\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Correction des m\'ethodes}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{8}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutEntrainementCha

\setlength{\columnseprule}{0.25mm}
\begin{multicols}{2}
\noindent Informations génrérales à retenir (surligner ?) dans l'énoncé : 
\begin{itemize}
 \item \Ouv d'unité graphique 2~cm.
 \item figure que l'on complétera\\
\end{itemize}
Informations à recopier en notations mathématiques 
sur votre copie, pour tout résumer  :
\begin{itemize}
  \item $A(i)$, $B(-2i)$ et $D(1)$
 \item $AED$ équilatéral tel que $\left(\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AE}\right)=+\dfrac{\pi}{3}$
 \item $f(z)=z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}$
\end{itemize}
\end{multicols}

 

Ensuite, vous vous attaquez au problème. Les phrases en italiques ci-dessous 
ne sont pas nécessaires sur votre copie, elles sont là pour vous, à titre indicatif. Les calculs ne sont pas tous  détaillés.

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Démontrer que le point $E$ a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$. }\\
\textit{Il faut traduire en terme de module et d'argument les informations que l'on a sur $E$}.\\
$\left.\begin{tabular}{lccc}
    On sait que &$\left(\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AE}\right)=+\dfrac{\pi}{3}$ & $\iff$ & $\arg\left(\dfrac{z_E-z_A}{z_D-z_A}\right)=+\dfrac{\pi}3$\\
De plus, on a & $AE=AD$ & donc & $\left|\dfrac{z_E-z_A}{z_D-z_A}\right|=\dfrac{AE}{AD}=1$
         \end{tabular}
         \right\}$
\quad D'où $\dfrac{z_E-z_A}{z_D-z_A}=e^{i\frac{\pi}{3}}$ (par définition).\\
%\textit{(par définition du nombre complexe $\dfrac{z_E-z_A}{z_D-z_A}$ qui a pour module $1$ et pour argument $\dfrac{\pi}3$)}\\

\textit{On remplace $z_A$ et $z_D$ par leur valeur et on trouve }
$$z_E=e^{i\frac{\pi}{3}}(1-i)+i = \left(\dfrac12 + i \dfrac{\sqrt{3}}2\right)(1-i)+i = \ldots\ldots  
 = \dfrac12 (1+i) + \dfrac{\sqrt{3}}2(1+i)= \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$$
\item  \textbf{Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point $D'$ associé au point $D$ par l'application $f$. }
$$z_{D'}=\dfrac{2z_D-i}{iz_D+1}=\dfrac{2-i}{i+1}=\dfrac{2-i}{i+1} \times \dfrac{1-i}{1-i}= 
\ldots\ldots=\dfrac{1}2-\dfrac{3}{2}i $$
\textit{On utilise l'expression conjuguée de $i+1$ pour avoir un dénominateur réel ...}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  \textbf{Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i}$, on a $\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$.}
$$z'+ 2\text{i}=\dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}+2i
= \dfrac{2z-i+2i(iz+1)}{iz+1}=%\dfrac{2z-i-2z+2i}{iz+1} 
\ldots\ldots = \dfrac{i}{iz+1}$$
$$(z'+2i)(z-i)=\dfrac{i}{iz+1}\times (z-i)=\ldots\ldots = 1$$
		\item \textbf{En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq  \text{i})$ :		
		$\left\{\begin{array}{l}
		 \text{BM}' \times \text{AM} = 1\\ 
		\left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \quad \text{où}~k \in\Z
		\end{array}\right.$}
\textit{On traduit l'égalité précédente en terme de module et d'argument, puis on interprète en termes de
longueurs et d'angles.}
$$\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1 \Longrightarrow \left|\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i})\right| = |1| 
\iff |z'+ 2\text{i}|\times |z - \text{i}| = 1 \iff BM'\times AM = 1$$
\begin{eqnarray*}
\left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1 &\Longrightarrow & 
\arg\left(\left((z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i})\right) = \arg(1) + k \times 2\pi~ \quad \text{où}~k \in\Z \\
&\iff& \arg(z'+ 2\text{i}) + \arg(z - \text{i}) = 0  + k \times 2\pi~ \quad \text{où}~k \in\Z\\
&\iff& \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right)+ \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) = k \times 2\pi~ \quad\text{où}~k\in\Z\\
& \iff & \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \quad \text{où}~k~\text{est un entier relatif.} 
\end{eqnarray*}


	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  \textbf{Démontrer que les points $D$ et $E$ appartiennent au cercle $(C)$ de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}$. }\\
		\textit{Il suffit de montrer que $AE=AD=\sqrt{2}$, or on sait déjà que $AE=AD$, donc il suffit de montrer que $AD=\sqrt{2}$}\\
		On a $AD=|z_D-z_A|=|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.\\
		Comme $AED$ est équilatéral, on a aussi $AE=AD=\sqrt{2}$, donc les points $D$ et $E$ appartiennent bien au cercle
		de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}$.
		\item \textbf{En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point $E'$ associé au point $E$ par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction.}\\
\end{enumerate} 
\begin{minipage}{8.5cm}
\textit{On commence par placer les points $A$, $B$ et $D$. \\
On construit $E$ au compas tel que $ADE$ soit équilatéral \textbf{direct}.\\
On place $D'$, par exemple grâce à son affixe déjà calculée (pour être rigoureux, il faut trouver
les moitiés au compas, avec des médiatrices).\\
Enfin, on place $E'$ en utilisant que :
\begin{itemize}
 \item $BE'\times AE=1 \iff BE'=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}2=\dfrac{AE}2$\\
 Donc on prend la mesure de la moitié de $AE$ au compas (avec la médiatrice) et on trace le cercle 
 de centre $B$ et de rayon la moitié de $AE$. $E'$ est sur ce cercle.\\
 Ou alors, on constate que 
 $$BD'\times AD=1 \iff BD'=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{AD}2=BE'$$ 
 et il suffit de tracer le cercle
 de centre $B$ et de rayon $[BD']$. 
 $E'$ est sur ce cercle.
 \item Une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~ \vect{\text{B}E'}\right)$ est $- \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}E}\right)$\\
 On reporte l'angle $\left(\vect{u},~ \vect{\text{A}E}\right)$ au point $B$ 
 en construisant le parallélogramme $AEE_1B$ au compas.\\
 Ensuite, pour obtenir son opposé, on construit par exemple 
 le symétrique de $E_1$ par rapport à la droite 
 $d$ passant par $B$ et de vecteur directeur $\vec u$ (remarquons que $(EE_1)$ est parallèle à 
 $(OB)$ donc perpendiculaire à $d$).\\
 Le point $E'$ est sur $[BE_2)$ et sur le cercle déjà tracé.
\end{itemize}}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{7.5cm}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-3,-6)(3.8,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-6)(3.8,5)
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\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 2pt]{0}{2}{(-5-0*x)/2.5}
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\psline(1.4,-1.8)(1.33,-1.8) %codage symétrie
\psline(1.4,-1.83)(1.33,-1.83)
\psline(1.4,-2.17)(1.33,-2.17)
\psline(1.4,-2.2)(1.33,-2.2)
\parametricplot{1.0}{1.5}{1*1.41*cos(t)+0*1.41*sin(t)+1|0*1.41*cos(t)+1*1.41*sin(t)+0}
\psline{->}(0,0)(1,0)
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\psline{->}(0,-2)(1,-2)
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\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.16,0.85){{$A$}}
\rput[bl](-0.15,-2.15){{$B$}}
\rput[bl](1.1,-0.23){{$D$}}
\rput[bl](1.4,1.42){{$E$}}
\rput[bl](0.29,0.7){{$+\dfrac{\pi}3$}}
\rput[bl](0.54,-1.45){{$D'$}}
\rput[bl](1.7,-1.94){$d$}
\rput[bl](1.4,-1.58){{$E_1$}}
\rput[bl](1.17,-2.56){{$E_2$}}
\rput[bl](0.69,-2.36){{$E'$}}
\rput[bl](0.39,-0.15){$\vec u$}
\rput[bl](-0.15,0.39){$\vec v$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\item\textbf{ Quelle est la nature du triangle $BD'E'$ ? }\\
On a déjà constaté que $BD'=BE'$ donc $BD'E'$ est isocèle. De plus
\begin{eqnarray*}
 \left(\overrightarrow{BE'} ; \overrightarrow{BD'}\right) & = & 
 \left(\overrightarrow{BE'} ; \overrightarrow{u}\right) + \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{BD'}\right)\\
 &=& -\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{BE'}\right) +\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{BD'}\right)\\
 &=& \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{BE}\right) - \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{BD}\right)\\
 &=& \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{BE}\right) + \left(\overrightarrow{BD} ; \overrightarrow{u}\right)\\
 \left(\overrightarrow{BD} ; \overrightarrow{BE}\right) = \dfrac{\pi}3
\end{eqnarray*}
Donc $BD'E'$ est un triangle isocèle avec un angle de $\dfrac{\pi}3$ : il est équilatéral.
\end{enumerate}






\end{document}