\documentclass[a4paper,10pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Correction du Devoir d'Entra\^inement} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 11}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Les maths : l'int\'egrale !}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{11}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF} \hfill \textbf{10 points} \\ %Pondichéry avril 2011
\textbf{Partie I }

%Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentatives de deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$. 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=2cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.33}{5}{1 x div}
%\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{1}$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{0.13}{5}{x ln 1  add}
%\uput[u](4.2,0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%On sait que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ 
%\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ 
%\item la fonction $f_{2}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ 
%\item la fonction $f_{1}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ 
%\item la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_{1}(x)$ est $+ \infty$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La limite quand $x$ tend vers $0$ de $f_{2}(x)$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%$0$& 	$+ \infty$& 	On ne peut pas conclure\\
%\end{tabularx}
L'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}_{2}$ au voisinage de $0$ ; la fonction étant décroissante sur $]0~;~ +\infty[$, la limite quand $x$ tend vers $0$ de $f_{2}(x)$ est $+ \infty$.

 
\item %La limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%$0$& 	$0,2$& 	On ne peut pas conclure\\
%\end{tabularx}
De même la limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est  $0$.
 

\item %En $+ \infty$, $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote oblique :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%Oui& 	Non& 	On ne peut pas conclure\\
%\end{tabularx}
On ne peut pas savoir.
   

\item %Le tableau de signes de $f_{2}(x) - f_{1}(x)$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
%\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
%\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
%\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$+$}\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
%\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
%\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
%\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$-$}\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
%\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(2,0)(2,1)
%\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
%\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](2.75,0){$+$}\uput[u](3,0){$0$}\uput[u](3.5,0){$-$}\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
Sur $]0~;~1[$ la fonction différence est positive, s'annule en $1$, puis est négative : c'est donc le troisième tableau.
 
 
\end{enumerate}


\textbf{Partie II}

 

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 
%
%\[f(x) = \ln (x) + 1 - \dfrac{1}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
On a $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} - \dfrac{1}{x} = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} \ln (x) = - \infty$, d'où par somme de limites 
\quad $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} f(x) = - \infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}  - \dfrac{1}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln (x) = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :
\quad 
$f'(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}$.

Chacun des termes est positif sur $]0~;~+\infty[$, donc la dérivée est positive sur cet intervalle, donc la fonction est croissante de moins l'infini à plus l'infini. 
\item %En déduire le signe de $f(x)$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
On a de façon évidente $f(1) = \ln 1 + 1 - \dfrac{1}{1} = 0$. La fonction étant croissante sur $]0~;~+\infty[$, on a donc :
\begin{multicols}{3}
 \begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ ;
\item[$\bullet~~$] $f(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~~$] $f(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$.
\end{itemize}
\end{multicols}

 
\item %Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $F(x) = x \ln x - \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle.
$F$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$F'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 - \dfrac{1}{x} = f(x)$.
\hfill 
$F$ est donc une primitive de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
\item %Démontrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
On vient de voir que $F'(x) = f(x)$ et d'après la question 5, $f(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$, donc $F$ est croissante sur cet intervalle. 
\item %Montrer que l'équation $F(x) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$ qu'on  note $\alpha$.
On a $F(1) = 1 \times 0 - 0 = 0$ et $F(\text{e}) = \text{e}\ln \text{e} - \ln \text{e} = \text{e} - 1 \approx 1,7$.

D'autre part $1 - \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,63$, donc $0 < 1 - \dfrac{1}{\text{e}} < \text{e} - 1$.

La fonction $F$ est dérivable donc continue sur $\left[1~;~\text{e}\right]$ : il existe donc un unique réel $\alpha \in \left[0;~\text{e}\right]$ tel que $F(\alpha) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$.

 
\item %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
La calculatrice donne : $F(1,9) - 1 + \dfrac{1}{\text{e}} \approx - 0,05$ et $F(2,0) - 1 + \dfrac{1}{\text{e}} =  0,06$, donc :
\quad 
$1,9 < \alpha < 2,0$.  
\end{enumerate}


 
\textbf{Partie III}


 
%Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : 
% 
%\[g(x) = \dfrac{1}{x}\quad  \text{et} \quad  h(x) = \ln (x) + 1.\] 
%
%Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$. 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=2cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
%\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](0.3679,0){A}\uput[u](1,1){P}\uput[d](2.4,0){$t$}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt]
%{% linecolor=white,linewidth=0.0pt permet de ne pas avoir de trait en diagonales 
%% reliant les deux  points d'intersections
%\psplot{1}{2.4}{x ln 1  add} % courbe du haut
%\psplot{2.4}{1}{1 x div} % courbe du bas
%}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt]
%{% linecolor=white,linewidth=0.0pt permet de ne pas avoir de trait en diagonales 
%% reliant les deux  points d'intersections
%\psplot{1}{2.4}{1 x div} % courbe du haut
%\psline(2.4,0.416)(1,1) % courbe du bas
%}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.33}{5}{1 x div}
%\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{0.13}{5}{x ln 1  add}
%\uput[u](4.2,0.3){$\mathcal{C}_{g}$}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}
%\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{1}{0.3679}{x ln 1  add}}
%\psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,1.875)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %A est le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
L'ordonnée de A est égale à $0$ ; il faut donc résoudre l'équation :

$\ln x + 1 = 0 \iff \ln x = - 1 \iff \text{e}^{\ln x} = \text{e}^{- 1}$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\iff x = \text{e}^{- 1}$.

On a donc A$\left(\text{e}^{- 1}~;~0 \right)$. 
\item %P est le point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).
P étant commun aux deux courbes son abscisse vérifie :

$g(x) = h(x) \iff \dfrac{1}{x} = \ln (x) + 1 \iff f(x) = 0$, d'après la partie II. Or dans cette partie on a vu que $f$ s'annule en $1$ et $g(1) = h(1) = 1$. Donc le point commun aux deux courbes est le point P$(1~;~1)$. 
\item %On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$, $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives  $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ (domaine grisé sur le graphique).
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie II.
On a vu que sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1\right],\, f(x) \geqslant 0$ , c'est-à-dire que $g(x) \geqslant h(x)$ (la courbe $\mathcal{C}_{g}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{h}$), donc 
\qquad 
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{1} [g(x) - h(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{1} -f(x)\:\text{d}x$. 
		\item %Montrer que $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$.
On a vu qu'une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$, donc en particulier sur $\left[\frac{1}{\text{e}}~;~1\right]$ est $F(x) = x\ln (x) - \ln (x)$.

On a donc :
\quad 
$\mathcal{A} = \left[- F(x) \right]_{\frac{1}{\text{e}}}^1 = - F(1) + F\left(\frac{1}{\text{e}}\right) =$
$0 + \frac{1}{\text{e}}\ln \left(\frac{1}{\text{e}} \right) - \ln \left(\frac{1}{\text{e}} \right) =
 \frac{1}{\text{e}}\times \left(- \ln (\text{e}) \right) -  \left(- \ln (\text{e}) \right) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. 
	\end{enumerate} 
\item %Soit $t$ un nombre réel de l'intervalle $]1~;~+\infty[$. On note $\mathcal{B}_{t}$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x = 1,~ x = t$ et les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ (domaine hachuré sur le graphique).
 
%On souhaite déterminer une valeur de $t$ telle que $\mathcal{A} = \mathcal{B}_{t}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\mathcal{B}_{t} = t\ln (t) - \ln (t)$.
On a vu que sur $[1~;~+ \infty[,\, h(x) \geqslant g(x)$, donc puisque $t \geqslant 1$, l'aire $\mathcal{B}_{t}$ est égale à :

$\mathcal{B}_{t} = \displaystyle\int_{1}^t [h(x) - g(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^t   f(x)\:\text{dx} =   F(t) - F(1) =  F(t) = t\ln (t) -  \ln t$. 
		\item %Conclure.
On a vu que $\mathcal{B}_{t} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ ou encore $t\ln (t) -  \ln t = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ soit $F(t) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ équation qui a été résolue à la question 6 de la partie II et qui a pour solution $\alpha \approx 1,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\end{document}
