\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Devoir d'entra\^inement }
\newcommand{\Ch}{Am\'erique du Nord mai 2013}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Chaptitres 1 \`a 13}
\newcommand{\Cl}{TG6}
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\newcommand{\Annee}{Mai 2013}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{5 points}
 
\medskip

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
 
On considère les points A(0~;~4~;~1), B (1~;~3~;~0), C$(2~;~-1~;~- 2)$ et D $(7~;~- 1~;~4)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur  
$\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
	\end{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
		\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique 
$$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$$ 
		\item La droite $d$ et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}

%\newpage

\begin{ExoF}
 \hfill \textbf{5 points}
 
\textbf{Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip
  
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&\np{1,4142} &\np{1,9571} &\np{1,9986} &\np{1,9999} &\np{1,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = \ln u_{n} - \ln 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme  
$v_{0} = - \ln 2$. 
		\item Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis de $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
		\item Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_{n} > 1,999$.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
Variables :	&$n$ est un entier naturel\\
			& $u$ est un réel\\
Initialisation :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
				&Affecter à $u$ la valeur 1\\ 
Traitement :	&\\
&\\ 
Sortie :&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{ExoF}
 
 %\newpage
\setcounter{exer}{1} 
\begin{ExoF}
 \hfill \textbf{5 points}
 
\textbf{Candidats AYANT  SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& 	$a$ est un entier naturel\\
	& $b$ est un entier naturel\\ 
	&$c$ est un entier naturel\\ 
Initialisation :& 	Affecter à $c$ la valeur $0$\\
			& Demander la valeur de $a$\\
			& Demander la valeur de $b$\\ 
Traitement :& 	Tant que $a > b$\\ 
			&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
			Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\ 
			Affecter à $a$ la valeur $a - b$
			\end{tabular}\\
			& Fin de tant que \\
Sortie : 	&Afficher $c$\\
			& Afficher $a$\\ \hline
			\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme avec $a =	13$ et $b =	4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. 
\item Que permet de calculer cet algorithme ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, gr\^ace au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On définit un procédé de codage de la façon suivante :
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Coder la lettre U. 
\item Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$. 
\item Démontrer alors l'équivalence : 

\[9m + 5 \equiv  p\quad [26] \iff m =  3p -  15\quad  [26].\]
 
\item Décoder alors la lettre B. 
\end{enumerate}

 \end{ExoF}

 %\newpage
 
 
\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{5 points}
 

\begin{center}
\emph{Les parties A. B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres}\end{center}
 
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400~grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385~grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385~grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385~grammes est commercialisable.
 
La masse d'un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$.

\medskip
 
\emph{Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.}

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&380&385&390&395&400&405&410&415&420\\ \hline
$P(X \leqslant x)$&0,035&0,086&0,182&0,325&0,5&0,675&0,818&0,914&0,965\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(390 \leqslant X \leqslant 410)$. 
\item Calculer la probabilité $p$ qu'un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable. 
\item Le fabricant trouve cette probabilité $p$ trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de $\sigma$ sans modifier celle de $\mu$.
 
Pour quelle valeur de $\sigma$ la probabilité qu'un pain soit commercialisable est-elle égale à 96\,\% ? On arrondira le résultat au dixième.
 
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque $Z$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type 1, on a $P(Z \leqslant  -1,751) \approx 0,040$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d'obtenir 96\,\% de pains commercialisables. 

Afin d'évaluer l'efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300~pains fabriqués.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 300. 
\item Parmi les 300~pains de l'échantillon, 283 sont commercialisables. 

Au regard de l'intervalle de fluctuation obtenu à la question 1, peut-on décider que l'objectif a été atteint ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip 

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30~jours est de $0,913$. En déduire la valeur de $\lambda$ arrondie au millième.

\medskip
 
Dans toute la suite on prendra $\lambda = 0,003$.

\medskip
 
\item Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90~jours, sachant qu'elle a fonctionné sans dérèglement 60~jours ? 
\item Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu'il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ? 
\end{enumerate}

\end{ExoF}
%\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{5 points}
 
\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]

et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{xunit=3.5cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(3.5,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(4,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{3.5}{x ln 1 add x dup mul div}
\uput[u](1.2,0.85){$\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$. 
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x}$ ? En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, 

\[f'(x) = \dfrac{- 1 - 2\ln (x)}{x^3}.\]
 
		\item Résoudre sur l'intervalle $]0~;~+ 00 [$ l'inéquation $-1 - 2\ln (x) > 0$.
		 
En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées. 
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $0 \leqslant  I_{2} \leqslant \text{e} - \dfrac{1}{2}$.
		 
On admet que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ 00 [$ par $F(x) = \dfrac{- 2 - \ln (x)}{x}$,est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Étudier la limite de In en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 \end{ExoF}
 

\end{document}
