\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\typedoc}{Bac Blanc} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Bac Blanc}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Scientifique}			%% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG4 \`a 6}				%% Classe
\newcommand{\num}{7}				%%% Numero du chapitre ou coeff
\newcommand{\Annee}{22 mai 2013}			%%% Date ou année
\newcommand{\tps}{4h}
\newcommand{\Niveau}{Terminale}
\newcommand{\serie}{Scientifique}
\newcommand{\coef}{4}



\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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\footskip=30pt


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\thispagestyle{NomClasse}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages

\debutDSCommun



\begin{ExoF} \textbf{Candidats n'ayant pas suivant l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{(5 points)} %Polynésie sept 2011

\medskip

Les $300$ personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \og À quel niveau est votre bureau ? \fg 
\item[$\bullet~~$] \og Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? \fg 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Voici les réponses :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1\up{er} niveau, 75 vont au 2\up{e} niveau et 100 vont au 3\up{e} niveau. 
\item[$\bullet~~$]Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2\up{e} niveau, les autres vont au 1\up{er} niveau.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard une personne de cette population.
 
On pourra considérer les évènements suivants :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item N$_{1}$ : \og La personne va au premier niveau. \fg 
\item N$_{2}$ : \og La personne va au deuxième niveau. \fg 
\item N$_{3}$ : \og La personne va au troisième niveau. \fg
\item E\phantom{$_{1}$} : \og La personne emprunte l'escalier. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que la personne aille au 2\up{e} niveau par l'escalier est  
\'egale \`a $\dfrac{1}{12}$.  
		\item Montrer que les évènements N$_{1}$, N$_{2}$ et N$_{3}$ sont équiprobables. 
		\item Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2\up{e} niveau.
	\end{enumerate} 
\item On interroge désormais 20~personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20~personnes interrogées, associe le nombre de 
personnes allant au 2\up{e}	niveau. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. 
		\item Déterminer, à $10^{-4}$ près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2\up{e} niveau. 
		\item En moyenne sur les 20~personnes, combien vont au 2\up{e} niveau?
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier inférieur ou égal à $300$. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
 
Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement 
\og au moins un personne va au 2\up{e} niveau \fg soit supérieure ou égale à $0,99$. \\
\textbf{\textit{Justifier entièrement votre démarche.}}
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\setcounter{exer}{0}
\begin{ExoF} \textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} \hfill  \textbf{(5 points)}
 
\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{Partie A} \quad	Restitution organisée de connaissance}

\medskip
\textbf{Prérequis : } \og $a\equiv b \pmod n $ si et seulement si $a-b$ est divisible par $n$ \fg .

\medskip
 
Soit $a, b, c, d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul. 

Montrer que si $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ alors $ac \equiv bd \pmod n$. 


\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B} \quad Inverse de 23 modulo 26}

\medskip
 
On considère l'équation
$$(E) \::\quad  23x - 26y = 1,$$
où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le couple $(-9~;~-8)$ est solution de l'équation $(E)$. 
\item Démontrer que les solutions $(x; y)$ de l’équation $(E)$ sont tous les couples d’entiers de la 
forme \\ $(26k-9;23k-8)$ où $k$ appartient à $\Z$.

\item En déduire un entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$\, et \, $23a \equiv 1 \pmod {26}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C} \quad Chiffrement de Hill}

\medskip
 
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

\medskip
 
\fbox{
\begin{minipage}{\textwidth}
\textbf{Étape 1} Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering\arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On obtient un couple d'entiers $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.
 
\textbf{Étape 2} $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ est transformé en $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ tel que :
$$\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ 
y_{2} &\equiv& 	7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.\quad  	\text{avec}\: 0 \leqslant  y_{1} \leqslant 25\:\: \text{et}\:\: 0 \leqslant y_{2} \leqslant 25.$$
\textbf{Étape 3} $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
\end{minipage}}

\medskip
 
Exemple : $\underbrace{\text{TE}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow}   
(19,4) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (13,19) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow}
\underbrace{\text{NT}}_{{\text{mot codé}}}$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Coder le mot ST. 
\item On veut maintenant déterminer la procédure de décodage: 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations 
		du système $\left(S_{1}\right)$, vérifie les équations du système :
$$\left(S_{2}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
23x_{1} &\equiv& 4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26}\\ 
23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.$$
		\item À l'aide de la partie B, montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ 
		vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$, vérifie les équations du 
		système :
$$\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
x_{1}&\equiv& 	16y_{1} + y_{2} &\pmod {26}\\
x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.$$  
		\item Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$  vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$, vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$ 
		\item Décoder le mot \textbf{YJ}. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 


\end{ExoF}


\newpage
\begin{ExoF}  \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(4 points)}\\ % Centre étranger Juin 2012

\begin{minipage}{10cm}

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal 
$\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.\\

On considère les points I$\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, 
J$\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$, K$\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$ et 
L$(a~;~1~;~0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].\\

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}


\bigskip

\end{minipage} 
\quad
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.3)(4,4)%BCGF
\psline(4,0.3)(5.4,1.5)(5.4,5.2)(4,4)%CDHG
\psline(5.4,5.2)(1.7,5.2)(0.3,4)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.7,1.5)(5.4,1.5)%BAD
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.5)(1.7,5.2)%AE
\uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[r](5.4,1.5){D} \uput[ul](1.7,1.5){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.2){H} \uput[u](1.7,5.2){E} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

\item Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique :
\quad
$\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{3}{4}+t'\left(a-\dfrac{3}{4}\right)\\
y=t'\\
z=1-t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$

\item Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, $a=\dfrac{1}{4}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip


Dans la suite de l'exercice, on pose $a=\dfrac{1}{4}$.\quad 
Le point L a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~0\right)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.

\begin{minipage}{10cm}
\item La figure ci-contre fait apparaître l'intersection du plan (IJK) 
avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie 
dynamique.\\

On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point 
d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). \\


\emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.}

\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}{8cm}
 \begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
%\psgrid
\psframe(0.3,0.3)(4,4)%BCGF
\psline(4,0.3)(5.4,1.5)(5.4,5.2)(4,4)%CDHG
\psline(5.4,5.2)(1.7,5.2)(0.3,4)%HEF
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.7,1.5)(5.4,1.5)%BAD
\psline[linestyle=dashed](1.7,1.5)(1.7,5.2)%AE
\uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[r](5.4,1.5){D} \uput[ul](1.7,1.5){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.2){H} \uput[u](1.7,5.2){E} 
\psdots(1.533,0.3)(0.65,4.3)(4.475,5.2)(5.05,1.2)(5.4,3.2)(0.3,2.55)
%\psline[linecolor=red](-0.52,4)(1.533,0.3)
\psline[linestyle=dashed](1.533,0.3)(5.05,1.2)
%\psline[linecolor=red](5.05,1.2)(6.2,1.5)
%\psline[linecolor=red](6.2,1.5)(4.475,5.2)
\uput[d](1.533,0.3){I}
\uput[ul](0.65,4.28){K}
\uput[u](4.475,5.2){J}
\uput[l](0.3,2.55){M}
\uput[r](5.4,3.2){N}
\uput[dr](5.05,1.2){L}
\psline(0.65,4.28)(4.475,5.2)%KJ
\psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48)
\psline(0.3,2.55)(1.533,0.3)%IM
%\psline[linestyle=dashed](1.53,0.2)(4.35,0.5)
\psline(5.05,1.2)(5.4,3.2)%LN
\psline[linestyle=dashed](5.4,3.2)(4.475,5.2)%NJ
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
\item Prouver que le vecteur $\overrightarrow{n}$ de coordonnées (8~;~9~;~5) est un vecteur normal au plan (IJK).

\item En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x+9y+5z-11=0$.

\item En déduire les coordonnées des points M et N
\end{enumerate}
 

\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(6 points)}\\ %???

\medskip

%\textbf{Question de cours}\\
%\textbf{Pr\'erequis}: positivit\'e et lin\'earit\'e de l'int\'egrale.\\
%Soient $a$ et $b$ deux r\'eels d'un intervalle $I$ de $\R$ tels que $a\leqslant b$. D\'emontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^bf(x) dx\geqslant\int_{a}^bg(x)dx$.\\
\noindent\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un r\'eel sup\'erieur ou \'egal \`a 1.\\
Calculer en fonction de $x$ l'int\'egrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)dt$.
\item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ appartenant \`a l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a: $2-t\leqslant\dfrac1t$.
\item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que pour tout r\'eel $x$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, on a:
$$-\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{3}{2}\leqslant\ln x.$$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Partie B}\\
\smallskip
Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $h(x)=-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32$.\\
Sur le graphique ci-dessous, le plan est muni d'un rep\`ere orthogonal 
$(O;\vec i, \vec j)$ dans lequel on a trac\'e les courbes repr\'esentatives des 
fonctions $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$. On a trac\'e 
\'egalement la droite $(d)$ d'\'equation $x=4$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x) dx=0$.
\item Illustrer sur le graphique le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente.
\end{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=x\left(\ln(x)-1\right)$ 
est une primitive de la fonction logarithme népérien sur $]0 ; + \infty[$.
\item On note $\mathscr D$ le domaine du plan d\'elimit\'e par la droite $(d)$ et 
les courbes repr\'esentatives des fonction $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur 
l'intervalle $[1~;~4]$.\\
 En utilisant ce qui précède, calculer l'aire de $\mathscr D$ en unit\'es d'aire.
\end{enumerate}
\begin{center}
 \psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.)(5,2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-2.)(5,2)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2)(5,2)
\psplot[plotpoints=200, linecolor=red]{-0.5}{5.0}{-0.5*x^2+2*x-3/2}
\psline[linecolor=green](4,-2.55)(4,2)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue]{4.999999999954986E-6}{5.0}{ln(x)}
\rput[tl](0.3,-1.6){$y=ln(x)$}
\rput[tl](-0.95,-1.3){$y=h(x)$}
\rput[tl](4.1,1.81){$x=4$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)} \\%Polynésie Juin 2012

\medskip



\begin{minipage}{9.5cm}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip
 On considère l'algorithme ci-contre.

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\

\begin{enumerate}
 \item Compléter la trace d'exécution de cet algorithme dans le tableau ci-dessous, avec l'entrée $N=3$.\\
\textbf{Indications :} 
\begin{itemize}
 \item Toutes les cases ne sont pas forcément à remplir, c'est à vous de savoir où vous arrêter.
 \item Dans la ligne \og Test \fg, on attend une réponse du type \og Vrai \fg  ou \og Faux \fg
\end{itemize}
\item Quel est alors l'affichage en sortie ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\qquad 
\begin{minipage}{8.5cm}
\begin{center}
\Algo{8.5cm}{
\textbf{Entrée}

Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\
\noindent \textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Affecter à $k$ la valeur $0$\\
\While{$k\leq N-1$}
{Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Affecter à $k$ la valeur $k+1$}\\\\
\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $U$
}
\end{center}
\end{minipage}

 \begin{center}
 \textbf{Trace d'algorithme}\\
\begin{tabular}{*{7}{|>{\centering}m{1.8cm}}|}\hline
 \textbf{Test} & \cellcolor{gray} &&&&&\\\hline
 $U$ & 0 &&& &&\\\hline
 $k$ & 0 &  &&&  &\\\hline
  \end{tabular}\\
  \end{center}



\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?
		
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
		\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
		\item Modifier l'algorithme précédent pour que, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, 
		il affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, 
		pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}
