\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 9}
\newcommand{\Ch}{Logarithme et Exponentielle \linebreak sont au restaurant ... }	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}		
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2.4cm,lmargin=1.7cm,rmargin=1.7cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutExoCha



\begin{ExoF}
 \hfill Réunion septembre 2010  (6 points)\\

Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$   par

\[f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1.\]

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en $0$. 
\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$. 

Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$. 

En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$.  

\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $ f'_{k}(x)  = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$. 

\item Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,3)
\psframe(7.5,3)
\psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
\psline(1.6,0)(1.6,2)\psline(1.7,0)(1.7,2)
\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.65,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$} \uput[u](7.1,2){$+ \infty$}
\rput(0.75,1){$f_{k}(x)$}
\psline{->}(1.9,0.3)(3.8,1.7) \psline{->}(5.2,1.7)(7.1,0.3)
\uput[d](4.5,2){$\dfrac{1 - \ln (2k)}{2}$} 
\end{pspicture}
\end{center} 


Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau.
\item On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{k}$ représentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A$\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{k}$. 

Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-2.5)(4,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$}
\uput[ul](1,0.5){A} \uput[u](1.3,0.4){$\mathcal{C}_{k}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{3}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{ExoF}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin La Réunion septembre 2010 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Métropole septembre 2010  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{ExoF}
\hfill Métropole 2010 (6 points)\\
 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par

\[ f(x) = x (1 - \ln x).\]
 
La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{Partie 1 : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Etudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On considère la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, en fonction du nombre réel $a$, les coordonnées du point A$'$, point d'intersection de la droite $\left(T_{a}\right)$ et de l'axe des ordonnées. 
		\item Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente $\left(T_{a}\right)$. Sur l'annexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente $\left(T_{a}\right)$ au point A placé sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE 1 (Exercice 1)\\ (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm} 

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-1,-2.6)(5.25,2.25)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.01}{4.65}{x 1 x ln sub mul}
\uput[d](1.7,0){$a$}\uput[l](0,0.7979){$f(a)$} \uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1.7,0.7979){A} \uput[ur](2.5,0.4){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,0.7979)(0,0.7979)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\end{ExoF}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Nouvelle--Calédonie novembre 2010  %%%%%%%%%%%%%%%

\begin{ExoF}
\hfill  Nouvelle-Calédonie 2010  (7 points)\\
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = 1 + x^2 -  2x^2 \ln x. \]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Etudier le sens de variation de la fonction $\varphi$
 sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $\varphi(\text{e})$. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~e]. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
		\item Déterminer le signe de $\varphi(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{1 + x^2}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout $x \geqslant 1$ on a : $f'(x) = \dfrac{\varphi(x)}{x\left(1 + x^2 \right)^2}$. 
		\item  Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. 
		\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ on a : 

\[0  \leqslant  f(x) \leqslant  \dfrac{\ln x}{x^2}.\] 
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 \hfill Métropole 2012  (6 points)

 
\emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$.
 
Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline 
Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\
& $u$ est un réel.\\
Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\
Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\
&\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\
Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}
 
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. 
\item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$. 
\item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\np{1000} &\np{1500} &\np{2000}\\ \hline 
$u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
 
Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\]
 
où $f$ est la fonction définie dans la partie A. 

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Cette question démontre l'inégalité $\ln (k + 1) - \ln k \leqslant  \dfrac{1}{k}$ \quad (1), 
		avec une méthode que nous verrons dans un chapitre ultérieure. Ainsi, nous admettrons ce résultat pour la suite.
		\item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[\ln (n + 1) \leqslant  1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\]
  
		\item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant  0$.
	\end{enumerate} 
\item  Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\end{document}

