\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Devoir Commun (4h)}
\newcommand{\Ch}{TG4 et TG6}
\newcommand{\Cl}{Scientifique}
\newcommand{\num}{4}	
\newcommand{\Annee}{14 janvier 2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutNeutre

\Cj{Devoir Surveillé Commun : 4h}\\\\

\begin{ExoF} 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{(5 points)}\\\\
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes} 
 
\medskip
\noindent \textbf{Partie A :}\\
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.\\  
On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[-3~;~2]$. \\
On dispose des informations suivantes: 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $f(0) = -1$. 
\item[$\bullet~$]la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ admet la courbe représentative $\mathcal{C}'$ ci -dessous.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-3,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 1 add 2 x sub mul 0.5 mul 2.71828 x 2 div exp mul}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,-1.133)(-2,-0.7333)(-1,0)(0,1)(0.5,1.4333)(1,1.6666)(1.6666,1)(2,0)
\uput[d](-2.7,-1.2){$\mathcal{C}'$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et \textbf{justifier} la réponse.
 
\begin{enumerate}
%\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3, -1],\: f^{\prime}(x) \leqslant 0$. 
\item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1
~;~ 2]$. 
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2], \:f(x) \geqslant -1$. 
%\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
 
%La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1~;~0). 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B :}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\cos(x)$.\\
%\textit{Possibilité aussi de le faire avec $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$, pour la limite demandée, cela peut-être intéréssant ... ??}\\
Pour chacune des questions suivantes, entourer la bonne réponse sur le sujet, et \textbf{justifier} sur votre copie.
\begin{enumerate}
 \item La dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f'(x)=$
 \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $\sin(x)$   \item $\cos(x)$   \item $\cos(x)+x\sin(x)$   \item $\cos(x)-x\sin(x)$
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 %\item Le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $[-2\pi; 2\pi]$ est :
 % \begin{multicols}{4}
 %\begin{enumerate}
 % \item $2$   \item $3$   \item $4$   \item $5$
 %\end{enumerate}
 %\end{multicols}
 %\item $f'\left(-\dfrac{5\pi}6\right)=$
 % \begin{multicols}{4}
 %\begin{enumerate}
 % \item $\dfrac{5\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{2}\pi}{12}$   \item $\dfrac{5\sqrt{3}}{12}$   \item Autre valeur
 %\end{enumerate}
 %\end{multicols}
 %\item $\lim\limits_{x\to + \infty} \left(f(x)\right)^2$
 % \begin{multicols}{4}
 %\begin{enumerate}
 % \item $0$   \item $+\infty$   \item n'existe pas   \item Autre réponse
 %\end{enumerate}
 %\end{multicols}
 \item $\lim\limits_{x\to - \infty} f\left(\dfrac1x\right)$
  \begin{multicols}{4}
 \begin{enumerate}
  \item $=0$   \item $=+\infty$   \item n'existe pas   \item Autre réponse
 \end{enumerate}
 \end{multicols}
 %\item Dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $f$ est symétrique par rapport à :
 % \begin{multicols}{4}
 %\begin{enumerate}
 % \item l'origine   \item l'axe des ordonnées   \item l'axe des abscisses   \item la droite d'équation $y=x$
 %\end{enumerate}
 %\end{multicols}
 \item La fonction $f$ est :
 \begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
 \item paire   \item impaire   \item $2\pi$- périodique   \item Autre réponse
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}
\newpage

\setcounter{exer}{0}
\begin{ExoF}  \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \hfill \textbf{(5 points)}
 \begin{center}
  \textbf{\textit{A rendre sur feuille séparément}}
 \end{center}
 
 \noindent \textbf{Dans cet exercice, toutes les questions de la partie A sont indépendantes.\\
 Les deux parties A et B sont aussi indépendantes.}
 
 \bigskip
 
 \noindent \textbf{Partie A :}\\
 Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier rigoureusement chacune de vos réponses.
 \begin{enumerate}
  \item On considère l'équation $\, (E) : x^2 + y^2 \equiv 0 \quad (3)$.\\
  \textbf{Proposition :} \og Il existe au moins un couple $(x,y)$ d'entiers relatifs solution de $(E)$ qui n'est pas un couple 
  de multiples de $3$ \fg.
  \item Soit $n$ un entier, $n\geq 3$.\\
  \textbf{Proposition : } \og Pour tout entier naturel $k$ ($2\leq k \leq n$), le nombre $1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n + k$
  n'est pas premier \fg.
  \item Soit $N=11^{2011}$.\\
  \textbf{Proposition :} \og L'entier $N$ est congru à 4 modulo 7 \fg .
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 \noindent \textbf{Partie B :}
 \begin{enumerate}
  \item Donner la décomposition en produit de nombres premiers de $6!$\\
  \textit{(On rappelle que pour tout entier $n\geq 2$, $n!=1\times 2 \times 3 \times \dots \times n$ ). }
  \item Déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que $6! \times k$ soit le carré d'un nombre entier.
  \item Question ouverte (\textit{toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation}) :\\
  Pour tout entier naturel non nul $A$, comment déterminer le plus petit entier naturel $k$ tel que $A\times k$ soit le carré d'un 
  nombre entier ?
 \end{enumerate}
 
\end{ExoF}

\bigskip\bigskip\bigskip

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)}\\

\noindent \textbf{Partie A : Une fonction auxiliaire}\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
%$$g(x)=-3x^3+4x+8$$
$$g(x)=-14x^3+21x^2+8$$
\begin{enumerate}
 \item Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et $+\infty$
 \item Etudier les variations de la fonction $g$.
 \item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$.  Donner un encadrement de $\alpha$ à $0.01$ près.
 \item En déduire le signe de $g$ sur $\R$.\\
\end{enumerate}

\newpage
\noindent\textbf{Partie B : Etude d'une fonction}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$
%$\R^*$ 
par : 
%$$f(x)=\dfrac34x+1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}$$
$$f(x)=(x^3-1)(7-2x)^4$$
\begin{enumerate}
 \item Etudier les limites de $f$  en $-\infty$ et $+\infty$
 %aux bornes de son ensemble de définition.\\
 %En déduire la présence d'une asymptote à la courbe représentative de $f$, dont on précisera l'équation.
 \item Montrer que $f'(x)=(7-2x)^3\times g(x)$ pour tout $x\in\R$.
 %$f'(x)=-\dfrac{g(x)}{4x^3}$.
 \item Déterminer le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ et dresser le tableau de variations de $f$.
 \item Combien l'équation $f(x)=12$ possède-t-elle de solutions sur $\R$ ?\\
 \textit{On ne demande pas de les déterminer}.
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\bigskip\bigskip\bigskip

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)}\\

\noindent $ABCDEFGH$ est un parallélépipède et $I$ le point tel que $\overrightarrow{AI}=\dfrac13\overrightarrow{AG}$.
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(7,4.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=8pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt,linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(5,1)(2.33,1.66)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(5,1)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](5,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0,0)(1,1)
\psline(0,0)(1,3)
\psline(5,3)(1,3)
\psline(5,3)(4,0)
\psline(5,1)(6,4)
\psline(6,4)(2,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1,1)(2,4)
\psline(2,4)(1,3)
\psline(5,3)(6,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](1,1)(5,3)
\psdot(2.33,1.66)
\psdot(3,2)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.19,-0.28){\blue{$B$}}
\rput[bl](3.93,-0.25){\blue{$C$}}
\rput[bl](5.06,0.85){\blue{$D$}}
\rput[bl](0.85,1.03){\blue{$A$}}
\rput[bl](0.89,3.04){\blue{$F$}}
\rput[bl](5.11,2.84){\blue{$G$}}
\rput[bl](6.06,4.07){\blue{$H$}}
\rput[bl](2.05,4.07){\blue{$E$}}
\rput[bl](2.3,2){\blue{$I$}}
\rput[bl](3.,2.2){\blue{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

 On se place dans le repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AE} \right)$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées des points $G$ et $I$ dans le repère donné. %\hfill 0.5 point
 \item Montrer que $\overrightarrow{IE} =- \overrightarrow{IB}  -\overrightarrow{ID}$
 \item Que peut-on en déduire sur les points $I$, $B$, $D$ et $E$ ?  %\hfill 0.5 point
 \item En déduire la section du parallélépipède $ABCDEFGH$ avec le plan $(IBD)$. \\
 \textit{On complètera la figure sur le sujet.}
 \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(DE)$ et une de la droite $d$ parallèle à $(BE)$ passant par le centre $O$ 
 du parallélépipède $ABCDEFGH$.
 \item Montrer que $(DE)$ et $d$ sont non coplanaires.
\end{enumerate}

 
 \end{ExoF}

 \newpage

\begin{ExoF} \textbf{Commun à tous les candidats} \hfill \textbf{(5 points)}\\\\
\noindent \textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\bigskip
 
\noindent Un site internet propose des jeux en ligne.

 \bigskip
 
\noindent \textbf{Partie A :}
\noindent Pour un premier jeu : 
\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si l'internaute gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est égale à $\dfrac{2}{5}$. 
\item[$\bullet~~$] si l'internaute perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est égale à $\dfrac{4}{5}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour tout entier naturel non nul $n$, on désigne par $G_{n}$ l'évènement \og l'internaute gagne la $n$-ième partie \fg{} et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $G_{n}$.
 
L'internaute gagne toujours la première partie et donc $p_{1} = 1$. 
\begin{enumerate}
\item Compléter sur le sujet l'arbre pondéré suivant :

%\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{nodesep=2mm,levelsep=50mm,treesep=8mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{$1 - p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	  
	  }
	
}
\end{center}

%\vspace{0,5cm} 

\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n+1} = \dfrac{1}{5}p_{n} + \dfrac{1}{5}$.  
\item Pour tout $n$ entier naturel non nul, on pose $u_{n} = p_{n} - \dfrac{1}{4}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$  est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $u_{1}$ à préciser. 
		\item Montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul, $p_{n} = \dfrac{3}{4} \times \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n - 1}  + \dfrac{1}{4}$. 
		\item Déterminer la limite de $p_{n}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} 
Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10~parties. \\
On suppose que toutes les parties sont indépendantes.
 
La probabilité de gagner chaque partie est égale à $\dfrac{1}{4}$. 

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. 
		\item Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$ près. 
		\item Déterminer l'espérance de X.
	\end{enumerate} 
\item Le joueur doit payer 30~\euro{} pour jouer les 10~parties. 
Chaque partie gagnée lui rapporte 8~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur. 
		\item Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40~\euro . Le résultat sera arrondi à $10^{-5}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}
















\end{document}
