\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{La fonction exponentielle}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{7}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=1.5cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha



\begin{ExoF}\textbf{Un peu d'algo}
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.6]{derive.eps}
%\end{center}
\begin{itemize}
 \item La première commande dérive la fonction suivant la variable $x$ par défaut.
 \item La seconde fait de même, mais on lui a précisé la variable.
 \item La troisième dérive la fonction suivant la vairable $a$ et considère $x$ comme une constante.
 \item La quatrième dérive la fonction suivant la variable $x$, mais comme les signes $\times$ sont 
 omis, elle ne reconnait jamais $x$ et considère l'ensemble comme une fonction constante.
\end{itemize}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}\textbf{Un peu de trigo}\qquad 
$f(x)=e^{-\cos(x)}$ sur $\R$
\begin{enumerate}
 \item %Démontrer que cette fonction est paire. Que peut-on en déduire sur sa $\mathscr C_f$  ?
 $D_f=\R$ \quad  donc l'ensemble de définition de $f$ est bien symétrique par rapport à $O$.\\
 De plus, \quad $\forall x\in\R$ \quad on a \quad  $f(-x)=e^{\cos(-x)}=e^{\cos(x)}=f(x)$. \\
 Donc $f$ est paire et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
 \item %Démontrer que cette fonction est périodique, de période $2\pi$.
 $\forall x \in \R$ \quad on a \quad $f(x+2\pi)=e^{\cos(x+2\pi)}=e^{\cos(x)}=f(x)$.\hfil
 Donc $f$ est $2\pi$-périodique.
 \item %Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0;\pi]$.
 On pose \quad $u(x)=\cos(x)$. \quad Alors \quad  $u'(x)=-\sin(x)$ \quad et \quad $f'(x)=-\sin(x) e^{\cos(x)}$.
 \begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=3]{$x$ /0.5,Signe de $-\sin(x)$/0.5,Signe de $e^{\cos(x)}$/0.5,Signe de $f'(x)$/0.5,Variations de $f$/2}{$ 0$,$\pi $}% 
\tkzTabLine{ , - ,  }% 
\tkzTabLine{ , + ,  }% 
\tkzTabLine{ , - ,  }% 
\tkzTabVar{+/ $e$ , -/$e^{-1}$} 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
 \item %Déduire des trois questions précédentes le tableau de variations de
 %$f$ sur $[-2\pi ; 2\pi]$.
 Par symétrie et périodicité, on en déduit le tableau suivant :
  \begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[espcl=2.5]{$x$ /0.5,Variations de $f$/2}{$-2\pi$, $-\pi$,$0$,$\pi $,$2\pi$}% 
\tkzTabVar{+/ $e$ , -/$e^{-1}$,+/ $e$ , -/$e^{-1}$ , +/$e$ } 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
 \item %Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}2$.
 $T:y=f'\left(\dfrac{\pi}2\right)\left(x-\dfrac{\pi}2\right)+f\left(\dfrac{\pi}2\right)$
\hfill 
Or \quad $f'\left(\dfrac{\pi}2\right)=-1e^0=-1$ \quad et \quad $f\left(\dfrac{\pi}2\right)=e^0=1$\\
Donc $T: y=-\left(x-\dfrac{\pi}2\right)+1 = -x +\dfrac{\pi}2+1$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Un peu de démo} \qquad 
$y$ un réel \textbf{fixé} et $f(x)=\dfrac{e^{x+y}}{e^x}$ sur $\R$  
\begin{enumerate}
 \item %Calculer $f'(x)$.
 On pose \quad $u(x)=e^{x+y}$ \quad et \quad $v(x)=e^x$. \quad La dérivée de $x+y$ est $1$.\\
 D'après les prérequis, on a \quad $u'(x)=e^{x+y}$ \quad et \quad $v'(x)=e^x$.\quad
 Ainsi \quad $f'(x)=\dfrac{e^x\times e^{x+y}-e^x\times e^{x+y}}{\left(e^x\right)^2}=0$.
 \item %En déduire que $f$ est une fonction constante et que pour tout réel $x$, $f(x)=e^y$.
 Ainsi $f$ est une fonction constante. \quad Or $f(0)=\dfrac{e^{0+y}}{e^0}=e^y$.\hfill
 Donc pour tout $x\in\R$ on a $f(x)=e^y$.
 \item %Conclure.
 On sait que pour tout $x\in\R$ on a $\dfrac{e^{x+y}}{e^x}=e^y \iff e^{x+y}=e^x\times e^y$.\\
 Comme ceci est vrai pour tout $y\in\R$, on a bien démontré que pour tous $(x,y)\in\R^2$ on a $e^{x+y}=e^x\times e^y$
 \item %En remarquant que $-x+x=0$ et $x-y=x+(-y)$, démontrer que, $\forall x , \, y \in\R$ , 
 %on a $$e^{-x}=\dfrac1{e^x}\qquad  \text{ et } \qquad e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$$.
 On pose $y=-x$ dans la relation précédente. Ainsi, pour tout $x\in\R$, on a 
 $$e^{x-x}=e^x\times e^{-x} \iff e^0 = e^x \times e^{-x} \iff 1=e^x\times e^{-x} \iff e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$$
 On utilise les deux relations précédentes avec $-y$. Ainsi, pour tous $(x,y)\in\R^2$, on a : 
 $$e^{x-y}=e^{x+(-y)}=e^x\times e^{-y}=e^x \times \dfrac{1}{e^y} =\dfrac{e^x}{e^y}$$
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Un peu de suite géo} $u_n=e^{1-n}$ sur $\N$.
\begin{enumerate}
 \item %Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
 $u_{n+1}=e^{1-(n+1)}=e^{1-n-1}=e^{1-n}\times e^{-1}=u_n \times e^{-1}$.\\
 Donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=e^{-1}$ et de premier terme $u_0=e^{1-0}=e$.
 \item %La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Si oui, préciser sa limite.
 La raison de la suite $(u_n)$ est $e^{-1} \in]-1;1[$, donc $(u_n)$ converge vers $0$.
 \item %On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$. \\
 %Montrer que $S_n=\dfrac{e^2}{e-1}\left(1-e^{-n-1}\right)$. 
 On  sait que \quad $S_n = u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=
 e\times \dfrac{1-\left(e^{-1}\right)^{n+1}}{1-e^{-1}} = 
  e\times \dfrac{1-e^{-(n+1)}}{1-e^{-1}} \times \dfrac{e}{e} = 
   e^2\times \dfrac{1-e^{-n-1}}{e\left(1-e^{-1}\right)}
   = \dfrac{e^2}{e-1}\left(1-e^{-n-1}\right)$
 \item %Calculer la limite de la suite $(S_n)$.
 $\lim_{n \to + \infty} e^{-n-1}=0$ \qquad Donc \quad $\lim_{n \to + \infty} S_n = \dfrac{e^2}{e-1}(1-0)= \dfrac{e^2}{e-1}$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Encore un peu de suite et d'expo}
%On se place dans un repère orthonormé \Oij.\\
$f(x)=xe^{-x}$ sur $\R$ , $a\in\R$ et $(v_n)_{\N}:\left\{\begin{array}{l}
         v_0=a \\v_{n+1}=f(v_n)
        \end{array}\right.$ 
\begin{enumerate}
 \item %Etudier la fonction $f$ (tableau de variations complet).
  On a \quad $\lim_{x\to + \infty}f(x)=\lim_{x\to + \infty}xe^{-x}=\lim_{X\to - \infty}-Xe^{X}=-0=0$ \quad d'après le cours.\\
  De plus, \quad $\lim_{x\to - \infty}e^{-x}=+\infty$ \hfill Donc par produit, on a \quad  $\lim_{x\to - \infty}f(x)=\lim_{x\to + \infty}xe^{-x}=-\infty$.\\
  On pose \quad $u(x)=x$ \quad et $v(x)=e^{-x}$. \quad Alors \quad  $u'(x)=1$ \quad et \quad 
  $v'(x)=-e^{-x}$.\\
  Ainsi $f'(x)=1\times e^{-x} + \left(-e^{-x}\right) \times x = e^{-x}(1-x)$.\qquad 
  On en déduit le tableau suivant :
   \begin{center}
\begin{tikzpicture} 
\tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=3]{$x$ /0.5,Signe de $1-x$/0.5,Signe de $e^x$/0.5,
Signe de $f'(x)$/0.5,Variations de $f$/2}{$-\infty$,$1$,$+\infty $}% 
\tkzTabLine{ ,+,z, - ,  }% 
\tkzTabLine{ ,+,t, + ,  }% 
\tkzTabLine{ ,+,z, - ,  }%
\tkzTabVar{-/ $-\infty$ , +/$e^{-1}$,-/$0$} 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
 \item %On se place dans le cas $a=1.5$.
 \begin{enumerate}
  %\item[\textbf{b.}] %Représenter sur un même graphique (unité $10$ cm) la fonction $f$ sur $[0;1.6]$ et la droite d'équation
 %$y=x$, puis les trois premiers termes de la suite $(v_n)$ pour $a=1.5$.
 \item[\textbf{b.}] %Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$ et sa limite éventuelle.
 $(v_n)$ semble décroissante et converger vers $0$.
 \item[\textbf{c.}] %Montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante.
 $v_{n+1}-v_n=v_ne^{-v_n}-v_n=v_n\left(e^{-v_n}-1\right)$.\qquad 
 Etudions le signe de $v_n$ par récurrence.\\
 \textbf{Initialisation} : 
 On a $v_0=a>0$ donc $v_0>0$.\\
 \textbf{Hérédité} : On suppose qu'il existe un $k\in\N$ tel que $v_k>0$.\\
 Alors $v_k e^{-v_k}>0$, autrement dit $v_{k+1}>0$. \hfill La propriété est héréditaire.\\
 \textbf{Conclusion} : Ainsi, $v_n>0$ pour tout $n\in\N$.\qquad 
 On peut donc étudier le signe de $v_{n+1}-v_n$.\\
 $v_n>0 \iff -v_n <0 \iff e^{-v_n} < e^0 \iff e^{-v_n}< 1 \iff e^{-v_n}-1 < 0 \iff  
 v_n\left(e^{-v_n}-1\right)<0$.\\
 Donc pour tout $n\in\N$ on a $v_{n+1}<v_n$. Ainsi, $(v_n)$ est strictement décroissante sur $\N$.
 \item[\textbf{d.}] %La suite $(v_n)$ est-elle convergente ? Si oui, calculer sa limite.
 La suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge vers une limite $\ell$.\\
 On sait de plus que comme la fonction $f$ est continue, on a 
 $$f(\ell)=\ell \iff \ell = \ell e^{-\ell} \iff \ell =0 \quad \text{ou} \quad e^{-\ell} = 1 
 \iff \ell =0 \quad \text{ou} \quad \ell = 0$$
 Donc $\lim_{n \to + \infty} v_n = 0$
 \end{enumerate}
 \item %\textit{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse,
 %sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
 %Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $(v_n)$ suivant les valeurs du réel $a$ ?
 La valeur de $a$ ne nous a servi dans cette démonstration que pour la récurrence. \\
 Ainsi, pour tout $a>0$, la suite $(v_n)$ est toujours décroissante et convergente vers $0$.\\
 Pour tout $a<0$ par contre, la suite $(v_n)$ est négative, ce qui entraîne $e^{-v_n}-1>0$,
 mais finalement, on a encore $v_{n+1}-v_n=v_n\left(e^{-v_n}-1\right)<0$.\qquad 
 Donc la suite $(v_n)$ est encore décroissante.\\
 Si $(v_n)$ converge, sa seule limite possible d'après les calculs est $\ell=0$.\\
 Mais comme  $v_0=a<0$ et $(v_n)$ décroissante, ceci est absurde. Donc $(v_n)$ diverge.\\
 Enfin, si $a=0$, la suite $(v_n)$ est la suite constante égale à $0$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\end{document}