\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 7}
\newcommand{\Ch}{La fonction exponentielle}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{7}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha



\begin{minipage}{5cm}
\begin{ExoF}\textbf{Un peu d'algo}\\
Pouvez-vous expliquer les résultats donnés ci-contre par le logiciel de calcul formel Xcasfr ? 
\end{ExoF}
\end{minipage}\quad
\begin{minipage}{15cm}
 \includegraphics[scale=0.7]{derive.eps}
\end{minipage}\\


\begin{ExoF}\textbf{Un peu de trigo}\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{-\cos(x)}$, de courbe représentative $\mathscr C_f$ 
dans un repère orthonormé \Oij.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que cette fonction est paire. Que peut-on en déduire sur sa $\mathscr C_f$  ?
 \item Démontrer que cette fonction est périodique, de période $2\pi$.
 \item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0;\pi]$.
 \item Déduire des trois questions précédentes le tableau de variations de
 $f$ sur $[-2\pi ; 2\pi]$.
 \item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}2$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Un peu de démo}
\Cadre[Prérequis sur la fonction exponentielle : ]{
\begin{itemize}
 \item La fonction exponentielle est l'unique fonction égale à sa dérivée telle que l'image de $0$ soit $1$.
 \item Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la dérivée de la fonction $e^u$ sur $I$ 
est $u'e^u$
\end{itemize}
}\\
 On se propose de démontrer la propriété suivante :
\begin{center}
%\hfill  
Pour tous réels $x$ et $y$ on a : \quad $e^{x+y}=e^x\times e^y$ 
 \end{center}
ainsi que celles qui en découlent, à savoir :
 \begin{center}
%\hfill  
Pour tous réels $x$ et $y$ on a : \quad $e^{-x}=\dfrac1{e^x}$ \quad et \quad $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$.
\end{center}
\textbf{\textit{Attention donc à ne pas utiliser ces propriétés dans la suite pour les démontrer !!}}\\\\
Soit $y$ un réel quelconque, \textbf{fixé}. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
 $f(x)=\dfrac{e^{x+y}}{e^x}$. 
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f'(x)$.
 \item En déduire que $f$ est une fonction constante et que pour tout réel $x$, $f(x)=e^y$.
 \item Conclure.
 \item En remarquant que $-x+x=0$ et $x-y=x+(-y)$, démontrer que, $\forall x , \, y \in\R$ , 
 on a $$e^{-x}=\dfrac1{e^x}\qquad  \text{ et } \qquad e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF}\textbf{Un peu de suite géo}\\
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par $u_n=e^{1-n}$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
 \item La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Si oui, préciser sa limite.
 \item On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$. \\
 Montrer que $S_n=\dfrac{e^2}{e-1}\left(1-e^{-n-1}\right)$. 
 \item Calculer la limite de la suite $(S_n)$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Encore un peu de suite et d'expo}
On se place dans un repère orthonormé \Oij.\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=xe^{-x}$, 
un réel $a$ et la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$\left\{\begin{array}{l}
         v_0=a \\v_{n+1}=f(v_n)
        \end{array}\right.$
\begin{enumerate}
 \item Etudier la fonction $f$ (tableau de variations complet).
 \item On se place dans le cas $a=1.5$.
 \begin{enumerate}
  \item Représenter sur un même graphique (unité $10$ cm) la fonction $f$ sur $[0;1.6]$ et la droite d'équation
 $y=x$, puis les trois premiers termes de la suite $(v_n)$ pour $a=1.5$.
 \item Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$ et sa limite éventuelle.
 \item Montrer par récurrence que la suite $(v_n)$ est strictement positive.
 \item Montrer que la suite $(v_n)$ est décroissante.
 \item La suite $(v_n)$ est-elle convergente ? Si oui, calculer sa limite.
 \end{enumerate}
 \item \textit{Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse,
 sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
 Que peut-on dire du sens de variation et de la convergence de la suite $(v_n)$ suivant les valeurs du réel $a$ ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}




\end{document}