\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Limites de Suites}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha


\begin{ExoF}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
        \item %Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.
 %La tracer.
$(\Delta)$ est la droite qui passe par $E$ et parallèle à $(AB)$ et $(CD)$, d'après le théorème du toit. 
\item  %Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
Le point $L$ appartient aux plans $(IJK)$ car $L\in(IJ)$, et aux plans $(ABE)$ et $(CDE)$ car $L\in(\Delta)$
 \item %En déduire $(IJK)\cap (CDE)$. La tracer
Ainsi $(IJK)\cap (CDE)= (LK)$
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item %Placer $M=(IJ)\cap (ABC)$.
 \item %En déduire $(IJK)\cap (ABC)$.
$(IJK)\cap (ABC)=(MQ)$ où $Q=(LK)\cap(ABC)$ 
      \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}

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\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(8,5.5)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=white,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.62,1.11)(0.79,0.45)(3.21,1)(3.7,1.5)(4.96,2.8)(3.7,2.96)
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\psline[linecolor=zzttqq](5,0)(2.8,5)
\psline[linecolor=zzttqq](2.8,5)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](5,0)(6.73,1)
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\psline[linestyle=dotted](1.73,1)(2.8,5)
\psplot[linestyle=dotted]{-1.5}{8}{(--26.98-0*x)/5.4}
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\psplot[linestyle=dotted]{-1.5}{8}{(--7.85-3.5*x)/-3.4}
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\psline(0.62,1.11)(3.7,2.96)
\psline(3.7,2.96)(4.96,2.8)
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\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](0.62,1.11)(0.79,0.45)
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\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.05,0.08){\xdxdff{$A$}}
\rput[bl](5.05,0.08){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](2.86,5.07){\blue{$E$}}
\rput[bl](6.78,1.08){\blue{$C$}}
\rput[bl](1.78,1.08){\blue{$D$}}
\rput[bl](1.65,1.78){\blue{$I$}}
\rput[bl](2.51,2.45){\blue{$J$}}
\rput[bl](3.58,1.61){\blue{$K$}}
\rput[bl](8.2,5.07){\blue{$F$}}
\rput[bl](7.,5.1){\darkgray{$L$}}
\rput[bl](-1.19,0.08){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](0.46,1.2){\darkgray{$N$}}
\rput[bl](3.75,3.04){\darkgray{$O$}}
\rput[bl](5.23,2.75){\darkgray{$P$}}
\rput[bl](3.12,1.16){\darkgray{$Q$}}
\rput[bl](0.8,0.61){\darkgray{$R$}}
\rput[bl](-1,5.2){\darkgray{$\Delta$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Voici les différentes étapes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur la face $ABCD$}\\
$M$ et $N$ sont deux points communs aux plans $(ABC)$ et $(MGN)$.\\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(MN)$, et la trace du plan $(MGN)$ sur la face $ABCD$ est donc le segment $[MN]$. (en pointillés rouge sur la figure).
\item 
\textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$.}\\
Le point $G$ est commun aux plans $(MNG)$ et $(BCG)$. Il suffit de trouver un second point commun aux deux plans.\\
$(MN)\subset (MGN)$ et $(BG)\subset (BCG)$ donc le point d'intersection de $(MN)$ et $(BC)$ appartient à la fois aux plans $(MNG)$ et $(BCG$. Appelons $L$ ce point. On en déduit que l'intersection des plans $(MNG)$ et $(BCG)$ est la droite $(GL)$.\\
Soit $I$ le point d'intersection de $(GL)$ et $(BF)$ : les segments $[GI]$ et $[MI]$ sont les traces du 
plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$ respectivement (en traits pleins rouge sur la figure).
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
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\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
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\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
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\rput[bl](8.2,1){$C$}
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\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
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\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-2.9)(8.6,4.8)
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\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
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\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
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\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.5,-0.6)(6.7,1.1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
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\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\rput[bl](5.1,-2.8){$L$}
\rput[bl](6.9,1){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\newpage
 \begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] \textbf{Traces du plan $(MNG)$ sur les faces $CGHD$ et $ADHE$}\\
Les plans $(ADH)$ et $(BCG)$ sont parallèles. Le plan $(MGN)$ coupe le plan $(BCG)$ selon la droite $(GI)$. On en déduit que $(MGN)$ coupe $(ADH)$ selon une droite parallèle à $(GI)$.\\
$N\in[AD]\subset (ADH)$ donc $N\in (ADH)$.\\
De plus, par définition $N\in (MGN)$. $N$ appartient donc à l'intersection des plans $(MGN)$ et $(ADH)$.\\
On en déduit que l'intersection de ces deux plans est la droite parallèle à $(GI)$ passant par $N$.\\
Cette droite coupe l'arête $[DH]$ en un point $J$ : les segments $[NJ]$ et $[JG]$ sont donc les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $ADHE$ et $CGHD$ respectivement (en traits pointillés rouge sur la figure).
\item[\textbf{4.}] \textbf{Section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MGN)$.}
\\
La section du pavé par le plan $(MGN)$ est donc le pentagone $MIGJN$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
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\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.4,-0.6)
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\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(1.7,-0.1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
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\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
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\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
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\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.4,-0.6)
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\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1.2)
\rput[bl](6.9,1.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2)
\rput[bl](2.4,1.9){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
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\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.2,-1.1)(8.6,4.7)
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\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
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\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.7,-0.1)(2.7,1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.6,-0.6)
\rput[bl](2.7,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1)
\rput[bl](6.9,0.9){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2.1)
\rput[bl](2.4,2.1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $SABCD$ est une pyramide à base carré $ABCD$. Le point $O$ est le centre de $ABCD$.\\
$J$ est le milieu de $[SO]$. Le point $k$ est tel que $\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SD}$
\begin{enumerate}
 \item %Justifier que $S$, $B$, $D$, $O$, $J$ et $K$ sont coplanaires.
Les points $S$, $O$,  $D$, $O$, $J$ et $K$ sont tous dans le plans $(SBD)$.
\item \begin{enumerate}
       \item %Démontrer que $\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{SB} + \dfrac13\overrightarrow{SD}$
\begin{eqnarray*}
 \overrightarrow{BK}&=& \overrightarrow{BS} +  \overrightarrow{SK}\\
&=& -\overrightarrow{SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{SD}
\end{eqnarray*}
 \item %Justifier que $\overrightarrow{SO}=\dfrac12 \left(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \right)$ et en déduire que
 %$\overrightarrow{BJ}=-\dfrac34 \overrightarrow{SB} + \dfrac14\overrightarrow{SD} $
\begin{minipage}{8cm}
\begin{eqnarray*}
 \overrightarrow{SO}&=& \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BO}\\
&=& \overrightarrow{SB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\\
&=& \overrightarrow{SB}+\dfrac12\overrightarrow{BS}+\dfrac12\overrightarrow{SD}\\
&=& \dfrac12 \left(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \right)
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{eqnarray*}
\text{D'où } \overrightarrow{BJ}&=& \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OJ}\\
&=& \dfrac12\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OS}\\
&=& \dfrac12\overrightarrow{BS}+\dfrac12\overrightarrow{SD}-\dfrac14\overrightarrow{SB}-\dfrac14\overrightarrow{SD}\\
&=& -\dfrac34\overrightarrow{SB} + \dfrac14\overrightarrow{SD} 
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
 \item %Montrer que $B$, $J$ et $K$ sont alignés.
On a donc $\overrightarrow{BJ}= \dfrac34\overrightarrow{BK}$, donc les points $B$, $K$ et $J$ sont alignés.
      \end{enumerate}
\item Positions relatives de plans
\begin{enumerate}
 \item $(BJC)\cap (ABC)=(BC)$ (évident) et $(BJC)\cap (SCD)=(CK)$ (car $K\in(BJ)$ donc $K$ est commun aux deux plans).
\item %Etudier la position relative des plans $(BJC)$ et $(SAD)$.
Les plans $(BJC)$ et $(SAD)$ sont sécants selon une droite passant par $K$ (car $K$ est commun aux deux plans) et parallèle à $(AD)$
et $(BC)$
 \item %Construire la section de la pyramide $SABCD$ par le plan $(BJC)$. Ne pas justifier.
Grâce à la question 3), la section est triviale à tracer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\end{document}