\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{TG4 et TG6}
\newcommand{\Ch}{Suites et g\'eom\'etrie dans l'espace}
\newcommand{\Cl}{Scientifique}
\newcommand{\num}{2}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutNeutre

\Cj{Devoir Surveillé 2 (Commun)}\\\\

\begin{ExoF} \textbf{\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}}\hfill \textbf{(9 points)}\\

Dans cet exercice, on considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $\quad \left\{\begin{array}{l}
                                                                       u_0=5 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n}2-3
                                                                      \end{array}\right.$\\
\textbf{Partie A : Comportement à l'infini de la suite $(u_n)$}
\begin{enumerate}
 \item Montrer par récurrence que $\forall n \geq 2$, on a \quad $-6<u_n<-3$
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante sur $\N$.
 \item La suite $(u_n)$ est-elle convergente ou divergente ? \textit{Justifier votre réponse}.
\item Déterminer, si elle existe, la valeur de la limite de la suite $(u_n)$.\\
\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Utilisation d'une suite auxiliaire}\\
Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n=u_n+6$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item  En déduire que $\forall n \in\N$, on a $u_n=11 \times \left(\dfrac12\right)^n-6$
\item  Retrouver alors, en justifiant, l'éventuelle limite de la suite $(u_n)$
\item  Soit $(S_n)$ la suite définie sur $\N$ par $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k=u_0+u_1+ \dots + u_n$\\
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $\forall n\in\N$ on a $S_n=-\dfrac{11}{2^n}-6n+16$
\item En déduire la limite éventuelle de la suite $(S_n)$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\fbox{\begin{minipage}{17cm}
\textbf{\textit{Indication pour la question 4 :}}\\
On pourra raisonner par récurrence ou se souvenir que pour $q\neq 1$ on a 
$$\sum_{k=0}^{n}q^k=q^0+q^1+ \dots + q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
ce qui ne manquera pas de style.
             \end{minipage}
}
\end{ExoF}
\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Sections} \hfill \textbf{(3 points)}\\
$ABCDEFGH$ est un cube, $I$ est le milieu de $[DH]$, $J$ celui de $[HG]$ et $K$ est le point 
tel que $\overrightarrow{EK}=\dfrac13\overrightarrow{EH}$.
\begin{enumerate}
 \item Sur la première figure, tracer la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(DKF)$
 \item Sur la seconde figure, tracer la section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(BIJ)$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,4)(4,4)
\psline(4,4)(5,5)
\psline(5,5)(1,5)
\psline(1,5)(0,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(1,5)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(5,1)(5,5)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.2,-0.25){{$A$}}
\rput[bl](3.85,-0.25){{$B$}}
\rput[bl](5.1,1.1){{$C$}}
\rput[bl](1.1,1.1){{$D$}}
\rput[bl](-0.2,4.1){{$E$}}
\rput[bl](3.85,4.1){{$F$}}
\rput[bl](5.1,5.1){{$G$}}
\rput[bl](1.1,5.1){{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](1,3)
\rput[bl](0.7,3.){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](3,5)
\rput[bl](3.,5.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](0.33,4.33)
\rput[bl](0.05,4.4){{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}\hspace{3cm}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,4)(4,4)
\psline(4,4)(5,5)
\psline(5,5)(1,5)
\psline(1,5)(0,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(1,5)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(5,1)(5,5)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.2,-0.25){{$A$}}
\rput[bl](3.85,-0.25){{$B$}}
\rput[bl](5.1,1.1){{$C$}}
\rput[bl](1.1,1.1){{$D$}}
\rput[bl](-0.2,4.1){{$E$}}
\rput[bl](3.85,4.1){{$F$}}
\rput[bl](5.1,5.1){{$G$}}
\rput[bl](1.1,5.1){{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](1,3)
\rput[bl](0.7,3.){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](3,5)
\rput[bl](3.,5.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](0.33,4.33)
\rput[bl](0.05,4.4){{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\hfill \textbf{(5 points)}\\
\begin{minipage}{7cm}
$ABCDEFGH$ est un pavé droit. Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[EF]$ et $[FG]$.\\
Les points $O$ et $O'$ sont les centres respectifs des faces $BCGF$ et $ADHE$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.cm,yunit=1.cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.5,4.5)
\psline(0,0)(5,0)
\psline(5,0)(7,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(7,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(0,0)
\psline(0,3.02)(0,0)
\psline(0,3.02)(5,3)
\psline(5,3)(7,4)
\psline(7,4)(2,4)
\psline(2,4)(0,3.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1)(2,4)
\psline(5,3)(5,0)
\psline(7,1)(7,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2,4)(0,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2,1)(0,3.02)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](7,4)(5,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](7,1)(5,3)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.2,-0.25){{$A$}}
\rput[bl](4.9,-0.25){{$B$}}
\rput[bl](7.1,1.){{$C$}}
\rput[bl](2.1,1.1){{$D$}}
\rput[bl](-0.2,3.1){{$E$}}
\rput[bl](4.9,3.1){{$F$}}
\rput[bl](7.1,4.1){{$G$}}
\rput[bl](2.1,4.1){{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](2.5,3.01)
\rput[bl](2.5,3.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](6,3.5)
\rput[bl](5.9,3.6){{$J$}}
\rput[bl](1.15,2.0){{$O'$}}
\rput[bl](6.2,2.0){{$O$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item Identifier les points $M$, $N$ et $P$ définis par : 
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{GH}+\dfrac12\overrightarrow{AH} \qquad \qquad 
\overrightarrow{DN}=\dfrac12\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CF} \qquad \qquad 
\overrightarrow{GP}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{GC}+\dfrac12\overrightarrow{DA} $$
\item Montrer que $(EC)$ et $(IO)$ sont parallèles. 
\item Déterminer (en justifiant) la position relative des plans $(OIJ)$ et $(ACE)$.  
\item Soit $K$ le point défini par $\overrightarrow{AK}=\dfrac23\overrightarrow{AG}$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DJ}+\dfrac13\overrightarrow{JA}+\dfrac23\overrightarrow{JG}$ 
  \item Montrer que $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JG}=\overrightarrow{GD}$ 
  \item Déduire des deux questions précédentes que les points $D$, $K$ et $J$ sont alignés. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}\hfill \textbf{(3 points)}\\
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ et $J$ sont les points définis par :
$$\overrightarrow{DI}=\dfrac13\overrightarrow{DC} \qquad \qquad \text{ et } \qquad \qquad \overrightarrow{BJ}=\dfrac23\overrightarrow{BC}$$
\begin{center}
 \psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,5.5)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(4,0)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(0,0)
\psline(0,4)(0,0)
\psline(0,4)(4,4)
\psline(4,4)(5,5)
\psline(5,5)(1,5)
\psline(1,5)(0,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(1,5)
\psline(4,4)(4,0)
\psline(5,1)(5,5)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.2,-0.25){{$A$}}
\rput[bl](3.85,-0.25){{$B$}}
\rput[bl](5.1,1.1){{$C$}}
\rput[bl](1.1,1.1){{$D$}}
\rput[bl](-0.2,4.1){{$E$}}
\rput[bl](3.85,4.1){{$F$}}
\rput[bl](5.1,5.1){{$G$}}
\rput[bl](1.1,5.1){{$H$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](2.33,1)
\rput[bl](2.3,1.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=6pt](4.66,0.66)
\rput[bl](4.8,0.4){{$J$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate} 
 \item Exprimer chacun des vecteurs $\overrightarrow{HI}$, $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{GJ}$ en fonction des vecteurs 
 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et/ou $\overrightarrow{AE}$
  \item En déduire deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{HI}=x\overrightarrow{EG}+y\overrightarrow{GJ}$
  \item Que peut-on en déduire pour :
  \begin{enumerate}
   \item les vecteurs $\overrightarrow{HI}$, $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{GJ}$ ?
  \item la droite $(HI)$ et le plan $(EGJ)$ ?
    \end{enumerate}
    %\item Expliquer pourquoi les plans $(
\end{enumerate}
\end{ExoF}




%\newpage
%\begin{ExoF}\hfill (7 points)\\
% On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                        u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac13u_n+n-2
%                                                       \end{array}\right.$\\
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
%\item \begin{enumerate}
%       \item Démonter que $\forall n \geq 4$, on a $u_n \geq 0$
%        \item En déduire que $\forall n \geq 5$, on a $u_n \geq n-3$
%         \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
%      \end{enumerate}
%\item On définit la suite $(v_n)$ sur $\N$ par $v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison 
%		et le premier terme. 
%		%\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item En déduire que $\forall n \in\N$ on a $u_n=\dfrac{25}{4} \times \left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}{4}$
%		 \item Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
%\end{enumerate}
%\item Soit la suite $S$ définie pour tout $n\in\N$ par : 
%$$S_n=\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$$
%\begin{enumerate}
% \item Etudier le comportement à l'infini de la suite $S$, grâce à ce qui précède.
% \item Déterminer $S_n$ en fonction de $n$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}                                  
%\end{ExoF}


%\begin{ExoF}\hfill (4 points)\\
% On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                        u_0=3 \\ u_{n+1}=\dfrac14u_n^2+2
%                                                       \end{array}\right.$\\
%Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac14x^2+2$, alors on a,
%pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\geq x+1$
%\item En déduire que $\forall n \geq 0$, on a $u_{n+1}-u_n \geq 1$.\\
%En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
%\item Montrer que $\forall n \in\N$ on a $u_n-u_0 \geq n$\\
%\textit{\textbf{Indication} : Utiliser que }
%$$u_n-u_0=(u_n-u_{n-1})+\dots + (u_1-u_0)$$
%En déduire le comportement de la suite $u$ à l'infini.%
		%\item  A partir de quel rang $N$ est -on certain que pour tout entier $n\geq N$ on a $u_n \geq 10^6$ ?
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}











\end{document}
