\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Les nombres complexes}
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.7cm,bmargin=2.4cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutExoCha

%\begin{ExoF} \hfill (d'après Métropole 2012)\\
% Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv \textbf{d'unité graphique $2$ cm}.\\
%On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, 
%fait correspondre le  point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. \\
%Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ 
%d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$. 

%\begin{enumerate}
%\item Soient A, B et C les points de $\mathscr D$ d'affixes respectives 
%\[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad  z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2}  - \dfrac{1}{2} \text{i}.\] 
%	\begin{enumerate}
%		\item Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera 
%		sur la copie. 
%		\item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}),  \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure. 
%		\item Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés.
%	\end{enumerate} 
%\item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. 
%		Montrer que le vecteur $\overrightarrow{MM_1}$ est indépendant du point $M$.
%		\item Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, 
%		images respectives par $g$ de A, B et C.
%		\item Montrer que $A_1$, $B_1$ et $C_1$ sont alignés sur une droite $\mathscr D_1$ dont on précisera l'équation.
%		et tracer cette droite. 
%		\item Montrer que tout point $N$ de $\mathscr D$ a son image par $g$ sur $\mathscr D_1$, 
%		et que tout point $N_1$ de $\mathscr D_1$ est l'image par $g$ d'un point $N$ de $\mathscr D$.\\
%		\textit{On dit que $\mathscr D_1$ est l'image de $\mathscr D$ par $g$.}
%		\item Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$.
%	\end{enumerate} 
%\item  Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$. 
%		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : 
%
%\[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff  |z - 1| = |z|.\]
% 
%		\item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
%		 
%On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O.
%	\end{enumerate} 
%\item  Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$. 
%\end{enumerate}
%
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Le plan complexe et rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv . On considère le point $A$ d'affixe $1+i$. 
 On associe, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{z-1-i}{z}$.\\
 Le point $M'$ est appelé le point image du point $M$.
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Déterminer, sous forme algébrique, l'affixe du point $B'$, image du point $B$ d'affixe $i$.
         \item Montrer que, pour tout point $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle, l'affixe $z'$ du point $M'$ est telle que $z' \neq 1$.
        \end{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ non nulle pour lesquelles l'affixe du point $M'$ est un nombre réel.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère les points $A$, $B$, $C$, $D$, $S$ et $T$ d'affixes respectives :
 $$a=-2+4i \qquad b=-4+2i \qquad c=4+2i \qquad d=-2+2i+6e^{i\dfrac{\pi}{2}} \qquad s=5\sqrt{2}e^{i\dfrac{3\pi}{4}} \qquad t=-2+2i$$
 \begin{enumerate}
  \item Placer ces points et compléter la figure au fur et à mesure de l'exercice.
  \item Pour chacune des questions suivantes, expliquer la méthode pour y répondre (mais il est inutile d'y répondre)
  \begin{enumerate}
   \item   Montrer que les points $A$, $B$ $C$ et $D$ sont cocycliques.
  \item Montrer que la droite $(ST)$ est la médiatrice du segment $[AB]$
  \item On considère les points $P$ et $Q$, milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[BD]$.\\
  Déterminer $p$ et $q$ les affixes respectives des points $P$ et $Q$.
  \end{enumerate}
  \item On a calculé \quad  $\dfrac{t-p}{q-s}=-\dfrac12 i$ \quad et \quad $\dfrac{d-c}{b-a}=3$ \quad  Que peut-on en déduire ?
  \item Que représente le point $T$ pour le triangle $PQS$ ? Le démontrer. \quad \textit{On donne $p=1+3i$ et $t=-3-i$}.
  \item Déterminer l'affixe $r$ du point $R$ tel que $ABSR$ soit un parallélogramme.
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonrmé direct \Ouv  .
\begin{enumerate}
 \item Soit $A$ le point d'affixe $2-5i$ et $B$ le point d'affixe $7-3i$.\hfill 
 \textbf{Proposition :} Le triangle $OAB$ est isocèle. 
 \item Soit $\delta$ l'ensemble des point $M$ d'affixe $z$ telle que $|z-i|=|z+2i|$.\\
 \textbf{Proposition :} Cet ensemble est une droite parallèle à l'axe des réels.
 \item Soit $z=3+i\sqrt{3}$.\hfill 
 \textbf{Proposition :} Pour tout entier naturel non nul, $z^{3n}$ est imaginaire pur.
 \item Soit $z$ un nombre complexe non nul.\hfill 
 \textbf{Proposition :} Si $\dfrac{\pi}2$ est un argument de $z$, alors $|i+z|=1+|z|$
 \item Soit $z$ un nombre complexe non nul.\\ 
 \textbf{Proposition :} Si le module de $z$ est égal à 1, alors $z^2+\dfrac1{z^2}$ est un nombre réel.
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Le plan complexe est muni d'un repère orthonrmé direct \Ouv  .\\
 On désigne par $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_A=1$ et $z_B=-i$.\\
On appelle $C$ le point tel que le triangle ABC soit équilatéral direct, ie tel que $\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)=+\dfrac{\pi}{3}$.\\
 Déterminer l'affixe du point $C$. 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}\hfill (d'après Amérique du Nord 2012)\\
 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.\quad 
On note $\Omega$ le point d'affixe $1$. \quad 
On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$
telle que : $$z' = z^2$$

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan  tels que $f(M) = M$.
\item Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
		\item En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$  tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
\item Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
  $\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
  triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$. On pose $Z=\dfrac{z'-1}{z-1}$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le module de $Z$ pour que $\Omega MM'$ soit isocèle.
		\item Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur l'argument de $Z$ pour que $\Omega MM'$ soit rectangle.
		\item En déduire que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et seulement si 
		$z^2-iz-1+i=0$ et $z\neq 1$.
		%À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
    %$\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
    %seulement si $z^2 - \text{i}z -1 + \text{i} = 0$ et $z \not= 1$.
		\item Montrer que $z^2 - \text{i} z - 1 + \text{i} = (z - 1)(z + 1-\text{i})$.
		\item En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$.
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer $\left ( \vect{\text{O}M\vphantom{'}},\vect{\text{O}M'}\right)$ en fonction
    d'un argument de $z$.
	\item En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de O et de $\Omega$ tels que O, $M$ et $M'$ soient alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill (d'après Antilles-Guyane 2012)\\
 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.
 
On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2~cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives 

\[a = - 1 + 2\text{i} \quad ; \quad b = - 2 - \text{i}\quad ; \quad c = - 3 + \text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C sur le graphique. 
\item Calculer $\dfrac{b}{a}$, en déduire la nature du triangle OAB. 
\item On considère l'application $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 
 	 
\[z' = \dfrac{z + 1 - 2\text{i}}{z + 2 + \text{i}} \]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $c'$  du point C$'$, image de C par $f$ et placer le point C$'$ sur la figure. 
		\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z$ avec $z \neq b$, tels que $|z'| = 1$. 
		\item Justifier que $\mathcal{E}$ contient les points O et C. Tracer $\mathcal{E}$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On appelle $J$ et $K$ les points d'affixes respectives $2+i$ et $-1-3i$. 

On note $L$ le milieu de $[JK]$.
 
Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle 
OAC.
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\newpage

\begin{ExoF} \hfill (d'après Asie 2012)\\
 Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \textbf{On prendra 2~cm comme unité graphique.} \\
On note $r$ l'application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, 
associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=e^{i\dfrac{\pi}{6}}z$. \\ 
On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$, le point A$_{1}$ d'affixe $z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$.
 \\
On note enfin B image du point A$_{1}$ par $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point B. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, 
		puis placer les points A et A$_{1}$, dans le repère. 
		\item Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \dfrac{2\text{i}\pi}{3}}$ 
		sous forme exponentielle, puis écrire $z_{\text{B}}$ 
		sous forme algébrique.
 
Placer alors le point B dans le même repère.
	\end{enumerate} 
\item On considère le vecteur unitaire $\vect{w}$, tel que $\left(\vect{u},~\vect{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$, et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{w}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O. 
		\item Tracer la droite $\Delta$, puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}\right)$.
		 
En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate} 
\item On note B$_{1}$ le symétrique de B par rapport à 
l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et B$'$ l'image de B$_{1}$ par $r$. 
Démontrer que B$'$ = A. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$. 

Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D 
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill (d'après Liban 2012)\\
 \emph{On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Un triangle}
\begin{enumerate}
\item On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$, $b=3+\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 2\text{i}\sqrt{3}$.

Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
\item En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+\text{i}\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Une transformation du plan}

On note $(z_n)$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_0=0$, et telle que:
\[
z_{n+1}=\frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}z_n+2,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.
\]
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les points $A_2$, $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives:
\[
3+\text{i}\sqrt{3},\quad 2+2\text{i}\sqrt{3}\quad\text{et}\quad 2\text{i}\sqrt{3}
\]
On remarquera que: $A_1=1$, $A_2=B$ et $A_4=C$.
\item Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$, $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$.
\item Etablir que pour tout entier naturel $n$, on a:
\[
z_{n+1}-\omega = \frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega ),
\]
où $\omega$ désigne le nombre complexe défini à la question \textbf{1. b)}.
\item En déduire %que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques.
une mesure de l'angle $\widehat{A_n\Omega A_{n+1}}$.
\item Comparer $\Omega A_n$ et $\Omega A_{n+1}$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a: $A_{n+6}=A_n$. Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$.


\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, màªme incomplète, ou d'initiative, màªme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer, pour tout entier naturel $n$, la longueur du segment $[A_nA_{n+1}]$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill (d'après Pondichéry 2012)\\
\textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances}

 
Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.
 
Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.

\bigskip
 
\noindent \textbf{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière }\\
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$. 
Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: 
\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] 
 \begin{enumerate}
\item Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe. 
		\item Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1. 		
		\item Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$. 
\item Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.  
\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. 

Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$  ? 
\item On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$. 
\end{enumerate}
\begin{center} 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\pscircle(0,0){2}
\uput[d](1,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,1){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$}
\psdots(-1,-0.3)\uput[r](-1,-0.3){D}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\end{ExoF}



\end{document}