\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Bac Blanc (4h)}
\newcommand{\Ch}{Scientifique}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\Annee}{08 Avril 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.8cm}
\footskip=30pt




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
\thispagestyle{NomClasse}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutNeutre
\Cr{\ch}\\\\

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)}\\%\section{Nouvelle-Calédonie  novembre 2009}


L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$.

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous, à rendre avec la copie.
 
On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF]. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~1)$ est orthogonal à $\vect{\text{IK}}$ et à $\vect{\text{IJ}}$.
 
En déduire qu'une équation du plan (IJK) est : $4x + 2y + 2z - 5 = 0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (CD). 
		\item  En déduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$. 
		\item  Placer le point R sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). \\
\textit{On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes. }
%\item 
	%\begin{enumerate}
%		\item  Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$. 
%		\item Soit $\mathscr{S}$ la sphère de centre G passant par F.
% 
%Justifier que la sphère $\mathscr{S}$ et le plan (IJK) sont sécants.
% 
%Déterminer le rayon de leur intersection.
%	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,12)
\psline(2.8,7)(7,6.3)(8.8,8.5)(4.6,9.1)(2.8,7)(2.8,3.1)(7,2.4)(8.8,4.5)(8.8,8.5)%FGHEFBCDH
\psline(7,2.4)(7,6.3)%CG
\uput[l](4.6,5.1){A} \uput[l](2.8,3.1){B} \uput[dr](7,2.4){C} 
\uput[dr](8.7,4.5){D} \uput[ul](4.6,9.1){E} \uput[l](2.8,7){F} 
\uput[ul](7,6.3){G} \uput[ur](8.8,8.5){H}
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(2.8,3.1)%AB
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(8.7,4.5)%AD
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(4.6,9.1)%AE
\psline{->}(2.8,3.1)(0.5,0.5) \uput[dl](0.5,0.5){$z$}%Bx
\psline{->}(8.8,4.5)(12,4) \uput[r](12,4){$y$}%Dy
\psline{->}(4.6,9.1)(4.6,12)\uput[u](4.6,12){$z$}%Ez
\end{pspicture}
\end{center}

\end{ExoF}

\newpage
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \textbf{ \hfill (5 points)}\\ % Nvelle Calédonie Mars 2011
 
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	$\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}& =& 1\\
u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
\end{array}\right.$

\medskip 
	 
\textbf{Partie A : }
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$. 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
\item En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : }
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$. 
\item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Déterminer sa limite. 
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)}\\

\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : } 
% Rajouter equation du 3e degré dt les sol sont z_1 et z_2
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par :
$$P(z)=z^3-2\left(1+\sqrt{2}-i\right)z^2+4\left(2+\sqrt{2}-i\sqrt{2}\right)z-16(1-i)$$
\begin{enumerate}
 %\item Montrer que la nombre complexe $z_0=2(1-i)$ est solution de l'équation $P(z)=0$.
 \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z)=(z-2+2i)(z^2+az+b)$
 \item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z)=0$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B : } 
Soient les nombres complexes :
$$z_0=2-2i \qquad\qquad\qquad z_1=\sqrt{2}+i\sqrt{6} \qquad\qquad\qquad  Z=\dfrac{z_1}{z_0}$$
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
 \item Ecrire $Z$ sous forme algébrique. %\hfill (\textbf{2 pts})
 \item Ecrire chacun des nombres complexes $z_0$ et $z_1$ sous forme exponentielle. %\hfill (\textbf{4 pts})
        \item En déduire la forme exponentielle de $Z$. %\hfill (\textbf{2 pts})
  \item Déduire des questions 1a) et 1c) les valeurs de $\cos \dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{7\pi}{12}$ %\hfill (\textbf{2 pts})
  \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
       \item Déterminer la forme exponentielle de $Z^{2012}$. 
       \item En déduire l'argument \textbf{principal} de $Z^{2012}$. \quad \textit{Bien détailler la réponse.} %\hfill (\textbf{2 pts})
       \item Déterminer alors la forme algébrique de $Z^{2012}$. %\hfill (\textbf{1 pt})
      \end{enumerate}
 \item 
 Le plan complexe est muni du repère orthonormé \Ouv ci-dessous. %d'unité graphique $2$ cm.
\\
On désigne par $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $z_0$\, , $Z^{2012}$\, ,
$z_1$ et  $Z$.
\begin{enumerate}
 \item Placer le point $A$ dans ce repère (sur l'énoncé), puis coder $OA$ ainsi que $\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OA}\right)$.
 %\hfill (\textbf{1 pt})\\\\ 
 \item   Dans le repère ci-dessous, placer les points $B$, $C$ et $D$ à la règle (non graduée) et au compas. %\hfill (\textbf{2 pts})
 \textbf{Attention, la règle sert uniquement à tracer des traits droits.\\
 Pour le reste, pensez à utiliser le compas pour reporter des longueurs, 
 tracer des triangles équilatéraux, des carrés, des cercles ...\\
 Les traits de construction doivent être suffisamment explicites pour justifier la figure, sans avoir besoin de 
 rédiger ...}\\
 
 %\item Placer le point $C$. %\hfill (\textbf{2 pts})
 %\textit{\textbf{Indication}} : A quel endroit sur la figure peut-on prendre un écartement au compas valant $|z_A|$ ?\\
  %\item Placer le point $D$. \\%\hfill (\textbf{2 pts})\\
  %\textit{\textbf{Indication} : 
  %$\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OD}\right)=\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OB}\right)
  %+ \left(\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OD}\right)$ et d'après la question 2, on connaît la valeur de 
  %ces deux angles remarquables à construire \og bout à bout \fg ... }
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
 \psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[bl](-0.2,-0.2){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](0.42,-0.2){$\vec u$}
\rput[bl](-0.2,0.51){$\vec v$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{ExoF}



\begin{ExoF} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{(5 points)}\\

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}  %(6 points)} %\section{\textbf{Pondichéry avril  2012}}

\medskip
 
\textbf{Partie A : } 
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
 
À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. 
Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. 
Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.

Les résultats des contrôles étant obtenus après la fin de la course, un coureur contrôlé positif aura 
 tout de même participé à chaque étape de la course.
 \newpage
\begin{enumerate}
%\item À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
\item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir \textbf{un nombre entier aléatoire} appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
\fbox{
\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X}
Variables& 	$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ 
Initialisation& $a:= 0 \quad ;\quad  b := 0 \quad ;\quad  c := 0 \quad ;\quad  d := 0 \quad ;\quad  e := 0$
\\ 
Traitement & 	Tant que $\Big((a = b)$ \, ou \, $(a = c)$ \, ou \, $(a = d)$ \, ou \, $(a = e)$ \, ou \, 
$(b = c)$ \, ou \, $(b = d)$ \, ou   \\ 
&  \, $(b = e)$ \, ou \, $(c = d)$ \, ou \, $(c = e)$ \, ou \, $(d = e)\Big)$\\ 
&\hspace{0.7cm}Début du tant que\\ 
&\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \quad ;\quad  b := \text{rand}(1,~50)  \quad ;\quad 
c := \text{rand}(1,~50)$\\
&\hspace{1.5cm} $ d := \text{rand}(1,~50)  \quad ;\quad e := \text{rand}(1,~50)$\\ 
&\hspace{0.7cm}Fin du tant que \\
Sortie& 	Afficher $a, b, c, d, e$
\end{tabularx}
}
%\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme ?
$$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\}  \qquad\qquad  \qquad\qquad  L_{2} = \{8~;~ 17~;~41~;~34~;~ 6\} $$ 
$$L_{3} = \{12 ~;~ 17~;~ 23~;~57~;~ 50\} \qquad\qquad  \qquad\qquad L_{4} = \{45~;~ 19~;~43~;~21~;~ 18\}$$ 
		\item Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
	\end{enumerate} 
\item %À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. 
Loïc est l'un des 50 participants de la course. Justifier que la probabilité 
que Loïc subisse un contrôle à la fin d'une étape est égale à $0,1$. 
\item On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par 
Loïc sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? \textit{Justifier et préciser ses paramètres. }
		\item Calculer, arrondies au dix-millième près, les probabilités des 
		évènements sui\-vants :
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Loïc a été contrôlé 5 fois exactement; 
\item Loïc n'a pas été contrôlé; 
\item Loïc a été contrôlé au moins une fois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B} : \emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\
On donnera les résultats sous forme de \textbf{fraction irréductible}.}

\medskip
 
Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$.\\
On appelle $D$ l'évènement: \og le coureur est dopé \fg.\\ 
Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; 
\item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
%\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(D)$. 
\item Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{(5 points)}\\
%\section{\textbf{Inspiré de Antilles-Guyane (spécialité) juin 2012}}

\textit{Les quatre questions sont indépendantes.}
 
 \medskip
 
 \begin{enumerate}
  \item Justifier qu'il existe des nombres entiers $x$ et $y$ tels que $21x-56y=14$, puis donner un 
  couple solution.
  \item \begin{enumerate}
         \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, \quad $2^{3n}\equiv 1 \quad (\text{mod } 7)$.
         \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $2011^{2012}$ par $7$.
        \end{enumerate}
\item Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, $M$ une matrice carré d'ordre $2$ : 
$$M=\left(\begin{array}{cc}
                a & 1-a\\
            1-b & b
                 \end{array}\right)$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer $M^2-(a+b)M$ en fonction de $I_2$, matrice identité d'ordre $2$.
 \item En déduire les matrices $M$ telles que $M^2=M$.
\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant où $\text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right)$ 
désigne la partie entière de $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$.

\begin{center} 
\fbox{
\begin{minipage}{0.75\textwidth} 
A et N sont des entiers naturels\\ 
Saisir A\\ 
N prend la valeur 1\\ 
Tant que N $\leqslant  \sqrt{\text{A}}$\\ 
\phantom{aaaaaaaaa} Si $\dfrac{\text{A}}{\text{N}} -  \text{Ent}\left (\dfrac{\text{A}}{\text{N}}\right) = 0$ alors Afficher N et $\dfrac{\text{A}}{\text{N}}$\\
\phantom{aaaaaaaaa}Fin si\\ 
N prend la valeur N + 1\\ 
Fin Tant que.
\end{minipage}}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?
\item Que donne cet algorithme dans le cas général? 
\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\end{ExoF}


%\newpage





\end{document}
