\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Les Complexes}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{8}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutEntrainementCha

\noindent Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv d'unité graphique 2~cm.\\
On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.\\ 
On considère les points $A$ d'affixe $i$, $B$ d'affixe $-2i$ et $D$ d'affixe $1$.\\ 
On appelle $E$ le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct, 
ie tel que $\left(\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AE}\right)=+\dfrac{\pi}{3}$.\\ 
Soit $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$, différent de $i$, associe le point $M'$ 
d'affixe $z'$ définie par :
\[z' = \dfrac{2 z - \text{i}}{\text{i}z + 1}.\]  
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que le point $E$ a pour affixe $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(1 + \text{i})$. 
\item  Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point $D'$ associé au point $D$ par l'application $f$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $\text{i}$, on a $~ \left(z'+ 2\text{i}\right) (z - \text{i}) = 1$.
		\item En déduire que pour tout point $M$ d'affixe $z (z \neq  \text{i})$ :		
		\[\begin{array}{l}
		 \text{BM}' \times \text{AM} = 1\\ 
		\text{et}~ \left(\vect{u},~ \vect{\text{B}M'}\right) = - \left(\vect{u},~ \vect{\text{A}M}\right) + k \times 2\pi~ \text{où}~k~\text{est un entier relatif.}
		\end{array}\]
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points $D$ et $E$ appartiennent au cercle $(C)$ de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}$. 
		\item En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point $E'$ associé au point $E$ par l'application $f$. On laissera apparents les traits de construction.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la nature du triangle $BD'E'$ ? 
\end{enumerate}






\end{document}