\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Correction}
\newcommand{\Ch}{TG4 et TG6}
\newcommand{\Cl}{Scientifique}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\Annee}{11 f\'evrier 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutNeutre

\Cj{Devoir Surveillé Commun : 2h}\\\\

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
\textbf{Partie A :} \qquad 
%Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
$g(x)=e^x-xe^x+1$ sur $\R$
\begin{enumerate}
 \item %Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet]  $\lim_{x \to -\infty}e^x=0$ \quad et \quad $\lim_{x\to - \infty} xe^x=0$ \quad d'après le cours.
 \hfill  Donc \fbox{$\lim_{x \to -\infty}g(x)=0+0+1=1$}.\\
 \item[\textbullet] $\lim_{x \to +\infty}e^x=+\infty $ \quad et \quad $\lim_{x\to +\infty} xe^x=+\infty$.
 \hfill  Donc $\lim_{x \to -\infty}g(x)$ est une forme indéterminée.\\
 Or \quad  $g(x)=e^x(1-x)+1$ \quad et \quad $\lim_{x\to + \infty} (1-x)=-\infty$.\hfill
 Par produit  $\lim_{x \to + \infty}e^x(1-x)=-\infty$\\ 
 D'où \quad \fbox{$\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$}.
  \end{itemize}
 \item %Etablir le tableau de variations complet de la fonction $g$.
 Commençons par calculer la dérivée de $g$. \\
 Pour cela, il faut notamment calculer la dérivée du produit $xe^x$.\\
 On pose \quad $u(x)=x$ \quad et \quad $v(x)=e^x$. \qquad Alors \quad $u'(x)=1$ \quad et \quad $v'(x)=e^x$.\\
 Ainsi \quad $g'(x)=e^x-\left(1\times e^x + e^x\times x \right) + 0 = e^x-e^x-xe^x$.\hfill
 Donc \fbox{$g'(x)=-xe^x$} \\
 On en déduit le tableau de variations suivant :
 \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/0.5, Signe de\\$-x$/1, Signe de\\$e^x$/1, Signe de\\$g'(x)$/1, 
  Variations\\ de $g$/2} {$-\infty$ ,$0$ ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,z,-}%
  \tkzTabLine {,+,t,+}%
  \tkzTabLine {,+,z,-}%
  \tkzTabVar {-/ $1$ , + /$2$, -/$-\infty$ }
  \tkzTabVal[draw] {2}{3} {0.5} {$\alpha$} {$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center} 
 \item \begin{enumerate}
        \item %Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution.\\
        %On note $\alpha$ cette solution.
        Sur $]-\infty ; 0 [$, la fonction $g$ est supérieure à $1$, donc l'équation $g(x)=0$ n'admet pas de
        solution.\\% sur $]-\infty ; 0[$.\\
        Sur $[0; + \infty[$, la fonction $g$ est continue et strictement décroissante.\\
        De plus, $g(0)=2>0$ et $\lim_{x \to + \infty}g(x)=-\infty<0$.\\
        Donc, d'après le corollaire du TVI, il existe un unique réel 
        $\alpha\in[0 ; + \infty[$  tel que $g(\alpha) = 0$.\\
        Au final, l'équation $g(x)=0$ admet bien une unique solution sur $\R$. 
        \item %A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
        Par balayage, on trouve \fbox{$1.27<\alpha<1.28$}
        \item %Montrer que $e^{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha -1}$
        On sait que $g(\alpha)=0 \iff e^{\alpha}-\alpha e^{\alpha}+1=0 
        \iff e^{\alpha}(1-\alpha)=-1 \iff e^{\alpha}=\dfrac{-1}{1-\alpha}
        \iff $\fbox{$e^{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha -1}$}  
       \end{enumerate}
 \item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
  \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=4]{$x$/0.5,Signe de\\$g$/1} {$-\infty$ ,$\alpha$ ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,z,-}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :} \qquad 
%Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que 
$A(x)=\dfrac{4x}{e^x+1}$ sur $\R$
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de $A$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
\begin{itemize}
  \item[\textbullet]  $\lim_{x \to -\infty}4x=-\infty$ \quad et 
  \quad $\lim_{x\to - \infty} e^x+1=0+1=1$.
 \hfill  Donc par quotient \fbox{$\lim_{x \to -\infty}A(x)=-\infty$}.\\
 \item[\textbullet] $\lim_{x \to +\infty}4x=+\infty $ \quad et 
 \quad $\lim_{x\to +\infty} e^x+1=+\infty$.
 \hfill  Donc $\lim_{x \to -\infty}A(x)$ est une forme indéterminée.\\
 Or \quad $A(x)=\dfrac{x\times 4}{e^x(1+e^{-x})}=\dfrac{x}{e^x}\times \dfrac{4}{1+e^{-x}}$.
 \\ $\lim_{x\to + \infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ \quad d'après le cours, \quad
 donc \quad $\lim_{x\to + \infty} \dfrac{x}{e^{x}}=0$.\hfill 
 De plus  $\lim_{x \to + \infty}\dfrac{4}{1+e^{-x}}=\dfrac{4}{1+0}=4$\\ 
 Finalement par produit \quad \fbox{$\lim_{x \to +\infty} A(x) = 0$}.
  \end{itemize}
 \item %Montrer que $A'(x)=\dfrac{4g(x)}{\left(e^x+1\right)^2}$ pour tout $x\in\R$.
 On pose \quad $u(x)=4x$ \quad et \quad $v(x)=e^x+1$. \qquad Alors \quad $u'(x)=4$ \quad et
 \quad $v'(x)=e^x$.\\
 Ainsi \quad  $A'(x)=\dfrac{4\times (e^x+1)-e^x \times 4x}{\left(e^x+1\right)^2}=
\dfrac{4\left(e^x+1-xe^x\right) }{\left(e^x+1\right)^2}$. \hfill D'où \quad \fbox{$A'(x)=\dfrac{4g(x)}{\left(e^x+1\right)^2}$}
 \item %En déduire les variations de la fonction $A$ sur $\R$.
  \begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[espcl=5]{$x$/0.5, Signe de\\$4g(x)$/1, Signe de\\$\left(e^x+1\right)^2$/1, Signe de\\$A'(x)$/1, 
  Variations\\ de $A$/2} {$-\infty$ ,$\alpha$ ,  $+\infty$}%
  \tkzTabLine {,+,z,-}%
  \tkzTabLine {,+,t,+}%
  \tkzTabLine {,+,z,-}%
  \tkzTabVar {-/ $-\infty$ , + /$A(\alpha)$, -/$0$ }
\end{tikzpicture}
\end{center} 
 \item %Montrer que le maximum de la fonction $A$ sur $\R$ vaut $4(\alpha -1)$.
 Le maximum de la fonction $A$ est donc atteint en $\alpha$.  Or 
 $$A(\alpha) = \dfrac{4\alpha}{e^{\alpha}+1}=\dfrac{4\alpha}{\dfrac{1}{\alpha -1}+1} = 
 \dfrac{4\alpha}{\dfrac{1+\alpha-1}{\alpha -1}}=\dfrac{4\alpha}{\dfrac{\alpha}{\alpha-1}}
 =4\alpha \times \dfrac{\alpha -1}{\alpha}=4(\alpha -1)$$
\end{enumerate}
\textbf{Partie C : }
%On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; + \infty[$ par :
$f(x)=\dfrac{4}{e^x+1}$ sur $\R^+$
\begin{enumerate}
  \item %Déterminer les coordonnées de chacun des points $M$, $P$ et $Q$.
  $M(x;f(x))$\quad car $M\in\mathscr C$ \qquad $P(x;0)$ \quad car $P\in(Ox)$ 
  \qquad et \qquad $Q(0;f(x))$ \quad car $Q\in(Oy)$.
  \item %Démontrer que l'aire du rectangle $OPMQ$ est maximale lorsque $M$ 
  %a pour abscisse $\alpha$ et donner cette valeur.
  L'aire du triangle $OPMQ$ est égale à $OP \times OQ = xf(x)=x\times \dfrac{4}{e^x+1}=A(x)$.\\
  On a déjà montré que le maximum de la fonction $A$ était atteint en $x=\alpha$ et 
  valait $4(\alpha -1)$.
  \item %\textit{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
  %Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$. La tangente $T$ en $M$ à $\mathscr C$ est-elle parallèle
  %à la droite $(PQ)$ ?
  Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $f'(\alpha)$.\qquad
  Or \quad $f'(x)=\dfrac{-4e^x}{\left(e^x+1\right)^2}$. \quad Donc :
  $$f'(\alpha)=\dfrac{-4e^{\alpha}}{\left(e^{\alpha}+1\right)^2}
  =\dfrac{-4\times\dfrac{1}{\alpha-1}}{\left(\dfrac{1}{\alpha-1}+1\right)^2}
  =\dfrac{\dfrac{-4}{\alpha-1}}{\left(\dfrac{1+\alpha-1}{\alpha-1}\right)^2}
  =\dfrac{-4}{\alpha-1}\times \left(\dfrac{\alpha-1}{\alpha}\right)^2
  =\dfrac{-4(\alpha-1)}{\alpha^2}  $$
  De plus $\overrightarrow{PQ}\left(%\begin{array}{c}
                             -\alpha ; f(\alpha)
                            %\end{array}
                            \right)$. \qquad 
 Donc le coefficient directeur de la droite $(PQ)$ est $\dfrac{f(\alpha)}{-\alpha}$.
 \quad Or :
 $$\dfrac{f(\alpha)}{-\alpha}=\dfrac{4}{e^{\alpha}+1}\times \dfrac1{-\alpha}=
 \dfrac{4}{\dfrac{1}{\alpha-1}+1}\times \dfrac1{-\alpha}
 =\dfrac{4}{\dfrac{1+\alpha-1}{\alpha-1}}\times \dfrac1{-\alpha}
 =4\times \dfrac{\alpha-1}{\alpha}\times \dfrac1{-\alpha}
 =\dfrac{-4(\alpha-1)}{\alpha^2}=f'(\alpha) $$
 Donc $T//(PQ)$.
 \end{enumerate}

\end{ExoF}
















\end{document}
