\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Exercices} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 11}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Les maths : l'int\'egrale !}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{11}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha
%\debutExoCha

\section{Intégration sans primitives}

\begin{ExoF}
On donne $\int_0^1 x^2 dx = \dfrac13$
 \begin{enumerate}
 \item Prouvez que, pour tout $t\in[0,1]$,
      $\dfrac{t^2}{2}\leq\dfrac{t^2}{1+t}\leq t^2$.
      \item Déduisez-en un encadrement de
      $I=\ds\int_0^1\dfrac{t^2}{1+t}\,dt$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;1]$ telle que, pour tout $x\in [0;1]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que :
$$ m\leq f(x) \leq M$$
Déterminer la limite de la suite de terme général :
$$ u_n=\int_0^{\frac{1}{n}} f(x) dx$$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Etudier la limite de la suite de terme général $$ u_n=\int_n^{n+1} e^{-x} dx$$
Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n;n+1]$ en fonction de $n$. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On pose \qquad $ I_n=\dfrac{1}{n !}\int_0^1 (1-x)^ne^{-x} dx\qquad \forall n\in\N$
\begin{enumerate}
 \item Prouver que \qquad $ 0\leq I_n \leq \dfrac{1}{n!}\int_0^1 e^{-x} dx$
\item En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$ 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\section{Primitives et intégration}

\begin{ExoF}
 Soit $F$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$.\\
 Calculer $F'(x)$. Qu'a-t-on démontré ?
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 Calculer une primitive de $f_i$ sur $]0;1[$ dans les cas suivants :
$$f_1(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x+2)^2} \qquad\qquad\qquad f_2(x)=\tan x \qquad\qquad\qquad f_3(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Etudier si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{2x^2+8x-5}{(x^2+x+3)^2}$ \qquad et \qquad  $F(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x+3}$ \qquad avec $I=\R$.
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{2x\sqrt{x}}$\qquad  et \qquad $F(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x}}$ \qquad avec $I=]0;+\infty[$.
\item $ f(q)=\dfrac{3q-4}{\sqrt{2q-4}}$\qquad  et \qquad $F(q)=q\sqrt{2q-4}$ \qquad avec $I=]2;+\infty[$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Si vous reconnaissez une forme du style $u'u^n$, alors une primitive sera \quad $ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$\\
En déduire une primitive de $f$ avec \quad $ f(x)=\dfrac{3}{(x-1)^2}$ \quad sur $]1; + \infty[$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$f$ est la fonction définie sur $I[-1;8]$ par $f(x)=\dfrac{2x^3+8x^2+8x-3}{x^2+4x+4} $
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x\in I$ on a $ f(x)=2x-\dfrac{3}{(x+2)^2}$
\item \begin{enumerate}
\item En déduire une primitive $G$ de $f$ sur $I$.
\item Calculer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=2$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.\\
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]2;+\infty[$.
\item $G$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $G(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}$. \\
Calculer la fonction dérivée de $G$.
\item Que peut-on en déduire pour les fonctions $F$ et $G$ ?
\quad 
Vérifier ce résultat en calculant $F(x)-G(x)$. 
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Déterminer une primitive sur les intervalles $I$ considérés de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}$ \quad avec $I=]-1;1[$
\item $h:x\longmapsto \dfrac{e^x+3}{(e^x+3x)^3}$ \quad avec $I=]-\infty;0]$
\item $k:x\longmapsto \dfrac{1}{(ax+b)^2}$\quad avec $I=\left]-\dfrac{b}{a};+\infty\right[$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{e^{\frac{1}{x}} }{x^2}$ \quad avec $I=\R^{+*}$
\item $ j: x \longmapsto e^{3x+2}$ \quad avec $I=\R$
\item $ l:x\longmapsto (2x+1)e^{x^2+x+7}$ \quad avec $I=\R$
\item $ m : x\longmapsto \sin(3x)+3\cos(2x)$ \quad avec $I=\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On rappelle que \quad $ \cos^2 t= \dfrac{1+\cos 2t}{2}$ \qquad 
Démontrer que \quad $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt=\dfrac{\pi}{4}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Calculer les intégrales suivantes :
$$ \int_0^1 xe^{-x^2} dx \qquad \qquad 
 \int_{\frac{1}{e}}^e \dfrac{\ln t}{t}dt \qquad \qquad 
\int_2^4 \dfrac{e^t}{e^t+1}dt \qquad \qquad 
\int_0^2 \dfrac{x}{ \sqrt{x^2+1}}dx $$
\end{ExoF}



\newpage



\section{Extension aux fonctions de signe quelconque}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} L'intégrale d'une fonction continue et
impaire est nulle.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\int_{-2}^2f(t) dt=0$, alors $f$ est
impaire.
\item{} Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur
$[-2,2]$, telle que $\int_{-2}^2f(t)dt=0$.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\Lim{+\infty}f(x)=0$, alors
$\int_{1}^xf(t)dt$ admet une limite finie quand $x$ tend vers
$+\infty$.
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t) dt=+\infty$
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t)dt=32$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?}Soit $u$ un réel strictement positif, alors
$\int_0^u E(x)\,dx\in\N$, $E(x)$ désignant la \textsl{partie
entière} de $x$.
\item Trouvez une fonction telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{}Trouvez une fonction $f$ telle que
$\ab{\int_a^bf(t)dt}<\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item{} Trouvez une \textsl{condition nécessaire et suffisante} sur
$f$ pour que $\ab{\int_a^bf(t)dt}=\int_a^b\ab{f(t)} dt$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3xt^2\,dx$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2dt=\int_2^3x^2t\,dx$
\item{} Trouvez deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[1,2]$,
distinctes, telles que $\int_1^2f(t)dt=\int_1^2g(u) du$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est bornée sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u) du$ l'est aussi.
\item Déterminez   une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et dont la valeur
moyenne  sur $[-2~;~2]$ est 0.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Démontrer que $$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \ab{\sin t} dt=2$$
\footnote{On utilisera la relation de Chasles afin de supprimer les valeurs absolues.} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[e;e^2]$ par $$ f(x)=\dfrac{\ln^2 x}{x}$$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
La capacité pulmonaire de l'être humain suivant son âge $x$ de $10$ à $90$ ans, 
s'exprime, en litres, au moyen de la fonction $f$ définie par 
$ f(x)=\dfrac{110(\ln x-2)}{x}$\\
Déterminer la valeur moyenne de la capacité pulmonaire entre $20$ et $70$ ans, à $0,1$ litre près par défaut. 
\end{ExoF}





\begin{ExoF}  % Liban Juin 2010
 On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\int_0^1 \dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}} dx$
 \begin{enumerate}
   \begin{minipage}{10cm}
 \item \begin{enumerate}
         \item Montrer que $u_0 + u_1 = 1$.
         \item Calculer $u_1$ puis montrer que $u_1=\ln\left(\dfrac{2}{e+1}\right)+1$.
         \item En déduire $u_0$.
        \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout entier $n \geq 1$ on a  
        $$u_{n+1}+u_n=\dfrac{1-e^{-n}}{n}$$
        \item En déduire les valeurs de $u_2$ et $u_3$.
       \end{enumerate}
       \item On souhaite calculer $u_n$ pour $n \geq 2$.\\
 On propose l'algorithme ci-contre.\\
 Expliquer pourquoi celui-ci est incorrect, puis le corriger de façon à résoudre le problème.
 \item On utilise le tableur pour calculer les premiers termes de la suite $(u_n)$.
 \end{minipage}\qquad
 \begin{minipage}{8cm}
   \begin{center}
\Algo{7cm}{
\Entree{$n$ un entier naturel
}
\Variable{ 
$u$ est un nombre réel.\\
$k$ est un entier naturel.
}
\Deb{
  $u \longleftarrow \ln\left(\dfrac{2}{e+1}\right)+1$\\
  \For{ $k$ allant de $2$ à $n$ }
{$u \longleftarrow \dfrac{1-e^{-k}}{k}$\\
}
Renvoyer $u$
}
}
\end{center}
 \end{minipage}
 \begin{enumerate} 
 \begin{minipage}{10cm}
 \item Parmi les formules suivantes, laquelle faut-il enter en B4 de façon à obtenir $u_2$ ?
 \begin{center}
  \fbox{=(1-EXP(-A4))/A4-B3} \qquad \qquad \fbox{=(1-EXP(-A3))/A4-B3} \qquad \qquad \fbox{=(1-EXP(-A3))/A3-B3}
 \end{center}
\end{minipage} \quad \begin{minipage}{8cm}
 \includegraphics[scale=0.73]{ExoTableur.eps}
 \end{minipage} 
\item On a recopié la formule vers le bas et calculé les $100$ premiers termes de la 
suite $(u_n)$. \\
On donne la fin du tableau des résultats à $10^{-5}$ près.
\begin{center}
\begin{tabular}{*{9}{|c}|} \hline
 $n$ &  93 & 94 & 95 & 96 & 97 & 98 & 99 & 100\\\hline
 $u(n)$  & $0.00541$ & $ 0.00535$ & $0.00529$ & $0.00524 $ & $0.00518$ &  $0.00513$ & $0.00508$ & $0.00502$ \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Que peut-on conjecturer sur le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item En utilisant la question 2a), montrer que pour tout $n \geq 1$ 
       on a \quad $0 \leq u_n \leq \dfrac{1-e^{-n}}{n}$
 \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
 \item Rémi affirme que pour tout entier $n \geq 100$, on a : $u_n \leq 0.1$.\\
 A-t-il raison ?
       \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}
 
 \newpage
\section{Annales Cha}



\begin{ExoF} %Métropole Juin 2012
 Soit $k$ un entier strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item Justifier l'inégalité \quad $\int_k^{k+1} \left(\dfrac1k - \dfrac1x \right)dx \geq 0$
  \item En déduire que \quad $\int_k^{k+1} \dfrac1x dx \leq \dfrac1k$
  \item Démontrer alors l'inégalité \quad $\ln(k+1)-\ln(k) \leq \dfrac1k$
 \end{enumerate}

\end{ExoF}

 

\vspace{0,5cm}



\begin{ExoF}  \hfill \textbf{7 points} \\ % Liban Mai 2011
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\]
 
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. 
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
%\item Montrer que $(\mathcal{C})$ admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$  à termes positifs définie par : 

\[ u_{1} = 0\: \text{et, pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul}, u_{n+1} = f\left(u_{n}\right) = u_{n} + \text{e}^{-u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, $\ln (1 + x ) \leqslant x$.
 
On pourra étudier la fonction $g$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $g(x) = x - \ln (1 + x)$. 
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n + 1) \leqslant  \ln(n) + \dfrac{1}{n}$. 
\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $f[\ln(n)] = \ln (n) + \dfrac{1}{n}$. 
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n) \leqslant u_{n}$. 
\item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$· 
\medskip

Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n\geq 2,\, u_{n} \leqslant 1+ \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n - 1}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2, on a \quad  
		$\dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k - 1}^k \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$.
		\item En déduire que, pour tout entier $n\geq 2$, on a \quad 		
$u_{n} \leqslant  1 + \ln (n - 1)$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a montré que \quad 
$\ln (n) \leqslant u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1)$.
 
Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{\ln (n)}\right)_{n \geqslant 2}$ converge vers 1.
\end{enumerate}
 
\end{ExoF}




\begin{ExoF} \hfill \textbf{2 points} \\%Antilles-Guyane juin 2012
 On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{x - 1} + 1.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.


Le graphique donné en \textbf{Annexe 1} représente la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.
 
\begin{enumerate}
\item Construire sur ce graphique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x$. On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $\Delta$. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe $\mathcal{C}$ la droite $\Delta$, la droite d'équation $(x = 1)$ et l'axe des ordonnées. 
\item %On pose I $= \displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^{x-1}\:\text{d}x$. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que I $  = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
\begin{enumerate}
 \item Montrer qu'il existe deux réels $c$ et $d$ tels que la fonction 
 $$H : x \longmapsto (cx+d)e^{x-1}$$
 soit une primitive sur $\R$ de la fonction $h : x \longmapsto xe^{x-1}$.
 \item On pose I $= \displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^{x-1}\:\text{d}x$. Montrer que I $  = \dfrac{1}{\text{e}}$. 
\end{enumerate}

\item En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
 \psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-0.5)(2,4.5)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-4}{1.6}{2.71828 x 1 sub exp x mul 1 add}
\end{pspicture} 
\end{center}

\end{ExoF}
\newpage
\begin{ExoF} \hfill \textbf{5 points} \\% Centre étrangers juin 2012
 On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour  $n$ entier naturel non nul par : \[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$.\\
Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$.

\item En déduire la valeur de $I_1$.

%\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\]
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit sur $\R$ la fonction $H_n$ par $H_n(x)=x^{n+1}G(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $H_n$ est dérivable sur $\R$ et calculer pour tout réel $x$, $H_n'(x)$
 \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ :
 \[\dfrac{1}{2}\mathrm{e}=\dfrac{n+1}{2}I_n+I_{n+2}\]
\end{enumerate}

\item Calculer $I_3$ et $I_5$.
\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*2{l|}} \hline
\multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\
\hline
\multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\
&\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\
&\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\
\hline
\textbf{Sortie}&Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Quel terme de la suite $\left(I_n\right)$ ontient-on en sortie de cet algorithme ?

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$.
		\item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
On note $\ell$ sa limite.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\
 Déterminer la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF} \hfill 6 points \\ %Liban mai 2012
 \textbf{Partie A :} 

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
g(x)=2x^3-1+2\ln x
\]
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\item Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$. \\
Donner une valeur approchée de $\alpha$, arrondie au centième.
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B :}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:
\[
f(x)=2x-\frac{\ln x}{x^2}
\]
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $(O\,;\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,)$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
%\item Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$.

\'Etudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta : y=2x$.
\item Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$.
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère $(O\,;\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,)$. On prendra comme unités: 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : }

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que cette aire, exprimée en cm$^2$, est donnée par:
\[
I_n=2\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x.
\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[ $ par $h(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.\begin{enumerate}
\item %Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties.
Calculer $h'(x)$ pour tout $x\in]0;+ \infty[$.
\item En déduire $\displaystyle\int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ 
\item En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Calculer la limite de l'aire $I_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\newpage
\section{Anciennes Annales}
\begin{ExoF} \hfill \textbf{5 points} \\ % Amérique du Nord Juin 2012
 Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0;1]$ telle
que :
\[
f(0) = 0 \text{ et } f^{\prime}(x) = \frac{1}{1+x^2} \text{ pour tout $x$ de $[0;1]B$}.
\]

\emph{On ne cherchera pas à déterminer $f$.}

\partieBac{}

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\intervalleB$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$ par $g(x) =
  f\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)$.\\
  \textit{La fonction $\dfrac{\sin}{\cos}$ est appelé tangente et notée $\tan$.}
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $g$ est dérivable sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, puis que,
    pour tout $x$ de $\intervalleC$, $g^{\prime}(x) = 1$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\left[0~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$, $g(x) = x$, en
    déduire que $f(1) = \frac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $[0~;~1]$, $0 \leq f(x) \leqslant \dfrac{\pi}{4}$. 
\end{enumerate}


\partieBac{}

Soit $\left (\I_n\right)$ la suite définie par $\I_0 = \int_{0}^{1}
f(x) \dd x$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\I_n =
\int_{0}^{1} x^nf(x) dx $.
\begin{enumerate}
\item %Montrer à l'aide d'une intégration par parties que, $\I_0 =
  %\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$.
  Soit $h$ la fonction définie sur $[0;1]$ par $h(x)=xf(x)$.
  \begin{enumerate}
   \item Calculer $h'(x)$ pour tout $x$ de $[0;1]$ .
   \item Montrer que $I_0=h(1)-h(0)-\int_0^1 \dfrac{x}{1+x^2}dx$ .
   \item En déduire que $I_0=\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln(2)$ .
  \end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $\I_n \geqslant 0$.
		\item Montrer que, pour tout  entier naturel non nul $n$, $\I_n \leqslant
    \frac{\pi}{4(n+1)}$.
		\item En déduire la limite de la suite $(\I_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{ExoF}
\begin{ExoF}  \hfill 6 points \\ % Métropole juin 2009
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right).\]
 On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{PARTIE I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
\item  Justifier que pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1- x$. 
\item  Etudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE II}

\medskip

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda}   f(x)\:\text{d}x$. 
On se propose de majorer $\mathcal{A}(\lambda)$ .%à l'aide de deux méthodes différentes. 

%\begin{enumerate}
%\item  \textbf{Première méthode} 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, 
est égale à $\mathcal{A}(\lambda)$. 
	\item  Justifier que pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant 	
\lambda \times f(1)$.
%	\end{enumerate} 
	
%\item \textbf{Deuxième méthode} 

	%\begin{enumerate}
	%	\item Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ en 
%fonction de $\lambda$. 
%	\item On admet que pour tout nombre réel positif $u,~ \ln (1 + u ) \leqslant  u$.
%	 
%Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif,
%
% $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant  - \lambda \text{e}^{- \lambda} - \text{e}^{- \lambda} + 1$. 
%	\end{enumerate} 
\item \textbf{Application numérique}

Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $\mathcal{A}(5)$, arrondi au centième. 
Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? 
\end{enumerate} 
\begin{center}
 

\psset{xunit=1.7cm,yunit=5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.6)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.6)(6,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](3,0.15){$\mathcal{C}$} \uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psline(1.3,-0.02)(1.3,0.02)\uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div  1 add ln}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{ExoF}
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} % Polynésie sept 2008

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) =  \ln \left(\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}\right).\]

La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repére orthogonal est donnée en annexe.

\medskip

 \textbf{Partie A - étude de fonction}~\boldmath $f$. \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right)$.\\
On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = -x +  \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right)$.

\item 	Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.% et montrer que la droite (d) d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$.\\
%Etudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de (d).
\item 	Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.% et montrer que la droite (d$'$) d'équation $y = -x +  \ln 2$ est asymptote à
 %$(\mathcal{C})$.

\item 	Etudier les variations de la fonction $f$.

Montrer que le minimum de la fonction $f$ est égal à $\dfrac{3}{2}\ln 2$.

%\item 	Tracer les droites (d) et (d$'$) sur la feuille annexe.
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale.}
 
On pose $I =  \displaystyle\int_{2 }^3 [f(x) - x]\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation géométrique de $I$.
\item 	Montrer que, pour tout $X \in [0~; ~+\infty[,~ \ln(1  + X) \leqslant  X$.
\item 	En déduire que $0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3  2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x$ et 
donner un encadrement de $I$ d'amplitude 0,02.
\end{enumerate}

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,0)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-6,0)(6,6)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot{-5.3}{6}{2.71828 x exp 2 2.71828 x exp div  add ln} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
 \bigskip
 
 \textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}
 
 \medskip 

On supposera connus les résultats suivants : 

Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $u \geqslant  0$ sur $[a~;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x \geqslant  0$.
\item[$\bullet~$] Pour tous réels $\alpha$ et $\beta,~ \displaystyle\int_{a}^b [\alpha u(x) + \beta v(x)]\:\text{d}x = \alpha \displaystyle\int_{a}^b u(x)\:\text{d}x+ \beta \displaystyle\int_{a}^b v(x)\:\text{d}x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~ b]$ avec $a < b$ et si, pour tout 
$x$ de $[a~;~ b],~ f(x) \leqslant g(x)$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \leqslant  \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x$. 


 \textbf{Partie B}
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f(x) = \text{e}^{-x^2}$  et on définit la suite 
$\left(u_{n}\right)$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l}
u_{0} =\int_{0}^1f(x)\:\text{d}x= \int_{0}^1 \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\ 
\text{pour tout entier naturel}~ n~ \text{non nul},~ u_{n} = \int_{0}^1 x^n f(x)\:\text{d}x = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{-x^2}\:\text{d}x\\
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1],~ \dfrac{1}{\text{e}} \leqslant  f(x) \leqslant  1.$ 
	\item En déduire que  $\dfrac{1}{\text{e}} \leqslant u_{0} \leqslant  1$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $u_{1}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant  u_{n}$. 
	\item Etudier les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item	
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} \leqslant  \dfrac{1}{n+1}$. 
	\item  En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 6 points} % Centre étrangers 2009
 
Soit $n$ un entier naturel.

On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère orthogonal \Oij. Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

\bigskip

\psset{unit=5.8cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
\multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
\multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
\uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
\uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture}


\begin{center} \textbf{Partie A :} \emph{Quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ et des courbes} $\mathcal{C}_{n}$ \end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées. 
\item Etude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item étudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
	
\item Etude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Etude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]

	\item  Etudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} 

On pose, pour tout entier naturel $n ~~ :\quad  u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1  f_{n}(x)\:\text{d}x$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis montrer que $u_{0} + u_{1} = 1$. En déduire $u_{0}$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n~~ : 0 \leqslant  u_{n} \leqslant  \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. 
\item Calculer l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est 
convergente et préciser sa limite. 
\end{enumerate}


\begin{ExoF}
 \noindent \textbf{\gray Partie A}
On consid\`ere la fonction nutn\'erique $f$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$ par :
\[f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1 - x}.\]
\noindent On note $\mathscr{C}$ la  courbe representative de $f$ dans le plan rapport\'e à un rep\`ere orthonormal $(O ; \vec i, \vec j)$.
\begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.\\
\textit{On pourra pour cela justifier et exploiter l'\'ecriture pour tout $x$ 
r\'eel strictement positif : $ f(x) =
\cfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \cfrac{x}{\text{e}^x}$.} \\
Interpr\'eter graphiquement le r\'esultat.
\item D\'emontrer que $f$ est d\'erivable sur $]0~;~+
\infty[$ puis calculer $f'(x)$.
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variation
de $f$.
\item Construire la courbe $\mathscr{C}$ (unit\'e graphique : 2 cm). On admettra que
$\mathscr{C}$est tangente en O à l'axe des ordonn\'ees.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{\gray Partie B}
On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} =\displaystyle\int_{n}^{n+1}\:
f(t)\:\text{d}t$.
\begin{enumerate} \item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement $u_{n}$.
\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ non
nul : $f(n +1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n)$.
\item En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante.
\item Prouver la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et d\'eterminer sa limite.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{\gray Partie C}
On consid\`ere la fonction num\'erique $F$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur $[1~;~+ \infty[$ par :
\[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x\:f(t)\:\text{d}t.\]
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $F$ est d\'erivable sur $[1~;~+ \infty[$ et
calculer $F'(x)$.
\item En d\'eduire le sens de variations de $F$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ positif : $t +
2 \geqslant  2\sqrt{2}\sqrt{t}$.
\item En d\'eduire que pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ :
\[F(x) \leqslant \cfrac{1}{2\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:
\text{d}t.\]
\item Soient $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\R$ par $g(t)=-(t+3)e^{1-t}$ 
et $h(t)=(t+2)e^{1-t}$.\\
%\item En déduire la valeur de  pour tout $x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$ 
%\[ \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:\text{d}t = 4 - (x + 3)\text{e}^{1-x}.\]
\item En d\'eduire que pour tout $x$ appartenant à $[1~;~+
\infty[~ :~ 0 \leqslant  F(x) \leqslant \sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\item On note, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$S_{n}$ la somme des $n-1$ premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. Exprimer $S_{n}$ à l'aide d'une int\'egrale. Montrer que la
suite $\left(S_{n}\right)$ converge et donner un encadrement de sa limite.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Les questions sont ind\'ependantes. II est demand\'e de justifier toutes les r\'eponses fournies.
\begin{enumerate} \item Dans chacun des cas suivants, proposer une
fonction $f$ qui v\'erifie les propri\'et\'es donn\'ees.
\noindent On donnera l'expression de $f(x)$.
\begin{enumerate} \item $f$ est d\'efinie sur $\R$ par $f(x) = a\text{e}^{2x} +
b\text{e}^{x} + c$, la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et l'\'equation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $0$ et $\ln 2$.
\item $f$ est d\'efinie sur $]0~;~ + \infty[,~ f(2) = 4$ et, pour tout $x$ et tout $y$
r\'eels strictement positifs, $f(xy) = f(x) + f(y)$.
\item $f$ est une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et la valeur
moyenne de $f$ sur $[-2~;~2]$ est 0.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{10cm}
\item Soit $g$ une fonction d\'efinie et d\'erivable, de
d\'eriv\'ee $g'$ continue sur $[-1~;~ 1]$. La courbe repr\'esentative de $g$ est donn\'ee ci-dessous.
 \noindent Les affirmations suivantes sont-elles coh\'erentes avec le sch\'ema:
\begin{enumerate} 
\item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x= 0$~ ?
\item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x \geqslant -
\cfrac{1}{2}$~ ?
\end{enumerate}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,2)
\psline{->}(-1.1,0)(1.1,0) \psline{->}(0,-1)(0,2) \psplot{-1}{1}{x 1 sub x mul} \uput[d](1,0){1} \uput[d](-1,0){-1} \uput[l](0,1){1}
\uput[l](0,2){2}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\\
 %\noindent \textbf{Partie A}
On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par :
\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f~:~t \longmapsto (2 - t)\text{e}^t$ est 
une primitive de $g~:~t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$ sur $[0~;~1]$.\\
En d\'eduire la valeur de $u_{1}$.
%\item Montrer \`a l'aide d'une int\'egration par parties que, pour tout $n$ non nul,
%\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\quad \text{(R)}\]
%\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{Partie B}
%\\
%On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices diff\'erentes pour les valeurs approch\'ees des 25 premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant pour le calcul la relation de r\'ecurrence (R) ci-dessus.
%\noindent Voici les r\'esultats affich\'es par ces deux calculatrices :
%\begin{center}\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
%Valeur & Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par &  Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par\\ 
%de $n$ & la premi\`ere calculatrice & le deuxi\`eme calculatrice\\ \hline
%1&$7,1828182845$E$-01$&$7,1828182846$E$-01$\\\hline
%2&$4,3656365691$E$-01$&$4,3656365692$E$-01$\\\hline
%3&$3,0969097075$E$-01$&$3,0969097076$E$-01$\\\hline
%4&$2,3876388301$E$-01$&$2,3876388304$E$-01$\\\hline
%5&$1,9381941508$E$-01$&$1,9381941520$E$-01$\\\hline
%6&$1,6291649051$E$-01$&$1,6291649120$E$-01$\\\hline
%7&$1,4041543358$E$-01$&$1,4041543840$E$-01$\\\hline
%8&$1,2332346869$E$-01$&$1,2332350720$E$-01$\\\hline
%10&$9,9112182825$E$-02$&$9,9115648000$E$-01$\\\hline
%11&$9,0234011080$E$-02$&$9,0272128000$E$-02$\\\hline
%12&$8,2808132963$E$-02$&$8,3265536000$E$-02$\\\hline
%13&$7,6505728522$E$-02$&$8,2451968000$E$-02$\\\hline
%14&$7,1080199309$E$-02$&$1,5432755200$E$-01$\\\hline
%15&$6,6202989636$E$-02$&$1,3149132800$E$+00$\\\hline
%16&$5,9247834186$E$-02$&$2,0038612480$E$+01$\\\hline
%17&$7,2131811612$E$-03$&$3,3965641216$E$+02$\\\hline
%18&$-8,7016273909$E$-01$&$6,1128154189$E$+03$\\\hline
%20&$-3,5166184085$E$+02$&$2,3228488592$E$+06$\\\hline
%21&$-7,3858986580$E$+03$&$4,8779825043$E$+07$\\\hline
%22&$-1,6249077047$E$+05$&$1,0731561499$E$+09$\\\hline
%23&$-3,7372887209$E$+06$&$2,4682591448$E$+10$\\\hline
%24&$-8,9694930302$E$+07$&$5,9238219474$E$+11$\\\hline
%25&$-2,2423732585$E$+09$&$1,4809554869$E$+13$\\\hline
%\end{tabular} \end{center}
%\noindent Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand on examine les r\'esultats obtenus avec la premi\`ere calculatrice ? Et avec les r\'esultats obtenus avec la deuxi\`eme calculatrice ?
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{Partie B}
%\\
%Dans cette partie on se propose d'\'etudier la suite $\left(u_{n}\right)$ \`a partir de la d\'efinition : 
%\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
%(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]
%\begin{enumerate}
 \item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant 0$.
\item \begin{enumerate}\item Montrer que pour tout r\'eel $t$ de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul $n$
\[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\]
\item En d\'eduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 1}$.
\end{enumerate}
\item D\'eterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}
%\vspace{0,5cm}
%\noindent \textbf{Partie D}\\
%Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de r\'ecurrence (R) v\'erifi\'ee par la suite $\left(u_{n}\right)$.
%\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\]
%\noindent Étant donn\'e un r\'eel $a$, on consid\`ere la suite $\left(v_{n}\right)$ d\'efinie par :
%\[v_{1} = a\quad \text{et pour tout entier naturel non nul}~n,~v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1.\]
%\begin{enumerate}\item En utilisant le raisonnement par r\'ecurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~v_{n} = u_{n} + (n!)(a + 2 - \text{e})$ o\`u $n!$ d\'esigne le produit des $n$ premiers entiers naturels non nuls.
%\item Étudier le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)$ \`a l'infini suivant les valeurs de $a$.
%\\
%(On rappelle que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n! = + \infty$.)
%\item En d\'eduire une raison susceptible d'expliquer les r\'esultats affich\'es par les deux calculatrices.
%\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
 On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, sur l'intervalle $[0~ ;~ + \infty[$, par
\[ f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad  g(x) = \text{e}^x - 1.\]
On désigne par $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ les courbes représentatives des 
fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal
$(O;\vec i, \vec j)$. Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, 
dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera \`a joindre 
\`a la copie, avec les éventuels ajouts effectu\'es par le candidat.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ 
ont une tangente commune au point O(0 ; 0). \\
Préciser la position de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ par rapport à cette tangente.
\item Démontrer que les courbes $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ sont symétriques 
par rapport \`a la droite d'équation $y =x$.
\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer le nombre $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a  \ln (x + 1)\,\text{d}x$.
\begin{enumerate}\item En utilisant des considérations d'aires, démontrer que
\[I(a)  = a \ln (a + 1) - \displaystyle\int_{0}^{\ln (a + 1)} \left(\text{e}^x - 1\right)\,\text{d}x.\]
\item En déduire la valeur de $I(a)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \begin{center}
\noindent \psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridcolor=orange](0,0)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.75pt,labels=none]{->}(0,0)(4,4)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\vec i$}  \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,0.5){$\vec j$}
\psplot{0}{4}{x 1 add ln} 
\psplot{0}{1.6095}{2.71828 x exp 1 sub} 
 \end{pspicture} 
\end{center}
\end{ExoF}





\Exoi{On consid\`ere la fonction $f$, d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ par
\[f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.\]
\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la continuit\'e de $f$ sur $[1~;~ + \infty[$. 
\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}
\item \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances}
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
\\
 Pour tout r\'eel $x_{0}$ de $[1~;~ + \infty[$, on note $\mathscr{A}(x_{0})$ l'aire du domaine d\'elimit\'e par la courbe repr\'esentant $f$ dans un rep\`ere orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'\'equations $x = 1$ et $x = x_{0}$.
 On se propose de d\'emontrer que la fonction ainsi d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ est une primitive de $f$.
\begin{enumerate} \item Que vaut $\mathscr{A}(1)$ ?
\item Soit $x_{0}$ un r\'eel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un r\'eel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :
\[f(x_{0}) \leqslant \dfrac{ \mathscr{A}(x_{0}+ h) - \mathscr{A}(x_{0})}{h}  \leqslant f(x_{0} + h).\]
\item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant  1$ ?
\item En d\'eduire la d\'erivabilit\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathscr{A}$ ainsi que le nombre d\'eriv\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathscr{A}$.
\item Conclure.
\begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5)
\psaxes{->}(0,0)(2.5,5.2)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
\psline[linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668)
\psline[linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574)
\psplot[plotstyle=curve]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div}
\uput[l](0,2.71828){e}
\uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}



\Exoi{
Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.
\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.
\noindent Soient $f$ une fonction positive, strictement croissante et d\'erivable sur [0 ; 1], $\mathscr{C}$ sa courbe repr\'esentative
dans le rep\`ere $(O;\vec i, \vec j)$ et $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites
d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.
\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
 $\mathscr{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.
\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
d\'elimit\'e par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathscr{C}$.
\noindent On d\'esigne par $F$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 1] par $F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ et par $g(x)$
l'aire de $T_{x}$.
\begin{center}
    \psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
     \psline(1,0)(1,1)
     \uput[u](0.5,0.67){$\mathscr{C}$}
     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
     \gsave
     \psline(0,0)(1,0)
%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
     \grestore
     \psline(0.4,0)(0,0)}
\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle [0 ; 1], $g(x)$ en fonction de $x,~f(x)$ et $F(x)$.
\item \textbf{D\'emonstration de cours} D\'emontrer que $F$ est
d\'erivable et a pour d\'eriv\'ee $f$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].
\item \begin{enumerate} \item Par des consid\'erations d'aires, montrer que
$g(0) \leqslant \cfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.
\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1]
tel que $g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e de l'aire de $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}}



\end{document}
