\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{R\'evisions}
\newcommand{\Ch}{Algo et Suites}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Annales \`a th\`eme}
\newcommand{\Cl}{TG6}
%\newcommand{\num}{10}	
%\newcommand{\tps}{4h}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha



\section{\textbf{Liban mai 2013 (spécialité) \hfill (5 points)}}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 3,\: u_{1} = 8$ et, pour tout $n$ supérieur ou égal à 0 :

\[ u_{n + 2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{2}$ et $u_{3}$. 
\item Pour tout entier naturel $n \geqslant  2$, on souhaite calculer $u_{n}$ à l'aide de l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2cm} p{11cm}|}\hline
\textbf{Variables :}		&$a, b$ et $c$ sont des nombres réels\\ 
							&$i$ et $n$ sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2\\ 
\textbf{Initialisation :}	&$a$ prend la valeur 3\\
							&$b$ prend la valeur 8\\ 
\textbf{Traitement :}		&Saisir $n$\\ 
&Pour $i$ variant de $2$ à $n$ faire\\
&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
$c$ prend la valeur $a$\\
$a$ prend la valeur $b$\\
$b$ prend la valeur \ldots\\
\end{tabular}\\ 
							&Fin Pour\\ 
 \textbf{Sortie :}			&Afficher b\\\hline
\end{tabular}

\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter. 
		
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant:

\medskip

\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|c|c|c|*{5}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
$n$& 7 &8 &9 &10 &11 &12 &13 &14 &15\\ \hline 
$u_{n}$&\scriptsize\np{4502} &\scriptsize\np{13378} &\scriptsize\np{39878} &\np{119122} &\np{356342} &\np{1066978} &\np{3196838} &\np{9582322} &\scriptsize\np{28730582}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite 
$\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $C_{n}$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n}\end{pmatrix}$.
 
On note $A$ la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel $n$,
\quad 
$C_{n+1} = AC_{n}$. 

Déterminer $A$ et prouver que, pour tout entier naturel $n,\: C_{n} = A^nC_{0}$.
\item Soient $P = \begin{pmatrix}2&3\\1&1 		\end{pmatrix},\: D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}- 1&3\\1&- 2		\end{pmatrix}$. 

Calculer $QP$.
 
On admet que $A = PDQ$.
 
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n,\: A^n = PD^nQ$.
\item À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.
 
Pour tout entier naturel non nul $n$, 

\[A^n = \begin{pmatrix}- 2^{n+1} +3^{n+1}& 3\times 2^{n+1} - 2\times 3^{n+1}\\ 
	- 2^n +3^n& 	3 \times 2^n - 2 \times  3^n \end{pmatrix}.\]
	 
En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ a-t-elle une limite ? 
\end{enumerate}

\newpage
\section{\textbf{Amérique du Nord mai 2013 (spécialité) \hfill (5 points)}}

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& 	$a$ est un entier naturel\\
	& $b$ est un entier naturel\\ 
	&$c$ est un entier naturel\\ 
Initialisation :& 	Affecter à $c$ la valeur $0$\\
			& Demander la valeur de $a$\\
			& Demander la valeur de $b$\\ 
Traitement :& 	Tant que $a > b$\\ 
			&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
			Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\ 
			Affecter à $a$ la valeur $a - b$
			\end{tabular}\\
			& Fin de tant que \\
Sortie : 	&Afficher $c$\\
			& Afficher $a$\\ \hline
			\end{tabular}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Faire fonctionner cet algorithme avec $a =	13$ et $b =	4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. 
\item Que permet de calculer cet algorithme ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, gr\^ace au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On définit un procédé de codage de la façon suivante :
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{11.5cm}}
\emph{Étape} 1 :& 	À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 :& 	On calcule le reste de la division euclidienne de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Étape} 3 :& 	Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Coder la lettre U. 
\item Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$. 
\item Démontrer alors l'équivalence : 

\[9m + 5 \equiv  p\quad [26] \iff m =  3p -  15\quad  [26].\]
 
\item Décoder alors la lettre B. 
\end{enumerate}



\section{\textbf{Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012 \hfill (5 points)}}

\medskip

\textbf{Les quatre questions sont indépendantes.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple (4~;~6) est une solution de l'équation 
		
		\[(\text{E})\qquad 11x - 5y = 14.\]
		 
		\item Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x~;~y) vérifiant l'équation (E).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 

\[2^{3n} \equiv 1\quad  \pmod 7.\]
 
		\item Déterminer le reste de la division euclidienne de $\np{2011}^{\np{2012}}$ par 7.
	\end{enumerate}		 
\item On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

\[z' = \dfrac{3}{2} (1 - \text{i})z + 4 - 2\text{i}.\]
  
\item 

\item On considère l'algorithme suivant où $\text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right)$ désigne la partie entière de $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$.

\medskip

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.75\textwidth} 
A et N sont des entiers naturels\\ 
Saisir A\\ 
N prend la valeur 1\\ 
Tant que N $\leqslant  \sqrt{\text{A}}$\\ 
\phantom{aaaaaaaaa} Si $\dfrac{\text{A}}{\text{N}} -  \text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right) = 0$ alors Afficher N et $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$\\
\phantom{aaaaaaaaa}Fin si\\ 
N prend la valeur N + 1\\ 
Fin Tant que.
\end{minipage}}
\end{center}

\medskip
 
Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général? 

\end{enumerate}
%%%%%%%%  fin Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012  %%%%%%%

\end{document}
