\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction des M\'ethodes }
\newcommand{\Ch}{Am\'erique du Nord mai 2013}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Chaptitres 1 \`a 13}
\newcommand{\Cl}{TG6}
%\newcommand{\num}{10}	
%\newcommand{\tps}{4h}	
\newcommand{\Annee}{Mai 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}
\footskip=30pt




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{5 points}
 
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ et on dit qu'elles ne sont pas proportionnelles.
\item %Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
%$\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		On calcule les produits scalaires de $\vec u$ avec $\overrightarrow{AB}$ et avec $\overrightarrow{AC}$.\\
		Les deux doivent être nuls pour conclure que $\Delta$ est orthogonale à $(ABC)$.
		\item %En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		On sait du coup que l'équation de $(ABC)$ est du type $2x-y+3z+d=0$. \\
		On trouve $d$ en prenant un point de $(ABC)$, par exemple $A$ et en disant que ses coordonnées vérifient
		l'équation de $(ABC)$. \hfill On trouve $(ABC) : 2x-y+3z +1  = 0$
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		On sait que $\Delta : \left\{\begin{array}{l}
		                              x=x_D +2t \\ y= y_D-t \\ z=z_D+3t
		                             \end{array}\right. , t\in\R$ et on remplace.

		\item %Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
		Les coordonnées $(X,y,z)$ de $H$ vérifient les équations de $(ABC)$ et de $\Delta$, donc on doit résoudre
		un système à 4 équations et 4 inconnues. \\
		On commence par trouver $t$ en remplaçant dans l'équation de $(ABC)$ les $x$, $y$ et $z$ par leur expression
		en fonction de $t$ \hfill $t=-2$\\
		On remplace ensuite $t$ par $-2$ dans les équations de la représentation paramétrique de $\Delta$ pour trouver
		$x$, $y$ zet $z$ \hfill $H(3,1,2)$
	\end{enumerate} 
\item %Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		On vérifie que les vecteurs $\vec v (1,1,1)$ et $\vec w (1,4,0)$ normaux respectivement 
		aux plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ ne sont pas colinéaires. Donc les plans ne sont pas parallèles : 
		ils sont sécants.
		\item %Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
On peut vérifier que $d$ appartient aux deux plans en remplaçant dans chacune des équations des plans les 
$x$, $y$, $z$ par leur expression en fonction de $t$ dans la représentation paramétrique de $d$ et en vérifiant
qu'on a l'égalité voulue.\\
Exemple pour $\mathscr P_1$ : $-4t-2+t+3t+2=0$ donc $d \in \mathscr P_1$\\
\textbf{OU} : on cherche à résoudre le système formé par les deux équations de plan, en fonction de $y$, en posant
$y=t$.\\
$$\left\{\begin{array}{l}
          x+y+z=0 \\ x+4y+2=0
         \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}
          x+z=-y \\ x=-4y-2
         \end{array}\right.$$
         En posant $y=t$ on a donc $\left\{\begin{array}{l}
          x=-4t-2 \\ z= -t-(-4t-2) = 3t+2
         \end{array}\right.$
 D'où la représentation paramétrique de $d$ donnée.
		\item %La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
		$d // (ABC)$ si et seulement si un vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur
		normal de $(ABC)$. Sinon ils sont sécants (se représenter la situation avec une table r le plan et
		des stylos pour les vecteurs). \\
		On calcule donc le produit scalaire de $(-4,1,3)$ et de $\vec u$. \hfill $(ABC)$ et $d$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}

%\newpage

\begin{ExoF}
 \hfill \textbf{5 points}
 
\begin{enumerate}
\item 	\begin{enumerate}
		\item %Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		On peut se faire une trace écrite de l'algorithme sur son brouillon :
		$n=3$ et $u=1$\\
		On entre dans la boucle Pour. $i$ prendra successivement les valeurs $1$, $2$ et $3$ car $n=3$
		Puis $i=1$ donc $u=\sqrt{2 \times 1} = \sqrt{2}$\\
		Puis $i=2$ donc $u=\sqrt{2 \times \sqrt{2}} = \sqrt{2 \sqrt{2}}$\\
		Puis $i=3$ donc $u=\sqrt{2 \times \sqrt{2\sqrt{2}}} = \sqrt{2\sqrt{2 \sqrt{2}}}$\\
		Comme $i=n$, on sort de la boucle Pour et on affiche $u$. A la calculatrice on trouve $u \simeq 1.8340$.
		\item %Que permet de calculer cet algorithme? 
		Pour un $n$ donné en entrée, l'algorithme calcule tous les termes de la suite $(u_n)$ jusqu'à $u_n$ qu'il affiche.
		\item %Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
%Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
On conjecture que $(u_n)$ est croissante et que $\Lim[n]{+\infty} u_n = 2$.		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		On raisonne par récurrence. \\
		Pour $n=0$, $u_0=1 \in]0;2]$ donc la propriété est vrai au rang $0$.\\
		On suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $0<u_k \leq 2$.\\
		Alors $0 < 2u_k \leq 4 \iff 0 < \sqrt{2u_k} \leq \sqrt{4} \iff 0 < u_{k+1} \leq 2$.\\
		Donc la propriété est héréditaire. \hfill Pour tout $n\in\N$ on a bien $0 < u_n \leq 2$.
		\item %Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		On peut refaire une récurrence en considérant la propriété $(u_n)$ est strictement croissante sur $\N$.\\
		L'initialisation consiste à vérifier que $u_0<u_1$.\\
		L'hérédité suit le même shéma que celle de la question 2a).\\
		\textbf{OU} : On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ (un peu compliqué car il faut penser à factoriser
		par $\sqrt{u_n}$ et utiliser le fait que $u_n \leq 2$ pour tout $n\in\N$).\\
		\textbf{OU} : Comme $u_n>0$ pour tout $n\in\N$, on compare la fraction $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
		à 1 (un peu moins compliqué, mais il faut penser à simplifier par $\sqrt{u_n}$ et utiliser $u_n \leq 2$ 
		pour tout $n\in\N$). \\
		\textit{Vue la question précédente, on s'attend sans doute à cette dernière méthode, mais toutes
		conviennent.}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
		Pas besoin de réfléchir, la question est systématique avec les deux précédentes :\\
		$(u_n)$ est croissante et majorée, donc elle converge (vers un réel inférieur ou égal à 2).
	\end{enumerate} 
\item %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
%$v_{0} = - \ln 2$. 
$v_0=...=-\ln(2)$\\
De plus 
\begin{eqnarray*}
v_{n+1} &=& \ln(u_{n+1})-\ln(2) \\
&=& \ln\left(\sqrt{2u_n}\right)-\ln(2) \\
&=& \dfrac12 \ln(2u_n) - \ln(2)\\
&=&\dfrac12 \ln(2) + \dfrac12 \ln(u_n) - \ln(2) \\
&=& \dfrac12 \ln(u_n) -\dfrac12 \ln(2) \\
&=& \dfrac12 \left(\ln(u_n)-\ln(2)\right)\\
&=&\dfrac12 v_n 
\end{eqnarray*}
On conclut.
		\item %Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		Comme $(v_n)$ est géométrique, on sait que $v_n=v_0 \times q^n = 
		-\ln(2) \times \left(\dfrac12\right)^n$ (sans oublier les parenthèses !) que l'on peut encore écrire
		pour faire bonne impression $v_n= -\dfrac{\ln(2)}{2^n}$.\\
		De plus on a $v_n=\ln(u_n)-\ln(2) \iff v_n=\ln\left(\dfrac{u_n}{2}\right) \iff e^{v_n}=\dfrac{u_n}{2}
		\iff 2e^{v_n}=u_n$.\\
		Donc $u_n=2e^{-\ln(2) \times \left(\frac12\right)^n}$ (que l'on peut écrire mieux, mais cela ne présente
		pas particulièrement d'intérêt)
		\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\textit{Il est logique d'utiliser la forme précédente pour déterminer cette limite (même si cette forme
		parait compliquée, on ne vous la fait chercher que dans l'objectif de l'utiliser pour la limite).\\
		On s'y prend donc petit à petit pour ne pas se faire peur.}\\
		On sait que $\Lim[n]{+\infty} \left(\dfrac12\right)^n = 0$ \quad car $-1 <0<1$\\
		Donc $\Lim[n]{+\infty} -\ln(2) \times \left(\dfrac12\right)^n=0$.\hfill 
		Donc $\Lim[n]{+\infty} 2e^{-\ln(2) \times \left(\dfrac12\right)^n}=2 \times e^0 = 2$.\\
		\item %Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :	&$n$ est un entier naturel\\
			& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	& Tant que ($u \leq 1.999$) Faire : \\
& \hspace{0.3cm} \begin{tabular}{|l}
Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
Affecter à $n$ la valeur $n+1$
\end{tabular}\\
& Fin de Tant que \\
Sortie :& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\textit{Remarquons que cet algorithme s'arrêtera forcément.\\
 La suite $(u_n)$ est convergente vers 2 (cf 3c).
 Par définition de la limite, on sait donc qu'il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite
 seront dans l'intervalle $[1.999 ; 2.001]$
 et même dans $[1.999 ; 2]$ car la suite est majorée par 2. Donc notre boucle Tant que s'arrêtera 
 (ce qui n'aurait pas forcément été le cas avec une valeur autre que $1.999$, comme $2$ par exemple).\\\\
  Remarquons aussi que le rang renvoyé par l'algorithme est certes le premier tel que $u_n>1.999$, mais également
 celui à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à $1.999$, puisque 
 la suite $(u_n)$ est croissante (cf 2b).
 }
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}
 
 %\newpage
 
\begin{ExoF} \hfill \textbf{5 points}
 
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$. 
A la calculatrice (plus simple), on trouve $P(390 \leqslant X \leqslant 410)\simeq 0.637$ en tapant :
\begin{center}
 TI82 : \texttt{NormalFRep(390,410,400,11)} \qquad \qquad \qquad TI89 : \texttt{normFdR(390,410,400,11)}
\end{center}
\textbf{OU} on utilise la table de valeurs et un dessin : \quad
$P(390 \leqslant X \leqslant 410)=P(X \leq 410) -P(X\leq 390)\simeq 0.636$
\item %Calculer la probabilité $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 
On cherche $p=P(X \geq 385) = 1-P(X<385)=1-P(X\leq 385) \simeq 0.914$ grâce à la table de valeurs (plus simple).\\
\textbf{OU} à la calculatrice et avec un dessin, on a $p=P(X\geq 385) = \dfrac12 + P(385 \leq X \leq 400) \simeq 0.914$
\item %Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
%Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième.
%On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.
L'indication nous permet de savoir que l'on doit trouver $\sigma$ tel que 
$\dfrac{385-400}{\sigma}=-1.751 \iff \sigma = 8.6$. \\
Mais expliquons cela comme on l'attend de vous.\\
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui modélise la masse d'un pain suivant une loi normale $\mathscr N ( 400 ; \sigma ^2)$.\\
On cherche $\sigma$ tel que 
$$ P(Y \geq 385) = 0.96  \iff ... \iff P(Y\leq 385) = 0.04 $$
\begin{eqnarray*}
 P(Y \geq 385) = 0.96 & \iff &... \iff P(Y\leq 385) = 0.04 \\
 & \iff & P\left(\dfrac{Y-400}{\sigma} \leq \dfrac{385-400}{\sigma}\right) = 0.04\\
 & \iff & P\left(Z \leq \dfrac{385-400}{\sigma}\right) = 0.04\quad \text{où } Z \hookrightarrow \mathscr N(0,1)
\end{eqnarray*}
D'après l'énoncé (ou grâce à la calculatrice), on a donc $\sigma$ tel que $\dfrac{385-400}{\sigma} =-1.751 \iff \sigma = 8.6$.\\
\begin{center}
 TI 82 : \texttt{FracNormale(0.04)} \qquad \qquad \qquad TI 89 : \texttt{invNorm(0.04)}
\end{center}

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300. 
On vérifie les conditions pour faire bonne impression : $n=300 \geq 30$, $np=300 \times 0.96 \geq 5$ et $n(1-p)=300 \times 0.04 \geq 5$
On utilise la formule $I=\left[p-1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ;p+1.96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$\\
On trouve $I \simeq [0.974;0.982]$ (arrondis non précisés).\\
On interprète pour donner bonne impression : ainsi, environ $95\%$ des échantillons de taille $300$ ont
une proportion de pains commercialisables dans l'intervalle $I$.
\item %Parmi les 300~pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables. 
%Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ? 
La fréquence observée sur l'échantillon est $\dfrac{283}{300} \simeq 0.94 \in I$ donc on peut penser (plutôt que décider) 
que l'objectif est atteint.
\end{enumerate}

 
\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item %On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.
La suite nous indique que l'on doit trouver $\lambda \simeq 0.003$. Voyons comment.\\
On nous donne $P(T \geq 30) = 0.913$.\\
Or $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Donc $P(T \geq a)=e^{-\lambda a}$.\\
Ainsi on a $e^{-\lambda \times 30}=0.913 \iff -30\lambda = \ln(0.913) \iff \lambda = -\dfrac{\ln(0.913)}{30} \simeq 0.003$
\item %Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ? 
On calcule $P_{(T\geq 60)}(T \geq 90) = P(T \geq 30)=e^{-0.003 \times 30} \simeq 0.914$\\
\textit{car la loi exponentielle est une loi sans mémoire \textbf{OU} on utilise la formule de probabilité conditionnelle}
\item %Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ? 
Prenons une année non bissextile, cela ne devriat pas changer grand chose. On a $P(T\geq 365) \simeq 0.335$.\\
donc le vendeur a menti.\\
On cherche alors $\alpha$ tel que $P(T \geq \alpha)=0.5 \iff e^{-0.003\alpha}=0.5 \iff ... \iff \alpha \simeq 231.049$.\\
Il y a une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant 231 jours environ.
\end{enumerate}

\end{ExoF}
%\newpage
\begin{ExoF} \hfill \textbf{5 points}
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier la limite de $f$ en $0$. 
		On a $\Lim{0}1+\ln(x)=-\infty$ \quad  et \quad  $\Lim{0} x^2 = 0^+$\qquad 
		Donc $\Lim{0} f(x) = -\infty$ \hfill (ce n'est pas une FI !!)
		\item %Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		$\Lim{+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$ \quad or \quad $f(x) = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}x \times \dfrac{\ln(x)}{x} $\hfill 
		Donc $\Lim{+\infty} f(x) = 0+0\times 0 = 0$
		\item %En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
		$\Lim{0} f(x) = -\infty$  donc $x=0$ est une asymptote verticale à $\mathscr C$.\\
		 $\Lim{+\infty} f(x) = 0$  donc $y=0$ est une asymptote horizontale à $\mathscr C$ en $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  
%Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 
%\[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
\begin{tabular}{llcl}
On pose & $u(x)=1+\ln(x)$ & et & $v(x)=x^2$\\
Alors & $u'(x)=\dfrac1x$ & et &  $v'(x)=2x$
\end{tabular} \hfill  et \quad $f=\dfrac{u}{v}$ \quad donc \quad $f'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$\\
Donc $f'(x)= ... = \dfrac{x-2x(1+\ln(x))}{x^4}=...= \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}$
\item %Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ 00 [$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.
$-1-2\ln(x)>0 \iff -1 > 2 \ln(x) \iff -\dfrac12 > \ln(x) \iff e^{-\frac12} > x$ 	 
%En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 

		\item[\textbf{b. et c.}] %Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
		On a $f\left(e^{-\frac12}\right) = 
		\dfrac{1+\ln\left(e^{-\frac12}\right)}{\left(e^{-\frac12}\right)^2}
		=\dfrac{1-\dfrac12}{e^{-1}}=\dfrac{e}{2}$ \qquad
Donc on a le tableau 
\begin{center}
  \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$ /1,Signe de $x$/1.5, Signe de $1-2\ln(x)$/1.5, Signe de $f’(x)$/1.5,
Variations de $f$/3 }{$0$,$e^{-\frac12}$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{z, + , t , + }
\tkzTabLine{ , + , z , - }
\tkzTabLine{d, + , z , - }
\tkzTabVar{ -/ $-\infty$, +/ $\dfrac{e}{2}$ , -/$0$ } 
\end{tikzpicture} 
 \end{center}
 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. 
		On utilise le TVI : 3 hypothèses à préciser !
		\begin{itemize}
		 \item $f$ est continue sur $]0 ; + \infty[$ comme composées de fonctions continues.
		 \item $f$ est strictement croissante sur $\left]0 ; e^{-0.5}\right[$
		 \item $\Lim{0} f(x) < 0 < f\left(e^{-0.5}\right)$
		\end{itemize}
D'après le corollaire du TVI, il existe un unique $\alpha \in ]0 ; e^{-0.5}[$ tel que $f(x)=0$, donc tel que $\mathscr C$
coupe l'axe des abscisses.\\
De plus, sur $\left]e^{-0.5} ; +\infty\right[$, il est clair que $f$ est strictement positive. Donc il n'y a pas d'autre
point d'intersection entre $\mathscr C$ et l'axe des abscisses.\\
Trouvons ce point : pour cela il faut résoudre l'équation $f(x)=0$.\\
Or $f(x)=0 \iff 1+\ln(x) = 0 \iff \ln(x)=-1 \iff x=\dfrac1e$.\\
Donc le point d'intersection a pour coordonnées $\left(\dfrac1e ; 0 \right)$.
		\item %En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		On en déduit le tableau :
\qquad   \begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=4]{$x$ /1,Signe de $f(x)$/1.2}{$0$,$e^{-1}$, $+\infty$}% 
\tkzTabLine{d, - , z , + }
\end{tikzpicture} 
	\end{enumerate} 
\item %Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
		On est tout d'abord content, car l'on retrouve $\dfrac1e$ calculé à la question précédente.\\
		Ensuite remarquons que $n\geq 1 \geq \dfrac1e$.\\
Pour tout $x \geq \dfrac1e$ on sait que $f(x)\geq 0$ donc $I_2=\int_{\frac1e}^{n} f(x) dx$ est positive.\\
De plus, $\dfrac1e \leq x \leq n \iff 0 \leq f(x) \leq \dfrac{e}2 
\iff 0 \leq \int_{\frac1e}^{2} f(x) dx \leq \int_{\frac1e}^{2} \dfrac{e}2 dx 
\iff 0 \leq I_2 \leq \dfrac{e}2\times \left(2-\dfrac1e \right) =  e-\dfrac12$
%On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ 00 [$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item %Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. 
$I_n=F(n)-F\left(\dfrac1e\right) =  \dfrac{-2-\ln(n)}{n}-\dfrac{-2-\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)}{\dfrac1e}
= \dfrac{-2-\ln(n)}{n} + \left(2+ \ln(e^{-1}) \right)\times e = \dfrac{-2-\ln(n)}{n} +e $ 
		\item %Étudier la limite de In en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Ainsi comme $\Lim[n]{+\infty} \dfrac{\ln(n)}{n}=0$ on a $\Lim[n]{+\infty} I_n = e$. \hfill L'aire converge vers $e$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
 

\end{document}
