\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 2}
\newcommand{\Ch}{Limites de Suites}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha


\begin{ExoF} \hfill (Annale 2009 à 2 points)\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par $u_{n} = (-1)^n$.
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est bornée par $-1$ et $1$.
\item La suite $\left(u_{n}\right)$ n'a pas de limite, donc elle ne converge pas. 
\item Pour tout $n\in\N$ on a  $\dfrac{-1}n \leq \dfrac{u_{n}}{n} \leq \dfrac1n$. \quad 
Or on a $\lim\limits_{n\to + \infty} \dfrac{-1}n = 0 = \lim\limits_{n\to + \infty} \dfrac{1}n$.\\
D'après le théorème des gendarmes, on peut conclure que la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{n}\right)$ converge vers $0$.
 \item Supposons qu'une suite tende vers $+\infty$ et soit majorée par $M$.\\
Comme la suite tend vers $+\infty$, on sait qu'il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont plus 
grands que $M$. Mais ceci est absurde car $M$ est un majorant de la suite, donc tous les termes de la suite sont inférieurs
ou égaux à $M$. Donc si une suite tend vers $+\infty$ , elle n'est pas majorée.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item La suite de terme général $u_n=(-4)^n$ n'est pas majorée et 
n'a pas de limite.
 \item On a souvent vu en classe des suites comme demandées.\\
Par exemple, la suite de terme général $u_{n+1}=6-\dfrac{5}{u_n+1}$ avec $u_0=0$ est croissante et convergente 
vers un réel $\alpha$ (cf annale 1).
 \item La suite de terme général $u_n=n+(-1)^n$ tend vers $+\infty$ mais n'est pas croissante.
 \item La suite de terme général $u_n= 1+\dfrac1n$ est à termes strictement positifs et décroissante mais elle
ne converge pas vers $0$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On considère une suite $u$ croissante et convergente vers $\ell\in\R$, et on
suppose qu'il existe un rang $N_1$ tel que $u_{N_1}>\ell$.
\begin{enumerate}
 \item On sait que la suite $u$ est croissante, donc  $\forall n \geq N_1$ on a $u_n \geq u_{N_1}> l$ 
 \item On désigne par $I$ l'intervalle ouvert $\left] \ell-1; u_{N_1}\right[$
\begin{enumerate}
 \item On a les inégalités suivantes : $\ell - 1 < \ell$ de manière évidente et $\ell <u_{N_1}$ par hypothèse.\\
\textit{(Les inégalités sont strictes et c'est important pour conclure car $I$ est ouvert)} \quad 
Donc $I$ contient $\ell$.
 \item On sait que la suite $u$ converge vers $\ell$, donc par définition de la convergence, il existe un rang $N_2$ à partir duquel tous les termes $u_n$ 
sont dans $I$.
 \end{enumerate}
\item On pose $N=max(N_1, N_2)$. Alors pour tout $n\leq N$ , on a en particulier :
\begin{itemize}
 \item $n\geq N_1$ donc $u_n \geq u_{N_1}$ d'après le 1) autrement dit $u_n \notin I$
 \item $n\geq N_2$ donc $u_n \in I$ d'après le 2b)
\end{itemize}
Donc pour tout $n\leq N$ , on a à la fois $u_n\notin I $ et $u_n \in I$, ce qui est absurde.
\item On conclut donc que si une suite est croissante et converge vers $\ell$, 
alors la suite est majorée par $\ell$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} \hfill (Annale 2009 à 4 points)
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{2},~u_{3}$ et $u_{4}$.
$u_2=\dfrac32u_1-\dfrac12u_0 = \dfrac32 \times 3 - \dfrac12 \times 0 = \dfrac92$ \hfill
$u_3=\dfrac32u_2-\dfrac12u_1 = \dfrac32 \times \dfrac92 - \dfrac12 \times 3 = \dfrac{27}4-\dfrac32= \dfrac{21}{4}$\\

$u_4=\dfrac32u_3-\dfrac12u_2 = \dfrac32 \times \dfrac{21}4 - \dfrac12 \times \dfrac92 = \dfrac{63}8-\dfrac94
= \dfrac{45}{8}$\\
\item  Utilisons le raisonnement par récurrence pour montrer que $\forall  n\in\N,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n} + 3$. \\
\textbf{Initialisation} : pour $n=0$.\\
On a $u_1=3$ d'après l'énoncé et $\dfrac12 u_0 + 3 = \dfrac12 \times 0 +3 = 3$.\\
Donc on a bien $u_1=\dfrac12u_0+3$ et la proposition est initialisée à $0$.\\
\textbf{Hérédité} : On suppose qu'il existe $k\in\N$ tel que 
$~ u_{k+1} = \dfrac{1}{2}u_{k} + 3 \iff u_k=2\left(u_{k+1}-3\right)$\\
On veut montrer que cela implique $~ u_{k+2} = \dfrac{1}{2}u_{k+1} + 3$
\begin{eqnarray*}
\text{D'après l'énoncé, on sait que  }\quad  u_{k+2}&=&\dfrac32u_{k+1}-\dfrac12u_k \\
&=& \dfrac32u_{k+1}-\dfrac12\times 2\left(u_{k+1}-3\right) \qquad \text{(HR)}\\
&=& \dfrac32 u_{k+1}-u_{k+1}+3\\
&=& \dfrac12u_{k+1}+3
\end{eqnarray*}
Donc la proposition est héréditaire à partir de $0$.\\
\textbf{Conclusion} : La proposition est initialisée et héréditaire à partir de $0$, elle est donc vraie $\forall n\in\N$.
		\item Cf figure ci-contre.
On peut conjecturer que la suite est croissante et convergente vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
	\end{enumerate} 
\item 	\begin{enumerate}
\item  On constate déjà que $v_n=u_n-6 \iff u_n = v_n+6$ 
\begin{eqnarray*}
\forall n \in\N \quad \text{ on a donc }\qquad  v_{n+1} &=& u_{n+1} -6 \\
&=&  \dfrac12u_n+3-6 \quad \text{d'après 1b)}\\
&=& \dfrac12u_n-3\\
&=& \dfrac12\left(v_n+6\right)-3 \qquad \text{d'après la constatation}\\
&=& \dfrac12v_n+3-3 = \dfrac12v_n
\end{eqnarray*}
 Donc la suite $v$ est géométrique de raison $q=\dfrac12$ et de premier terme $v_0=u_0-6 = 0-6=-6$.
\item %Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$. 
Comme $v$ est géométrique, on sait que pour tout $n\in\N$ on a $v_n=v_0 \times q^n = -6 \times \left(\dfrac12\right)^n$.\\
Par conséquent, on en déduit $u_n=v_n+6=-6\times \left(\dfrac12\right)^n + 6$ pour tout $n\in\N$.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
On sait que $\lim\limits_{n\to + \infty} \left(\dfrac12\right)^n=0$ car $-1 < \dfrac12 < 1$\\
Donc $\lim\limits_{n\to + \infty} u_n =\lim\limits_{n\to + \infty} -6\times\left(\dfrac12\right)^n+6 = -6 \times 0 + 6 = 6$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\begin{center}
%\psset{yunit=0.8cm,ticksize=0.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(13,10)
\psaxes[ticksize=0.2cm,ticks=none]{->}(0,0)(-3,-3)(13,10)
\psline(-3,-3)(10,10)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{13}{x 0.5 mul 3 add}
\rput{26.}(10,7){$y = \dfrac{1}{2}x + 3$}
\rput{45}(7,8){$y = x$}
\uput[dr](0,0){$u_{0}$} \uput[d](3,0){$u_{1}$} 
\uput[d](4.5,0){$u_{2}$} \uput[d](5.25,0){$u_{3}$} \uput[d](5.625,0){$u_{4}$}
\multido{\n=-2+1}{15}{\psline(\n,0)(\n,0.2)}
\multido{\n=-2+1}{12}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,3)(3,0)
\psline[linestyle=dashed](3,3)(3,4.5)(4.5,4.5)(4.5,0)
\psline[linestyle=dashed](4.5,4.5)(4.5,5.25)(5.25,5.25)(5.25,0)
\psline[linestyle=dashed](5.25,5.25)(5.25,5.625)(5.625,5.625)(5.625,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{ExoF}




\end{document}