\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 12}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Nul ne doit ignorer les lois continues}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{12}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha
%\debutExoCha

\section{Loi uniforme et loi exponentielle}

\begin{ExoF}
 Dans un parc national, un guide accompagne chaque soir une groupe pour observer des zébus venant 
 s'abreuver dans un lac auc coucher du soleil.\\
 On suppose que le temps d'attente d'un groupe avant l'arrivée des animaux est compris entre 0 et 2 heures 30 ; 
 on le modélise, en minutes, par une variable aléatoire $T$ de loi uniforme sur $[0;150]$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les probabilités suivantes :
  $$P(T=20) \qquad \qquad P(T<45) \qquad \qquad P(45 \leq T < 60) \qquad \qquad P(T \leq 90)$$
  \item Le groupe attend en vain depuis 50 minutes. Quelle est la probabilité d'avoit $T \leq 60$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Un chêne vit en moyenne 240 ans et on convient de modéliser sa durée de vie, en années, par une variable aléatoire
 $X$ suivant une loi exponentielle.
 \begin{enumerate}
  \item Quel est son paramètre $\lambda$ ?
  \item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un chêne soit :
  \begin{multicols}{2}
   \begin{enumerate}
    \item supérieure à 480 ans
    \item inférieure à 120 ans
    \item inférieur à 360 ans sachant qu'il a déjà 240 ans ?
   \end{enumerate}
  \end{multicols}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 On considère que la durée de vie, en années, d'un élément radioactif est une variable aléatoire $D$ qui suit une loi 
 exponentielle de paramètre $\lambda$.\\
 On appelle demi-vie de cet élément radioactif, le réel $T$ tel que $P(D \leq T)=0.5$.
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer que $T=\dfrac{\ln(2)}{\lambda}$
  \item La demi-vie du Césium 137 est de 30 années. Calculer la probabilité que la durée de vie d'un élément
  radioactif Césium 137 dépasse 50 ans.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
\textbf{QCM : Une ou plusieurs réponses sont possibles. Les déterminer dans chaque cas.}
 \begin{enumerate}
  \item $X$ est une variable aléatoire qui prend des valeurs positives. 
  On suppose que $P(1\leq X \leq 3)=\dfrac38$.
  \begin{enumerate}
   \item Si $X$ suit une loi uniforme sur $[0;N]$, alors $N$ est égal à :
   $$8 \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad  \dfrac{16}3 \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad 5.3$$
 \item Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, alors :
 $$\lambda = \ln(2) \qquad \qquad \qquad \lambda \text{ prend deux valeurs dont la valeur } \ln(2) \qquad\qquad \qquad \text{il n'existe pas de tel } \lambda$$
  \end{enumerate}
\item $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi définie par la densité $f : t \longmapsto kt^n$ sur $[1;10]$.
Alors on peut avoir 
\begin{center}
$n=0\,$ et $\,k=\dfrac1{10}$ \qquad\qquad\qquad\qquad $n=1\, $ et $\,k=\dfrac2{99}$ \qquad\qquad\qquad\qquad$n=-2\, $ et $\,k=\dfrac{10}{9}$\end{center}
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF} \textbf{Liban 3 juin 2010}

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, 
et donner une justification de la réponse choisie.}

\begin{enumerate}
\item Une urne contient une boule blanche et deux boules noires. On effectue $10$~tirages successifs 
de boule avec remise en notant à chaque fois la couleur de la boule tirée.\\
\textbf{Proposition 1 :} \og La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est 
$3 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^3  \times  \left(\dfrac{2}{3}\right)^7$. \fg
 
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda  (\lambda > 0$).\\
\textbf{Proposition 2 :} \og Le réel $a$ tel que $p(X > a) = p(X \leqslant a)$ est égal à $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$. \fg
 
\end{enumerate}

\end{ExoF}  

\begin{ExoF}
 Le laboratoire de physique d'un lyc\'ee dispose d'un parc d'oscilloscopes
 identiques. La dur\'ee de vie en ann\'ees d'un oscilloscope est une variable
 al\'eatoire not\'ee $X$ qui suit la \og loi de dur\'ee de vie sans vieillissement \fg{}
 (ou encore loi exponentielle de param\`etre $\lambda$ avec $\lambda > 0$).\\
\noindent Toutes les probabilités seront donn\'ees \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\begin{enumerate}\item Sachant que $P(X > 10) = 0,286$, montrer qu'une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$
pr\`es de $\lambda$ est $0,125$.\\
\noindent On prendra $0,125$ pour valeur de $\lambda$ dans la suite de l'exercice.
\item Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du mod\`ele \'etudi\'e ait une
 dur\'ee de vie inf\'erieure \`a 6 mois.
\item Sachant qu'un appareil a d\'ej\`a fonctionn\'e huit ann\'ees, quelle est la
 probabilité qu'il ait une dur\'ee de vie sup\'erieure dix ans ?
\item On consid\`ere que la dur\'ee de vie d'un oscilloscope est ind\'ependante
 de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire d\'ecide de
 commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu'au moins un 
oscilloscope ait une dur\'ee de vie sup\'erieure \^a 10 ans ?
\item Combien l'\'etablissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que
 la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans
 soit sup\'erieure \`a 0,999 ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Un responsable de magasin ach\`ete des composants \'electroniques aupr\`es de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25\:\% au premier fournisseur et 75\:\% au second.\\
La proportion de composants d\'efectueux est de 3\:\% chez le premier fournisseur et de 2\:\% chez le second.\\
On note :
\begin{itemize}
\item D l'\'ev\`enemenrt \og le composant est d\'efectueux \fg ;
\item F$_{1}$ l'\'ev\`enement \og le composanrt provient du premier fournisseur \fg ;
\item F$_{2}$ l'\'ev\`enement \og le composanrt provient du second fournisseur \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Dessiner un arbre pond\'er\'e.
\item Calculer $P\left(\text{D} \cap \text{T}_{1} \right)$, puis d\'emontrer que $P(\text{D}) = \nombre{0,0225}$.
\item Sachant qu'un composant est d\'efectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier fournisseur ?
\end{enumerate}
\emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approch\'ee des r\'esultats \`a $10^{-3}$ pr\`es.}
\item Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux soient d\'efectueux ?
\item La dur\'ee de vie de l'un de ces composants est une variable al\'eatoire not\'ee $X$ qui suit une loi de dur\'ee de vie sans vieillisse\`ment ou loi exponentielle de param\`etre $\lambda$, avec $\lambda$ r\'eel strictement positif.
\begin{enumerate}
\item Sachant que $P(X > 5) = 0,325$, d\'eterminer $\lambda$.\\
Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$.
\item Quelle est la probabilité qu'un composant dure moins de 8~ans ? plus de 8~ans ?
\item Quelle est la probabilité qu'un composant dure plus de 8~ans sachant qu'il a d\'ej\`a dur\'e plus de 3~ans ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\section{Lois Normales}

\begin{ExoF}
 On a représenté  ci-dessous la fonction $f$, densité de la loi $\mathscr N(0,1)$.
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler l'expression de $f$.
  \item Soit $X$ une variable aléatoire suivant cette loi.
  \begin{enumerate}
   \item A l'aide du graphique, faire apparaître le domaine ayant pour aire $P(0<X<1)$
   \item Donner un encadrement de cette aire en utilisant le quadrillage.
  \end{enumerate}
 \item Reprendre la question 2 sur les graphiques suivants pour $P(X<1)$, $P(-1<X<1)$, $P(X<-1)$ et $P(X>1)$.
 \end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-9,-1)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-9,-1)(9,7)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=7.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.05)(3,0.45)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-3.}{3.}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}
\end{pspicture*}\quad 
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-9,-1)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-9,-1)(9,7)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=7.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.05)(3,0.45)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-3.}{3.}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}
\end{pspicture*}\\
\medskip

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-9,-1)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-9,-1)(9,7)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=7.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-3.}{3.}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}
\end{pspicture*}\quad
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-9,-1)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-9,-1)(9,7)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=7.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-0.05)(3,0.45)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffqqtt,plotpoints=200]{-3.}{3.}{1/(2*PI)^0.5*2.718281828^((-x^2)/2)}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale centrée réduite. \\
 Dans cet exercice, on donnera les probabilités  arrondies à $10^{-4}$ près.
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item A l'aide d'une calculatrice, déterminer la probabilité $P(X<0.73)$.
         \item A partir de la valeur calculée précédemment, et sans calculatrice, déterminer les probabilités suivantes :
         $$ P(X >0.73) \qquad \qquad P(X \leq -0.73) \qquad \qquad P(X \leq -0.73) \qquad \qquad P(-0.73 < X < 0.73)$$
               \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer à l'aide de la calculatrice les probabilités $P(X\leq -0.55)$ et $P(X \leq 0.77)$.
       \item En déduire la probabilité de l'événement $-0.55\leq X \leq 0.77$.
      \end{enumerate}
\item Soit $t$ un réel strictement positif. Exprimer $P(X >-t)$ puis $P(X <-t)$ en fonction de $P(X \leq t)$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Dans une université, à un partiel blanc, les notes sur 20 obtenues par les étudiants ont pour moyenne 9 et pour
 écart-type 1.5. Un mois plus tard, au partiel, les notes des mêmes étudiants ont pour moyenne 7.5 et pour écart-type 1.\\
 On désigne par $X_1$ (respectivement $X_2$) la variable aléatoire associant à un étudiant pris au hasard sa note 
 de partiel blanc (respectivement, sa note de partiel).
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Exprimer les variables aléatoires centrées réduites $Z_1$ et $Z_2$ associées à $X_1$ et $X_2$.
         \item Préciser leurs moyennes et leurs écarts-types.
        \end{enumerate}
 \item Au vu des diagrammes représentant les deux séries de notes, qui évoquent une courbe en cloche, on fait le choix
 de la loi normale $\mathscr N(0;1)$ pour chacune des variables aléatoires $Z_1$ et $Z_2$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $P(X_1 \leq 10,5)$ et $P(X_2 \leq 9)$. Interpréter.
  \item Un étudiant, Max, a obtenu $10,5$ à l'examen blanc et $9$ à l'examen.\\
  Comparativement à ses camarades, Max doit-il considérer avoir progressé ou régressé ?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On a observé que la taille $T$ des basketteurs, en cm, suivait approximativement une loi $\mathscr N(195;6)$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer, sans calcul, un intervalle dans lequel la taille d'un basketteur pris au hasard a deux chances sur trois de se trouver.
  \item Un recruteur décide de restreindre sa recherche aux basketteurs qui se situent dans le plus petit intervalle $I$ centré en 195 tel que $P(T\in I) \simeq 0.8$.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer cet intervalle, sachant que $u_{0.2}\simeq 1.28$.
   \item Sachant que le meilleur basketteur français, Tony Parker, mesure $1.86$ m, que peut-on penser du choix du recruteur ?
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une compagnie de transport souhaite lutter contre la fraude et effectue pour cela des contrôles de tickets de transport.\\
 Valéry utilise ce transport tous les matins. Il a une probabilité $p=0.08$ d'être contrôlé. Il effectue $600$ voyages par an. 
 On appelle $C$ la variable aléatoire qui compte le nombre de contrôles qu'il a subi dans une année.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi suivie par $C$ ?
  \item En utilisant le théorème de Moivre-Laplace, justifier que l'on peut approximer la loi de $C$ par une loi normale 
  $\mathscr N(48,3.5328)$.
  \item En déduire la probabilité que Valéry soit contrôlé entre $40$ et $50$ fois dans l'année.
  \item Sachant que le prix du ticket est de $1.20\euro$ et que l'amende est de $20\euro$, quelle est la probabilité
  que Valéry soit perdant en n'achetant jamais de ticket ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Une étude effectuée par un chercheur a montré que l'âge auquel apparaissent les premiers mots de vocabulaire
 chez un enfant pris au hasard dans la population peut se modéliser par une variable aléatoire suivant une 
 loi normale de moyenne $11,5$ mois et d'écart-type $3,2$ mois.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer la probabilité qu'un enfant de cette population ait prononcé ses premiers mots :
  \begin{multicols}{2}
     \begin{enumerate}
   \item entre 8 et 10 mois
   \item avant 7 mois
   \item après avoir fêté ses 18 mois
   \item dans le cours de son 12$^e$ mois
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
  \item Déterminer un intervalle $I$ centré autour de la moyenne qui permette d'affirmer : \og la probabilité que l'âge
  d'apparition des premiers mots appartient à $I$ est $95\%$ \fg.
 \item Déterminer l'âge auquel la probabilité qu'un enfant n'ait encore prononcé aucun mot 
 devient inférieur à $0.25$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Lorsque Lisa appelle de chez elle un taxi de la société \og Blue Taxi \fg, le temps d'attente $X$, en minutes, est distribué
  selon la loi normale de moyenne 19 minutes et d'écart type 3 minutes.
  \begin{enumerate}
   \item Quelle est la probabilité que Lisa doive attendre son taxi moins d'un quart d'heure ?
   \item Quel temps d'attente minimal peut-elle accepter si elle veut qu'il soit respecté avec une probabilité au moins
   égale à $0.9$ ?
  \end{enumerate}
 \item Lorsque Lisa appelle de chez elle la société concurrente \og Green Taxi \fg, le temps d'attente $Y$, en minutes,
 est également distribué selon une loi normale, d emoyenne $\mu$ et d'écart type 7 minutes.\\
 On admet que la probabilité pour Lisa de devoir attendre un taxi de cette société plus de 8 minutes est égale
 à $0.97725$.\\
 Quelle est la valeur de $\mu$ ?
 \item Pour avoir son train, Lisa doit prendre un taxi dans les 10 minutes.\\
 Etudier à quelle société doit-elle faire appel ?
  \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
 \textbf{La sélection chez les vaches laitières de race \og Française Frisonne Pis Noir \fg}\\
 La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire
 à densité $X$, de loi normale de moyenne $\mu=6000$ et d'écart-type $\sigma=400$. La fonction $g$ désigne la fonction
 densité de cette loi normale.
 \begin{enumerate}
  \item Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée), en déterminant la taille optimale
  de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite dispose de certaines probabilités.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise moins de $5800$ litres par an.
   \item Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre $5900$ et $6100$ litres de lait par an.
   \item Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de $6250$ litres de lait par an.
  \end{enumerate}
\item Dans son futur troupeau, Loïc souhaite connaître :
 \begin{enumerate}
  \item La production maximale prévisible des $30\%$ de vaches les moins productives du troupeau.
    \item La production minimale prévisible des $20\%$ des vaches les plus productives. 
 \end{enumerate}
 Aidez le à déterminer ces valeurs.
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Une coopérative produit du beurre en microplaquettes de 12,5g pour des collectivités et des chaînes
hôtelières. Les microplaquettes sont conditionnées dans des boîtes de 40.
La masse des microplaquettes peut être modélisée par une variable aléatoire suivant une loi normale
d’espérance $\mu= 12,5$ et de variance $\sigma^2= 0,2$
et on admet que la variable aléatoire $X$ égale à la masse
d’une boîte de 40 microplaquettes suit alors une loi normale d’espérance
$\mu= 500$ et de variance $\sigma^2= 1,6$.\\

La boîte est jugée conforme si sa masse est comprise entre 496,2 g et 503,8 g (soit environ
$500 \pm 3\sigma$ )
\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité qu’une boîte prélevée aléatoirement en fin de chaîne de
conditionnement soit non conforme.
 \item Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d'alerte
$\mu-h$ et $\mu+h$ tels que $P(\mu-h < X < \mu + h) = 0,99$. Ces poids d’alerte sont inscrits sur une carte 
de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en
lien avec des normes de conformité. \\
Calculer les poids d'alerte.\\ 
\textit{Grâce à des échantillones prélevés en sortie de chaine, ces masses d'alerte permettent de déceler des anomalies
en temps réel.}
\end{enumerate}


\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La durée de vie d'un certain type d’appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi
normale de moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que $80\%$ de la
production des appareils ait une durée de vie entre 120
et 200 jours et que $5\%$ de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours. 
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les valeurs de $\mu$ et $\sigma^2$ ?
 \item Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours
et 230 jours ?
\end{enumerate}

\end{ExoF}



%\begin{ExoF}
% Algo moivre-laplace : 15 p 374\\
%\end{ExoF}

\newpage
\section{En Vrac}

\begin{ExoF} Antilles Juin 2006 \hfill 4 points

 \noindent \textbf{Partie A : }
Soit $X$ une variable al\'eatoire continue qui suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda$.\\
On rappelle que $P(X\leqslant a)=\displaystyle\int_{0}^{a}\lambda\text{e}^{-\lambda t}\text{d}t$.\\
La courbe donn\'ee en annexe 1 repr\'esente la fonction densit\'e associ\'ee.
\begin{enumerate}
\item Interpr\'eter sur le graphique la probabilité $P(X\leqslant 1)$.
\item Indiquer sur le graphique o\`u se lit directement le param\`etre $\lambda$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B : }
On pose $\lambda=\nombre{1,5}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X\leqslant 1)$, en donner une valeur exacte puis une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$ pr\`es par exc\`es.
\item Calculer $P(X\geqslant 2)$.
\item D\'eduire des calculs pr\'ec\'edents l'\'egalit\'e suivante: $P(1\leqslant X\leqslant 2)=\nombre{0,173}$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\item Calculer l'int\'egrale $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\nombre{1,5}t\text{e}^{-\nombre{1,5}t}\text{d}t$.\\
D\'eterminer la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $F(x)$; on obtient ainsi l'esp\'erance math\'ematique de la variable $X$.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie C}

\medskip

\noindent Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l'\'ecart, en dixi\`emes de millim\`etres, entre le diam\`etre des 
cylindres et la valeur de r\'eglage de la machine.\\
On suppose que cet \'ecart suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda=\nombre{1,5}$.

\medskip

\noindent Si l'\'ecart est inf\'erieur \`a 1, le cylindre est accept\'e. Si l'\'ecart est compris entre 1 et 2, on proc\`ede \`a une 
rectification qui permet d'accepter le cylindre dans 80~\% des cas. Si l'\'ecart est sup\'erieur \`a 2, le cylindre est refus\'e.
\begin{enumerate}
\item On pr\'el\`eve au hasard un cylindre dans la production.
\begin{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité qu'il soit accept\'e est \'egale \`a $\nombre{0,915}$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\item Sachant qu'il est accept\'e, quelle est la probabilité qu'il ait subi une rectification~?
\end{enumerate}
 \item On pr\'el\`eve de mani\`ere ind\'ependante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres suffisamment 
important pour assimiler ce tirage \`a un tirage successif avec remise.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient accept\'es~?
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un cylindre soit refus\'e~?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(9,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-2)(8,4)
\pscurve[linecolor=blue](-3,-0.8)(-2.5,-0.79)(-2,-0.76)(-1.5,-0.73)(-1,-0.65)(-0.5,-0.5)(0,0)(0.5,1.45)(1,2.3)(1.5,2.83)(2,3)(2.5,2.83)(3,2.3)(3.5,1.45)(4,0)(4.5,-0.5)(5,-0.65)(5.5,-0.73)(6,-0.76)(6.5,-0.79)(7,-0.8)(7.5,-0.81)(8,-0.82)
\uput[d](8,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{ExoF}


\begin{ExoF} Métropole Juin 2008 \hfill 5 points
 
La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre
 $\lambda$ où $X$ est un réel strictement positif.

\medskip

On rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.

\begin{enumerate}
\item  Restitution organisée de connaissances
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
		\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout 
réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $\lambda = \nombre{0,00026}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(X \leqslant \nombre{1000})$ et $P (X > \nombre{1000}$).
		\item  Sachant que l'événement $(X>\nombre{1000})$ est réalisé, calculer la probabilité de l'événement 
$(X> \nombre{2000})$.
		\item  Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de \nombre{2000} heures, quelle est la probabilité qu'il tombe 
en panne avant \nombre{3000} heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} Antilles Guyane Juin 2010 \hfill 2 points
 
\textbf{Une ou deux des réponses} correctes par question, pénalité de $0.25$, sans justification.

\begin{enumerate}
\item On suppose que la durée d'attente à un guichet de service, exprimée en heure, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$.

La probabilité que la durée d'attente d'une personne prise au hasard soit comprise entre 15~min et 20~min est:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
$\dfrac{1}{3}$ & 
$\dfrac{1}{5}$ & 
$\dfrac{1}{12}$ & 
$\dfrac14$
\end{tabular}
\end{center}
\item On considère 10 appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour 
chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à \np{0,15}. 

La probabilité pour qu'exactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l'issue de la période de garantie est égale à:
\begin{center}
\begin{tabular}{@{\textbf{A:}~~}p{3.5cm}@{\textbf{B:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{C:}~~}p{2.5cm}@{\textbf{D:}~~}p{2.5cm}}
\np{0,35} à $10^{-2}$ prés& 
$\np{0,85}^9$ & 
$\np{0,85}^9\times\np{0,15}$ & 
$\np{0,85}^9\times\np{0,15}\times 10$
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}  Métropole Juin 2010 \hfill 4 points
 Une réponse correcte par question, pas de pénalité, sans justification.
 
\begin{enumerate}
\item Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. 
On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{21}{40}$&$\dfrac{7}{10} \times \dfrac{6}{9}\times \dfrac{1}{3}$&$\dfrac{7}{10}\times \dfrac{7}{10}\times\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs 
avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{3^3 \times 7^2}{10^5}$&$\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^2 \times \left(\dfrac{7}{10}\right)^3$&
$\binom{5}{2}\times \left(\dfrac{3}{10}\right)^3\times \left(\dfrac{7}{10}\right)^2$\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). 
Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. 
Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.

Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\dfrac{7}{60}$&$\dfrac{14}{23}$&$\dfrac{\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}\times 
\dfrac{1}{4}}$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item On note $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramêtre $\lambda$. ($\lambda$ étant un nombre réel 
strictement positif). La probabilité de l'événement $[1 \leqslant X \leqslant 3]$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$\text{e}^{-\lambda} - \text{e}^{-3\lambda}$&$\text{e}^{-3\lambda} - \text{e}^{-\lambda}$&$\dfrac{\text{e}^{-\lambda}}{\text{e}^{-3\lambda}}$\\
\end{tabularx}

\medskip 
\end{enumerate}

\end{ExoF}


 
\begin{ExoF} Polynésie Septembre 2009 \hfill 4 points % 
 
Vrai ou faux, pénalité de 0.5, sans justification

\begin{enumerate}
 \item Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.  
On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les événements :
\begin{itemize}
 \item A : \og les deux boules tirées sont de la même couleur \fg{} ; 
 \item B : \og une seule des deux boules tirées est rouge \fg.
\end{itemize}
\begin{itemize}
\item  \textbf{Proposition 1} : La probabilité de A est égale à $\dfrac{3}{7}$
\item \textbf{Proposition 2} : La probabilité de B est égale à  $\dfrac{1}{7}$
 \end{itemize}
\item  Soient A, B et C trois événements d'un même univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$.
 On sait que :
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A et B sont indépendants ; 
\item[$\bullet~$] $P(\text{A}) = \dfrac{2}{5}$ ;   $P(\text{A} \cup \text{B}) = \dfrac{3}{4}$ ; 
\item[$\bullet~$] $P(\text{C}) = \dfrac{1}{2}$ ; $P(\text{A} \cap \text{C}) = \dfrac{1}{10}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item  \textbf{Proposition 3} : $P(\text{B}) = \dfrac{7}{12}$
\item \textbf{Proposition 4} : $P\left(\overline{\text{A} \cup \text{C}}\right) = \dfrac{2}{5}$.
 \end{itemize}
\end{multicols}
\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ où $n$ est égal à 4 et $p$ appartient à ]0~;~1[.
\begin{itemize}
 \item \textbf{Proposition 5} : Si $P(X = 1) = 8P(X = 0)$ alors $ p = \dfrac{2}{3}$.
 \item \textbf{Proposition 6} : Si $p = \dfrac{1}{5}$ alors $P(X =1) = P(X =0)$.
\end{itemize}
\item La durée de vie, exprimée en années, d'un appareil est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de 
paramètre $\lambda = 0,07$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
 
On rappelle que pour tout $t> 0$, la probabilité de l'événement $(X \leqslant  t)$ est donnée par : 

$P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$  
(avec $\lambda = 0,07$).
\begin{itemize}
 \item \textbf{Proposition 7} : La probabilité que l'appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près
 \item \textbf{Proposition 8} : Sachant que l'appareil a fonctionné 10~ans, la probabilité qu'il fonctionne encore  10~ans est égale à $0,5$ à $10^{-2}$ près.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\textbf{\textsc{Exercice 4 : Amérique du Sud Nov 2009} \hfill 4 points} %
 
%\noindent On consid\`ere un questionnaire comportant cinq questions.

%\noindent  Pour chacune des cinq questions pos\'ees, trois propositions de r\'eponses sont faites ($A$, $B$ et $C$), une seule d'entre elles \'etant exacte.

%\noindent Un candidat r\'epond \`a toutes les questions pos\'ees en \'ecrivant un mot r\'eponse de cinq lettres.

%\noindent Par exemple, le mot \og $BBAAC$\fg\ signifie que le candidat a r\'epondu $B$  aux  premi\`ere et deuxi\`eme questions, $A$ aux troisi\`eme et quatri\`eme questions et $C$ \`a la
%cinqui\`eme question.

%\begin{enumerate}
%	\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item Combien y a-t-il de mots-r\'eponses possibles \`a ce questionnaire~?
%		\item On suppose que le candidat r\'epond au hasard \`a chacune des cinq questions
%		de ce questionnaire.\\
%		Calculer la probabilité des \'ev\'enements suivants~:\\
%		$E$~: \og le candidat a exactement une r\'eponse exacte\fg.\\
%		$F$~: \og le candidat n'a aucune r\'eponse exacte\fg.\\
%		$G$~: \og le mot-r\'eponse du candidat est un palindrome\fg\ (On pr\'ecise qu'un
%		palindrome est un mot pouvant se lire indiff\'eremment de gauche \`a droite ou de
%		droite \`a gauche~: par exemple, \og $BACAB$\fg\ est un palindrome).
%	\end{enumerate}
%	\item Un professeur d\'ecide de soumettre ce questionnaire \`a ses 28 \'el\`eves en leur 
%	demandant de r\'epondre au hasard \`a chacune des cinq questions de ce questionnaire.
%	On d\'esigne par $X$ le nombre d'élèves dont le mot-r\'eponse ne comporte aucune r\'eponse
%	exacte.
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que la variable al\'eatoire $X$ suit la loi binomiale de param\`etres
%		$n=28$ et $p=\dfrac{32}{243}$.
%		\item Calculer la probabilité, arrondie \`a $10^{-2}$, qu'au plus un \'el\`eve n'ait fourni
%		que des r\'eponses fausses.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\begin{ExoF} Pondichéry Avril 2010 \hfill 5 points
 
 Une urne contient 10 boules blanches et $n$ boules rouges, $n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à
 un joueur des boules de l'urne. A chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche 
tirée, il gagne 2~euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3~euros.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.

 
\emph{Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.}
 
\begin{enumerate}
\item Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $P(X = -1) = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$.
		\item  Calculer, en fonction de $n$ la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par $X$. 
		\item  Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ vaut :
$\text{E}(X) = \dfrac{-6n^2 -14n + 360}{(n + 10)(n + 9)}.$
		\item Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive.
	\end{enumerate} 
\item Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants. 
Déterminer la valeur minimale de l'entier $n$ afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20~tirages 
soit strictement supérieure à $0,999$. 
\item On suppose que $n = \nombre{1000}$. L'urne contient donc 10~boules blanches et \nombre{1000}~boules rouges.
 
Le joueur ne sait pas que le jeu lui est complétement défavorable et décide d' effectuer plusieurs tirages sans remise jusqu'à 
obtenir une boule blanche.
 
Le nombre de boules blanches étant faible devant celui des boules rouges, on admet que l'on peut modéliser le nombre de tirages 
nécessaires pour obtenir une boule blanche par une variable aléatoire $Z$ suivant la loi :
$\qquad \text{pour tout}~ k  \in \N,~ p(Z \leqslant  k) = \int_{0}^k 0,01\text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x.$.\\
 On répondra donc aux questions suivantes à l'aide de ce modèle. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50~boules pour avoir une boule blanche, soit $P (Z \leqslant 50)$. 
		\item Calculer la probabilité conditionnelle de l'événement : \og le joueur a tiré au maximum 60~boules pour tirer une boule blanche \fg{} sachant l'événement \og le joueur a tiré plus de 50~boules pour tirer une boule blanche \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{ExoF}

 




\end{document}
