\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Suites et Fonctions}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{4}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha

%L'objectif de cet exercice est d'étudier pour tout $n\geq 2$ les solutions sur $[0;1]$ de l'équation 
%$$(E_n) : x+x^2+x^3 + \dots + x^n =1$$

%Les parties ne sont pas indépendantes.\\

\textbf{Partie A : Cas $n=2$ en valeur exacte}\\
%Déterminer la solution de l'équation $(E_2)$. On note $a_2$ cette solution.\\
On cherche à résoudre l'équation $(E_2) : x+x^2=1$, qui est de degré $2$, donc jusque là, pas de soucis. \\
$ (E_2) \iff  x^2+x-1=0$ \quad et \quad $\Delta = 1^2-4\times 1 \times (-1) = 5$.\qquad \qquad 
D'où $x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} <0$.\\
L'unique solution de $(E_2)$ dans $[0;1]$ est donc $a_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \simeq 0.62$.

\textbf{Partie B : Nombre de solutions de l'équation $(E_n)$}\\
 \textbf{Soit }$n\geq 2$. $\quad \longrightarrow$ Il est important de comprendre que cela signifie que \og $n$ \textbf{est fixé} \fg, 
 donc ne varie pas pour toute cette partie !
 Les résultats montrés dans cette partie seront donc valables pour n'importe quel $n\geq 2$, ie $\forall n \geq 2$.
 %On définit les fonctions $f_n$ et $g_n$ sur $[0;1]$ par $g_n(x)=x^n$ et 
% $f_n(x)=\sum_{k=1}^n g_k(x) = x+x^2+x^3+ \dots + x^n$.
 \begin{enumerate}
        \item %Déterminer le sens de variation de la fonction $g_n$ sur $[0;1]$.
       $g_n'(x)=nx^{n-1}$ et $g_n(x) \geq 0 $ pour tout $x\in[0;1]$ donc $g_n$ est une fonction strictement croissante sur $[0;1]$
 \item %En déduire le sens de variation de la fonction $f_n$ sur $[0;1]$
 On pourrait dériver $f_n$ puis étudier le signe de $f_n'$, mais il est plus rapide de dire que $f_n$ est une somme de fonctions strictement 
 croissantes sur $[0;1]$, donc $f_n$ l'est aussi $\quad \longrightarrow$ d'où le \og \textbf{en déduire} \fg de la question.
 \item %Montrer que l'équation $x+x^2+x^3 + \dots + x^n=1$ a une unique solution dans $[0;1]$.
 $f_n$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[0;1]$ et $f_n$ est strictement croissante sur $[0;1]$ d'après B.2. \\
 De plus $\, f_n(0)=0\, $ et $\, f_n(1)=1+1^2 + \dots 1^n = n \geq 2\, $. \quad Donc $\,f_n(0) \leq 1 \leq f_n(1)\,$.\\
 D'après le corollaire du TVI, il existe un unique $c \in[0;1]$ tel que $f_n(c)=1$, ie une unique solution, notée $a_n$,
 à l'équation $(E_n)$ dans $[0;1]$.
        \end{enumerate}

%Pour tout $n\geq 2$, on note $a_n$ cette solution (on a déjà déterminer $a_2$), et on définit ainsi la suite $(a_n)_{n\geq 2}$ des solutions de ces équations.\\
        
\textbf{Partie C : Cas $n=3$ en valeur exacte}
  %On cherche donc à résoudrnnne $(E_3) : x+x^2+x^3=1$.
   \begin{enumerate}
   \item %En posant $x=X-\dfrac13$ dans $(E_3)$, montrer que $\qquad (E_3) \iff X^3+\dfrac23X-\dfrac{34}{27}=0$
   On pose donc $x=X-\dfrac13$. Ainsi $ (E_3) \iff \left(X-\dfrac13\right) + \left(X-\dfrac13\right)^2 + \left(X-\dfrac13\right)^3=1$ ou encore : 
   \begin{eqnarray*}
    (E_3) & \iff & \left(X-\dfrac13\right) + \left(X^2 - \dfrac23X + \dfrac19\right) + \left(X^3+3\times\left(-\dfrac{1}3\right)X^2+3\times\left(\dfrac1{3}\right)^2X
    + \left(-\dfrac1{3}\right)^3\right)=1 \quad \bigstar\\
    &\iff & X-\dfrac13 + X^2 - \dfrac23X + \dfrac19 + X^3 - X^2 + \dfrac13X - \dfrac{1}{27}=1 \\
   % &\iff & X^3 + X - \dfrac23X + \dfrac13 X - \dfrac13 + \dfrac19 - \dfrac1{27}=1\\
    & \iff & X^3 + \dfrac23X - \dfrac7{27}=1 \qquad \qquad 
    \iff  X^3 + \dfrac23X - \dfrac{34}{27} = 0
   \end{eqnarray*}
\Cadre[$\bigstar$ Formule du binôme]{
J'ai utilisé la formule du binôme vue en 1S pour certains d'entre vous : \quad $\forall n\geq 0$ on a :\\
\begin{minipage}{6cm}
$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}
    \left(\begin{array}{c}
               n \\ k
   \end{array}\right) a^k b^{n-k}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
  $\left(\begin{array}{c}
               n \\ k
   \end{array}\right)$ (se lit \og $k$ \textbf{parmi} $n$ \fg) étant le nombre façons d'obtenir $k$ Succès en $n$ 
   \textbf{épreuves de Bernoulli} (Succès ou Echec).\\
   \end{minipage}\\\\
  \begin{minipage}{5.5cm}
  Par exemple $\left(\begin{array}{c}
               3 \\ 2
   \end{array}\right)=3$ \\
   car il y a trois chemins contenant $2$ Succès S dans l'arbre ci-contre.
    \end{minipage} \qquad\qquad 
\begin{minipage}{9cm}
   \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=2.2mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{S}\taput{\small $ $}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{S}\taput{\small $ $}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{S}\taput{\small $ $}
\Tdot~[tnpos=r]{E \quad $\bigstar$}\tbput{\small $ $}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{E}\tbput{\small $ $}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{S \quad $\bigstar$}\taput{\small $ $}
\Tdot~[tnpos=r]{E}\tbput{\small $ $}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=b]{E}\tbput{\small $ $}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{S}\taput{\small $ $}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{S \quad $\bigstar$}\taput{\small $ $}
\Tdot~[tnpos=r]{E}\tbput{\small $ $}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{E}\tbput{\small $ $}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{S}\taput{\small $ $}
\Tdot~[tnpos=r]{E}\tbput{\small $ $}
}
}
}
\end{minipage}\\
Pour ceux qui n'ont pas vu les coefficients binomiaux l'an dernier, rassurez-vous,
il existe des méthodes plus rapides que construire l'arbre et compter pour trouver leur valeur ! \\
Les coefficients binomiaux ont plusieurs utilités. Je ferai bientôt des \og rappels \fg ...   
}
   
   \item %Calculer le discriminant de $X^3+\dfrac23X-\dfrac{34}{27}$
   $\Delta = 4 \times \dfrac{2^3}{3^3} + 27 \times \dfrac{34^2}{27^2} = 4\times \dfrac{8}{27}+\dfrac{1156}{27} = \dfrac{1188}{27}$
   \item %En déduire l'unique solution réelle de $(E_3)$.
   D'après Cardan, comme $\Delta >0$, l'unique solution de $X^3+\dfrac23X-\dfrac{34}{27}=0$ est donc : 
   $$X=^3\sqrt{\dfrac12\left(\dfrac{34}{27}+\sqrt{\dfrac{1188}{27^2}}\right)}+
    \,^3\sqrt{\dfrac12\left(\dfrac{34}{27}-\sqrt{\dfrac{1188}{27^2}}\right)}$$
   Cependant, comme nous allons devoir taper cela à la calculatrice la question suivante, 
   commençons par écrire un peu mieux cette expression à la main, cela évitera les erreurs ensuite. Accrochez-vous !\\
   Il faut savoir que la racine cubine a les mêmes propriétés de calcul de que la racine carré. Ainsi :
  $$ \begin{array}{*{9}{c}}
   ^3\sqrt{\dfrac12\left(\dfrac{34}{27}+\dfrac{\sqrt{1188}}{27}\right)}
    &=&  ^3\sqrt{\dfrac{17}{27}+\dfrac{\sqrt{1188}}{2\times 27}}
   & = & ^3\sqrt{\dfrac{1}{27}\left(17+\dfrac{\sqrt{1188}}{2}\right)}
   &= & \dfrac13  ^3\sqrt{17+\dfrac{\sqrt{1188}}{2}} 
   & = &\dfrac13 \, ^3\sqrt{17+\dfrac{\sqrt{4\times 297}}{2}}\\\\
    & = &  \dfrac13 \, ^3\sqrt{17+\dfrac{2\sqrt{297}}{2}}
    &= &\quad \dfrac13 \, ^3\sqrt{17+\sqrt{297}}
    &=& \dfrac13 \, ^3\sqrt{17+\sqrt{9 \times 33}}
    &= &\dfrac13 \, ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}}
   \end{array}$$
Là, on ne peut plus rien simplifier, même si cela reste compliqué ... Finalement $X=\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} \right)$\\
Et donc $x = \dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} \right) - \dfrac13 = 
\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} -1 \right)$\\
   \item %Vérifier à la calculatrice\footnote{En utilisant la touche 
   %\fbox{$^x\sqrt{y}$} de la calculatrice, ou encore si vous ne l'avez pas, en utilisant la notation $^3\sqrt{a}=a^{1/3}$, que l'on justifiera 
   %plus tard dans l'année} cette solution appartient à $[0;1]$, et est donc $a_3$. \\
   A la calculatrice, on trouve $a_3 \simeq 0.544$ ce qui appartient bien à l'intervalle $[0;1]$. Ouf !! Vu que Cardan dit 
   qu'il n'y a qu'une solution à notre équation, et que nous, nous avons dit dans la partie B qu'il y en avait une unique dans $[0;1]$, on aurait été bien embêté
   d'en trouver une ailleurs ...
   \end{enumerate}
   
\textbf{Partie D : Cas $n=4$ et $n=5$ en valeur approchée % \footnote{Les équations de degré $4$ sont également résolubles par radicaux,
 %  ie en utilisant des formules générales donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme, et en utilisant 
  % seulement les quatre opérations habituelles, ainsi que l'extraction des racines. \\
 %  Par contre, il a été démontré par Ruffini, Abel et Galois qu'il n'existe pas de formule générale exprimant les solutions de 
  % l'équation du cinquième degré ou plus sous forme de radicaux.}.
  }
%Désormais, nous alors chercher une valeur approchée de $a_4$.
  \begin{enumerate}
  % \item %Recopier l'algorithme suivant sur Algobox
\item[\textbf{2.}] %Que fait-il ?
L'algorithme suivant cherche une valeur approchée de $a_4$ par dichotomie.
\item[\textbf{3.}] %A quoi correspondent les variables $a$, $b$ et $e$ ?
Le $a$ est la borne inférieure de notre intervalle $[0;1]$ où l'on cherche $a_4$, le $b$ la borne supérieure.\\
$e$ est l'écart maximum désiré entre la vleur exacte de $a_4$ et la solution approchée renvoyée par l'algorithme.
\item[\textbf{4.}] %Faire tourner ce programme pour trouver une solution approchée à $10^{-3}$ près de $a_4$.
On rentre $a=0$, $b=1$ et $e=0.001$. L'ordinateur nous renvoit que $a_4$ est compris entre $0.518$ et $0.519$
\item[\textbf{5.}] %Que faut-il modifier dans l'algorithme pour trouver une valeur approchée $a_5$ ? \\
Il faut modifier la fonction $F1$ et mettre \qquad
%   \begin{cadrecode}
%\begin{small}
%\begin{verbatim}
F1(x)=x+pow(x,2)+pow(x,3)+pow(x,4)+pow(x,5)-1\\
%\end{verbatim}
%\end{small}
%\end{cadrecode}
%En donner une à $10^{-3}$ près.
L'ordinateur nous dit que $a_5$ est compris entre $0.507$ et $0.508$.
     \item[\textbf{6.}] %Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le sens de variation et la convergence de $(a_n)$ ?\\
     Il semble que la suite $(a_n)$ soit décroissante et convergente vers $0.5$.
    \end{enumerate} 

\textbf{Partie E : Etude de la suite $(a_n)$}\\
\textbf{Erratum : }Ici je m'aperçois en tapant la correction que j'aurai dû commencer cette partie par dire \og  Soit $n\geq 2$. \fg, car on retourne
au cas général. J'espère que cela ne vous a pas trop perturbé !
\begin{enumerate}
   \item %On cherche à connaître le sens de variation de la suite $(a_n)$.
   %Pour cela, raisonnons par l'absurde : \\
   %on suppose qu'il existe un $n\geq 2$ tel que $a_{n+1}\geq a_n$.
   \begin{enumerate}
    \item %Comparer alors $a_{n+1}^k$ et $a_n^k$ pour tout $k \geq 1$.
    Par définition, on sait que pour tout $n\geq 2$ on a $0\leq a_n \leq 1$. La fonction $g_n$ de la partie B étant pour 
    tout $n$, donc en particulier pour $k$, strictement croissante sur $[0;1]$, on sait que :
    $$a_{n+1}\geq a_n \iff g_k\left(a_{n+1}\right) \geq g_k\left(a_n\right) \iff a_{n+1}^k \geq a_n^k$$
    \item[\textbf{b. et c.}] %Ecrire les sommes suivantes sans le symbole $\sum$ puis les comparer :
    $\sum_{k=1}^{n+1}a_{n+1}^k = a_{n+1} + a_{n+1}^2 + a_{n+1}^3 + \dots +a_{n+1}^n + a_{n+1}^{n+1}$\\
    Remarquons que sous le Sigma, la variable est $k$, c'est donc l'exposant $k$ qui augmente de $1$ à chaque terme de la somme
    (et non l'indice, qui lui dépend de $n$, et est donc fixé, d'après mon erratum)\\
    Remarquons ensuite que par définition des $a_n$, cette somme vaut simplement $1$.\\
    $\sum_{k=1}^{n+1}a_{n}^k = a_{n} + a_{n}^2 + a_{n}^3 + \dots + a_n^n + a_{n}^{n+1}$\\
    Par définition des $a_n$ toujours, cette somme vaut simplement $1+a_n^{n+1}$\\
    D'après le 1.a, on sait que $\sum_{k=1}^{n+1}a_{n+1}^k \geq \sum_{k=1}^{n+1}a_{n}^k$.\\
    Cependant, d'après nos remarques, ceci équivaut à $1 \geq 1+a_n^{n+1}$ avec $a_{n}^{n+1}\geq 0$.\\
    La seule valeur possible pour $a_{n+1}$ serait alors $0$, mais il est clair que $0$ n'est jamais solution de $(E_n)$ !\\
    Il y a donc une absurdité. On en déduit que notre hypothèse est fausse, autrement dit $a_{n+1} < a_n$ \, $\forall n$.
    %\item %Quelle contradiction obtient-on ? Conclure.
    \end{enumerate}   
  \item %Expliquer pourquoi la suite $(a_n)$ converge vers un réel $\ell$.
  La suite $(a_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc convergente vers un réel $\ell$.
   \item %Démontrer que $\lim\limits_{n\to + \infty} \sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{2}\right)^k=1$. \\
   On sait depuis le chapitre des suites géométriques que 
   $$\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{2}\right)^k = \dfrac12 \times \dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^{n}}{1-\dfrac12}
   = \dfrac12 \times \dfrac{1-\left(\dfrac12\right)^{n}}{\dfrac12}=\dfrac12 \times \dfrac21 \times \left(1-\left(\dfrac12\right)^{n}\right)
   =1-\left(\dfrac12\right)^{n} $$
   Donc  $\lim\limits_{n \to + \infty} \sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{2}\right)^k = \lim\limits_{n \to + \infty} 1-\left(\dfrac12\right)^{n} =1$
   \qquad car $-1< \dfrac12 < 1$
  % \textit{On admettra que} $\ell=\dfrac12$.
  \end{enumerate}







\end{document}