\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1.1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Correction Devoir d'entra\^inement }
\newcommand{\Ch}{Pondich\'ery 2013}
%\newcommand{\serie}{Scientifique}	
\newcommand{\ch}{Chaptitres 1 \`a 11}
\newcommand{\Cl}{TG6}
%\newcommand{\num}{10}	
%\newcommand{\tps}{4h}	
\newcommand{\Annee}{16 Avril 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\footskip=30pt




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\DocCha

\begin{ExoF}
$h(t)=\dfrac{a}{1+b\e^{-0.04t}} \qquad a>0\, , b>0\,  \qquad  h(0)=0.1 \qquad \lim\limits_{t\to + \infty}h(t)=2 $\\
\partieBac{}
\noindent On sait que \quad $h(0)=0.1 \iff \dfrac{a}{1+b\e^{0}}=0.1 \iff \dfrac{a}{1+b}=0.1 \stackrel{b\neq -1}{\iff} a=0.1(1+b)$\\\\
De plus \quad $\lim\limits_{t\to + \infty}\e^{-0.04t} = 0$ \qquad Donc \quad $\lim\limits_{t\to + \infty}h(t)=\dfrac{a}{1+b\times 0}=a$.
\hfill  D'où \quad \fbox{$a=2$ \,  et \, $b=19$}\\
\partieBac{}
$$f(t)=\dfrac{2}{1+19\e^{-0.04t}} \quad \text{ pour } t\in[0;250]$$
\textit{On est content, car les valeurs trouvées pour $a$ et $b$ sont celles de la fonction $f$. 
On sait donc que l'on a juste.}
 \begin{enumerate}
  \item On pose \, $v(t)=1+19\e^{-0.04t}$ \quad alors \, $v'(t)=19\times (-0.04)\e^{-0.04t}=-0.76\e^{-0.04t}$\\\\
  Comme \, $\left(\dfrac1v\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ \qquad On a  \, $f'(t)= \ldots $ \hfill D'où \quad
  \fbox{$f'(t)=\dfrac{1.52\e^{-0.04t}}{\left(1+19\e^{-0.04t}\right)^2}$}\\
Il est clair que $f'(t)>0$ pour tout $t\in[0;250]$ \hfill Donc \quad \fbox{$f$ est strictement croissant sur $[0;250]$}  
\item On cherche $t$ tel que $f(t)>1.5$ \textit{(en espérant trouver une valeur plus petite que $250$, pour que $f$
soit bien définie)}.\quad 
Comme $f$ est strictement croissante sur $[0;250]$, il suffit de résoudre :
\begin{eqnarray*}
f(t) = 1.5 &\iff & \dfrac{2}{1+19\e^{-0.04t}} =\dfrac32 \\
&\iff & \dfrac43 = 1+19\e^{-0.04t} \\
&\iff & \ldots\ldots\ldots\ldots \iff  \dfrac{1}{3\times 19}=\e^{-0.04t} \quad \text{(tout est bien positif)}\\
& \iff & \ln(1)-\ln(57)=-0.04t  \\
&\iff & \ldots\ldots\ldots\ldots \iff  t= \dfrac{\ln(57)}{0.04}
\end{eqnarray*}
Donc il faut un peu plus de \, \fbox{101 jours} \, pour que le plan atteigne $1.5$ m de hauteur.\\
\textit{L'énoncé est bancal, car il n'est pas précisé que les unités pour les fonctions $h$ et $f$ sont les mêmes ...}
\item \begin{enumerate}
       \item Pour tout $t\in[0;250]$ on a 
   \quad     $f(t)=\dfrac{2}{1+19\e^{-0.04t}}= \dfrac{2}{1+19\e^{-0.04t}} \times \dfrac{\e^{-0.04t}}{\e^{-0.04t}} = \ldots\ldots =\dfrac{2\e^{-0.04t}}{\e^{0.04t}+19}$\\\\
$F(t)=50\ln\left(e^{0.04t}+19\right)$ \hfill Regardons maintenant si $F'(t)=f(t)$ pour tout $t\in[0;250]$. \\
On pose \quad $u(t)=\e^{0.04t}+19$ \qquad  Alors $u'(t)=0.04\e^{0.04t}$  \\
Comme $\left(\ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ \hfill pour tout $t\in[0;250]$, on a bien \, \fbox{$F'(t)=50\times \dfrac{0.04\e^{0.04t}}{e^{0.04t}+19}=\ldots\ldots =f(t)$}\\
%Donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $[0;250]$.
       \item On sait que la valeur moyenne de $f$ sur $[50;100]$, que l'on notera $\mu$ est :
       $$\mu=\dfrac{1}{100-50}\int_{50}^{100}f(t)dt = \dfrac1{50} \times \left(F(100)-F(50)\right) = \ldots\ldots = \ln\left(\dfrac{e^4+19}{e^2+19}\right)\simeq 1.03$$
Entre le $50^e$ et le $100^e$ jour, le plant a une hauteur moyenne d'environ \fbox{$1.03$ mètre}
       \end{enumerate}
       \newpage
\item La vitesse de croissance est donc maximale quand la dérivée de $f$ l'est. \\
Le nombre dérivé de la fonction $f$ en un point d'abscisse $t$ étant le coefficient directeur de la tangente 
à la courbe représentative de $f$ en ce même point, 
cela se traduit sur le graphique par une pente maximale de la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
 La pente maximale est pour \fbox{$t\simeq  70$ jours}, ce qui correspond à une hauteur d'environ \fbox{$0.93$ mètre}.\\
\textit{En étudiant les variations de la fonction $f'$ (donc en calculant $f''$ et en dressant le 
tableau de variations de $f'$, on trouve $t\simeq 73,6$ jours et $f(t)\simeq 0.99$ mètre.}
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
\psset{xunit=0.035cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-20,-0.3)(260,2.2)
\psgrid[xunit=0.7cm,yunit=0.4cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-2)(26,22)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=20,Dy=0.2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10,-0.2)(260,2.2)
\psplot[plotpoints=200]{-8.731882917349607}{239.13577936164788}{2/(1+19*EXP(-0.04*x))}
\psplot{-8.73}{239.14}{(--2-0*x)/1}
%\psplot[plotpoints=200]{-8.731882917349607}{239.13577936164788}{38*2.718281828^(x/25)/(25*(2.718281828^(x/25))^2+950*2.718281828^(x/25)+9025)}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](70,0.93)(70,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](70,0.93)(0,0.93)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=darkgray](70,0.93)
\rput[bl](68.38,1.01){\darkgray{$A$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
  \item On peut déjà constater que la première proposition est une représentation paramétrique de droite, 
  donc ce ne peut pas être la réponse.\\
  Ensuite, il existe plusieurs méthodes pour trouver la bonne réponse à cette question.\\
  \textit{Une Condition Nécessaire et Suffisante} pour qu'une représentation paramétrique donnée soit celle de (P) est
  que si l'on remplace $x$ , $y$ et $z$ dans l'équation cartésienne de (P) par 
  leur expression en fonction de $t$ et $t'$ , l'égalité est vérifiée.\\
  On peut donc le faire pour chacune jusqu'à trouver celle  qui remplit la CNS.
Heureusement, il s'agit de la \fbox{réponse b)} donc on a eu peu de calculs à faire : 
$t+2t'-2(1-t+t')+3(-1-t)+5 =\ldots \ldots =0$.\\
On aurait aussi pu vérifier si les points connus de chacune des représentations paramétriques appartenaient 
bien à (P).
Heureusement, là encore, il ne restait en liste que la réponse b), car $(0,1,-1) \in$ (P), tandis que ni 
$(0,1,1)$, ni $(1,1,-1)$ ne vérifient l'équation cartésienne de (P).\\
Remarquons que cette méthode ne fait qu'éliminer des réponses, sans déterminer la bonne (\textit{condition nécessaire d'appartenance, 
mais non suffisante}), donc si on avait eu plusieurs possiblités 
restantes, il aurait fallu approfondir notre recherche pour déterminer la bonne.
 \item On peut chercher une éventuelle intersection, mais commençons plutôt par regarder les positions 
 relatives de (D) et (P)  (\textit{on ne cherchera une intersection que si on sait déjà qu'elle existe}).\\
  Un vecteur directeur de (D) est $\vec u (1,-1,-1)$ et un vecteur normal de (P) est $\vec n (1, -2, 3)$.\\
  On constate que $\vec u \cdot \vec n = \ldots \ldots = 0$.\quad 
  Donc $\vec u \perp \vec n$, ce qui signifie que (D) et (P) sont parallèles.\\
  Il ne reste donc que les choix c) et d) à départager.\\
  Or un point de (D) est $A(-2,0,-1)$ et ses coordonnées vérifient l'équation  de (P).\\
  Donc (D) et (P) sont parallèles avec un point commun : (D) est une droite du plan (P) \hfill \fbox{réponse c)}
  \item Un vecteur directeur de $(MN)$ est $\overrightarrow{MN} \left( 2 ; -4 ; 6\right)$.\quad 
  Or $\vec u \cdot \overrightarrow{MN} =\ldots \ldots = 0$. \quad Donc $(MN) \perp $ (D). \hfill \fbox{réponse a)}
  \item (S) a pour couple de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v (2,-2,3)$.\\
  On sait déjà que $\vec n \cdot \vec u = 0$ mais $\vec n \cdot \vec v = \ldots \ldots \neq 0$ 
  donc (S) et (P) ne sont pas parallèles.\\
  Il est clair que $\vec n$ n'est colinéaire ni à $\vec u$ , ni à $\vec v$ sont (S) et (P) ne sont pas orthogonaux.\\
 On voit facilement que les coordonnées de $M$ ne vérifient pas l'équation de (P).\\
 La bonne réponse ne peut donc être que la \fbox{réponse b)} Vérifions :
 \begin{itemize}
  \item $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec u$ donc $\Delta // $ (D) d'où $\Delta // $ (P)\\
  De plus le point $B(0;-2;3)$ de $\Delta$ vérifie l'équation cartésienne de (P), donc $\Delta $ est une droite de (P).
  \item $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vec u$ donc $\Delta // $ (S).\\
  De plus, le point $C(-2;0;-1)$ de (S) vérifie la représentation paramétrique de $\Delta$ pour $t=-2$.\\
  Donc $\Delta$ est une droite de (S).
  \item On a déjà dit que (P) et (S) n'étaient pas parallèles, donc $\Delta$ est la droite d'intersection de (S) et (P).
 \end{itemize}
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
      \begin{minipage}{7.5cm}
      \item \begin{enumerate}
  \item \qquad \\ $\begin{array}{ccl}
  z_M &=& 2\e^{-i\dfrac{\pi}3} \\
  &=& 2 \left(\cos\left(-\dfrac{\pi}3\right) + i \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)\\
  &=& \ldots \ldots = 1-i\sqrt{3}       
        \end{array}$
  \item $z_{M'} = -i\left(1-i\sqrt{3}\right) = \ldots\ldots = -\sqrt{3} - i$
  \item \qquad \\ $\begin{array}{ccl}
 z_{M'}&=&-i \times 2\e^{-i\dfrac{\pi}3} \\
 &=&\e^{-i\dfrac{\pi}2}\times  2\e^{-i\dfrac{\pi}3} \\
 &=& 2\e^{-i\dfrac{5\pi}6}                   
                   \end{array}$\\
  Donc un argument de $z_{M'}$ est $-\dfrac{5\pi}6$ et son module est $2$.
   \end{enumerate}
  \end{minipage}
 \begin{minipage}{11cm}
 \begin{enumerate}  \item[\textbf{d.}] \begin{center}
         \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{ttttff}{0.2 0.2 1}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-5.08)(4.5,4.63)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6.75,-5.08)(9.79,4.63)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-6.75,-5.08)(5.79,4.63)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4,0)(0,0)(2,-3.46)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,-4)(0,0)(-3.46,-2)
\pspolygon[linecolor=ttttff,fillcolor=ttttff,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(0,2)(-3.46,-2)
\pspolygon[linecolor=ttttff,fillcolor=ttttff,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(2,0)(2,-3.46)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.7,0.61)(-0.45,0.9)(-0.74,1.14)(-0.99,0.86)
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){4}
\psline[linecolor=zzttqq](4,0)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(2,-3.46)
\psline[linecolor=zzttqq](2,-3.46)(4,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,-4)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(-3.46,-2)
\psline[linecolor=zzttqq](-3.46,-2)(0,-4)
\psline(2,0)(2,-1.73)
\psline(2.08,-0.83)(1.92,-0.83)
\psline(2.08,-0.9)(1.92,-0.9)
\psline(2,-1.73)(2,-3.46)
\psline(2.08,-2.57)(1.92,-2.57)
\psline(2.08,-2.63)(1.92,-2.63)
\psplot{-6.75}{9.79}{(-0-1.73*x)/2}
\psline[linecolor=ttttff](0,0)(0,2)
\psline[linecolor=ttttff](0,2)(-3.46,-2)
\psline[linecolor=ttttff](-3.46,-2)(0,0)
\psline[linecolor=ttttff](0,0)(2,0)
\psline[linecolor=ttttff](2,0)(2,-3.46)
\psline[linecolor=ttttff](2,-3.46)(0,0)
\psline(0,0)(2,-1.73)
\psline(1.01,-0.76)(0.9,-0.89)
\psline(1.05,-0.81)(0.95,-0.93)
\psline(1.1,-0.85)(0.99,-0.97)
\psline(-1.73,0)(0,2)
\psline(-0.97,1.01)(-0.85,0.9)
\psline(-0.93,1.05)(-0.81,0.95)
\psline(-0.89,1.1)(-0.76,0.99)
\psline(-1.73,0)(-3.46,-2)
\psline(-2.5,-1.01)(-2.62,-0.9)
\psline(-2.54,-1.05)(-2.66,-0.95)
\psline(-2.58,-1.1)(-2.7,-0.99)
\parametricplot{3.8267086687256886}{4.208117451701805}{1*2.65*cos(t)+0*2.65*sin(t)+-1.73|0*2.65*cos(t)+1*2.65*sin(t)+0}
\parametricplot{3.739230587133062}{4.1448966773315465}{1*2.65*cos(t)+0*2.65*sin(t)+0|0*2.65*cos(t)+1*2.65*sin(t)+2}
\parametricplot{5.394783157920511}{5.791791820569948}{1*2.65*cos(t)+0*2.65*sin(t)+0|0*2.65*cos(t)+1*2.65*sin(t)+0}
\parametricplot{5.468622255413421}{5.741368036100887}{1*2.66*cos(t)+0*2.66*sin(t)+2|0*2.66*cos(t)+1*2.66*sin(t)+0}
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\parametricplot{2.23412563288593}{2.7003309584581907}{1*2.66*cos(t)+0*2.66*sin(t)+2|0*2.66*cos(t)+1*2.66*sin(t)+-3.46}
\parametricplot{3.6480804714875235}{4.0395477177455605}{1*2.66*cos(t)+0*2.66*sin(t)+2|0*2.66*cos(t)+1*2.66*sin(t)+0}
\psline(1.57,-1.73)(2.33,-1.73)
\psline{->}(0,0)(0,2)
\psline{->}(0,0)(2,0)
\rput[bl](0.06,0.11){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](2.07,0.11){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](2.1,-3.81){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](0.06,2.18){\blue{$B$}}
\rput[bl](-4,-2.5){\darkgray{$M'$}}
\rput[bl](2.4,-1.8){\darkgray{$I$}}
\end{pspicture*}
        \end{center}   \end{enumerate}
 \end{minipage}
 \item \begin{enumerate}
 \item       \begin{multicols}{2}
  $z_I=\dfrac{z_A + z_M}2 = \ldots\ldots = \dfrac{1+x}{2}+i\dfrac{y}{2}$
\item $z_{M'}=-iz_M=-ix+y=y-ix$
\end{multicols}
\item\begin{multicols}{2}
 $I\left(\dfrac{1+x}2 ; \dfrac{y}2 \right)$ , $B(0,1)$ et $M'(y,-x)$
\item $\overrightarrow{OI}\left(\dfrac{1+x}2 ; \dfrac{y}2 \right)$ \quad et $\overrightarrow{BM'} \left(y,-x-1\right)$.
\end{multicols}
Or\quad  $\overrightarrow{OI} \cdot \overrightarrow{BM'} = \ldots \ldots = 0$.\hfill
Donc $(OI) \perp (BM')$. \qquad $(OI)$ est bien une hauteur du triangle $BOM'$.
\item $OI^2=\left(\dfrac{1+x}2\right)^2+\left(\dfrac{y}2\right)^2 = \dfrac14 \left((1+x)^2+y^2\right)$\quad 
$BM'^2=y^2+(-x-1)^2 = \ldots \ldots = 4 OI^2$\hfill 
Donc $BM' = 2 OI$.
 \end{enumerate}
       \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item On a l'arbre suivant : \qquad 
  %\begin{center}
  \psset{nodesep=2mm,levelsep=50mm,treesep=8mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{$\overline{E_1}$}}
{
	\pstree{\TR{$E_{2}$}\taput{$0.04$}}
	  { 
		  \TR{$E_{3}$}\taput{$0.24$}
		  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{$0.76$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{$0.96$}}
	  {
		  \TR{$E_{3}$}\taput{$0.04$}
		  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{$0.96$}	  
	  }
	
}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item D'après la formule des probabilités totales on a \, $p_3=P(E_3)=0.04\times 0.24 + 0.96 \times 0.04=0.048$
\item On cherche $P_{E_3}\left(E_2 \right) = \dfrac{P\left(E_3 \cap E_2 \right)}{p_3}=\ldots \ldots = 0.2$
  \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item   \begin{center}\psset{nodesep=2mm,levelsep=50mm,treesep=8mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{ }}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_n$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{$0.24$}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{$0.76$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{$1-p_n$}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{$0.04$}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{$0.96$}	  
	  }
	
}
\end{center}
\item D'après la formule des probabilités totales on a 
$$p_{n+1}=P(E_{n+1})=0.24p_n + 0.04(1-p_n)=\ldots\ldots=0.2p_n+0.04$$
\item $$\begin{array}{cclcl}
 u_{n+1}&=&p_{n+1}-0.05 & \qquad &\text{ par définition de la suite }(u_n)      \\
 &=&0.2p_n+0.04-0.05 &\qquad &\text{d'après ce qui précède }\\
 &=&0.2(u_n+0.05)-0.01 &\qquad &\text{ par définition de la suite }(u_n)      \\
u_{n+1} &=& \ldots \ldots =  0.2u_n
      \end{array}$$
Donc $(u_n)$ est géométrique de raison $r=0.2$ et de premier terme $u_1=p_1-0.05=-0.05$\\
On en déduit que pour tout $n\in\N^*$ on a $u_n=u_1 \times r^{n-1} = -0.05 \times 0.2^{n-1}$\\
Et donc $p_n=-0.05 \times 0.2^{n-1}+0.05$.
\item L'affichage $J$ est le rang du premier terme de la suite $(p_n)$ inférieur à $0.05-10^{-K}$, où $K$ est 
un entier naturel choisi par l'utilisateur.\\
On sait que pour tout $n\geq 1$ on a $p_n=0.05-0.05 \times 0.2^{n-1}$.\\
Or $\lim\limits_{n \to + \infty} 0.2^{n-1}=0$ car $-1<0.2<1$.\hfill   Donc $\lim\limits_{n \to + \infty} p_n=0.05$.\\
Autrement dit, pour tout $K\in\N$, il existe un rang à partir duquel 
$$|p_n-0.05|<10^{-K} \iff -10^{-K}<p_n-0.05<10^{-K} \iff 0.05-10^{-K}<p_n<0.05+10^{-K}$$
Donc on est sûr que la boucle s'arrêtera.
        \end{enumerate}
\begin{enumerate}
 \item On répète  220 fois l'épreuve de Bernoulli qui consiste à regarder si un salarié est malade (Succès de probabilité $p=0.05$)
 ou non (Echec) une semaine donnée.\\
 $X$ compte le nombre de succès de l'expérience, donc $X \hookrightarrow B(220 , 0.05)$\\
 On sait que $\mu=E(X)=np= 11$ \quad et \quad $V(x)=np(1-p)=10.45$ \quad donc \quad $\sigma=\sigma(X)=\sqrt{10.45}$
 \item On cherche
 \begin{eqnarray*}
 P(7 \leq X \leq 15)&=&P\left(\dfrac{7-\mu}{\sigma}\leq \dfrac{X-\mu}{\sigma} \leq \dfrac{15-\mu}{\sigma}\right) \\
& \simeq & P\left(-1.24 \leq Z \leq 1.24\right) \\
&=& P(Z \leq 1.24)-P(Z<-1.24)\\
&=&0.892 - 0.108 = 0.784 \qquad\qquad \text{ Donc } P(7\leq X \leq 15) \simeq 0.78
   \end{eqnarray*}
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{ExoF}



\end{document}
