\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitres 1-2}
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence et Limites de Suites}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\begin{ExoF} \textbf{Opérations sur les limites et FI} \hfill (4 points)\\
Déterminer en rédigeant convenablement les limites suivantes :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
 \item $\lim\limits _{n \to + \infty} \sqrt{n}-\dfrac1{\sqrt{n}}$
  \item $\lim\limits _{n \to + \infty} 5n^4-3n^3+0.9^n$
  \item $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{4n^3+27n^2+7}{0.1n^5-4}$
  \item $\lim\limits _{n \to + \infty} 6-\dfrac{7}{0.9^n}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Limites et comparaison} \hfill (5 points)
\begin{enumerate}
 \item On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par $u_n= \dfrac{5n^2-3\cos(n)}{2n^2+n+1}$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_{100}$ puis $u_{1000}$ à $10^{-4}$ près \textit{(on réglera la calculatrice en radians)}.\\
    Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de $(u_n)$ ?
    \item Montrer que $(u_n)$ converge et donner sa limite.
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item On considère la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=n^2+\sin(n)$. \\
 Déterminer la limite de la suite $v$.
 \item A partir de quel rang est-on certain que $v_n\geq 10^6$ ?
 \end{enumerate}
 \item On considère la suite $w$ définie sur $\N$ par $w_n=n\left((-1)^n-2\right)$. \\
 Déterminer la limite de la suite $w$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Utilisation d'une suite auxiliaire}\hfill (4 points)\\
 On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
                                                        u_0=13 \\ u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45
                                                       \end{array}\right.$\\
Et la suite $(S_n)$ sur $\N$ par : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k -n-1 = u_0 + u_1 + \dots + u_n-n-1$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=u_n-1$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison
  et le premier terme.
  \item En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et son éventuelle limite.
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 %\item Déterminer le sens de variation de la suite $S$.
 \item Montrer que $S_n=14-\left(\dfrac15\right)^{n+1}$.
 \item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $S$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Suite récurrente}\hfill (5 points)\\
On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
                                                        u_0=4 \\ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}
                                                       \end{array}\right.$\\
Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-1 ; + \infty[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$, alors on a,
pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction $f$, ainsi 
 que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$.
 \begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(5,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.2)(5,4.2)
\psplot[linewidth=1.5pt]{-0.2}{4.2}{x}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-1}{5}{1 x add 2 div 0.5 exp}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](4,4){$\Delta$} \uput[u](5,1.8){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
 \item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ 
 en laissant apparents les traits de construction. 
\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la 
convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
\end{enumerate}
 \item Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a : $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 4$
 \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
 \item Déterminer $\ell$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Récurrence}\hfill (2 points)\\
 On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}$\\
 Et la suite $(S_n)$ définie sur $\N$ par : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$.\\
 Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a $S_n=\dfrac{2^{n+1}-2n-3}{2^n}$
\end{ExoF}


%\newpage
%\begin{ExoF}\hfill (7 points)\\
% On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                        u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac13u_n+n-2
%                                                       \end{array}\right.$\\
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
%\item \begin{enumerate}
%       \item Démonter que $\forall n \geq 4$, on a $u_n \geq 0$
%        \item En déduire que $\forall n \geq 5$, on a $u_n \geq n-3$
%         \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
%      \end{enumerate}
%\item On définit la suite $(v_n)$ sur $\N$ par $v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison 
%		et le premier terme. 
%		%\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item En déduire que $\forall n \in\N$ on a $u_n=\dfrac{25}{4} \times \left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}{4}$
%		 \item Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
%\end{enumerate}
%\item Soit la suite $S$ définie pour tout $n\in\N$ par : 
%$$S_n=\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$$
%\begin{enumerate}
% \item Etudier le comportement à l'infini de la suite $S$, grâce à ce qui précède.
% \item Déterminer $S_n$ en fonction de $n$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}                                  
%\end{ExoF}


%\begin{ExoF}\hfill (4 points)\\
% On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                        u_0=3 \\ u_{n+1}=\dfrac14u_n^2+2
%                                                       \end{array}\right.$\\
%Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac14x^2+2$, alors on a,
%pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\geq x+1$
%\item En déduire que $\forall n \geq 0$, on a $u_{n+1}-u_n \geq 1$.\\
%En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
%\item Montrer que $\forall n \in\N$ on a $u_n-u_0 \geq n$\\
%\textit{\textbf{Indication} : Utiliser que }
%$$u_n-u_0=(u_n-u_{n-1})+\dots + (u_1-u_0)$$
%En déduire le comportement de la suite $u$ à l'infini.%
		%\item  A partir de quel rang $N$ est -on certain que pour tout entier $n\geq N$ on a $u_n \geq 10^6$ ?
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}











\end{document}
