\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices
\newcommand{\ch}{Chapitre 10}
\newcommand{\Ch}{Produit Scalaire dans l'espace}		
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}		
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=2.4cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.7cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\debutExoCha


\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé \Oijk , on donne le point $A(-1;2;0)$.
 \begin{enumerate}
  \item Rappeler la définition de la sphère $(S)$ de centre $A$ de rayon $3$.
  \item Démontrer qu'une équation de $(S)$ est :
  $$x^2+y^2+z^2+2x-4y-4=0$$
  \item Déterminer les points $I$ et $J$ communs à $(S)$ et à la droite passant par $A$ et de vecteur directeur 
  $\vec u \left(-1 ; \dfrac12 ; 1 \right)$
  \item Sans calculs, déterminer $IJ$.
  \item Justifier que $(S)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que 
  $\overrightarrow{MI}\cdot \overrightarrow{MJ}=0$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Norme et équation cartésienne de sphère}\\
 Dans un repère orthonormé \Oijk de l'espace : 
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ 
  tels que 
  \begin{center}
\fbox{$(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2+(z-z_{\Omega})^2=r^2$}
\end{center}
où $(x_{\Omega};y_{\Omega};z_{\Omega})$ sont les coordonnées du centre de la sphère $S$ et $r$ son rayon.
%\item Rappeler l'équation cartésienne d'un cercle $\mathscr C$ de centre $\Omega$ et de rayon $r$ dans le plan muni d'un repère
%orthonormé \Oij.
   \item \textbf{Application 1 } : Pour chacune des équations suivantes, dites si c'est l'équation d'une 
   sphère dans l'espace. \\
   Si oui, préciser son centre et son rayon.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^2+y^2+z^2-2x+y-6z=-10$
%\item $x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+9=0$
\item $x^2+y^2+z^2-2x-6y+11=0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
  \item \textbf{Application 2 } : On donne les points $A(-1;2,2)$, $B(1,2,2)$ et $C(1;-2,2)$.
  \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Démontrer que les trois points $A$, $B$ et $C$ sont sur une sphère $(S)$ de centre $D(0;0;4)$ 
  dont on précisera le rayon.
 \item En déduire une équation cartésienne de $(S)$.
  \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(IO)$ où $I$ désigne le milieu du segment $[AB]$.
 \item Déterminer les points d'intersection de $(OI)$ et de la sphère $(S)$.
          \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item Montrer que $OA=OB=OC$.
         \item En déduire une deuxième sphère $(S')$ passant par $A$, $B$ et $C$, et en donner une équation cartésienne.
        \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{Pour aller plus loin}\\
 Dans cet exercice, on cherche à montrer qu'il existe un infinité de sphères passant par trois points donnés.\\
 On appelle \textbf{plan médiateur} d'un segment $[AB]$ l'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$.
 \begin{enumerate}
        \item On reprend les points de l'application 2 de l'exercice précédent.
        \begin{enumerate}
               \item Montrer qu'un point $M(x;y;z)$ appartient au plan médiateur $\Pi_1$ de $[AB]$ si et seulement si $x=0$.
        \item Montrer qu'un point $M(x;y;z)$ appartient au plan médiateur $\Pi_2$ de $[BC]$ si et seulement si $y=0$.
        \item Caractériser l'intersection $d$ de $\Pi_1$ et $\Pi_2$.
        \item Que pouvez-vous en déduire sur les coordonnées du centre $\Omega$ d'une sphère $(S)$ passant par $A$, $B$ et $C$ ?
        \item Soit $E(0;0;t)$ avec $t\in\R$. Montrer que $E$ est le centre d'une sphère passant par $A$, $B$ et $C$.
        \item Conclure.
              \end{enumerate}
   \item Dans l'espace, existe-t-il toujours une infinité de sphère passant par trois points donnés ? Justifier.
   \item Dans le plan, combien existe-t-il de cercle(s) passant par trois points donnés ? Justifier.
 \end{enumerate}

\end{ExoF}



 %Exercices corrigés et applications p 295 et p 297
\begin{minipage}{10cm}
\begin{ExoF}
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête $a$. $I$ est le centre de la face $ABCD$ et $J$ le milieu du segment $[AE]$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{EH}$ et $\overrightarrow{FI} \cdot \overrightarrow{DB}$.
 \item Déterminer les longueurs des côtés du triangle $IJH$.
 \item En déduire à $0,1^{\circ}$ près, la mesure de l'angle géométrique $\widehat{IJH}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\begin{ExoF}
 On reprend la figure de l'exercice précédent.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les produits scalaires suivants :
  $$\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{GB} \qquad ; \qquad  \overrightarrow{GI} \cdot \overrightarrow{DB}
  \qquad ; \qquad \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{CB} \qquad ; \qquad \overrightarrow{HJ} \cdot \overrightarrow{JB}$$ 
\item Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{HJB}$ à $0,1^{\circ}$ près.
  \end{enumerate}
\end{ExoF}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
 \begin{center}
  \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.89,-0.59)(6.61,7.5)
\pspolygon(0,4)(4,4)(6,7)(2,7)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(6,3)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](6,3)(2,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,3)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(4,4)
\psline[linecolor=zzttqq](4,4)(6,7)
\psline[linecolor=zzttqq](6,7)(2,7)
\psline[linecolor=zzttqq](2,7)(0,4)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(6,3)(6,7)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,7)(2,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,3)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0)(6,3)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](0,2)(3,1.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](2,7)(0,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=red](3,1.5)(2,7)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.16514867741462683}{1.1902899496825317}{0.69*cos(t)+0|0.69*sin(t)+2}\lineto(0,2)\closepath}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.31,-0.31){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4,0)
\rput[bl](4.14,-0.38){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,3)
\rput[bl](6.17,2.71){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3)
\rput[bl](1.53,3.01){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,4)
\rput[bl](-0.36,4.09){\xdxdff{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4,4)
\rput[bl](4.21,3.95){\blue{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,7)
\rput[bl](6.1,7.13){\blue{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,7)
\rput[bl](2.09,7.13){\blue{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,1.5)
\rput[bl](3.1,1.65){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,2)
\rput[bl](-0.31,1.99){\darkgray{$J$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{center}
\end{minipage}


\begin{ExoF}
 Dans un repère orthonormé \Oijk , on donne les points $A(-1;1;2)$, $B(0;1;0)$ et $C(2;0;3)$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les produits scalaires :
   $$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} \qquad ; \qquad  \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
\qquad ; \qquad \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$$
 \item Déterminer une valeur approchée, à $0,1^{\circ}$, les mesures en degrés des angles géométriques :
 $\widehat{CAB}$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCA}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soient $ABCD$ un tétraèdre régulier de côté $a$ et $I$ le milieu du segment $[BC]$.\\
 Déterminer un valeur approchée en degré de la mesure de l'angle $\widehat{AID}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 On considère un tétraèdre régulier $ABCD$, $I$ et $J$ les milieux respectifs des arêtes $[AB]$ et $[CD]$.\\
 $G$ est le milieu du segment $[IJ]$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{GA} \cdot \overrightarrow{GC}$.
  \item En déduire à $0,1^{\circ}$  près la mesure de l'angle $\widehat{AGC}$.
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère un tétraèdre $ABCD$, dans lequel la face $ABC$ est un triangle équilatéral de côté $1$, et les faces $ACD$ et
 $BCD$ sont des triangles isocèles rectangles en $C$.
 \begin{itemize}
  \item Calculer les produits scalaires $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB}$. puis 
  $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$.
  \item Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $B$ dans le triangle $ABD$. En exprimant d'une autre façon le 
  produit scalaire $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$, déterminer la position de $H$ sur le 
  segment $[AD]$.
  \item Calculer une valeur approchée de l'angle géométrique $\widehat{HCB}$.
 \end{itemize}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Etablir l'équivalence :
$$ \left| \overrightarrow{u}\cdot \vec{v}\right|=\left|\left|\vec{u}\right|\right|\times \left|\left|\vec{v}\right|\right|
\Longleftrightarrow \vec{u}\text{ et }\vec{v}\text{ sont colinéaires.}$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère les points $A(3;4;-2)$, $B( 1;6;0)$ et 
$C(-2;2;1)$.\\
Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Donner une équation cartésienne du plan passant par $A$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur normal, dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A(3;-1;2)$ et $\vec{n}(1;0;-4)$
\item $A(1;-1;0)$ et $\vec{n}(1;1;-2)$
\item $A(-2;1;2)$ et $\vec{n}=\vec{i}+\vec{j}$
\item $A(3;4;5)$ et $\vec{n}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{5}\right)$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Verifier que chaque équation proposée est l'équation cartésienne d'un plan et trouver un point de ce plan et un vecteur normal :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $3x-5y+z-1=0$ 
\item $x=y$
\item $3z-x-3=0$
\item $y=-2x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Dans chaque cas, donner une équation cartésienne du plan $P$ (déterminer d'abord un point de ce plan et un vecteur normal) :
\begin{enumerate}
\item $P$ est le plan médiateur du segment $[AB]$ avec $A(-1;3;1)$ et $B(0;5;-3)$.
\item $P$ est le plan orthogonal à la droite $(AC)$ passant par l'orthocentre du triangle $ABC$ avec $A(3;0;4)$, $B(-1;1;1)$ et $C(2;0;0)$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
Quelle est l'équation générale d'un plan parallèle au plan $(xOy)$ ? 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Quelle est l'équation générale d'un plan perpendiculaire au plan $(xOy)$ ? 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $P:2x-z=0$ et $d : \left\{ \begin{array}{l} x=t-1\\ y=-3t \\ z=2  \end{array} \right.\qquad \text{où } t\in\R$. \\
Déterminer les coordonnées du point $A=P\cap d$. 
\end{ExoF}
 


\begin{ExoF}
On donne $A(1 ; -1 ; 0)$, $B(0 ; -1 ; 1)$, $C(3 ; -2 ; 0)$ et $D(2 ; -3 ; 3) $.\\
Etudier l'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.  
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
Donner une représentation paramétrique de la droite $d$ définie, intersection des plans $P$ et $Q$ d'équations respectives :
$$ P : 2x+y-z-2=0\qquad \text{et}\qquad Q : x+3y+7z -11=0 $$ 
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
 Déterminer l'intersection des plans $P$, $Q$ et $R$ avec :
$$ P : 2x+3y-2z-2=0\qquad \text{ou}\qquad  Q : 4x-3y+z-4=0\qquad \text{ou}\qquad R : 2x+12y-7z-2=0$$
\end{ExoF}

%\pagebreak

\Cr{Annales}
\section{Nouvelle-Calédonie mars 2011}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
 
On considère les points A$( -2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.  
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. 
		\item En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$. 
\item Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et

$x - 2y + 6z = 0$.

Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
paramétriques est $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2\\
y&=& -1 +  3t\\
z&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$. 
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection. 
\item  Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
		
%\medskip
		 
%\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
 
		\item Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$. 
		%\item Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section{Antilles, sept 2011}
L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.
 
On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : 

A$(-1~;~2~;~1)$ , B$(1~;~- 6~;~-1)$ et C (2~;~2~;~2). 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\left(\begin{array}{r}1\\1\\- 3\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $P$ le plan d'équation : $x - y + z - 4 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans (ABC) et $P$ sont sécants. 
		\item Soit $D$ la droite intersection des plans $P$ et (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la sphère $S$ de centre $\Omega(3~;~1~;~3)$ et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées $(2~;~-1~;~1)$. On admet que la droite $D$ a pour représentation paramétrique:
 
\[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\ 
y &=& -3 + 2t\\
z &=&t,
\end{array}\right.\quad  t \in \R.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point I appartient à la droite $D$. 
		\item Montrer que le point I appartient à la sphère $S$. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
Montrer que la droite $D$ coupe la sphère $S$ en un deuxième point. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Centres étrangers juin 2012}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. \\
On se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.\\
On considère les points I$\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, J$\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$, K$\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$ et L$(a~;~1~;~0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].\\

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie A}}\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

\item Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique 
\begin{center}
$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
y=t'\\
z=1-t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$
\end{center}

\item Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, $a=\dfrac{1}{4}$.
\end{enumerate}
\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Partie B}}\\

\noindent Dans la suite de l'exercice, on pose $a=\dfrac{1}{4}$.\\
Le point L a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~0\right)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.\\

\item La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.	.\\
On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH).
\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psframe(0.3,0.2)(4,4)
\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)
\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)
\uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} 
\uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E}
\psdots(1.53,0.2)(0.65,4.28)(4.17,5.1)
\uput[d](1.53,0.2){I}
\uput[d](0.65,4.28){K}
\uput[d](4.17,5.1){J}
\uput[d](0.3,2.48){M}
\uput[r](5.4,2.88){N}
\uput[r](4.35,0.5){L}
\psline(0.65,4.28)(4.17,5.1)
\psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48)
\psline(0.3,2.48)(1.53,0.2)
\psline[linestyle=dashed](1.53,0.2)(4.35,0.5)
\psline(5.4,2.88)(4.35,0.5)
\psline[linestyle=dashed](5.4,2.88)(4.17,5.1)
\end{pspicture}
\end{center}
\emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.}

\begin{enumerate}
\item Prouver que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (8~;~9~;~5) est un vecteur normal au plan (IJK).

\item En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x+9y+5z-11=0$.

\item En déduire les coordonnées des points M et N
\end{enumerate}
 

\end{enumerate}

\section{Pondichéry avril 2012}

\medskip

Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 

\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
 
\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	-3 - 2t \\
y&=& 	2t\\ 
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \R.\] 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

\medskip
 
\textbf{Proposition 1}
 
La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

 
\textbf{Proposition 3 }

L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &	1 - t' \\
y&=	& - 1 -	2t'\\ 
z&=	&t'
\end{array}\right. \quad t' \in \R.\] 
 
\textbf{Proposition 4}
 
Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires.

\section{Nouvelle-Calédonie novembre 2011}
\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les points: A(0~;~0~;~2), B(0~;~4~;~0) et C(2~;~0~;~0).

\medskip
 
\begin{enumerate}
%\item 
%	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$. 
%		\item Calculer la distance du point O au plan (ABC).
%	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation du plan $P$ passant par A et orthogonal à la droite (BC). 
		\item Soit $\Delta$ la droite intersection du plan $P$ et du plan (ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\Delta'$ la médiane issue de B du triangle ABC.
		 
Montrer qu'une équation paramétrique de $\Delta'$ dans le triangle ABC est : 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t \\
y &=& 4 - 4t,\\
z &=& t
\end{array}\right. \quad  t \in \R.\]
  
		\item Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.
	\end{enumerate}		 
\item Soit H le point d'intersection des droites $\Delta$ et $\Delta'$. Montrer que le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{9}~;~\dfrac{4}{9}~;~\dfrac{8}{9}\right)$.

Que représente le point H pour le triangle ABC ?  
\item Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). %Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC). 
\end{enumerate}

\section{Polynésie septembre 2011}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $\text{EF}^2 = \vect{\text{EF}}^2 = \vect{\text{EF}} \cdot  \vect{\text{EF}}$. 

Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a :  

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\]
 
\item Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que 

\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 =  \text{AB}^2.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.
 
On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et 

$x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives $(-1~;~0~;~4)$ et $(3~;~-4~;~2)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.
 
On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q). 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$. 
		\item Montrer que $\vect{u}(1~;~-2~;~5)$ est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$. 
		\item Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2$.
 
Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$. On précisera les coordonnées de ces points. 
\end{enumerate}

\section{Antilles-Guyane juin 2011}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère la droite $D$ passant par le point $A$ de coordonnées $(3~;~-4~;~1)$ et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~-3~;~1)$.

On considère la droite $D'$ dont une représentation paramétrique est:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&-1-t\\
y&=&2+t\quad(t\in\R)\\
z&=&1-t
\end{array}
\right.
\]
On admet qu'il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites  $D$ et $D'$. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$ et de calculer la distance entre les droites $D$ et $D'$, distance qui sera définie à la question \textbf{5.}

On note $H$ le point d'intersection des droites $D$ et $\Delta$, $H'$ le point d'intersection des droites $D'$ et $\Delta$. On appelle $P$ le plan contenant la droite $D$ et la droite $\Delta$. On admet que le plan $P$ et la droite $D'$ sont sécants en $H'$. Une figure est donnée en \textbf{annexe 2}.
\begin{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(1~;~0~;~-1)$. Démontrer que $\vect{w}$ est une vecteur directeur de la droite $\Delta$.
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~2~;~3)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan $P$.
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $3x + 2y + 3z - 4 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point $H'$ a pour coordonnées $(-1~;~2~;~1)$.
		\item En déduire une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $H$.
		\item Calculer la longueur $HH'$.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point $M$ appartenant à $D$ et tout point $M'$ appartenant à $D'$, $MM'\geqslant HH'$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\vect{MM'}$ peut s'écrire comme la somme de $\vect{HH'}$ et d'un vecteur orthogonal à $\vect{HH'}$.
		\item En déduire que $\left\vert\left\vert \vect{MM'}\right\vert\right\vert^2 \geqslant \left\vert\left\vert \vect{HH'}\right\vert\right\vert^2$ et conclure.
	\end{enumerate}
\emph{La longueur $HH'$ réalise donc le minimum des distances entre une point de $D$ et une point de $D'$. On l'appelle distance entre les droites $D$ et $D'$}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Annexe (non spé)}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-3)(6,8)
\psline(-4,6)(-4,0)
\psline(-4,0)(0,-1)
\psline(0,-1)(0,5)
\psline(0,5)(-4,6)
\psline(0,5)(4,6)
\psline(4,6)(4,0)
\psline(4,0)(0,-1)
\psline(0,3)(-8,5)
\psline(0,0)(8,2)
\psline(0,-0.25)(0.25,-0.19)
\psline(0.25,0.06)(0.25,-0.19)
\psline(-0.25,2.81)(0,2.75)
\psline(-0.25,2.81)(-0.25,3.06)
\pscustom{\parametricplot{-1.5707963267948966}{-0.24497866312686378}{0.83*cos(t)+-4|0.83*sin(t)+6}\lineto(-4,6)\closepath}
\psline(0,7)(0,-3)
\rput[tl](-0.48,7.09){$\Delta$}
\uput[90](-5.4,4.35){$D$}
\uput[30](0,3){$H$}
\uput[-150](0,0){$H'$}
\uput[90](5,1.25){$D'$}
\psdots[dotstyle=x](-3,3.75)
\uput[-90](-3,3.75){$A$}
\uput[-52](-4,6){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\section{Métropole, sept 2011}
L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. 

\begin{center}\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center}
 
On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b \vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.
 
Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\vect{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$.

 
\begin{center}\textbf{Partie B - Questionnaire à choix multiples }  \end{center}

\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.}
 
\emph{Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}

\medskip
 
On désigne par $P$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z = 0$ et par A et B les deux points du plan $P$ de coordonnées respectives (1~;~2~;~0) et (0~;~3~;~1).
 
\begin{enumerate}
\item Soient C, D, E les points de coordonnées respectives $(1~;~1~;~-1)$, $(-1~;~4~;~2)$, $(1~;~5~;~1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les points A, B, C définissent le plan $P$. 
		\item Les points A, B, D définissent le plan $P$. 
		\item Les points A, B, E définissent le plan $P$. 
	\end{enumerate}
\item La droite $D$ est définie par la représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r} 
x &=&1 - t\\ 
y &=&\phantom{+}t, 	\\ 
z &=& 2 + t
\end{array}\right. \quad t \in \R.$ 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est incluse dans le plan $P$.
	\end{enumerate}
\item Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, de coordonnées (2~;~5~;~1), et de rayon $\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des points communs à la sphère $S $
et au plan $P$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item vide, 
		\item constitué d'un seul point, 
		\item un cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 

\section{Liban juin 2010}



L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
 
On note (D) la droite passant par les points A$(1~;~- 2~;~-1)$ et B$(3~;~- 5~;~- 2)$. 
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (D) est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t\\ 
y&=& - 2 - 3t\\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~ t \in \R.\]  
\item  On note (D$'$) la droite ayant pour représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r} 
x&=&2 - k\\ 
y&=&1 + 2k\\
z&=&k  
\end{array}\right. \quad  \text{avec}~k \in \R.\] 

Montrer que les droites (D) et (D$'$) ne sont pas coplanaires. 
\item On considère le plan (P) d'équation $4x + y + 5z + 3 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan (P) contient la droite (D). 
		\item Montrer que le plan (P) et la droite (D$'$) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\item On considère la droite $(\Delta)$ passant par le point C et de vecteur directeur $\vect{w}(1~;~1~;~- 1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les droites $(\Delta)$ et (D$'$) sont perpendiculaires. 
		\item Montrer que la droite $(\Delta)$ coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\section{Centres étrangers juin 2010}



Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\bigskip
 
\textbf{Question 1}

\medskip
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les droites ($\mathscr{D}_{1}$) et ($\mathscr{D}_{2}$) de représentations paramétriques :

\[(\mathscr{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l c r}
x&=& - 1 + 2t\\  
y&=& - 3t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right. (t \in \R) \quad \text{et} \quad (\mathscr{D}_{2}) 
\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 1 - 2t\\
y&=& 5 - t\\ 	
z&=&-2 + t
\end{array}\right. (t \in \R).\]
 
\emph{Affirmation} : 
Les droites ($\mathscr{D}_{1}$) et ($\mathscr{D}_{2}$) sont orthogonales.

\medskip
 
\textbf{Question 2}

\medskip
 
Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathscr{D})$ de représentation paramétrique :

\[(\mathscr{D})\left\{\begin{array}{l c r}
x& =& 1 + 4t\\ 
y&=& - 2 + 2t\\
z&=&3 - 2t
\end{array}\right. (t \in \R).\]
 
\emph{Affirmation} :
Le plan $(\mathscr{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathscr{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$.

\section{Pondichéry avril 2010}


 
L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration pourra consister à fournir un contre-exemple.}
 
\begin{enumerate}
\item  La droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x& =& t + 2\\
y &=& -2t\\
z &=& 3t - 1
\end{array}\right.,~ t \in \R$ est parallèle au plan dont une  
équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$. 
\item Les plans $P,~ P',~ P''$ 	d'équations respectives \quad  $x - 2y + 3z = 3$, \quad
$2x + 3y - 2z = 6$ \quad et \quad  $4x - y + 4z = 12$ \quad n'ont pas de point commun.
\item  Les droites de représentations paramétriques respectives 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 - 3t\\
y&=& 1 + t \\
z&=&-3 + 2t
\end{array}\right.,~  t \in \R$ \quad	et \quad $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 7 + 2u\\ 
y &=& 2 + 2u\\
z&=&- 6 - u
\end{array}\right.,~u\in \R$ \quad  sont sécantes. 
\item On considère les points :
 $A(-1~;~0~;~2)$, $B(1~;~4~;~0)$, et $C(3~;~-4~;~-2)$.

Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$. 
%\item On considère les points :
% $A(-1~;~1~;~3)$, $B(2~;~1~;~0)$, et $C(4~;~-1~;~5)$.\\
%On peut écrire C comme barycentre des points A et B. 
\end{enumerate}


\section{Amérique du Sud  novembre 2009}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les points A de coordonnées $(3~;~-2~;~2)$, B de coordonnées $(6~;~-2~;~-1)$, 
C de coordonnées $(6~;~1~;~5)$ et D de coordonnées $(4~;~0~;~-1)$.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle. En déduire l'aire du triangle ABC.
	\item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(1~;~-2~;~1)$ est normal au plan (ABC).
	
Déterminer une équation du plan (ABC).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $Q$ le plan d'équation $x-2y+z-5=0$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la position relative des deux plans $Q$ et (ABC).
	\item $Q$ coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.
	
	Déterminer les coordonnées de E et montrer que E appartient au segment $[\text{DA}]$.
\end{enumerate}

\section{La Réunion juin 2009}

 
Soient A(1~;~2;~0), B(2~;~2;~0), C(1~;~3;~0) et D(1~;~2;~1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\vec i, \vec j, \vec k)$.
 
(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; 

(Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ;

(R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. 

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. 

On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
 x-y+1&=&0\\	- y + z + 2 &=& 0\\ -x + z + 1 &=&0
 \end{array}\right. $
	\item En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1). 
	\item Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD).
	 
En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). 

\medskip

\emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères $(O\vec{i};\vec{j})$,~$\left(\text{O}~;~\vec{i},~\vec{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vec{j},~\vec{k}\right)$.} 

\end{enumerate}

\section{Centres étrangers juin 2009}



On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i}; \vec{j};\vec{k})$. 

On considère les points A(3~;~4~;~0) ; B(0~;~5~;~0) et C(0~;~0~;~5). On note I le milieu du segment [AB]. 

\begin{enumerate}
\item Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère $(O,\vec{i}; \vec{j};\vec{k})$. 
\item Démontrer que les triangles OAC et OBC sont rectangles et isocèles.
 
Quelle est la nature du triangle ABC ? 
\item  Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. 

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points H,  C, I sont alignés. 
	\item Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). 
	\item En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
	\end{enumerate} 
\item Calculs d'aire et de volume. 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du triangle OAB. En déduire le volume du tétraèdre OABC. 
	\item Déterminer la distance du point O au plan (ABC).
	\item Calculer l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\section{Pondichéry avril 2009}

  
Dans un repère orthonormé de l'espace $(O,\vec i, \vec j, \vec k) $ on considère les points : 

A de coordonnées (1~;~1~;~0), B de coordonnées (2~;~0~;~3), C de coordonnées $(0~;~- 2~;~5)$ et D de coordonnées $(1~;~- 5~;~5)$.

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse:
  
\textbf{Proposition 1 :} L'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x,~y,~z)$ tels que $y = 2x + 4$ est une droite.

\medskip
\textbf{Proposition 3 :} A, B, C et D sont quatre points coplanaires. 

\medskip
\textbf{Proposition 4 :} La sphère de centre $\Omega$ de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 est tangente au plan d'équation : $2x+ 2y + z+ 3 = 0$.



\section{Amérique du Sud novembre 2008}


 
Une unité de longueur étant choisie dans l'espace, on considère un pavé droit 

\mbox{ABCDEFGH} tel que : AB = 1, AD = 2 et AE = 1.

On appelle I le milieu de [AD].

\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(8,4)
\pspolygon(0.4,0.4)(5.7,0.25)(7.8,1.25)(7.75,4)(2.4,4.2)(0.3,3.2)%BCDHEF
\psline(5.7,0.25)(5.6,3.1)(7.75,4)(0.3,3.2)(5.6,3.1)(7.75,4)%CGHFGH
\psline[linestyle=dashed](0.4,0.4)(2.4,1.3)(2.4,4.2)%BAE
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.3)(7.8,1.25)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.3,3.2)(5.2,1.3)(5.6,3.1)%FIG
\psline[linestyle=dashed](5.2,1.3)(7.75,4)%IH
\uput[d](2.4,1.3){A} \uput[dl](0.4,0.4){B} \uput[d](5.7,0.25){C} 
\uput[dr](7.8,1.25){D} \uput[u](2.4,4.2){E} \uput[ul](0.4,3.2){F} 
\uput[u](5.7,3.1){G} \uput[ur](7.8,4){H} \uput[d](5.2,1.3){I} 
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}} ~;~\vect{\text{AI}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer, dans le repère choisi, les coordonnées des points F, G, H.

%\item 
%	\begin{enumerate}
%		\item  Montrer que le volume V du tétraèdre GFIH est égal à $\dfrac{1}{3}$.
		\item  Montrer que le triangle FIH est rectangle en I.
		
%    En exprimant V d'une autre façon, calculer la distance $d$ du point G au plan  (FIH).
 %   	\end{enumerate}
\item Soit  le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(2~;~1~;~- 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (FIH).
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (FIH).
		%\item Retrouver par une autre méthode la distance $d$ du point G au plan (FIH).
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La droite (AG) est-elle perpendiculaire au plan (FIH) ?
		\item  Donner un système d'équations paramétriques de cette droite.
		\item  Déterminer les cordonnées du point d'intersection K de (AG) et de (FIH).
	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en considération dans l'évaluation.}

Soit $\Gamma$ la sphère de centre G passant par K.

Quelle est la nature de l'intersection de $\Gamma$ et du plan (FIH) ?

(On ne demande pas de préciser les éléments caractérisant cette intersection)
\end{enumerate}

\section{Asie  juin 2008}


\textbf{A -Vrai ou faux ?}
 
\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration
consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.}

\medskip

 \emph{Rappel des notations :
\setlength\parindent{5mm} \begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$.\\
\item[$\bullet~$]  L 'écriture $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ n'ont aucun point commun.
\end{itemize} \setlength\parindent{0mm} }

\begin{enumerate}
\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset,\]
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} \neq \emptyset.$

\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset\]
alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont tels que : $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2}= \emptyset$  et $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}= \emptyset$.
\item  Si $\mathscr{P}_{1},~\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{3} = \emptyset,\]
 alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2}$ et $\mathscr{P}_{3}$ vérifient : $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}  \neq \emptyset.$

\item  Si $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathscr{D}$ une droite de l'espace vérifiant :
\[\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{D}  \neq \emptyset$ \end{enumerate}

\medskip

\textbf{B - Intersection de trois plans donnés}

\medskip
 
Dans un repère orthonorrnal de l'espace on considére les trois plans suivants :


\setlength\parindent{5mm}
 \begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{1}$ d'équation $x+ y -z = 0$
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{2}$	d'équation $2x+y+z - 3 =0$,
\item[$\bullet~$] $\mathscr{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z+3 = 0$.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{enumerate}
\item  Justifier que les plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation
paramétrique de leur droite d'interseclion, notée $\Delta$.

\item  En déduire la nature de l'intersection $\mathscr{P}_{1} \cap \mathscr{P}_{2} \cap \mathscr{P}_{3}$.
\end{enumerate}


\section{Pondichéry avril 2008}


\parbox{0.45\linewidth}{On considère un tétraèdre $ABCD$.

On note $I,~ J,~ K,~ L,~ M,~ N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],~ [CD],~[BC],~[AD],~[AC]$ et $[BD]$.

On désigne par $G$ l'isobarycentre des points
$A,~B,~C$ et $D$.} \hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5)
\pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD
\psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7)
\uput[dl](0,1.25){$A$} \uput[ul](3.25,4){$B$} \uput[dr](4.4,0.7){$C$} \uput[d](2.2,0){$D$} 
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$.

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB =  CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$.

 (On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial, car ses faces sont isométriques).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM$.
		\item  En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$.
		\item   Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la
droite $(AB)$. Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD)$.
		\item  Montrer que $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$.
		\item   \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
Comment démontrerait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \section{Amérique du Sud novembre 2007}

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

\begin{enumerate}
\item On considère le point A de coordonnées $(-2~;~8~;~4)$ et le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~5~;~-1)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par A et de vecteur directeur $\vect{u}$.
\item 	On considère les plans (P) et (Q) d'équations cartésiennes respectives $x - y - z = 7$ et $x - 2z=11$.

	Démontrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $(d')$.
	
Montrer que le vecteur de coordonnées $(2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $(d')$.
\item 	Démontrer que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas coplanaires.
\item On considère le point H de coordonnées $(-3~;~3~;~5)$ et le point H$'$ de coordonnées $(3~;~0~;~-4)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que H appartient à $(d)$ et que H$'$ appartient à $(d')$.
		\item  Démontrer que la droite (HH$'$) est perpendiculaire aux droites $(d)$ et $(d')$.
		\item  Calculer la distance entre les droites $(d)$ et $(d')$, i.e la distance HH$'$.
	 \end{enumerate}
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vect{M\text{H}'} \cdot \vect{\text{HH}'} = 126$.
\end{enumerate}

\section{Métropole  juin 2008}


Dans l'espace muni d'un repère orthonormal 
\Oijk, on considère les points
\[\text{A}(1~;~1~;~0),	\text{B}(1~;~2~;~1)~ \text{et}~ \text{C}(3~;~ - 1~;~2).\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item  Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne \\
		$2x + y - z -3 =0$.
 	\end{enumerate}
\item On considère les plans ($P$) et ($Q$) d'équations respectives $x + 2y - z - 4 = 0$ et $2x + 3y - 2z - 5 = 0$.\\
Démontrer que l'intersection des plane ($P$) et ($Q$) est une droite ($\mathscr{D}$), dont une représentation
paramétrique est :
	\[  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=&3 \\	
z&=&t\\
	\end{array} \right. (t \in \R)\]
	
\item Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), ($P$) et ($Q$) ?

\end{enumerate}



\end{document}

