\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Divers raisonnements math\'emathiques}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutExoCha

\begin{ExoF}
On définit sur $\N^*$ la suite $(u_n)$ de terme général $u_n=\dfrac1n$.\\
On considère la proposition suivante :
$$\forall \varepsilon >0 ,\, \exists N \in \N ,\, \forall n \geq N \,\text{ on a } \, u_n < \varepsilon$$
\begin{enumerate}
 \item Traduire cette phrase mathématique en français.
 \item On choisit $\varepsilon=1$. 
\begin{enumerate}
 \item Trouver un rang $p$ telle que $u_p < \varepsilon$.
 \item Montrer que pour tout $n\geq p$ on a $u_n < \varepsilon$
 \item Conclure par rapport à la proposition donnée dans ce cas particulier.
\end{enumerate}
 \item Même question pour $\varepsilon = 0.1$, $0.01$ et $ 10^{-6}$.
 \item Peut-on conclure que la proposition est vraie ?
 \item Démontrer cette proposition dans le cas général (ie pour $\varepsilon$ quelconque).
\end{enumerate}
\end{ExoF}

%\begin{ExoF}  Pb sur Calculatrice pr définir v(n) en fct de u(n)
% On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout $n\geq0$ par :
%$$\left\{\begin{array}{l}
%          u_0=0 \\ u_{n+1}=\dfrac1{2-u_n}
%         \end{array}\right. \qquad v_{n}=\dfrac1{u_n-1}
%         \end{array}\right.$$
%\begin{enumerate}
% \item Sur une calculatrice, afficher les tableaux de valeurs de ces suites à partir de $0$.
% \item En utilisant uniquement les valeurs, pouvez-vous dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausse ?
%\begin{enumerate}
% \item La suite $(u_n)$ est arithmétique
% \item La suite $(u_n)$ est géométrique
% \item La suite $(v_n)$ est arithmétique
% \item La suite $(v_n)$ est géométrique
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}


 
\begin{ExoF}
\textit{On rappelle que $\forall n\in\N$ , $n$ pair $\iff$ $n^2$ pair.}\\
Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne s'écrit pas sous la forme d'un quotient 
d'entiers $\dfrac{p}{q}$ avec $p \in \Z$ et $q \in \Z^*$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On donne ci-dessous trois propositions vraies. 
\begin{enumerate}
 \item Pour tout entier $n\geq 4$, $2^n > n^2$
 \item Pour tout réel $x>0$, $(x+1)^3 \geq 1+3x$
 \item Pour tout entier $n \geq 1$, $\sum_{k=1}^n (2k-1)^3=2n^4-n^2$
\end{enumerate}
Pour lesquelles peut-on envisager une démonstration par récurrence (que l'on ne fera pas) ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par : 
$\left\{ \begin{array}{l} u_0=2 \\ u_{n+1}=2 u_n -3  \end{array} \right.$\\
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3-2^n$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Considérons la suite $(u_n)$, définie pour tout $n\in\N$, par : $\left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\u_1=2\\ u_{n+2}=5u_{n+1} -6u_n  \end{array} \right.$\\
Démontrer que pour tout $n\in\N$ : $ u_n=2^n$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par son premier terme $u_0$ et pour tout $n$ par la relation
$u_{n+1}=3u_n+1$. Démontrer chacune des propositions suivantes.
\begin{enumerate}
 \item La proposition \og $u_n \leq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item La proposition \og $u_n \geq u_{n+1}$ \fg est héréditaire.
 \item Si $u_0=1$ la suite $u$ est croissante.
 \item Si $u_0=-2$, la suite $u$ est décroissante.
 \item Su $u_0=-0.5$, la suite $u$ est stationnaire.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que les deux propositions suivantes sont héréditaires\\
  $(A)$ : \og $10^n-1$ est un multiple de $9$ \fg \qquad\qquad \qquad\qquad 
  $(B)$ : \og $10^n+1$ est un multiple de $9$ \fg
\item Sont-elles vraies pour tout entier naturel $n$ ?
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $n\in\N$  on a $\sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
\item On s'intéresse désormais à la somme $S_n$ des cubes des $n$ premiers entiers naturels impairs.
\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $S_n=2n^4-n^2$
\item Quel est l'entier $n$ pour lequel $S_n=41328$ ?
\end{enumerate} 

\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Démontrer que pour tout entier $n\geq 2$, la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par $f_n(x)=x^n$ est 
dérivable sur $\R$ et $f_n'(x)=nx^{n-1}$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Démontrer que pour tout entier $n\geq 0$, l'\textbf{inégalité de Bernoulli} est vraie :
$$\forall x >0 \text{ , on a } (1+x)^n \geq 1+nx$$
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item Rappeler ce que signifie l'écriture $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)$ pour $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$.
\item Compléter la propriété suivante, vu en première :\\
\indent Pour tous $n$ et $k$ entiers tels que $0 \leq k \leq n$, on a  $\left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k+1
                                                  \end{array}\right) = $
\item Ecrire les 5 premières lignes du triangle de Pascal.
 \item Démontrer que pour tous réels $a$ et $b$ on a 
$$(a+b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3$$
%ainsi que 
%$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6 a^2 b^2 + 6 a^2b^2 +4ab^3 + b^4$$
\item Quel lien observe-t-on entre les coefficients de développement et le triangle de Pascal ?
\item Démontrer par récurrence que pour tout $n \geq 1$ on a :
$$(a+b)^n=\sum_{k=1}^n \left(\begin{array}{c}
                                                   n \\ k
                                                  \end{array}\right)a^{n-k}b^k$$
formule appelée \textbf{formule du binôme de Newton}.
\item \textit{Application} : développer $(a+b)^5$ sans calcul.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




















\end{document}