\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions}
\newcommand{\Ch}{Int\'egrales}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Annales \`a th\`eme}
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\newcommand{\Annee}{2012-2013}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha

\section{Liban Mai 2011 \hfill (7 points)}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\]
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
%\item Montrer que $(\mathcal{C})$ admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$  à termes positifs définie par : 

\[ u_{1} = 0\: \text{et, pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul}, u_{n+1} = f\left(u_{n}\right) = u_{n} + \text{e}^{-u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, $\ln (1 + x ) \leqslant x$.
 
On pourra étudier la fonction $g$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $g(x) = x - \ln (1 + x)$. 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n + 1) \leqslant  \ln(n) + \dfrac{1}{n}$. 
\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $f[\ln(n)] = \ln (n) + \dfrac{1}{n}$. 
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n) \leqslant u_{n}$. 
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$· 
\medskip

Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n\geq 2,\, u_{n} \leqslant 1+ \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n - 1}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2, on a \quad  
		$\dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k - 1}^k \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$.
		\item En déduire que, pour tout entier $n\geq 2$, on a \quad 		
$u_{n} \leqslant  1 + \ln (n - 1)$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a montré que \quad 
$\ln (n) \leqslant u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1)$.
 
Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{\ln (n)}\right)_{n \geqslant 2}$ converge vers 1.
\end{enumerate}
 
\newpage

 \section{Antilles-Guyane juin 2012 \hfill (2 points)}

 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.


Le graphique donné en \textbf{Annexe 1} représente la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur ce graphique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$. On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $\Delta$. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ la droite $\Delta$, la droite d'équation $(x = 1)$ et l'axe des ordonnées. 
\item %On pose I $= \displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^{x-1}\:\text{d}x$. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que I $  = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
\begin{enumerate}
 \item Montrer qu'il existe deux réels $c$ et $d$ tels que la fonction 
 $$H : x \longmapsto (cx+d)e^{x-1}$$
 soit une primitive sur $\R$ de la fonction $h : x \longmapsto xe^{x-1}$.
 \item On pose I $= \displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^{x-1}\:\text{d}x$. Montrer que I $  = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
\end{enumerate}

\item En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
 \psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-0.5)(2,4.5)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{1.6}{2.71828 x 1 sub exp x mul 1 add}
\end{pspicture} 
\end{center}

\newpage
\section{Centres étrangers juin 2012 \hfill (5 points)}
 On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour  $n$ entier naturel non nul par : \[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$.\\
Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.

\item En déduire la valeur de $I_1$.

%\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\]
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit sur $\R$ la fonction $H_n$ par $H_n(x)=x^{n+1}G(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $H_n$ est dérivable sur $\R$ et calculer pour tout réel $x$, $H_n'(x)$
 \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
 \[\dfrac{1}{2}\mathrm{e}=\dfrac{n+1}{2}I_n+I_{n+2}\]
\end{enumerate}

\item Calculer $I_3$ et $I_5$.
\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{l|}} \hline
\multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\
\hline
\multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\
&\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\
&\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\
\hline
\textbf{Sortie}&Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Quel terme de la suite $\left(I_n\right)$ ontient-on en sortie de cet algorithme ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$.
		\item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
On note $\ell$ sa limite.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
 Déterminer la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}

\newpage

\section{Liban Mai 2012 \hfill (6 points)}

 \textbf{Partie A :} 

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
g(x)=2x^3-1+2\ln x
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$. \\
Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième.
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B :}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
f(x)=2x-\frac{\ln x}{x^2}
\]
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $(O\,;\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
%\item Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$.

\'Etudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta : y=2x$.
\item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère $(O\,;\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,)$. On prendra comme unités: 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : }

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par:
\[
I_n=2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x.
\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[ $ par $h(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.\begin{enumerate}
\item %Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties.
Calculer $h'(x)$ pour tout $x\in]0;+ \infty[$.
\item En déduire $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ 
\item En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\newpage
\section{Amérique du Nord juin 2012 \hfill (5 points)}
 Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0;1]$ telle
que :
\[
f(0) = 0 \text{ et } f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $[0;1]B$}.
\]

\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}

\partieBac{}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\intervalleB$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ par $g(x) =
  f\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)$.\\
  \textit{La fonction $\dfrac{\sin}{\cos}$ est appelé tangente et notée $\tan$.\\
  On a le résultat suivant : si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, alors 
  $f=v \circ u $ est dérivable sur $I$ et $f'=u' \times v' \circ u$}
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, puis que,
    pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g^{\prime}(x) = 1$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g(x) = x$, en
    déduire que $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $0 \leq f(x) \leqslant \dfrac{\pi}{4}$. 
\end{enumerate}


\partieBac{}

Soit $\left (\I_n\right)$ la suite définie par $\I_0 = \int_{0}^{1}
f(x) \dd x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\I_n =
\int_{0}^{1} x^nf(x) dx $.
\begin{enumerate}
\item %Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $\I_0 =
  %\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$.
  Soit $h$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $h(x)=xf(x)$.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer $h'(x)$ pour tout $x$ de $[0;1]$ .
   \item Montrer que $I_0=h(1)-h(0)-\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}dx$ .
   \item En déduire que $I_0=\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$ .
  \end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\I_n \geqslant 0$.
		\item Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $\I_n \leqslant
    \frac{\pi}{4(n+1)}$.
		\item En déduire la limite de la suite $(\I_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\newpage
\section{Métropole juin 2009, non complet \hfill (6 points)}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right).\]
 On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{PARTIE I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
\item  Justifier que pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1- x$. 
\item  Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE II}

\medskip

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda}   f(x)\:\text{d}x$. 
On se propose de majorer $\mathcal{A}(\lambda)$ .%à l'aide de deux méthodes différentes. 

%\begin{enumerate}
%\item  \textbf{Première méthode} 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, 
est égale à $\mathcal{A}(\lambda)$. 
	\item  Justifier que pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant 	
\lambda \times f(1)$.
%	\end{enumerate} 
	
%\item \textbf{Deuxième méthode} 

	%\begin{enumerate}
	%	\item Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ en 
%fonction de $\lambda$. 
%	\item On admet que pour tout nombre réel positif $u,~ \ln (1 + u ) \leqslant  u$.
%	 
%Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif,
%
% $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant  - \lambda \text{e}^{- \lambda} - \text{e}^{- \lambda} + 1$. 
%	\end{enumerate} 
\item \textbf{Application numérique}

Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $\mathcal{A}(5)$, arrondi au centième. 
Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? 
\end{enumerate} 
\begin{center}
 

\psset{xunit=1.7cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.6)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.6)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](3,0.15){$\mathcal{C}$} \uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psline(1.3,-0.02)(1.3,0.02)\uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div  1 add ln}
\end{pspicture}

\end{center}
\newpage
\section{Polynésie sept 2008, non complet \hfill (6 points)}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) =  \ln \left(\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}\right).\]

La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repére orthogonal est donnée en annexe.

\medskip

 \textbf{Partie A - étude de fonction}~\boldmath $f$. \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right)$.\\
On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = -x +  \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right)$.

\item 	Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.% et montrer que la droite (d) d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$.\\
%Etudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de (d).
\item 	Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.% et montrer que la droite (d$'$) d'équation $y = -x +  \ln 2$ est asymptote à
 %$(\mathcal{C})$.

\item 	Etudier les variations de la fonction $f$.

Montrer que le minimum de la fonction $f$ est égal à $\dfrac{3}{2}\ln 2$.

%\item 	Tracer les droites (d) et (d$'$) sur la feuille annexe.
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale.}
 
On pose $I =  \displaystyle\int_{2 }^3 [f(x) - x]\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation géométrique de $I$.
\item 	Montrer que, pour tout $X \in [0~; ~+\infty[,~ \ln(1  + X) \leqslant  X$.
\item 	En déduire que $0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3  2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x$ et 
donner un encadrement de $I$ d'amplitude 0,02.
\end{enumerate}

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,0)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-6,0)(6,6)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-5.3}{6}{2.71828 x exp 2 2.71828 x exp div  add ln} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\section{Centres étrangers 2009 \hfill (6 points)}

Soit $n$ un entier naturel. 
On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par \quad 
$f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.$

On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=5.8cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{center} \textbf{Partie A :} \emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$ \end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\forall n \in \N $ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. 
On précisera ses coordonnées. 
\item Etude de la fonction $f_{0}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
	
\item Etude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Etude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\quad $f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.$

	\item  Etudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} 

On pose, pour tout entier naturel $n ~~ :\quad  u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1  f_{n}(x)\:\text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{0}$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n~~ : 0 \leqslant  u_{n} \leqslant  \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. 
\item Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est 
convergente et préciser sa limite. 
\end{enumerate}




\end{document}
