\documentclass[4apaper,12pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutExoCha

\begin{ExoF}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(BFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(DCG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
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 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(EFG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
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\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
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\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $J\in(ABF)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item Pouvez-vous le faire sans indication supplémentaire ?
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.\\
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$.
       \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
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\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.5500){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.5500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.1500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.2000,3.15000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.15000){J}
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\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
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\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
        \item %Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.
 %La tracer.
$(\Delta)$ est la droite qui passe par $E$ et parallèle à $(AB)$ et $(CD)$, d'après le théorème du toit. 
\item  %Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
Le point $L$ appartient aux plans $(IJK)$ car $L\in(IJ)$, et aux plans $(ABE)$ et $(CDE)$ car $L\in\Delta$
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$. La tracer
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Placer $M=(IJ)\cap (ABC)$.
 \item En déduire $(IJK)\cap (ABC)$.
      \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.700){I}
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\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.300)
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\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.3000){J}
\uput{0.3000}[90.0000](3.7000,1.5000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
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\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points respectivement situés sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. 
Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$ à l'aide du logiciel géogébra.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Démontrons par l'absurde le théorème du toit vu en seconde et rappeler cette année.
On rappelle que l'on considère deux plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sécants selon une droite $\Delta$. De plus, on sait 
qu'une droite $d$ de $\mathscr P$ est parallèle à une droite $d'$ de $\mathscr P'$. Pour raisonner par l'absurde, on suppose de plus
que $\Delta$ n'est pas parallèle à $d$ et $d'$.\\
On désigne par $\vec u$ un vecteur directeur de $\Delta$. 
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec u$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$. 
\item Expliquer pourquoi il existe un vecteur $\vec v$ non nul directeur de $d$ et $d'$.
 \item Expliquer pourquoi $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec v$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$.
 \item En déduire une contradiction et conclure. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 $ABCD$ est un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[CD]$ et le point $K$ est défini par 
$$\overrightarrow{AK}=\dfrac12 \overrightarrow{AB} + \dfrac14\overrightarrow{AC} + \dfrac14\overrightarrow{AD}$$
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure et placer $K$.
 \item Exprimer $\overrightarrow{BI}$ puis $\overrightarrow{BK}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
 \item En déduire que les points $B$, $K$ et $I$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $ABCDEFGH$ est un cube. $M$ et $L$ sont les points tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EL}=\dfrac14\overrightarrow{EF}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{ML}=\dfrac14\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DH}$
 \item En déduire la position de la droite $(ML)$ par rapport au plan $(DBH)$
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF}
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[CD]$ et $[EF]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(CK)$ est parallèle au plan $(IJH)$
\item Démontrer que les plans $(IJH)$ et $(BCK)$ sont parallèles
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $SABCD$ est une pyramide à base carré $ABCD$. Le point $O$ est le centre de $ABCD$.\\
$J$ est le milieu de $[SO]$. Le point $K$ est tel que $\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SD}$
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $S$, $B$, $D$, $O$, $J$ et $K$ sont coplanaires.
\item \begin{enumerate}
       \item Démontrer que $\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{SB} + \dfrac13\overrightarrow{SD}$
 \item Justifier que $\overrightarrow{SO}=\dfrac12 \left(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \right)$ et en déduire que
 $\overrightarrow{BJ}=-\dfrac34\overrightarrow{SB} + \dfrac14\overrightarrow{SD}$
 \item Montrer que $B$, $J$ et $K$ sont alignés.
      \end{enumerate}
\item Positions relatives de plans
\begin{enumerate}
 \item Etudier la position relative du plan $(BJC)$ avec le plan $(ABC)$ et avec le plan $(SCD)$.
\item Etudier la position relative des plans $(BJC)$ et $(SAD)$.
 \item Construire la section de la pyramide $SABCD$ par le plan $(BJC)$. Ne pas justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Dans un repère de l'espace, on considère les points $E(2;-3;5)$, $F(0;-1;1)$, $H(1;-8;8)$ et la droite d'équation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l}
    x=1+t \\ y=4-t \\ z = -2 + 2t
  \end{array}\right., t\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $d$ et $(EF)$ sont strictement parallèles.
 \item Montrer que $d$ et $(EH)$ sont sécantes et préciser leur point d'intersection $K$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}