\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Limites de Suites}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha


\begin{ExoF}%2009
\textbf{VRAI OU FAUX}%\hfill (Annale à 2 points)
\\
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (-1)^n$.
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée. 
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
\item La suite de terme général $\dfrac{u_{n}}{n}$ converge. 
 \item Une suite qui tend vers $+\infty$ n'est pas majorée.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Trouver une suite :
\begin{enumerate}
 \item non majorée, mais qui ne tende pas vers $+ \infty$.
 \item croissante mais dont la limite n'est pas $+\infty$.
 \item qui diverge vers $+\infty$ mais qui n'est pas croissante.
 \item à termes strictement positifs et décroissante mais qui ne converge pas vers $0$.
\end{enumerate}
\textit{Des illustrations graphiques de suites peuvent vous aider. \\
D'ailleurs, à défaut de trouver trouver les suites demandées, vous pouvez joindre 
vos illustrations.}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 L'objectif de cet exercice est de démontrer le théorème suivant :
\begin{theo}
 Si $u$ est une suite croissante et convergente vers un réel $\ell$ alors la suite $u$ est majorée par $\ell$.
\end{theo}
Pour cela, on raisonne par l'absurde : on considère bien une suite $u$ croissante et convergente vers $\ell\in\R$, mais on
suppose qu'il existe un rang $N_1$ tel que $u_{N_1}>\ell$.
\begin{enumerate}
 \item Quelle hypothèse du théorème permet d'affirmer que $\forall n \geq N_1$ on a $u_n \geq u_{N_1}> l$ ?
 \item On désigne par $I$ l'intervalle ouvert $\left] \ell-1; u_{N_1}\right[$
\begin{enumerate}
 \item Pourquoi $I$ contient $\ell$ ?
 \item Quelle hypothèse du théorème permet d'affirmer qu'il existe un rang $N_2$ à partir duquel tous les termes $u_n$ 
sont dans $I$ ?
 \end{enumerate}
\item On pose $N=max(N_1, N_2)$. Expliquer alors pourquoi pour tout $n \geq N$ on obtient une absurdité.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}%2009 
%\hfill (Annale à 4 points)
\begin{enumerate}
\item  Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} = 0,~ u_{1} =  3$ et pour tout nombre entier naturel $n,$
\[ u_{n+2} = \dfrac{3}{2}u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. 
		\item Sur la figure ci-contre, sont tracées, dans un repère orthonormal les droites d'équation respectives $y = x$  et $y = \dfrac{1}{2}x + 3$. 
\\
A partir de $u_{0}$, en utilisant ces deux droites, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière placer les termes $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
 \\
Que peut-on conjecturer sur les variations et la convergence de cette suite ?
	\end{enumerate} 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout nombre entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
%\psset{yunit=0.8cm,ticksize=0.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(13,10)
\psaxes[ticksize=0.2cm,ticks=none]{->}(0,0)(-3,-3)(13,10)
\psline(-3,-3)(10,10)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{13}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.}(10,7){$y = \dfrac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$}
\multido{\n=-2+1}{15}{\psline(\n,0)(\n,0.2)}
\multido{\n=-2+1}{12}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{ExoF}




\end{document}