\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions}
\newcommand{\Ch}{G\'eom\'etrie dans l'espace}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Annales \`a th\`eme}
\newcommand{\Cl}{TG6}
%\newcommand{\num}{10}	
%\newcommand{\tps}{4h}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha




\section{Pondichéry avril 2013 \hfill (4 points)}

\emph{Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.

Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$. 

Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t + 2t'\\
y& =& - t - 2t'\\
z &=& -1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ 

La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y &=&-t \\
z&=&-1 - t
\end{array}\right.$
 
On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique du plan (P) est : 

\medskip
%\scriptsize{
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t\\y&=& 1- 2t\\ z&=& -1 + 3t \end{array}\right.$&
\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$&
\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	 
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$& 
\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
\end{tabularx}
%} \normalsize

\medskip 	 	 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point 
		A$(- 8~;~3~;~2)$. 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires. 
		\item La droite (D) est une droite du plan (P). 
		\item La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes. 
		\item La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
	\end{enumerate}		 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les plans (P) et (S) sont parallèles. 
		\item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$ est la droite d'intersection des plans  (P) et (S). 
		\item Le point M appartient à l'intersection des plans (P) et (S). 
		\item Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\section{Liban mai 2013 \hfill (4 points)}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.\\ 
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.}

\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives A$(1~;~-1~;~2)$, B$(3~;~3~;~8)$, C$(-3~;~5~;~4)$ et D(1~;~2~;~3). 
 
On note $\mathcal{D}$ la droite ayant pour représentation paramétrique 
\qquad 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&t + 1\\
y &=& 2t - 1\\   
z &=& 3t+2
\end{array}\right., t \in \R$ 
 
et $\mathcal{D}'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& k + 1\\
y &=& k + 3\\
z &=&-k + 4
\end{array}\right.,  k \in \R$.
  
On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + y - z + 2 = 0$. 

\medskip

\textbf{Question 1 :}
 
Proposition a. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 

Proposition b. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.
 
Proposition c. Le point C appartient à la droite $\mathcal{D}$.

Proposition d. Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales. 

\medskip

\textbf{Question 2 :}
 
Proposition a. Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition b. Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}'$ et est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
 
Proposition c. Le plan $\mathcal{P}$ contient la droite $\mathcal{D}$ et est orthogonal à la droite $\mathcal{D}'$.
 
Proposition d. Le plan $\mathcal{P}$ contient les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$.

\medskip

\textbf{Question 3 :}
 
Proposition a.  Les points A, D et C sont alignés.
 
Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A.
 
Proposition c. Le triangle ABC est équilatéral.
 
Proposition d. Le point D est le milieu du segment [AB]. 
 

\medskip

\textbf{Question 4 :}
 
On note $\mathcal{P}'$ le plan contenant la droite $\mathcal{D}'$ et le point A. Un vecteur normal à ce plan est :
 
Proposition a. $\vect{n}(-1~;~5~;~4)$
 
Proposition b. $\vect{n}(3~;~-1~;~2)$
 
Proposition c. $\vect{n}(1~;~2~;~3)$
 
Proposition d. $\vect{n}(1~;~1~;~-1)$



\newpage
\section{Amérique du Nord mai 2013 \hfill (5 points)}

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$$ 
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}


L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points: A(0~;~0~;~2), B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0).

\medskip
 
\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$. 
%		\item Calculer la distance du point O au plan (ABC).
%	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC). 
		\item Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC.
		 
Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est : 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t \\
y &=& 4 - 4t,\\
z &=& t
\end{array}\right. \quad  t \in \R.\]
  
		\item Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.
	\end{enumerate}		 
\item Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$.

Que représente le point H pour le triangle ABC ?  
\item Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). %Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC). 
\end{enumerate}

\section{Liban juin 2010}



L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
 
On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t\\ 
y&=& - 2 - 3t\\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ t \in \R.\]  
\item  On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r} 
x&=&2 - k\\ 
y&=&1 + 2k\\
z&=&k  
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~k \in \R.\] 

Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires. 
\item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan (P) contient la droite (D). 
		\item Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur $\vect{w}(1~;~1~;~- 1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires. 
		\item Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section{Amérique du Sud  novembre 2009}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, 
C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC.
	\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC).
	
Déterminer une équation du plan (ABC).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC).
	\item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.
	
	Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$.
\end{enumerate}


\end{document}
