\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions}
\newcommand{\Ch}{Nombres complexes}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Annales \`a th\`eme}
\newcommand{\Cl}{TG6}
%\newcommand{\num}{10}	
%\newcommand{\tps}{4h}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha

\section{Pondichéry avril 2013 \hfill (5 points)}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
  
On note i le nombre complexe tel que $\text{i}^2 = - 1$.
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \text{i}$.
 
À tout point $M$ d'affixe $z_{M} = x + \text{i}y$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M'$ d'affixe $z_{M'} = - \text{i}z_{M}$.
 
On désigne par $I$ le milieu du segment [A$M$].
 
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point $M$ n'appartenant pas à (OA), la médiane (O$I$) du triangle OA$M$ est aussi une hauteur du triangle OB$M'$ (propriété 1) et que B$M' = 2 \text{O}I$ (propriété 2). 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend 

$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$. 
		\item Montrer que $z_{M'} = - \sqrt{3} - \text{i}$.
		
Déterminer le module et un argument de $z_{M'}$. 
		\item Placer les points A, B, $M, M'$ et $I$ dans le repère \Ouv{ }en prenant 2~cm pour unité graphique.
		 
Tracer la droite (O$I$) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
	\end{enumerate} 
\item On revient au cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Déterminer l'affixe du point $M'$ en fonction de $x$ et $y$. 
		\item Écrire les coordonnées des points $I$, B et $M'$. 
		\item Montrer que la droite (O$I$) est une hauteur du triangle OB$M'$. 
		\item Montrer que B$M' = 2 \text{O}I$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage
\section{Un Exercice type Bac}
\begin{ExoF} \\
 \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}\\\\
 \textbf{Partie A :} \hfill \textbf{(2 points)}\\
 Résoudre dans $\C$ les équations suivantes.\\
 \textbf{\textit{Les solutions seront données sous forme algébrique}.}
 $$(E_1) : 3iz+2=z-i \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad (E_2) : 12z^2+5z+1=0$$
  \textbf{Partie B :} \hfill \textbf{(8 points)}\\
  On définit la fonction polynôme $f$ sur $\C$ à valeurs dans $\C$ par :
  $$f(z)=z^3-\left(2+i\sqrt{2}\right)z^2+2\left(1+i\sqrt{2}\right)z-2i\sqrt{2}$$
  \begin{enumerate}
   \item  \begin{enumerate}
          \item Montrer que si $z$ est un nombre imaginaire pur, noté $z=iy$ (avec $y\in\R$), alors
           $$f(iy)=2y\left(y-\sqrt{2}\right)+i\left(-y^3+\sqrt{2}y^2 + 2y-2\sqrt{2}\right)$$
          \item En déduire que l'équation $f(z)=0$ possède exactement une solution imaginaire pure,
          que l'on précisera.
         \end{enumerate}
 \item %On considère désormais $z\in\C$ quelconque. 
 \begin{enumerate}
  \item Trouver deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z \in \C$ on ait :
  $$f(z)=(z^2+az+b)\left(z-i\sqrt{2}\right)$$
  \item En déduire l'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $f(z)=0$.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Placer dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec u ; \vec v)$, les images 
        des points $A$, $B$ et $C$ des solutions de l'équation $f(z)=0$. \hfill \textit{On notera la cohérence ...}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,
arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)
(-5,-3)(5,3)
\end{pspicture*}
\end{center}
\item \textbf{Bonus : } Calculer $|z_A|$, $|z_B|$ et $|z_C|$.\\
        En déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
       \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 Déclic : Puis voir les exercices proposés dans le livre, notés type bac, car ils sont bien. L'état d'esprit sur ce chapitre a trop changé
pour pouvoir proposer des annales judicieuses, en plus de celles déjà traitées ...\\
n$^{\circ}$ 78-79 p 247 (déjà traités) + 82-84-85-88-89-92 p 248 (et suivantes)
\end{ExoL}



\end{document}
