\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Suites et Fonctions}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{4}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha

L'objectif de cet exercice est d'étudier pour tout $n\geq 2$ les solutions sur $[0;1]$ de l'équation 
$$(E_n) : x+x^2+x^3 + \dots + x^n =1$$

Les parties ne sont pas indépendantes.\\

\textbf{Partie A : Cas $n=2$ en valeur exacte}\\
Déterminer la solution de l'équation $(E_2)$. On note $a_2$ cette solution.\\

\textbf{Partie B : Nombre de solutions de l'équation $(E_n)$}\\
 Soit $n\geq 2$. On définit les fonctions $f_n$ et $g_n$ sur $[0;1]$ par $g_n(x)=x^n$ et 
 $f_n(x)=\sum_{k=1}^n g_k(x) = x+x^2+x^3+ \dots + x^n$.
 \begin{enumerate}
        \item Déterminer le sens de variation de la fonction $g_n$ sur $[0;1]$.
 \item En déduire le sens de variation de la fonction $f_n$ sur $[0;1]$
 \item Montrer que l'équation $x+x^2+x^3 + \dots + x^n=1$ a une unique solution dans $[0;1]$.
        \end{enumerate}

Pour tout $n\geq 2$, on note $a_n$ cette solution (on a déjà déterminer $a_2$), et on définit ainsi la suite $(a_n)_{n\geq 2}$ des solutions de ces équations.\\
        
\textbf{Partie C : Cas $n=3$ en valeur exacte}\\
L'objectif de cette partie est de déterminer la valeur exacte de $a_3$, 
   en utilisant la formule de Cardan\footnote{L'histoire a retenu ce nom, mais en réalité, Cardan se serait approprié la méthode
   en la volant délibérément à Niccolò Fontana dit Tartaglia (\og Le Bègue \fg)}, qui n'est pas à connaître, heureusement !!
   \Cadre[Formule de Cardan]{   
   On considère l'équation $X^3+pX+q=0$, avec $p$ et $q$ deux réels fixés.\\
   On note $ \Delta $ le discriminant du polynôme $X^3+pX+q$ (de degré $3$) et on a $\Delta=4p^3+27q^2$.\\
   Si $\Delta >0$, alors l'équation $X^3+pX+q=0$ possède une unique solution réelle, qui est : 
    $$X=^3\sqrt{\dfrac12\left(-q+\sqrt{\dfrac{\Delta}{27}}\right)}+
    \,^3\sqrt{\dfrac12\left(-q-\sqrt{\dfrac{\Delta}{27}}\right)}$$
   où l'on admet que pour tout $a\in\R$, $^3\sqrt{a}$ est l'unique solution réelle de l'équation $x^3=a$ et se lit \og racine cubique de $a$ \fg \\
   
   \textit{Les cas $\Delta \leq 0$ se traitent également avec des formules du même type, mais pour les utiliser, 
   il faut connaître les nombres complexes, que vous découvrirez d'ici peu ...}}
On cherche donc à résoudre $(E_3) : x+x^2+x^3=1$.
   \begin{enumerate}
   \item En posant $x=X-\dfrac13$ dans $(E_3)$, montrer que $\qquad (E_3) \iff X^3+\dfrac23X-\dfrac{34}{27}=0$
   \item Calculer le discriminant de $X^3+\dfrac23X-\dfrac{34}{27}$
   \item En déduire l'unique solution réelle de $(E_3)$.
   \item Vérifier à la calculatrice\footnote{En utilisant la touche 
   \fbox{$^x\sqrt{y}$} de la calculatrice, ou encore si vous ne l'avez pas, en utilisant la notation $^3\sqrt{a}=a^{1/3}$, que l'on justifiera 
   plus tard dans l'année} cette solution appartient à $[0;1]$, et est donc $a_3$. \\
   \end{enumerate}
   
\newpage
\textbf{Partie D : Cas $n=4$ et $n=5$ en valeur approchée  \footnote{Les équations de degré $4$ sont également résolubles par radicaux,
   ie en utilisant des formules générales donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme, et en utilisant 
   seulement les quatre opérations habituelles, ainsi que l'extraction des racines. \\
   Par contre, il a été démontré par Ruffini, Abel et Galois qu'il n'existe pas de formule générale exprimant les solutions de 
   l'équation du cinquième degré ou plus sous forme de radicaux.}.}\\
Désormais, nous alors chercher une valeur approchée de $a_4$.
  \begin{enumerate}
   \item Recopier l'algorithme suivant sur Algobox
   \begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     a EST_DU_TYPE NOMBRE
3     b EST_DU_TYPE NOMBRE
4     e EST_DU_TYPE NOMBRE
5     m EST_DU_TYPE NOMBRE
6     c EST_DU_TYPE NOMBRE
7     d EST_DU_TYPE NOMBRE
8   DEBUT_ALGORITHME
9     LIRE a
10    LIRE b
11    LIRE e
12    TANT_QUE (b-a>e) FAIRE
13      DEBUT_TANT_QUE
14      m PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
15      SI (F1(a)*F1(m)<=0) ALORS
16        DEBUT_SI
17        b PREND_LA_VALEUR m
18        FIN_SI
19        SINON
20          DEBUT_SINON
21          a PREND_LA_VALEUR m
22          FIN_SINON
23      FIN_TANT_QUE
24    a PREND_LA_VALEUR floor(a/e)*e
25    b PREND_LA_VALEUR a+e
26    AFFICHER "La solution est comprise entre "
27    AFFICHER a
28    AFFICHER " et "
29    AFFICHER b
30  FIN_ALGORITHME

Fonction numérique utilisée : F1(x)=x+pow(x,2)+pow(x,3)+pow(x,4)-1
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\item Que fait-il ?
\item A quoi correspondent les variables $a$, $b$ et $e$ ?
\item Faire tourner ce programme pour trouver une solution approchée à $10^{-3}$ près de $a_4$.
\item Que faut-il modifier dans l'algorithme pour trouver une valeur approchée $a_5$ ? \\
En donner une à $10^{-3}$ près.
     \item Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le sens de variation et la convergence de $(a_n)$ ?\\
    \end{enumerate} 

\textbf{Partie E : Etude de la suite $(a_n)$}
\begin{enumerate}
   \item On cherche à connaître le sens de variation de la suite $(a_n)$.
   Pour cela, raisonnons par l'absurde : \\
   on suppose qu'il existe un $n\geq 2$ tel que $a_{n+1}\geq a_n$.
   \begin{enumerate}
    \item Comparer alors $a_{n+1}^k$ et $a_n^k$ pour tout $k \geq 1$.
    \item Ecrire les sommes suivantes sans le symbole $\sum$ puis les comparer :
    $\sum_{k=1}^{n+1}a_{n+1}^k \qquad \text{ et } \qquad   \sum_{k=1}^{n+1}a_{n}^k$
    \item Quelle contradiction obtient-on ? Conclure.
   \end{enumerate}   
  \item Expliquer pourquoi la suite $(a_n)$ converge vers un réel $\ell$.
   \item Démontrer que $\lim\limits_{n\to + \infty} \sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{2}\right)^k=1$. \\
   \textit{On admettra que} $\ell=\dfrac12$.
  \end{enumerate}







\end{document}