire de physique d'un lyc\'ee dispose d'un parc d'oscilloscopes
 identiques. La dur\'ee de vie en ann\'ees d'un oscilloscope est une variable
 al\'eatoire not\'ee $X$ qui suit la \og loi de dur\'ee de vie sans vieillissement \fg{}
 (ou encore loi exponentielle de param\`etre $\lambda$ avec $\lambda > 0$).\\
\noindent Toutes les probabilités seront donn\'ees \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\begin{enumerate}\item Sachant que $P(X > 10) = 0,286$, montrer qu'une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$
pr\`es de $\lambda$ est $0,125$.\\
\noindent On prendra $0,125$ pour valeur de $\lambda$ dans la suite de l'exercice.
\item Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du mod\`ele \'etudi\'e ait une
 dur\'ee de vie inf\'erieure \`a 6 mois.
\item Sachant qu'un appareil a d\'ej\`a fonctionn\'e 8 ann\'ees, quelle est la
 probabilité qu'il ait une dur\'ee de vie sup\'erieure 10 ans ?
\item On consid\`ere que la dur\'ee de vie d'un oscilloscope est ind\'ependante
 de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire d\'ecide de
 commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu'au moins un 
oscilloscope ait une dur\'ee de vie sup\'erieure \^a 10 ans ?
\item Combien l'\'etablissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que
 la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans
 soit sup\'erieure \`a 0,999 ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Un responsable de magasin ach\`ete des composants \'electroniques aupr\`es de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25\:\% au premier fournisseur et 75\:\% au second.\\
La proportion de composants d\'efectueux est de 3\:\% chez le premier fournisseur et de 2\:\% chez le second.\quad 
On note :
\begin{itemize}
\item D l'\'ev\`enemenrt \og le composant est d\'efectueux \fg ;
\item F$_{1}$ l'\'ev\`enement \og le composanrt provient du premier fournisseur \fg ;
\item F$_{2}$ l'\'ev\`enement \og le composanrt provient du second fournisseur \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Dessiner un arbre pond\'er\'e.
\item Calculer $P\left(\text{D} \cap \text{T}_{1} \right)$, puis d\'emontrer que $P(\text{D}) = \nombre{0,0225}$.
\item Sachant qu'un composant est d\'efectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier fournisseur ?
\end{enumerate}
\emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approch\'ee des r\'esultats \`a $10^{-3}$ pr\`es.}
\item Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux soient d\'efectueux ?
\item La dur\'ee de vie de l'un de ces composants est une variable al\'eatoire not\'ee $X$ qui suit une loi de dur\'ee de vie sans vieillisse\`ment ou loi exponentielle de param\`etre $\lambda$, avec $\lambda$ r\'eel strictement positif.
\begin{enumerate}
\item Sachant que $P(X > 5) = 0,325$, d\'eterminer $\lambda$.\\
Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$.
\item Quelle est la probabilité qu'un composant dure moins de 8~ans ? plus de 8~ans ?
\item Quelle est la probabilité qu'un composant dure plus de 8~ans sachant qu'il a d\'ej\`a dur\'e plus de 3~ans ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}





\end{document}
