\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 4}
\newcommand{\Ch}{D\'epasser ses limites }
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutExoCha


\begin{ExoF}
Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale :
$$\begin{array}{ll}
         f: & \R \longrightarrow \R \\ & x\longmapsto \dfrac{3x^2-2}{x^2+1}
        \end{array} \qquad \qquad \text{et} \qquad \qquad
\begin{array}{ll}
         g: & \R \longrightarrow \R \\ & x\longmapsto \dfrac{2-3x}{x^2+x+1}      \end{array}$$

\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f(x)=\dfrac{1+2\sin x}{1+\sqrt{x} }$ sur $]0;+\infty[$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, si $x>0$ alors \quad  $-\dfrac{1}{\sqrt{x} }\leq f(x)\leq \dfrac{3}{\sqrt{x} }$
\item En déduire que $f$ admet une limite en $+\infty$ dont on précisera la valeur.
\end{enumerate}  
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
La fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $ f(x)=\dfrac{1}{2-\cos x}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$, on a $ \dfrac{1}{3}\leq f(x)\leq 1$
\item En déduire les limites suivantes : \qquad 
$ \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2-\cos x}$ \qquad et \qquad 
$ \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x+\cos x}{2-\cos x}$
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^2-1 \text{ si }x<0\\ x-1 \text{ si }x\geq 0  \end{array} \right.$
\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$.
\item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ? 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ :\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto \dfrac{x-1}{x^2+2}$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \cos (2x)$ sur $\R$
\item $f:x\longmapsto \sqrt{3x-1}$ sur $\left[\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
\item $f:x\longmapsto \mid 3x-1 \mid$ sur $\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $(E)$ l'équation $x^3+5x=2$
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $(E)$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0;1]$.
\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de cette solution.
\item L'équation $(E)$ admet-elle des solutions n'appartenant pas à l'intervalle $[0;1]$ ? Justifier.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Déterminer le nombre de solutions non nulles des équations suivantes et en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ :
\qquad\qquad\qquad $x+\cos x=1 \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad x^2=\sin x$
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
 Soit $f$ la fonction définie, pour tout réel $x\neq 1$ par 
$ f(x)=\dfrac{x+1}{x^3-1}$
%On désigne par $\mathscr C_f$ la représentation graphique dans un plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x\neq 1$ , on a $ f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x^3-1)^2}$,  où $P$ est une fonction polynôme de degré $3$ que l'on précisera.
\item Etudier les variations de la fonction $P$ sur $\R$ et démontrer que l'équation $P(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. En déduire le signe de $P(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer les variations de la fonction $f$ sur les intervalles où elle 
est définie.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ une fonction continue et définie sur l'intervalle $[0;1]$ et à valeurs dans l'intervalle $[0;1]$. 
Démontrer que $f$ admet (au moins) un point fixe dans $[0;1]$ \footnote{On considèrera la fonction $g$ où $g(x)=f(x)-x$}
\end{ExoF}



\end{document}