\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 13}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Des stats inf\'erentielles pour vous porter bonheur !}	  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{13}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha
%\debutExoCha




\begin{ExoF}
 On admet que la proportion de femmes dans la population française est de $51,4\%$.
 \begin{enumerate}
  \item Si l’on considère 577 personnes tirées aléatoirement avec remise, à quel intervalle
appartiendra la proportion de femmes parmi ces 577 personnes avec une probabilité de $95\%$ ?
 \item A l’assemblée nationale, on dénombre 107 femmes sur 577 députés. Peut-on considérer
qu’il y a une sous représentation des femmes à l’Assemblée Nationale ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans un pays tropical, l’office national de tourisme déclare que seulement $8\%$ des plages sont
atteintes par des algues toxiques.\\
Un organisme indépendant souhaite vérifier la véracité de ceci et teste à son tour 70 plages (tirage considéré 
aléatoire et avec remise).
15 d’entre elles s’avèrent être atteintes par ces algues toxiques.
\begin{enumerate}
 \item Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence de plages atteintes par ces
algues au seuil de $99\%$ sur un échantillon aléatoire de taille 70 ?
\item  Que va conclure l’organisme indépendant ?
\item Mêmes questions avec un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$. Commenter.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Les enfants sont dits prématurés lorsque la durée gestationnelle est inférieure ou égale à 259 jours.
La proportion de ces naissances est de $6\%$. \\
Des chercheurs suggèrent que les femmes ayant eu un
travail pénible pendant leur grossesse sont plus susceptibles d’avoir un enfant prématuré que les
autres. Il est décidé de réaliser une enquête auprès d’un échantillon aléatoire de 400 naissances
correspondant à des femmes ayant eu pendant leur grossesse un travail pénible. \\
Les chercheurs décident a priori que si la proportion d’enfants nés prématurés dans cet échantillon est supérieure à la
borne supérieure de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 alors leur hypothèse sera
acceptée. Finalement le nombre d’enfants prématurés est de 50. Quelle est donc la conclusion ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une compagnie aérienne possède des A340 (longs courriers) d’une capacité de 300 places.\\
Cette compagnie a vendu $n$ billets pour le vol 2013.\\
La probabilité pour qu’un acheteur se présente à l’embarquement est $p$ et les comportements des acheteurs sont
indépendants les uns des autres.\\
On note $X_n$ la variable aléatoire désignant le nombre d’acheteurs d’un billet se présentant à
l’embarquement.\\
La compagnie cherche à optimiser le remplissage de l’avion en vendant éventuellement plus de places
que la capacité totale de l’avion (surréservation ou surbooking) soit ici $n > 300$.\\
Comme il y a évidemment un risque que le nombre de passagers munis d’un billet se présentant à
l’embarquement excède 300, la compagnie veut maîtriser ce risque.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de $X_n$.
\item On suppose que $0,5 \leq p \leq 0,95$ . Écrire l’intervalle de fluctuation asymptotique $I_n$ de
$\dfrac{X_n}{n}$ au seuil de 0,95.
\item Montrer que si $I_n \subset \left[0,\dfrac{300}n \right]$ alors la probabilité que le nombre 
de passagers se présentant à l’embarquement excède 300 est proche de 0,05.
\item On cherche à déterminer la valeur de $n$ maximale permettant de satisfaire la condition $I_n \subset \left[0,\dfrac{300}n \right]$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $I_n \subset \left[0,\dfrac{300}n \right] \Longrightarrow pn + 1.96 \sqrt{np(1-p)}-300 \leq 0$
\item On estime que $p=0.9$ et on pose $f(x)= px + 1,96  \sqrt{xp(1-p)}-300$ .\\
Montrer qu’il existe un entier $n_0$ unique tel que si $n \leq  n_0$ alors $f(n) \leq 0$ et si $n > n_0$
alors $f(n) >0$ et le déterminer.
\item Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Vérifier que l’intervalle $[-2,576 ~;~ 1,696]$ peut être considéré comme un intervalle de fluctuation
au seuil de $95\%$ d’une variable $X$ suivant une loi $N (0,1)$ (c'est-à-dire que $P(X \in I) \geq  0,95$).
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
 Une société qui produit des jus de fruits propose au service commercial deux nouveaux mélanges : OPK (Orange Pamplemousse Kiwi) et 
 OMA (Orange Mangue Ananas). Dans un sondage aléatoire réalisé sur $60$ consommateurs, $56\%$ préfère le mélange $OPK$.
 On fait l'hypothèse $(H)$ que, dans l'ensemble des consommateurs, $50\%$ préfère le mélange $OPK$.
 \begin{enumerate}
  \item Peut-on rejeter l'hypothèse $(H)$ au risque de $5\%$ ? \textit{Bien détailler la démarche.}
  \item Déterminer toutes les valeurs de $p$ que l'on ne peut pas rejeter ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une ferme piscicole possède plusieurs bassins dans lesquels grandissent les alevins. Lorsque les poissons ont une 
 masse supérieur ou égal à $650 g$, ils sont prêts à être commercialisés.
 \begin{enumerate}
  \item On extrait au hasard un échantillon de $50$ poissons. Le nombre de poissons est suffisamment grand pour 
  considérer qu'il s'agit d'un tirage avec remise. On constate que $14$ d'entre eux ont une masse inférieur à $650$ g
  et $8$ une masse supérieure ou égale à $1$ kg.
  Donner un intervalle de confiance au niveau $95\%$ de la proportion de poissons commercialisables dans ce bassin.
  \item On suppose désormais que la variable aléatoire $M$ qui à tout poisson du bassin associe sa masse en grammes suit une loi 
  normale $\mathscr N(\mu , \sigma^2)$.
  Déterminer $\mu$ et $\sigma$ en utilisant les données de la questions 1.
  \item La ferme expédie les poissons par boîte de $20$. On remplit les boîtes en prélevant au hasard $20$ poissons
  dans le bassin et on appelle $X$ la variable aléatoire qui à toute boîte associe le nombre de poissons dont la masse
  est inférieure à $650$ g.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer la loi de $X$.
   \item Quelle est la probabilité que la boîte contienne 20 poissons dont la masse est supérieure ou égale à $650$ g.
   \item Quelle est en moyenne, par boîte, le nombre de poissons dont la masse est insuffisante pour être commercialisés ?
  \end{enumerate}

 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans une ville de $45\,000$ habitants, le maire souhaite restructurer le centre-ville. Pour convaincre
 l'ensemble du conseil municipal, il s'appuie sur une fourchette de sondage dans la commune qui estime, avec un intervalle
 de confiance à $95\%$, qu'entre
 $60$ et $80\%$ des habitants sont favorables à cette restructuration.
 \begin{enumerate}
  \item Combien de personnes sont interrogées dans ce sondage ?
  \item Combien faudrait-il interroger de personnes au minimum pour que la fourchette de sondage soit d'une amplitude
  d'au plus $10\%$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Prenons un cas très classique : un sondage politique.\\
Le 18 avril 2002, l’institut IPSOS 13 effectue un sondage dans la population en âge de voter.\\
On constitue un échantillon de 1000 personnes (inscrites sur les listes électorales) que l’on suppose
choisies ici de manière aléatoire. Ce n’est pas le cas en pratique\footnote{On peut consulter le site 
www.ipsos.fr/faq pour des détails sur les méthodes utilisées par cet institut.}, mais le principe reste le même 
que dans cet exemple.\\
Les résultats partiels en sont les suivants : sur les 1000 personnes
\begin{itemize}
 \item 135 ont déclaré vouloir voter pour Jean-Marie Le Pen
\item 195 ont déclaré vouloir voter pour Jacques Chirac
\item 170 ont déclaré vouloir voter pour Lionel Jospin.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Pour chacun des trois candidats ci-dessus, déterminer l'intervalle de confiance au seuil de $95\%$.
 \item L'institut ne donne qu'une valeur unique en pourcentage à la presse pour chaque candidat. Lesquelles ?\\
 Evaluer l'imprécision.
 \item Les vrais résultats ont respectivement été : $16,9\%$, $19.9\%$ et $16.2\%$.
 Commenter.
 \item L'institut CSA lui donnait $14\%$ pour Jean-Marie Le Pen (dans les mêmes conditions d'échantillonnage).\\
 Retrouver l'intervalle de confiance correspondant et commenter par rapport au score réel\footnote{En réalité,
 les instituts font des calculs bien plus complexes, notamment ils tentent de tenir au mieux compte du mensonge possible 
 des gens (surtout pour les votes du FN, mais aussi des changements d'avis possibles jusqu'au jour de l'élection.}.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\Sol{
  \begin{enumerate}
   \item On peut déterminer trois intervalles de confiance au niveau de confiance de $95\%$ 14 :
\begin{itemize}
 \item Jean-Marie Le Pen $[0,135-0,032 ; 0,135+0,032] = [0,103 ; 0,167]$
\item Jacques Chirac $[0,195-0,032 ; 0,195+0,032]=[0,163 ; 0,227]$
\item Lionel Jospin $ [0,170-0,032 ; 0,170+0,032]=[0,138 ; 0,202]$.
\end{itemize}
\item Les valeurs centrales des intervalles en pourcentage, et donc une imprécision de $\pm 3 \%$.
\item Ok pour Jacques et Lionel, pas pour Jean-Marie. Voir note de bas de page.
\item $[0.108 ; 0.172]$ donc contient le score réel.
  \end{enumerate}
}







\end{document}
