\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices


\newcommand{\typedoc}{Devoir d'Entra\^inement} 		%%%type de document
\newcommand{\ch}{Chapitre 11}			%%% chapitre
\newcommand{\Ch}{Les maths : l'int\'egrale !}  %% Nom du chapitre
\newcommand{\Cl}{TG6}				%% Classe
\newcommand{\num}{11}				%%% Numero du chapitre
\newcommand{\Annee}{2012-2013}			%%% Date ou année


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=1.8cm,bmargin=1.8cm,lmargin=1.5cm,rmargin=1.5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\DocCha

\begin{ExoF} \hfill \textbf{10 points} \\ %Pondichéry avril 2011
\textbf{ Partie I }

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentatives de deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$. 

\medskip

\psset{unit=1.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.33}{5}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{0.13}{5}{x ln 1  add}
\uput[u](4.2,0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ 
\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ 
\item la fonction $f_{2}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ 
\item la fonction $f_{1}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ 
\item la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_{1}(x)$ est $+ \infty$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La limite quand $x$ tend vers $0$ de $f_{2}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
$0$& 	$+ \infty$& 	On ne peut pas conclure\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
$0$& 	$0,2$& 	On ne peut pas conclure\\
\end{tabularx}

\medskip 

%\item En $+ \infty$, $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote oblique :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%Oui& 	Non& 	On ne peut pas conclure\\
%\end{tabularx}

%\medskip   

\item Le tableau de signes de $f_{2}(x) - f_{1}(x)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$+$}\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$-$}\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(2,0)(2,1)
\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](2.75,0){$+$}\uput[u](3,0){$0$}\uput[u](3.5,0){$-$}\end{pspicture}\\
\end{tabularx}

\medskip 
 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \ln (x) + 1 - \dfrac{1}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item En déduire le signe de $f(x)$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

$F(x) = x \ln x - \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle. 
\item Démontrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. 
\item Montrer que l'équation $F(x) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$ qu'on  
note $\alpha$. 
\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. 
\end{enumerate}

 
 \begin{minipage}{8cm}
\bigskip

\textbf{Partie III}

\medskip
 Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : 
 
\[g(x) = \dfrac{1}{x}\quad  \text{et} \quad  h(x) = \ln (x) + 1.\] 

\medskip

Sur le graphique ci-contre, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$. 


  
 \end{minipage}\qquad
 \begin{minipage}{10cm}
  \psset{unit=1.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](0.3679,0){A}\uput[u](1,1){P}\uput[d](2.4,0){$t$}
\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt]
{% 
\psplot{1}{2.4}{x ln 1  add} % courbe du haut
\psplot{2.4}{1}{1 x div}
}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.33}{5}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{0.13}{5}{x ln 1  add}
\uput[u](4.2,0.3){$\mathcal{C}_{g}$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}
\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{1}{0.3679}{x ln 1  add}}
\psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,1.875)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{1}{0.3679}{x ln 1  add}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}

\end{pspicture*}
\end{center}

 \end{minipage}

\begin{enumerate}
\item A est le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A. 
\item P est le point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1). 
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$, $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives  
$x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ (domaine grisé sur le graphique).
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie II.  
		\item Montrer que $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $t$ un nombre réel de l'intervalle $]1~;~ +\infty[$. On note $\mathcal{B}_{t}$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x = 1,~ x = t$ et les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ (domaine hachuré sur le graphique).
 
On souhaite déterminer une valeur de $t$ telle que $\mathcal{A} = \mathcal{B}_{t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\mathcal{B}_{t} = t\ln (t) - \ln (t)$. 
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\end{document}
