\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions}
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%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Annales \`a th\`eme}
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\newcommand{\Annee}{2012-2013}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\footskip=30pt




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha


\section{Pondichéry avril 2013 \hfill (5 points)}

\textbf{Partie 1} :
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1 représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
 
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type : \quad 
$h(t) = 	\dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h(t)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
 
On sait qu'initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$~m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de $2$~m.
 
Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.

\bigskip
 
\textbf{Partie 2} :
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~250] par 

\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(t)$ en fonction de $t$ ($f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$). 
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~250]. 
\item Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à $1,5$~m. 
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~250] on a $f(t) = \dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}$. 
 
Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~250] par 

$F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est une primitive de la fonction $f$. 
		\item Déterminer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [50~;~100]. 

En donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}  
\item On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs  ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$. 

En utilisant le graphique donné en annexe, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.

\end{enumerate}
 \begin{center}
\textbf{Annexe (Exercice 1)}

\bigskip

\psset{xunit=0.05cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.2)(230,2.2)
\multido{\n=0+20}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)}
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(230,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.2]{->}(0,0)(-5,-0.18)(230,2.2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{230}{2 19 2.71828 0.04 x mul exp div 1 add div}
\psline(-5,2)(230,2)\uput[d](10,2){$y = 2$}
\uput[u](210,0){temps $t$ (en jours)}
\uput[r](0,2.15){hauteur (en mètres)}
\end{pspicture}
\end{center}
 
 \newpage
 
\section{Liban mai 2013 \hfill (6 points)}
Étant donné un nombre réel $k$, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $\R$ par 
\quad 
$f_{k}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- kx}}.$
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\bigskip
 
\textbf{Partie A} :
Dans cette partie on choisit $k = 1$. On a donc, pour tout réel $x,f_{1}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{- x}}$.
 
La représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$ dans le repère \Oij{} est donnée en ANNEXE, à rendre avec la copie.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f_{1}(x)$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ et interpréter graphiquement les résultats obtenus. 
\item Démontrer que, pour tout réel $x, f_{1}(x) = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 +  \text{e}^{x}}$. 
\item On appelle $f'_{1}$ la fonction dérivée de $f_{1}$ sur $\R$. Calculer, pour tout réel $x,\: f'_{1}(x)$. 

En déduire les variations de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. 
\item On définit le nombre $I = \displaystyle\int_{0}^1  f_{1}(x)\:\text{d}x$. 
\qquad 
Montrer que $I = \ln \left(\dfrac{1 + \text{e}}{2}\right)$. Donner une interprétation graphique de $I$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B} :
Dans cette partie, on choisit $k = - 1$ et on souhaite tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ représentant la fonction $f_{- 1}$. 

Pour tout réel $x$, on appelle $P$ le point de $\mathcal{C}_{1}$ d'abscisse $x$ et $M $ le point de $\mathcal{C}_{- 1}$ d'abscisse $x$.
 
On note $K$ le milieu du segment $[MP]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f_{1}(x) + f_{- 1}(x) = 1$. 
\item En déduire que le point $K$ appartient à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2}$. 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{- 1}$ sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. 
\item En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{- 1}$ l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C} :
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre $k$.
 
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle que soit la valeur du nombre réel $k$, la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ est strictement comprise entre les droites d'équations $y = 0$ et $y = 1$. 
\item Quelle que soit la valeur du réel $k$, la fonction $f_{k}$ est strictement croissante. 
\item Pour tout réel $k \geqslant 10,\: f_{k}\left(\dfrac{1}{2}\right) \geqslant  0,99$. 
\end{enumerate} 


\begin{center}

\textbf{ANNEXE de l'EXERCICE 3, à rendre avec la copie}

%\vspace{2cm}
 
Représentation graphique $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f_{1}$

%\vspace{2cm}

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4,-2)(4,2)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{2.71828 x exp 2.71828 x exp 1 add div}
\rput(-1.5,0.35){$\mathcal{C}_{1}$}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\newpage
\section{Amérique du Nord 2013 \hfill (5 points)}
 
 Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]

et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(4,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.2,0.85){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. 
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 

\[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
 
		\item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ 00 [$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.
		 
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
		 
On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ 00 [$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Étudier la limite de $I_n$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage


\section{Nouvelle Calédonie Novembre 2011, sans intégrale \hfill (5 points)}


\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
		\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 0$. 

Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = \ln \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$.
 
La suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est définie par $u_{0} = 1,5$ et pour tout entier naturel $n \::$

$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right) =  \ln \left(1 + \dfrac{1}{u_{n}}\right)$.

On a représenté en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $g$ et la droite d'équation $y = x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire sur l'axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ 
		\item Le graphique permet-il d'émettre les conjectures suivantes ? 
		
On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. 

Aucune justification n'est demandée.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Conjecture  1 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est monotone. \fg 
\item[$\bullet~~$] Conjecture  2 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est minorée par $0,5$. \fg 
\item[$\bullet~~$] Conjecture  3 : \og la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers 1. \fg 
\end{itemize}
		\item On admet que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est convergente vers une limite $\ell$ strictement positive.
		 
Montrer que $\ln \left(1 + \dfrac{1}{\ell}\right) = \ell$. 
		\item Montrer que $\ell = \alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
 
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(2.1,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,1.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=20,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(2,1.5)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.2}{2}{1 1 x div add ln}
\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(1.5,1.5)
\uput[dr](1.5,1.5){$\mathcal{D}$}
\uput[u](2,0){$x$}\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}\uput[u](1.8,0.45){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\section{Métropole - La Réunion Septembre 2011, sans intégrale \hfill (6 points)}
 

\begin{center}\textbf{Partie A - Étude du signe d'une fonction}\end{center}
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \quad $f(x) = x^2 + 4\ln x.$
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel strictement positif $x$. 
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{Partie B - Une valeur approchée du réel \boldmath$\alpha$ \unboldmath 
défini dans la partie A } 
\end{center}
\begin{minipage}{8cm}
 Sur le graphique fourni ci-contre, on a tracé une partie de la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x^2}\] 

On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : 	
$$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&0,5\\
u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right) \quad \text{pour tout }\:n \in \N.
\end{array} \right.$$
\end{minipage}
\qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\psset{unit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(1.7,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(-0.4,-0.2)(1.7,1.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=5](-0.4,-0.2)(1.7,1.3)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.7}{1 2.71828 0.25 x dup mul mul exp div}
\psline(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](-0.35,0.95){$(\mathcal{C})$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = x$. 
\item Au moyen de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite d'équation $y = x$, représenter les termes $u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ sur l'axe des abscisses.
 \qquad 
Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On admet que pour tout entier naturel $n,\quad  u_{2n} \leqslant \alpha \leqslant  u_{2n+1}$.
 
En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel les trois premières décimales de $u_{n}$ et $u_{n+1}$ sont identiques. 

En déduire que $0,838$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. 

\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C - Un problème de distance} \end{center}
 
On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = 2\ln x.\]
 
L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe $(\Gamma)$, il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine O que tous les autres.
 
\begin{enumerate}
\item Soient $M$ un point de la courbe $(\Gamma)$ et $x$ son abscisse. Exprimer O$M$ en fonction de $x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
\qquad 		
$h (x) = x^2 + 4(\ln x)^2.$

Étudier les variations de la fonction $h$. On pourra utiliser la partie A. 
		\item En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe $(\Gamma)$ tel que pour tout point $M$ de $(\Gamma)$, distinct de A, on ait O$M >$ OA.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe $(\Gamma)$ au point A.
\end{enumerate}

\newpage

\section{Annales sur la fonction expo, sans intégrale}

\begin{ExoF}
  La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\left\{\begin{array}{c}
\exp\left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0
\end{array}\right.
$
\begin{enumerate}
 \item Rappelez la définition d'une fonction continue en zéro.
\hfill Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en zéro~?
\item Sachant que $\Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\Lim{-\infty}xe^x=0$.
\item Rappelez la définition d'une fonction dérivable en zéro.
\hfill La fonction $f$ est-elle dérivable en zéro~?
\item Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\R^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en zéro~?
\item Déterminez une fonction définie sur $\R$ de la forme $\begin{cases} f(x)=u(x)\exp\pa{v(x)}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$ telle que $f$ soit continue en zéro mais pas dérivable en zéro. Vous expliquerez au maximum les raisons
qui vous ont conduit à chercher $u(x)$ et $v(x)$ sous une forme plutôt qu'une autre. toout raisonnement sera évalué même s'il n'aboutit
pas à une solution explicite.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 
  \textbf{A - Restitution organisée de connaissances}
  
 On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.
\hfill Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

 \textbf{B - Étude d'une fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.
On note $(\mathcal{C})$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique.

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.}

\medskip

Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
 \textbf{C - Étude d'une famille de fonctions}
 
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}$.
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
		
Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.

En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.

\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}\vspace{-6.5cm}
\hspace{6cm} \begin{flushright}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{flushright} 
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}]	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)


\item[\textbf{4}]	Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.
\quad Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\end{document}
