\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Correction Bac Blanc (4h)}
\newcommand{\Ch}{Scientifique}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\Annee}{08 Avril 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

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\footskip=30pt




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutNeutre
\Cr{\ch}\\\\

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)}%\\%\section{Nouvelle-Calédonie  novembre 2009}


%L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$.

%On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous, à rendre avec la copie.
 
%On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF]. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 
On a $B(1;0;0)$ , $C(1;1;0)$ , $F(1;0;1)$ et $H(0;1;1)$. \qquad
Donc $I\left(1 ; \dfrac12 ; 0\right)$ , $J\left(1; 0 ; \dfrac12 \right)$ et 
$K\left(\dfrac12 ; \dfrac12 ; 1 \right)$.
\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~1)$ est orthogonal à $\vect{\text{IK}}$ et à $\vect{\text{IJ}}$.
On a $\overrightarrow{IK}\left(\begin{array}{c}
                                -\frac12 \\ 0 \\ 1
                               \end{array}\right)$ \quad et \quad $\vec n \cdot \overrightarrow{IK}=... = 0$ \qquad 
On a $\overrightarrow{IJ}\left(\begin{array}{c}
                                0 \\ -\frac12 \\ \frac12
                               \end{array}\right)$ \quad et \quad  $\vec n \cdot \overrightarrow{IJ}=... = 0$\\
%En déduire qu'une équation du plan (IJK) est : $4x + 2y + 2z - 5 = 0$. 
Ainsi, $\vec n$ est orthogonal à $(IJK)$ et une équation du plan $(IJK)$ est : $2x+y+z=d$ avec $d\in\R$.\\
Comme $I \in (IJK)$, ses coordonnées vérifient l'équation du plan et on en déduit $d=2\times 1 + \dfrac12 +0 = \dfrac52$.\\
Finalement $(IJK)$ a pour équation $2x+y+z=\dfrac52 \iff 4x+2y+2z-5=0$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (CD). 
On a $C(1;1;0)$ et $D(0;1;0)$. Le vecteur $\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}
                                                                     -1 \\ 0 \\ 0
                                                                    \end{array}\right)$ dirige $(CD)$.\\
De plus $C\in (CD)$ donc un système  d'équations paramétriques de $(CD)$ est :
$\left\{\begin{array}{l}
         x=1-t \\y=1 \\ z = 0
        \end{array}\right.$, $t\in\R$
		\item  %En déduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) 
		%est le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$. 
		$R(x;y;z) \in (IJK) \cap (CD) \iff \left\{\begin{array}{l}
		                                           4x+2y+2z-5=0 \\ x=1-t \\y=1 \\ z = 0
		                                          \end{array}\right.$\\
Nécessairement on a alors $4(1-t)+2\times 1 -2 \times 0 -5 = 0 \iff \ldots \iff t=\dfrac14$.\\
Et dans ce cas on a $x=\dfrac34$ , $y=1$ et $z=0$. \quad Donc $R\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$.
		%\item  %Placer le point R sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item %Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). \\
%\textit{On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes. }
%\item 
	%\begin{enumerate}
%		\item  Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$. 
%		\item Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre G passant par F.
% 
%Justifier que la sphère $\mathscr{S}$ et le plan (IJK) sont sécants.
% 
%Déterminer le rayon de leur intersection.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(12,12)
\psline(2.8,7)(7,6.3)(8.8,8.5)(4.6,9.1)(2.8,7)(2.8,3.1)(7,2.4)(8.8,4.5)(8.8,8.5)%FGHEFBCDH
\psline(7,2.4)(7,6.3)%CG
\uput[l](4.6,5.1){A} \uput[l](2.8,3.1){B} \uput[dr](7,2.4){C} 
\uput[dr](8.7,4.5){D} \uput[ul](4.6,9.1){E} \uput[l](2.8,7){F} 
\uput[ul](7,6.3){G} \uput[ur](8.8,8.5){H} \uput[dr](7.45,3.){R}
\uput[dl](5.1,2.75){I} \uput[dl](2.8,5.05){J} \uput[ur](5.8,7.75){K}
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](7.45,2.975)%R
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](5.1,2.75)%I
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](2.8,5.05)%J
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](5.8,7.75)%K
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(2.8,3.1)%AB
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(8.7,4.5)%AD
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(4.6,9.1)%AE
\psline[linestyle=dotted](2.8,7)(8.8,8.5)%FH
\psline[linestyle=dotted](4.6,9.1)(7,6.3)%EG
\psline[linestyle=dashed](3.25,7.525)(2.8,5.05)%...J
\psline[linestyle=dashed](5.1,2.75)(7.45,2.975)%IR
\psline(7.45,2.975)(8.35,7.95)(3.25,7.525)%
\psline(2.8,5.05)(5.1,2.75)%JI
\psline{->}(2.8,3.1)(0.5,0.5) \uput[dl](0.5,0.5){$z$}%Bx
\psline{->}(8.8,4.5)(12,4) \uput[r](12,4){$y$}%Dy
\psline{->}(4.6,9.1)(4.6,12)\uput[u](4.6,12){$z$}%Ez
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\qquad \begin{minipage}{5cm}
 On trace $[IJ]$ et $[IR]$ puis la parallèle à $(IR)$ passant par $K$, puis on relie ce qui manque. 
\end{minipage}


\end{ExoF}

\newpage

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{ \hfill (5 points)}%\\ % Nvelle Calédonie Mars 2011
 
%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	$\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}& =& 1\\
%u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
%\end{array}\right.$

%\medskip 
	 
\textbf{Partie A}
%
%\medskip
 %
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%
%\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$. 
$f(x)=x \iff x-\ln\left(x^2+1\right)=x \iff \ln\left(x^2+1\right)=0 \iff x^2+1 = 1 \iff x=0$
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
Pour tout $x\in[0;1]$ on a $f'(x)=1-\dfrac{2x}{x^2+1} = \dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1} =\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$.\\
$f'(x)$ est clairement strictement positif pour tout $x\in[0;1[$ et $f'(1)=0$. \\
Donc $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$
\item %En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
$0 <x<1 \iff f(0) < f(x) <f(1)$ \quad car $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.\\
De plus $f(0)= 0$ et $f(1)=1-\ln(2) <1$. \quad Au final, on a bien $f(x) \in[0;1]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. 
Initialisation : $u_0=1$ donc $u_0\in[0;1]$ est vraie.\\
Hérédité : on suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $u_k\in[0;1]$.\\
Alors $u_{k+1}=f(u_k) \in[0;1]$ d'après la question 3 de la partie A. Donc la propriété est héréditaire.\\
Conclusion : pour tout $n\geq 0$ on a $u_n\in[0;1]$
\item %Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
$u_{n+1}-u_n = u_n-\ln\left(u_n^2+1\right) -u_n = -\ln\left(u_n^2+1\right)$.\\
Or $u_n^2 \geq 0$ donc $u_n^2+1 \geq 1$ et  $\ln\left(u_n^2+1\right) \geq 0$.\\
D'où $u_{n+1}-u_n \leq 0$. \quad La suite est donc décroissante.
\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. 
La suite est décroissante et minorée par $0$ donc elle converge vers un réel $\ell$.\\
On sait que pour tout $n\geq 0$ on a $u_{n+1}=f(u_n)$ et que la fonction $f$ est continue. Ainsi :
$\ell = f(\ell)$. \quad D'après la question 1 de la partie A, on a donc $\ell = 0$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)}%\\

%\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

%\medskip

\textbf{Partie A :}
%
%\medskip 
%
%On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par :
%$$P(z)=z^3-2\left(1+\sqrt{2}-i\right)z^2+4\left(2+\sqrt{2}-i\sqrt{2}\right)z-16(1-i)$$
\begin{enumerate}
 %\item Montrer que la nombre complexe $z_0=2(1-i)$ est solution de l'équation $P(z)=0$.
 \item %Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z)=(z-2+2i)(z^2+az+b)$
 $P(z)=z^3-2\left(1+\sqrt{2}-i\right)z^2+4\left(2+\sqrt{2}-i\sqrt{2}\right)z-16(1-i)$
 \begin{eqnarray*}
  P(z)=(z-2+2i)(z^2+az+b) & \iff & P(z) = z^3+az^2+bz-2z^2-2az-2b+2iz^2+2iaz+2ib\\
  & \iff & z^3 + z^2(a-2+2i) + z(b-2a+2ia) -2b+2ib
 \end{eqnarray*}
Nécessairement on a donc $-16(1-i)=-2b+2ib \iff \ldots \iff b= 8$ \\ Et \quad 
$-2\left(1+\sqrt{2}-i\right)=a-2+2i \iff \ldots \iff a=-2\sqrt{2}$.\\
Finalement on a $P(z)=(z-2+2i)(z^2-2\sqrt{2}z+8)$
 \item %En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z)=0$.
 $P(z)=0 \iff z_0=2-2i \quad \text{ou} \quad z^2-2\sqrt{2}z+8=0$\\
 On a $\Delta = (-2\sqrt{2})^2-4\times 1 \times 8 = 8-32 = -24$. \qquad 
 Donc $z_1=\dfrac{2\sqrt{2}+i\sqrt{24}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}+2i\sqrt{6}}{2}=\sqrt{2}+i\sqrt{6}$\\
 Et $z_2=\sqrt{2}-i\sqrt{6}$. \qquad Finalement $\mathscr S=\{z_0 ; z_1 ; z_2\}$
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B :}
%
%\medskip
%
%Soient les nombres complexes :
%$$z_0=2-2i \qquad\qquad\qquad z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{6} \qquad\qquad\qquad  Z=\dfrac{z_1}{z_0}$$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item %Ecrire $Z$ sous forme algébrique. %\hfill (\textbf{2 pts})
 $Z= \dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{6}}{2-2i}\times \dfrac{2+2i}{2+2i} 
 = \dfrac{2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}+2i\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{4+4}
 =\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}+ \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i$
 \item %Ecrire chacun des nombres complexes $z_0$ et $z_1$ sous forme exponentielle. %\hfill (\textbf{4 pts})
 $|z_0|=\sqrt{2^2+2^2}=\ldots = 2\sqrt{2}$ \quad et \quad 
 $z_0=2\sqrt{2}\left(\dfrac{2}{2\sqrt{2}}-i\dfrac{2}{2\sqrt{2}}\right)=\ldots 
 =2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}2-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.\\
 Ainsi $\arg(z_0)=-\dfrac{\pi}4 \quad [2\pi]$ \quad et \quad $z_0=2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.\\
 $|z_1|=\ldots = 2\sqrt{2}$ \quad et \quad 
 $z_1=2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}+i\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\right)=\ldots 
 =2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}2+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.\\
 Ainsi $\arg(z_1)=\dfrac{\pi}3 \quad [2\pi]$ \quad et \quad $z_1=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$.
 \item %En déduire la forme exponentielle de $Z$. %\hfill (\textbf{2 pts})
 On en déduit $Z=\dfrac{2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{3}}}{2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}} 
 = e^{i\frac{\pi}{3}+i\frac{\pi}{4}}=e^{i\frac{7\pi}{12}}$
  \item %Déterminer alors les valeurs de $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ %\hfill (\textbf{2 pts})
  D'après la question 1a), on a $\cos \dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ \quad 
  et \quad $\sin \dfrac{7\pi}{12}= \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ 
  \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
       \item %Déterminer l'argument \textbf{principal} de $Z^{2012}$. \quad \textit{Bien détailler la réponse.} %\hfill (\textbf{2 pts})
       $Z^{2012}=e^{i\dfrac{7\pi}{12}\times 2012}=e^{i\dfrac{3521\pi}{3}}$
       \item On cherche en fait la mesure principale de l'angle $\dfrac{3521\pi}{3}$.\\
       On a  $1173 < \dfrac{3521}3<1174 \iff \ldots \iff -\pi < -\dfrac{\pi}3 < 0$ \quad Donc l'argument principal 
       de $Z^{2012}$ est $-\dfrac{\pi}3$.
       \item %En déduire que  $Z^{2012}=\dfrac12 -i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. %\hfill (\textbf{1 pt})
      On en déduit que $Z^{2012}=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac12 -i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
      \end{enumerate}
 \item 
 %Le plan complexe est muni du repère orthonormé \Ouv ci-dessous. %d'unité graphique $2$ cm.
%\\
%On désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $z_0$\, , $Z^{2012}$\, ,
%$z_1$ et  $Z$.
%\begin{enumerate}
 %\item Placer le point $A$ dans ce repère (sur l'énoncé), puis coder $OA$ ainsi que $\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OA}\right)$.
 %\hfill (\textbf{1 pt})\\\\ 
 %\item %   Dans le repère ci-dessous, placer les points $B$, $C$ et $D$. %\hfill (\textbf{2 pts})
 %\item Placer le point $C$. %\hfill (\textbf{2 pts})
 %\textit{\textbf{Indication}} : A quel endroit sur la figure peut-on prendre un écartement au compas valant $|z_A|$ ?\\
  %\item Placer le point $D$. \\%\hfill (\textbf{2 pts})\\
  %\textit{\textbf{Indication} : 
  %$\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OD}\right)=\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OB}\right)
  %+ \left(\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OD}\right)$ et d'après la question 2, on connaît la valeur de 
  %ces deux angles remarquables à construire \og bout à bout \fg ... }
 %\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
 \psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[bl](-0.2,-0.2){\darkgray{$O$}}
%\rput[bl](0.42,0.2){$\vec u$}
%\rput[bl](-0.2,0.51){$\vec v$}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(1.41,2.45)(-1.04,3.86)(-2.45,1.41)
\pscircle(0,0){2}
\psline(0,0)(2,-2)
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.0471975511965979}{0.65*cos(t)+0|0.65*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.65,0.65){0}{56.54}
\pscustom[linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{1.0471975511965979}{1.832595714594046}{0.49*cos(t)+0|0.49*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linecolor=qqwuqq]{->}(0,0)(0.49,0.49){60}{100.38}
\pscustom[linewidth=1.6pt,linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-0.7853981633974483}{0.0}{0.49*cos(t)+0|0.49*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\psellipticarc[linewidth=1.6pt,linecolor=qqwuqq]{<-}(0,0)(0.49,0.49){-45}{-6.23}
%\pscustom[linewidth=1.6pt,linecolor=qqwuqq,fillcolor=qqwuqq,fillstyle=solid,opacity=0.1]
%{\parametricplot{-0.7853981633974483}{0.0}{0.49*cos(t)+0|0.49*sin(t)+0}\lineto(0,0)\closepath}
\pscircle(0,0){5.66}
\psline(0,0)(1.41,2.45)
\parametricplot{1.9337506409674377}{2.3114089571508556}{1*2.83*cos(t)+0*2.83*sin(t)+2.83|0*2.83*cos(t)+1*2.83*sin(t)+0}
\psline(1.41,2.45)(2.83,0)
\psline(0,0)(0.5,-0.87)
\psline(0.5,-0.87)(1,0)
\parametricplot{3.953523750242593}{4.439423895148839}{1*1*cos(t)+0*1*sin(t)+1|0*1*cos(t)+1*1*sin(t)+0}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(1.41,2.45)
\psline[linecolor=zzttqq](1.41,2.45)(-1.04,3.86)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.04,3.86)(-2.45,1.41)
\psline[linecolor=zzttqq](-2.45,1.41)(0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](1.41,2.45)(1.41,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](0.5,-0.87)(0.5,0)
\psline(-1.04,3.86)(0,0)
\rput[bl](2.09,-2.18){\blue{$A$}}
\rput[bl](0.44,-1.2){\darkgray{$B$}}
\rput[bl](1.37,2.68){\darkgray{$C$}}
\rput[bl](-0.57,0.97){\darkgray{$D$}}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](1.31,-1.29){$2\sqrt{2}$}
\rput[bl](0.55,-0.39){\qqwuqq{$-\frac{\pi}4$}}
\rput[bl](0.28,0.12){\qqwuqq{$\frac{\pi}3$}}
\rput[bl](0.05,0.5){\qqwuqq{$\frac{\pi}4$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{ExoF}



\begin{ExoF} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{(5 points)}\\

\textbf{Partie A : }
%Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
% 
%À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.
% \newpage
\begin{enumerate}
%\item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
\item %On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir \textbf{un nombre entier aléatoire} appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
%\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%\fbox{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X}
%Variables& 	$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ 
%Initialisation& $a:= 0 \quad ;\quad  b := 0 \quad ;\quad  c := 0 \quad ;\quad  d := 0 \quad ;\quad  e := 0$
%\\ 
%Traitement & 	Tant que $\Big((a = b)$ \, ou \, $(a = c)$ \, ou \, $(a = d)$ \, ou \, $(a = e)$ \, ou \, 
%$(b = c)$ \, ou \, $(b = d)$ \, ou   \\ 
%&  \, $(b = e)$ \, ou \, $(c = d)$ \, ou \, $(c = e)$ \, ou \, $(d = e)\Big)$\\ 
%&\hspace{0.7cm}Début du tant que\\ 
%&\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \quad ;\quad  b := \text{rand}(1,~50)  \quad ;\quad 
%c := \text{rand}(1,~50)$\\
%&\hspace{1.5cm} $ d := \text{rand}(1,~50)  \quad ;\quad e := \text{rand}(1,~50)$\\ 
%&\hspace{0.7cm}Fin du tant que \\
%Sortie& 	Afficher $a, b, c, d, e$
%\end{tabularx}
%}
\begin{enumerate}
\item %Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ?
%$$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\}  \qquad\qquad  \qquad\qquad  L_{2} = \{8~;~ 17~;~41~;~34~;~ 6\} $$ 
%$$L_{3} = \{12 ~;~ 17~;~ 23~;~57~;~ 50\} \qquad\qquad  \qquad\qquad L_{4} = \{45~;~ 19~;~43~;~21~;~ 18\}$$
On peut avoir les listes $L_2$ et $L_4$ car ce sont les seules ne comportant que des nombres entiers différents
compris entre 1 et 50.
		\item %Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
Cet algorithme permet de réaliser des groupes de 5 cyclistes différents de manières aléatoire.
	\end{enumerate} 
\item %Loïc est l'un des 50 participants de la course. Pour chaque étape, justifier que la probabilité 
%que Loïc subisse un contrôle est égale à $0,1$. 
La probabilité que Loïc subisse un contrôle est de $\dfrac5{50}=\dfrac1{10}=0.1$.
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par 
%Loïc sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? \textit{Justifier et préciser ses paramètres. }
On répète 10 fois de manière identique et indépendante,
l'épreuve de Bernoulli \og Etre ou ne pas être contrôlé à la fin d'une étape \fg.\\
Le succès étant \og Etre contrôlé \fg, de probabilité $0.1$, et $X$ compte le nombre de succès.\\
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.1$
		\item %Calculer, arrondies au dix-millième près, les probabilités des 
		%évènements sui\-vants :
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Loïc a été contrôlé 5 fois exactement : 
$P(X=5)=\left(\begin{array}{c}
  10 \\ 5
  \end{array}\right) \times 0.1^5 \times 0.9^5 \simeq $
\item Loïc n'a pas été contrôlé : 
$P(X=0)=0.9^{10} \simeq $
\item Loïc a été contrôlé au moins une fois : 
$P(X\geq 1) = 1-P(X=0) \simeq $
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B} : %\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\
%On donnera les résultats sous forme de \textbf{fraction irréductible}.}
%\medskip
%Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$.\\
%On appelle $D$ l'évènement: \og le coureur est dopé \fg.\\ 
%Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : 
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; 
%\item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%\medskip
\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(D)$. 
\begin{center}
 %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{\small $p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0.97$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.03$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{D}$}\tbput{\small $1-p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$T$}\taput{\small $0.01$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{T}$}\tbput{\small $0.99$}
}
}

\end{center}
Ainsi \quad  $P(T)=p\times 0.97 + (1-p)\times 0.01 = 0.01+0.96p$ \quad  et on sait que 
\quad $P(T)=0.05$.\\
Par conséquent, \quad  $0.01+0.96p=0.05 \iff 0.96p = 0.04 \iff p = \dfrac{4}{96}=\dfrac{1}{24}$

\item %Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?
On cherche  \quad  $P_T(\overline{D})=\dfrac{P(\overline{D}\cap T)}{P(T)}=\dfrac{\dfrac{23}{24} \times 0.01}{0.05}=\dfrac{23}{120}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}



%\newpage





\end{document}
