\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{La fonction exponentielle}
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2.4cm,lmargin=1.7cm,rmargin=1.7cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutExoCha

%\begin{ExoF}Trouver les fonctions solutions sur $\R$ des équations différentielles suivantes :
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $ y'=\sin x$
%\item $y'=0$
%\item $y''=0$
%\item $y''=x$
%\item $y'=5x(x^2+3)^4$
%\item $y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\end{ExoF}


%\begin{ExoF}
% Simplifiez au maximum les expressions suivantes~:
%\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{3}
%\item $\e^{x}\e^{-x}$
%\item $\e^{x}\e^{-x+1}$
%\item $\e\e^{-x}$
%\item $\left(\e^{-x}\right)^2$
%\item $\dfrac{\e^{2x}}{\e^{2-x}}$
%\item $\dfrac{\left(\e^x\right)^3}{\e^{2x}}$
%\item $\e^x \left(\e^x+\e^{-x}\right)$
%\item $\left(\e^x\right)^5 \left(\e^{-2x}\right)^2$
%\item $\e^{-3x+1}\left(\e^x\right)^3$
%\item $\sqrt{\e^{-2x}}$
%%\item $\dfrac{\e^{-4x}\e}{\left(\e^{-x}\right)^2}$
%%\item $\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2-\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2$
%\item $\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2-\e^{-x}\left(\e^{3x}-\e^{-x}\right)$
%%\item $\left(\e^x-\e^{-x}\right)\left(\e^{2x}+\e^x+1\right)$
%\end{multicols}
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}En utilisant le résultat suivant 
 \quad $ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$ \, ,\quad 
 déterminer les limites suivantes :
 $$ \Lim{0} \dfrac{e^x-1}{ \sqrt{x} } \qquad ; \qquad \Lim{+\infty} x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) \qquad 
 \text{et}\qquad \Lim{-\infty}x\left(e^{\frac{1}{x^2}}-1\right)$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer les dérivées et les limites aux bornes des ensembles de définitions des fonctions définies
par les expressions suivantes~:
\begin{enumerate}
 \begin{multicols}{3}
  \item $f_1(x)=\e^x+x^2+1$
%\item $f_2(x)=5\e^x+5x\e^x$
\item $f_2(x)=\e^x\sin(x)$
%\item $f_4(x)=\dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$
\item $f_3(x)=\dfrac{3x+1-\e^x}{\e^{x}}$
%\item $f_6(x)=x^3\e^{-x}$
%\item $f_7(x)=\dfrac{x^2\e^{x}}{x+1}$
\item $f_4(x)=\dfrac{\e^{x}}{x}$
%\item $f_5(x)=\dfrac{1}{\e^x}$
%\item $f_{10}(x)=\left(\e^x\right)^2+\dfrac{1}{\e^x}$
%\item $f_{11}(x)=\e^{-x}$
%\item $f_{12}(x)=\e^{4x+1}$
\item $f_{5}(x)=\e^{\cos(x)}$
\item $f_{6}(x)=\e^{5x^3+7x+4}$
%\item $f_{15}(x)=(x+1)\e^{-x+1}$
%\item $f_{16}(x)=\dfrac{\e^{2x}-1}{x}$
  \end{multicols}
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{ExoF}
Reconnaître parmi les figures ci-contre les courbes représentatives des fonctions suivantes~:
\begin{itemize}
\item $x\mapsto \e^{-x}$
\item $x\mapsto \e^{x}$
\item $x\mapsto \e^{x+1}$
\item $x\mapsto \e^{x}+1$
\item $x\mapsto -\e^{x}$
\item $x\mapsto -\e^{x-1}$
\end{itemize}
\end{ExoF}
\end{minipage} \qquad 
\begin{minipage}{10cm}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(3,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-1)(3,4)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-3,-1)(3,4)
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(-x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x)}
\psplot[linestyle=dotted,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x+1)}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{EXP(x)+1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt 3pt 1pt ,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{-EXP(x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{-EXP(x-1)}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{ExoF}
 Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :

\[f(x) = \cfrac{1}{2}\, \text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

\begin{enumerate} \item Faites apparaître sur l'\'ecran de votre calculatrice graphique la courbe
 repr\'esentative de cette fonction dans la fenêtre $- 5 \leqslant x \leqslant
 4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4$.

\noindent Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.

\item D'apr\`es cette repr\'esentation graphique, que
pourrait-on conjecturer :

\begin{enumerate} \item Sur les variations de la fonction $f$ ?

\item Sur le nombre de solutions de l'\'equation $f (x) = 0$ ?

\end{enumerate}

\item On se propose maintenant d'\'etudier la fonction $f$.

\begin{enumerate} \item R\'esoudre dans $\R$ l'in\'equation $\text{e}^{2x}-
2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0$ (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item D\'eduire de cette \'etude le nombre de  solutions de
l'\'equation $f(x) = 0$.

\end{enumerate}

\item On veut repr\'esenter, sur l'\'ecran d'une calculatrice, la courbe
repr\'esentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser les r\'esultats de la question \textbf{3.}

\noindent Quelles valeurs extrêmes de l'ordonn\'ee $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de
 la calculatrice ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Six affirmations, r\'eparties en deux th\`emes et num\'erot\'ees de 1. a \`a 2. c sont propos\'ees 
 ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du num\'ero de l'affirmation, et avec le plus 
 grand soin, la mention VRAI ou FAUX.\\
Chaque r\'eponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque r\'eponse erron\'ee enl\`eve 0,1 point. 
Il n'est pas tenu compte de l'absence de r\'eponse. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a $0$.
\begin{enumerate} 
\item  Pour tout r\'eel $x,~\text{e}^x$  d\'esigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 1. a	& Pour tous les r\'eels $a$ et $b  :  
\left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
Affirmation 1. b	 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les r\'eels $a$ et $b  : 
\text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
Affirmation 1. c &La droite d'\'equation $y = x + 1$ est la tangente \`a la courbe 
repr\'esentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie sur un intervalle ouvert I et 
soit $a$ un \'el\'ement de I.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 2. a &	Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. b &	Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est d\'erivable en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. c	& Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors la fonction \\
&$h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}%Antilles Guyane Juin 2012 Parties A et B
 
On note $\R$ l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
 
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\R$, et on note$f^{\prime}$ sa fonction dérivée.
 
Montrer que, pour tout réel $x,\: f^{\prime}(x) = (x + 1)\text{e}^{x - 1}$. 
\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : recherche d'une tangente particulière}

\medskip
 
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$. 
\item Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité 

\[1 - a^2\text{e}^{a-1} = 0.\]
 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ de l'équation 

\[1 - x^2\text{e}^{x-1} = 0.\]
 
\item Donner alors une équation de la tangente recherchée.
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par :
\[ f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal \Oij (unit\'e graphique : 1 cm).
\end{enumerate}
% \item  Pour $n \in \N^{*}$, on pose
% \[ I_{n} =  \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
% \begin{enumerate}
% \item  \`A l'aide d'une int\'egration par parties, calculer $I_{1}$.
% \item  On admet que, pour tout $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$.\\
% D\'eterminer $I_{2}$ et $I_{3}$.
% \item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprim\'ee en cm$^2$, du domaine d\'elimit\'e par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'\'equation $x =  0$ et $x = 1$. Calculer $\mathcal{A}$.
% \end{enumerate}
\item  Soit $u$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur $\R$.\\
On d\'efinit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (o\`u $0 < a < b$).\\
D\'eterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$.
\item  On d\'efinit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~ ;~ +\infty[$, o\`u $f$ est la fonction d\'efinie dans la question 1.\\
D\'eterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$,
\item  D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}



%\begin{ExoF}
% On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 

%\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

%\noindent On note ($\mathcal{C}$) sa courbe repr\'esentative dans le plan rapport\'e au rep\`ere 
%orthogonal \Oij, l'unit\'e graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonn\'ees.

%\vspace{0,25cm}

%\noindent \textbf{Partie A}\\
%Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

%\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
%$\R$. En d\'eduire le signe de $g$.

%\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.

%\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}

%\noindent \textbf{Partie B}

%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de 
%la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

%\item Interpr\'eter graphiquement les r\'esultats pr\'ec\'edents.

%\end{enumerate}

%\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),~ f'$ d\'esignant la fonction d\'eriv\'ee de $f$.

%\item \'Etudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.

%\end{enumerate}

%\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation de la tangente (T)  \`a la courbe ($\mathcal{C}$)  au point d'abscisse $0$.

%\item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, \'etudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
%par rapport \`a la droite (T).

%\end{enumerate}

%\item Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe ($\mathcal{C}$).

%\end{enumerate}

%\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Soient $f$  et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
\[ f(x) = x\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère  \Oij. 

\medskip
 
La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). 

\begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$ ? 
\item  Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. 
\item  Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. 
\item  Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?
 
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\end{enumerate}

\begin{center}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,0.2){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  \textbf{A - Restitution organisée de connaissances}
 
 \medskip
 
On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.
Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

\medskip

 \textbf{B - Étude d'une fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.
On note $(\mathcal{C})$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique.

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.}

\medskip

Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
 \textbf{C - Étude d'une famille de fonctions}
 
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}$.
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
		
Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.

En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.

\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}\vspace{-6.5cm}
\hspace{6cm} \begin{flushright}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{flushright} 
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}]	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)


\item[\textbf{4}]	Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.\\
Identifier les c.ourbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
% On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par
%$ f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}$.

%\begin{enumerate}
%\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}

%La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 
%$\left\{\begin{array}{l c l }
%g'(x)&=& g(x)\\
%g(0)& =& 1
%\end{array}\right.$.

%Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.

% Pour tout $h \neq 0$,
% $\dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = \dfrac{\text{e}^{h} - \text{e}^{0}}{h}$ 

% On reconnait le taux de variation de la fonction exponentielle entre 0 et h, comme cette fonction est dérivable en 0, par définition du nombre dérivé, on a :
% \[ \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1 \]

%\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

% Par inverse, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

% Pour tout $x \neq 0$, $\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{x} - \dfrac{1}{x} $

% Par comparaison $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = +\infty$

% Enfin, par inverse, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

%\begin{ExoF}
%  \noindent \textbf{Partie A : question de cours}
%\begin{enumerate}
%\item Soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $[a~;~+ \infty[$. Compl\'eter la phrase suivante :\\
%\og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg
%\item D\'emontrer le th\'eor\`eme \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre r\'eel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est \'egale \`a $\ell$.
%\end{enumerate}

%\medskip

%\textbf{Partie B}\\
%Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
%\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
%et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'\'equation $y = - x - 1$ est asymptote \`a $(\mathcal{C})$. On a repr\'esent\'e sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
%\begin{enumerate}
%\item Soit  $a$ un  nombre r\'eel.  \' Ecrire, en  fonction de  $a$, une
%      \'equation de la
% tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$.
%\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse
%      $b$. 
%V\'erifier que $b - a = - 1$.
%\item  En  d\'eduire une  construction,  \`a  effectuer  sur la  feuille
%      annexe, de la 
%tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera appara\^{\i}tre le point $N$ correspondant.
%\end{enumerate}

%\begin{center}
  
%\parpic[r]{
%\psset{unit=1.3cm}
%\begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-4,-2)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-2)(3,3)
%\psplot{-4}{1.73}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
%\psline(-4,3)(1,-2) \uput[dr](0,0){O}
%\uput[dr](1.1,1){$(\mathcal{C})$} \uput[r](0.5,-1.5){$(D)$}
%\end{pspicture}
%%}
%\end{center}

%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%\noindent \textbf{Partie C}

%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer graphiquement le signe de $f$.
%\item En d\'eduire pour tout entier naturel non nul $n$ les in\'egalit\'es suivantes :
%\[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad 
%\text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\]
%\item En utilisant l'in\'egalit\'e (1), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
%\[\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}\]
%\item En utilisant l'in\'egalit\'e (2), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
%\[\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}\]
%\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes un encadrement de 
%$ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$ 
%puis sa limite en $+ \infty$.
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Soit $n$ un entier naturel.

On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note  $\mathcal{C}_{n}$ la courbe  représentative de $f_{n}$  dans un
repère orthogonal \Oij.

 Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

\begin{center}

\psset{unit=6.5cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées. 
\item Étude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]

	\item  Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances.}\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On supposera connus les r\'esultats suivants :
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]  la fonction exponentielle est d\'erivable sur $\mathbb{R}$ et est \'egale \`a sa fonction d\'eriv\'ee ;

\item[$\bullet$] $\mathrm{e}^{0} = 1$ ;

\item[$\bullet$]  pour tout r\'eel $x$, on a $\mathrm{e}^x > x$.

\item[$\bullet$] Soient deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ d\'efinies sur l'intervalle $[A~;~+\infty[$ o\`u $A$ est un r\'eel positif.\\
Si pour tout x de $[A~;~+\infty[$,  $\psi(x)\leqslant \varphi(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$.


\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}

\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.\\
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthogonal \Oij.%\\
%La courbe $\mathcal{C}$ est repr\'esent\'ee en annexe.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est positive sur $[0~;~+\infty[$.

\item D\'eterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En d\'eduire une cons\'equence graphique pour $\mathcal{C}$.

\item \'Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item On consid\`ere la fonction $F$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)==1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.


\item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ et dresser le tableau de variations de $F$ sur $[0~;~+\infty[$.


\item Justifier l'existence d'un unique r\'eel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha) = 0,5$.\\
\`A l'aide de la calculatrice, d\'eterminer une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a 10$^{-2}$ pr\`es par exc\`es.
\end{enumerate}


% \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'es d'aire, de la partie du plan situ\'ee entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites d'\'equations $x = 0$ et $x =n$.\\
% D\'eterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $A_{n}\geqslant  0,5$.
\end{enumerate}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
$f(x)=(2x+1)e^{-2x}$ et sa courbe représentative $(C)$ dans le
repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$.

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A - \'Etude de la fonction $f$}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item \begin{enumerate} 
  \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  Que peut-on en déduire pour $(C)$~? 
  \item Déterminer la limite de
  $f$ en $-\infty$. 
  \end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et étudier le signe
de $f'$ sur $\R$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item \begin{enumerate} 
  \item Déterminer les coordonnées du point $A$
  d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses. 
  \item \'Etudier
  le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
  \end{enumerate} 
\end{enumerate}
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B - \'Etude d'une tangente}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On rappelle que  $f''$ désigne la dérivée seconde de
$f$. 
  \begin{enumerate} 
  \item Montrer que, pour tout réel $x$,
  $f''(x)=4(2x-1)e^{-2x}$. \item Résoudre l'équation $f''(x)=0$.
  \end{enumerate} 
\item Soit $B$ le point d'abscisse 1/2 de la courbe $(C)$.
Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ en $B$. 
\item On veut étudier la position relative de $(C)$ et $(T)$~: pour cela
on considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par
$$g(x)=f(x)-\left(-\dfrac{2}{e}x+\dfrac{3}{e}\right)$$
\begin{enumerate} 
\item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$. 
\item \'Etudier le signe de $g''(x)$ suivant les valeurs $x$. 
En déduire le sens de variation de $g'$ sur $\R$. 
\item Calculer $g'(1/2)$ et en
déduire le signe de $g'(x)$ puis le sens de variation de $g$ sur
$\R$. 
\item Calculer $g(1/2)$ et déterminer alors le signe de
$g(x)$ suivant les valeurs de $x$. Que peut-on en conclure sur la
position relative de $(C)$ et $(T)$~? 
\end{enumerate}
 \end{enumerate} (Bac
2001)

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
  La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=\left\{\begin{array}{c}
\exp\left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0
\end{array}\right.
$
\begin{enumerate}
 \item Rappelez la définition d'une fonction continue en zéro.
\item Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en zéro~?
\item Sachant que $\Lim{+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\Lim{-\infty}xe^x=0$.
\item Rappelez la définition d'une fonction dérivable en zéro.
\item La fonction $f$ est-elle dérivable en zéro~?
\item Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\R^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en zéro~?
\item Déterminez une fonction définie sur $\R$ de la forme $\begin{cases} f(x)=u(x)\exp\pa{v(x)}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$ telle que $f$ soit continue en zéro mais pas dérivable en zéro. Vous expliquerez au maximum les raisons
qui vous ont conduit à chercher $u(x)$ et $v(x)$ sous une forme plutôt qu'une autre. toout raisonnement sera évalué même s'il n'aboutit
pas à une solution explicite.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On appelle cosinus hyperbolique la fonction définie sur $\R$ par
$$\cosh~:\ x\mapsto \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$$
sinus hyperbolique la fonction définie sur $\R$ par
$$\sinh~:\ x\mapsto \sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$$
et tangente hyperbolique la fonction définie par
$$\tanh~:\ x\mapsto\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$$

\begin{enumerate}

\item Déterminez les dérivées de ces fonctions en fonction de cosh
et sinh.
\item \'Etudiez ces fonctions pour montrer que cosh est à valeurs dans $[1,+\infty]$ et que tanh
est définie sur $\R$ et à valeurs dans $[-1,1]$.
\item Calculez $\tanh(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$, puis en fonction de $e^{2x}$, enfin en 
fonction de $e^{-2x}$.
\item Montrez que $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.
\item Montrez que $\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$ et que
$\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$.
\item Déduisez-en que
$\tanh(x+y)=\dfrac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}$
\item On pose $t=\tanh(x/2)$. Montrez que $\cosh(x)=\dfrac{1+t^2}{1-t^2}$
puis que $\sinh(x)=\dfrac{2t}{1-t^2}$
\item Résolvez dans $\R$ l'équation $5\cosh(x)-4\sinh(x)=3$. Vous
donnerez une valeur approchée de la solution à $10^{-3}$ près.
\item Pour le plaisir : dérivez la fonction $x\mapsto
\dfrac{2\sin(x)\sinh(x)}{(\sinh(x)+\sin(x))^2}$
\item Soit $y\in\R$. Comparez $\sinh(y)$ et $y$.
\item Montrez que $\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$ puis étudiez la fonction
$f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$f(x)=\dfrac{\tanh(x)}{x}$$.

\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 %\parpic[r]{\includegraphics[height=4cm]{cable}}  
 L'équation   de   la
 hauteur $h$ par rapport au  sol d'un fil électrique suspendu entre deux
 poteaux       s'obtient       en       résolvant       l'\emph{équation
 différentielle} \[h''(x)=k \sqrt{1+\left(h'(x)\right)^2}\]
où $k$
 est un paramètre qui dépend de la densité et de la tension du fil et $x$
est mesuré en  mètres horizontalement à partir d'une  origine située sur
le sol en-dessous du point où la hauteur du fil est la plus faible.

\begin{enumerate}
\item  Vérifiez que  $h~:~x\mapsto  \frac{1}{k}\cosh(kx)$ satisfait  cette
      équation différentielle.
\item Quelle  est la hauteur  minimale du fil  si le paramètre  $k$ vaut
      $0,05$~?
\item Quelle  est la  hauteur des poteaux  (de même hauteur)  s'ils sont
      distants de 30~m et que le paramètre $k$ vaut 0,05~?
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{cables.eps}
\end{center}

\end{document}