\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Correction}
\newcommand{\Ch}{R\'ecurrence et Limites de Suites}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\num}{1}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}

\usepackage{textcomp}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
%\usepackage[french,lined,boxed,commentsnumbered]{algorithm2e}

\input macro_final.tex
\geometry{verbose,letterpaper,tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}
 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table des matieres et style de pages
\debutDsCha

\begin{ExoF} \textbf{Opérations sur les limites et FI} \hfill (4 points)\\
%Déterminer en rédigeant convenablement les limites suivantes :
\begin{enumerate}
%\begin{multicols}{2}
 \item $\lim\limits _{n \to + \infty} \sqrt{n}= +\infty$ et $\lim\limits_{n \to + \infty}\dfrac1{\sqrt{n}}=0$\\
 Par soustraction, on obtient $\lim\limits _{n \to + \infty} \sqrt{n}-\dfrac1{\sqrt{n}}=+\infty$
  \item   $\lim\limits _{n \to + \infty}5n^4= +\infty$, \quad  $\lim\limits _{n \to + \infty} -3n^3=-\infty$ \quad et
  $\lim\limits _{n \to + \infty}(0.9)^n =0$ car $-1<0.9<1$.\\
  Par addition, on obtient une forme indéterminée.\\
  D'aucuns diront que c'est le terme de plus haut degré  dans l'expression $5n^4-3n^3$ qui l'emporte 
  et que donc $\lim\limits _{n \to + \infty}5n^4-3n^3=+\infty$ d'où $\lim\limits _{n \to + \infty}5n^4-3n^3+0.9^n=+\infty$ 
  et ils n'auront pas tort. \\
  Cependant, en Terminale S, on attend que vous justifiez cela en factorisant
  l'expression par son terme de plus au degré : \\
  $5n^4-3n^3=n^4\left(5-\dfrac{3}{n^2}\right)$. \quad Or $\lim\limits _{n \to + \infty}5-\dfrac3{n^2} = 5$\\
  Par produit, on obtient 
  $\lim\limits _{n \to + \infty}5n^4-3n^3 = \lim\limits _{n \to + \infty}n^4\left(5-3\dfrac{1}{n^2}\right)=+\infty$\\
  D'où $\lim\limits _{n \to + \infty} 5n^4-3n^3+0.9^n=+\infty$
  \item $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{4n^3+27n^2+7}{0.1n^5-4}$
  Par quotient, on obtient là encore une forme indéterminée.\\
  D'aucun diront que  $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{4n^3+27n^2+7}{0.1n^5-4}=\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{4n^3}{0.1n^5}
  =\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{4}{0.1n^2}=0$ et ils n'auront pas tort. \\
  Cependant, en Terminale S, on attend que vous factorisiez pour justifier. Ainsi :\\
  $\dfrac{4n^3+27n^2+7}{0.1n^5-4} = 
  \dfrac{n^3\left(4+\dfrac{27}{n}+\dfrac7{n^3}\right)}{n^5\left(0.1 - \dfrac4{n^5}\right)}
  =\dfrac{4+\dfrac{27}{n}+\dfrac7{n^3}}{n^2\left(0.1-\dfrac4{n^2}\right)}$\\
  Or $\lim\limits _{n \to + \infty} 4+\dfrac{27}{n}+\dfrac7{n^3}=4$ \quad et \quad  $\lim\limits _{n \to + \infty}n^2\left(0.1-\dfrac4{n^2}\right)=+\infty$ \quad
  Ainsi $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{4n^3+27n^2+7}{0.1n^5-4}=0$
  \item 
  On sait déjà que $\lim\limits _{n \to + \infty} 0.9^n = 0^+$ car $-1<0.9<1$.\\
  Donc $\lim\limits _{n \to + \infty}\dfrac7{0.9^n}=+\infty$ (par quotient et avec la règle des signes)\\
  D'où $\lim\limits _{n \to + \infty}6-\dfrac7{0.9^n}=-\infty$
  %\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} \textbf{Limites et comparaison} \hfill (5 points)
\begin{enumerate}
 \item %On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par $u_n= \dfrac{5n^2-3\cos(n)}{2n^2+n+1}$.
 \begin{enumerate}
  \item %Calculer $u_{100}$ puis $u_{1000}$ à $10^{-4}$ près \textit{(on réglera la calculatrice en radians)}.\\
  $u_{100}\simeq 2.4873$ et $u_{1000}\simeq 2.4987$
%    Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de $(u_n)$ ?
On peut conjecturer que la suite tend vers $2.5$.
    \item %Montrer que $(u_n)$ converge et donner sa limite.
    On sait depuis la grande section de maternelle que pour tout $n\in\N$ on a $$-1 \leq  \cos(n) \leq 1 \iff 3 \geq -3\cos(n)  \geq 3 \iff 
    5n^2-3 \geq 5n^2-3\cos(n)  \geq  5n^2+3\cos(n)$$
    Or $\forall n\in\N, \, 2n^2+n+1>0$ \quad donc on a \quad $\dfrac{5n^2-3}{2n^2+n+1} \geq \dfrac{5n^2-3\cos(n)}{2n^2+n+1} \geq \dfrac{5n^2+3}{2n^2+n+1}$\\
    Comme $\dfrac{5n^2-3}{2n^2+n+1}=\dfrac{n^2\left(5-\dfrac3{n^2}\right)}{n^2\left(2+\dfrac1n+\dfrac1{n^2}\right)}
    =\dfrac{5-\dfrac3{n^2}}{2+\dfrac1n+\dfrac1{n^2}}$ \\
    On a $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{5n^2-3}{2n^2+n+1} 
    = \lim\limits _{n \to + \infty}\dfrac{5-\dfrac3{n^2}}{2+\dfrac1n+\dfrac1{n^2}} = \dfrac52$\\
    De même $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{5n^2+3}{2n^2+n+1} = \dfrac52$\\
    D'après le théorème des gendarmes, on peut conclure que $\lim\limits _{n \to + \infty} \dfrac{5n^2-3\cos(n)}{2n^2+n+1} =\dfrac52$
 \end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item %On considère la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=n^2+\sin(n)$. \\
 Pour tout $n\in\N$ on a $-1\leq \sin(n)  \leq 1 \iff n^2-1 \leq  v_n \leq  n^2+1$.\\
 Or $\lim\limits _{n \to + \infty} n^2-1 = +\infty$ donc d'après le théorème de comparaison on a 
 $\lim\limits _{n \to + \infty} v_n = + \infty$
 %Déterminer la limite de la suite $v$.
 \item %A partir de quel rang est-on certain que $v_n\geq 10^6$ ?
 On est sûr que $v_n>10^6$ lorsque $n^2+1>10^6 \iff n^2 >10^6+1 \iff n>\sqrt{10^6+1}$ car $n\geq 0$.\\
 \end{enumerate}
 \item %On considère la suite $w$ définie sur $\N$ par $w_n=n\left((-1)^n-2\right)$. \\
 %Déterminer la limite de la suite $w$.
 Pour tout $n\in\N$ on a $-1 \leq (-1)^n \leq 1 \iff -3 \leq (-1)^n-2 \leq -1 \iff -3n \leq w_n \leq -n$ car $n\leq 0$ 
Or $\lim\limits _{n \to + \infty} -n = -\infty$ donc d'après le théorème de comparaison on a 
 $\lim\limits _{n \to + \infty} w_n = - \infty$
  \end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Utilisation d'une suite auxiliaire}\hfill (4 points)\\
 %On définit la suite $(u_n)$ sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
  %                                                      u_0=13 \\ u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45
   %                                                    \end{array}\right.$\\
%Et la suite $(S_n)$ sur $\N$ par : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k -n-1 = u_0 + u_1 + \dots + u_n-n-1$
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
  \item %Montrer que la suite $v$ définie sur $\N$ par $v_n=u_n-1$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison
  %et le premier terme.
  Pour tout $n\in\N$ on a $v_{n+1}=u_{n+1}-1 = \dfrac15u_n+\dfrac45 -1 = \dfrac15u_n-\dfrac15 = \dfrac15(u_{n}-1)=\dfrac15v_n$\\
  Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac15$ et de premier terme $v_0=u_0-1 = 12$
  \item %En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et son éventuelle limite.
  On sait alors que pour tout $n\in\N$ on a $v_n=v_0\times q^n = 12 \times \left(\dfrac15\right)^n$\\
  Donc $u_n = v_n+1 = 12 \times \left(\dfrac15\right)^n +1$\\
  Or $-1<\dfrac15<1$ donc $\lim\limits_{n \to +  \infty} \left(\dfrac15\right)^n = 0$ \quad et 
  $\lim\limits_{n \to +  \infty} u_n=\lim\limits_{n \to +  \infty} 12\left(\dfrac15\right)^n+1 = 1$
\end{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 %\item Déterminer le sens de variation de la suite $S$.
 \item %Montrer que $S_n=14-\left(\dfrac15\right)^{n+1}$.
 \begin{eqnarray*}
S_n &=& \sum_{k=0}^n u_k -n-1 = \sum_{k=0}^n \left(12\left(\dfrac15\right)^k+1\right) -n-1 
 = 12\sum_{k=0}^n \left(\dfrac15\right)^k + \sum_{k=0}^n 1 -n-1 \\
 &=&  12\times \dfrac{ 1-\left(\dfrac15\right)^{n+1}}{1-\dfrac15} +n+1 -n-1 
 = 12\dfrac{ 1-\left(\dfrac15\right)^{n+1}}{\dfrac45}\\
 &=&12\times \dfrac54 \left(1-\left(\dfrac15\right)^{n+1}\right)
 =15\left(1-\left(\dfrac15\right)^{n+1}\right)  
 \end{eqnarray*}
 \item %Déterminer la limite $\ell$ de la suite $S$.
 Comme $\lim\limits_{n \to +  \infty} \left(\dfrac15\right)^{n+1}=0$ \quad  on a $\lim\limits_{n \to +  \infty} S_n = 15$
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\begin{ExoF} \textbf{Suite récurrente}\hfill (5 points)
%On considère la suite $u$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                        u_0=4 \\ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}
 %                                                      \end{array}\right.$\\
%Si $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[-1 ; + \infty[$ par $f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$, alors on a,
%pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
%On donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathscr C$ de la fonction $f$, ainsi 
% que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$.
% \begin{center}
%\psset{unit=2.3cm}
%\begin{pspicture}(-1,-0.2)(5,4.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-0.2)(5,4.2)
%\psplot[linewidth=1.5pt]{-0.2}{4.2}{x}
%\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-1}{5}{1 x add 2 div 0.5 exp}
%\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](4,4){$\Delta$} \uput[u](5,1.8){$\mathcal{C}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
 \item %Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ 
 %en laissant apparents les traits de construction. 
 Cf votre sujet.
\item %Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la 
%convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
On peut conjecturer que la suite est décroissante et converge vers l'abscisse du point d'intersection des $\Delta$ et $\mathscr C$.
\end{enumerate}
 \item %Montrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a : $0 \leq u_{n+1} \leq u_{n} \leq 4$
 Initialisation : pour $n=0$\\
 $u_0=4$ et $u_1=\sqrt{\dfrac{1+4}{2}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}$.\qquad 
 Donc on a bien $0\leq u_1 \leq u_0 \leq 4$\\
 Hérédité : On suppose qu'il existe $k\in\N$ tel que $0\leq u_{k+1} \leq u_k \leq 4$.
 Alors on a 
 \begin{eqnarray*}
  0\leq u_{k+1} \leq u_k \leq 4 &\iff& 1\leq 1+u_{k+1} \leq 1+u_k \leq 5 \iff \dfrac12\leq \dfrac{1+u_{k+1}}2 
  \leq \dfrac{1+u_k}2 \leq \dfrac52\\
  &\iff & \sqrt{\dfrac12}\leq \sqrt{\dfrac{1+u_{k+1}}2}   \leq \sqrt{\dfrac{1+u_k}2} \leq \sqrt{\dfrac52} \quad 
  \text{ car la fonction racine carré est croissante sur }\R^+\\
  &\Longrightarrow  & 0 \leq u_{k+2}  \leq u_{k+1} \leq 4
   \end{eqnarray*}
Donc la proposition est héréditaire.\\
Conclusion : la proposition est héréditaire et initialisée. Elle est vraie pour tout $n\in\N$.
 \item %En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
 La suite est décroissante et minorée par $0$, donc elle converge.
 \item %En constatant que $ u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}} \iff \left(u_{n+1}\right)^2=\dfrac{1+u_n}{2}$ car $u_{n+1}\geq 0$
 %et en utilisant les règles d'opérations sur les limites, déterminer $\ell$.
 On sait que $\lim\limits_{n \to +  \infty}= \ell$ donc $\lim\limits_{n \to +  \infty}u_{n+1}^2 = \ell^2$ par produit.\\
 De plus on sait que $\lim\limits_{n \to +  \infty} u_{n+1}^2 = \lim\limits_{n \to +  \infty} \dfrac{1+u_n}{2} = \dfrac{1+\ell}{2}$\\
 Par unicité de la limite on a donc $\ell^2 = \dfrac{1+\ell}{2}$\\
 On résout cette équation : $\ell^2 = \dfrac{1+\ell}{2} \iff 2\ell^2 = 1+ \ell \iff 2\ell^2-\ell-1 = 0$\\
 $\Delta = 1-4 \times 2 \times (-1) = 9$\\
 Donc $\ell_1 = \dfrac{1-3}4=-\dfrac12<0$ ce qui est impossible car on a montré que $u_n>0$ pour tout $n\in\N$\\
 Et $\ell_2 = \dfrac{1+3}{4}=1$.\qquad  Donc $\ell =1$
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Récurrence}\hfill (2 points)\\
 %On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n=\dfrac{2n-1}{2^n}$\\
 %Et la suite $(S_n)$ définie sur $\N$ par : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$.\\
 %Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ on a $S_n=\dfrac{2^{n+1}-2n-3}{2^n}$
 Initialisation : pour $n=0$ \\
 On a $S_0=u_0=\dfrac{2\times 0-1}{2^0}=-1$ \quad et \quad $\dfrac{2^{0+1}-2\times 0 -3}{2^0}=\dfrac{2-3}{1}=-1$\\
 Donc la proposition est vraie pour $n=0$\\
 Hérédité : On suppose qu'il existe $k\in\N$ tel que $S_k=\dfrac{2^{k+1}-2k-3}{2^k}$. 
 Alors 
 \begin{eqnarray*}
 S_{k+1}&=& S_k+u_{k+1}= \dfrac{2^{k+1}-2k-3}{2^k} + \dfrac{2(k+1)-1}{2^{k+1}} \quad \text{ (HR) }\\
 &=& \dfrac{2^{k+2}-4k-6+2k+2-1}{2^{k+1}} = \dfrac{2^{k+2}-2k-5}{2^{k+1}}\\
 &=& \dfrac{2^{k+2}-2k-2-3}{2^{k+1}} = \dfrac{2^{k+2}-2(k+1)-3}{2^{k+1}} \quad \text{ CQFD }
 \end{eqnarray*}
Donc la proposition est héréditaire.\\
La proposition est initialisée et héréditaire donc elle est vraie pour tout $n\in\N$. 
\end{ExoF}


%\newpage
%\begin{ExoF}\hfill (7 points)\\
% On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                        u_0=1 \\ u_{n+1}=\dfrac13u_n+n-2
%                                                       \end{array}\right.$\\
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
%\item \begin{enumerate}
%       \item Démonter que $\forall n \geq 4$, on a $u_n \geq 0$
%        \item En déduire que $\forall n \geq 5$, on a $u_n \geq n-3$
%         \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
%      \end{enumerate}
%\item On définit la suite $(v_n)$ sur $\N$ par $v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison 
%		et le premier terme. 
%		%\item  Pour tout nombre entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
%		\item En déduire que $\forall n \in\N$ on a $u_n=\dfrac{25}{4} \times \left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}{4}$
%		 \item Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
%\end{enumerate}
%\item Soit la suite $S$ définie pour tout $n\in\N$ par : 
%$$S_n=\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$$
%\begin{enumerate}
% \item Etudier le comportement à l'infini de la suite $S$, grâce à ce qui précède.
% \item Déterminer $S_n$ en fonction de $n$.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}                                  
%\end{ExoF}


%\begin{ExoF}\hfill (4 points)\\
% On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $\left\{\begin{array}{l}
%                                                        u_0=3 \\ u_{n+1}=\dfrac14u_n^2+2
%                                                       \end{array}\right.$\\
%Si $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac14x^2+2$, alors on a,
%pour tout entier $n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\geq x+1$
%\item En déduire que $\forall n \geq 0$, on a $u_{n+1}-u_n \geq 1$.\\
%En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
%\item Montrer que $\forall n \in\N$ on a $u_n-u_0 \geq n$\\
%\textit{\textbf{Indication} : Utiliser que }
%$$u_n-u_0=(u_n-u_{n-1})+\dots + (u_1-u_0)$$
%En déduire le comportement de la suite $u$ à l'infini.%
		%\item  A partir de quel rang $N$ est -on certain que pour tout entier $n\geq N$ on a $u_n \geq 10^6$ ?
%\end{enumerate}
%\end{ExoF}











\end{document}
