\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Devoir Commun (2h)}
\newcommand{\Ch}{TG4 et TG6}
\newcommand{\Cl}{Scientifique}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\Annee}{11 f\'evrier 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutNeutre

\Cj{Devoir Surveillé Commun : 2h}\\\\

\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
\textbf{Partie A :}
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \hfill \textbf{(4.5 points)}
$$g(x)=e^x-xe^x+1$$
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
 \item Etablir le tableau de variations complet de la fonction $g$.
 \item \begin{enumerate}
        \item Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\R$ une unique solution.\\
        On note $\alpha$ cette solution.
        \item A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
        \item Montrer que $e^{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha -1}$
       \end{enumerate}
 \item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B :}
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que \hfill \textbf{(3 points)}
$$A(x)=\dfrac{4x}{e^x+1}$$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $A$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
 \item Montrer que $A'(x)=\dfrac{4g(x)}{\left(e^x+1\right)^2}$ pour tout $x\in\R$.
 %\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction
 %définie dans la partie A.
 \item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $\R$.
 \item Montrer que le maximum de la fonction $A$ sur $\R$ vaut $4(\alpha -1)$.
\end{enumerate}
\textbf{Partie C : }
On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; + \infty[$ par : \hfill \textbf{(2.5 points)}
$$f(x)=\dfrac{4}{e^x+1}$$
\begin{minipage}{8cm}
On note $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.\\
La figure est donnée ci-contre.\\
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note :
\begin{itemize}
 \item $M$ le point de $\mathscr C$ d'abscisse $x$ ;
 \item $P$ le point de l'axe des abscisses d'abscisse $x$
 \item $Q$ le point de l'axe des ordonnées d'ordonnée $f(x)$.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.3)(4.5,2.3)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.4,-0.4)(9,4.6)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(4.5,2.3)
\psplot[plotpoints=200]{0}{4.5}{4/(EXP(x)+1)}
\rput[tl](0.3,1.9){$ \mathscr C $}
\rput[tl](4.37,-0.1){$ x $}
\rput[tl](0.1,2.3){$ y $}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\rput[tl](0.5,-0.06){$\vec i$}
\rput[tl](-0.2,0.5){$\vec j$}
\rput[tr](-0.1,-0.1){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer les coordonnées de chacun des points $M$, $P$ et $Q$.
  \item Démontrer que l'aire du rectangle $OPMQ$ est maximale lorsque $M$ 
  a pour abscisse $\alpha$ et donner sa valeur exacte en fonction de $\alpha$.
  \item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
  Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$. La tangente $T$ en $M$ à $\mathscr C$ est-elle parallèle
  à la droite $(PQ)$ ?
 \end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill \textbf{(10 points)}\\
 \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}\\\\
 \textbf{Partie A :} \hfill \textbf{(2 points)}\\
 Résoudre dans $\C$ les équations suivantes.\\
 \textbf{\textit{Les solutions seront données sous forme algébrique}.}
 $$(E_1) : z+2i=iz-1 \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad (E_2) : 13z^2+6z+1=0$$
  \textbf{Partie B :} \hfill \textbf{(8 points)}\\
  On définit la fonction polynôme $f$ sur $\C$ à valeurs dans $\C$ par :
  $$f(z)=z^4-6z^3+14z^2-24z+40$$
  \begin{enumerate}
   \item  \begin{enumerate}
          \item Montrer que si $z$ est un nombre imaginaire pur, noté $z=iy$ (avec $y\in\R$), alors
           $$f(iy)=y^4-14y^2+40 + 6y(y^2-4)i$$
          \item En déduire que l'équation $f(z)=0$ possède exactement deux solutions imaginaires pures,
          que l'on précisera.
         \end{enumerate}
 \item %On considère désormais $z\in\C$ quelconque. 
 \begin{enumerate}
  \item Trouver deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z \in \C$ on ait :
  $$f(z)=(z^2+az+b)(z^2+4)$$
  \item En déduire l'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $f(z)=0$.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Placer dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O ; \vec u ; \vec v)$, les images 
        des points $A$, $B$, $C$ et $D$ des solutions de l'équation $f(z)=0$. \hfill \textit{On notera la cohérence ...}
        \item \textbf{Bonus : } Démontrer que ces points sont le cercle de centre $I$ d'affixe $z_I=1$, et
        de rayon $R=\sqrt{5}$.
       \end{enumerate}
  \end{enumerate}

\end{ExoF}











\end{document}
