\documentclass[a4paper,12pt,french]{article}
\linespread{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Définitions de la feuille d'exercices

\newcommand{\ch}{Chapitre 1}
\newcommand{\Ch}{Le Raisonnement par R\'ecurrence}
\newcommand{\Cl}{TG6}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
\newcommand{\num}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Packages
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\input macro_final.tex

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Début
\begin{document}


\debutDmCha

\begin{ExoF}
\textbf{Vrai ou faux ? \textit{Justifier}}\\
\begin{enumerate}
 \item %Si une proposition est héréditaire à partir de $n=0$, alors elle est vraie pour tout entier naturel $n$.\\
\textbf{FAUX} Héréditaire ne veut pas dire vrai ! Il faut une initialisation à $n=0$.
\item %Si une proposition est vraie pour $n=0$ et est héditaire à partir de $n=0$, alors elle est vraie pour $n=1$.\\
\textbf{VRAI} C'est le principe de récurrence.
\item %Si une proposition est vraie pour $n=1$ et est héréditaire à partir de $n=0$, alors elle est vraie pour $n=0$.\\
\textbf{FAUX} On sait simplement que la proposition est vraie $\forall n \geq 1$, on ne sait rien avant.
\item %Si une proposition est vraie pour $n=0$ et $n=1$ alors elle est héréditaire à partir de $n=0$.\\
\textbf{FAUX} Des exemples ne prouvent rien ! Pour montrer l'hérédité, il faut le faire dans le cas général.
 \item %Si une proposition est vraie pour $n=5$ et est héréditaire à partir de $n=3$ alors elle est vraie 
%$\forall n\geq 3$. \\
\textbf{FAUX} On ne sait pas si la proposition est vraie pour $n=3$, ni $n=4$. Par contre, on sait qu'elle est vraie $\forall n\geq 5$.
\item %Si une proposition est vraie pour $n=5$ et est héréditaire à partir de $n=3$ alors elle est vraie 
%$\forall n\geq 5$.\\
\textbf{VRAI} C'est le cas précédent corrigé.
\item %Si une proposition est vraie pour $n=3$ et est héréditaire à partir de $n=5$ alors elle est vraie 
%$\forall n\geq 3$.\\
\textbf{FAUX} On ne sait pas si la proposition est vraie pour $n=4$, ni $n=5$, ni après.
\item %Si une proposition est vraie pour $n=3$ et est héréditaire à partir de $n=5$ alors elle est vraie 
%$\forall n\geq 5$.\\
\textbf{FAUX} Même expliquation que précédemment.
\end{enumerate}

\end{ExoF}

\begin{ExoF}
%$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$, $u_1=15$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+2}=3u_{n+1}+10u_n$.
\begin{enumerate}
 \item %Démontrer que $\forall n \in\N$ on a $u_{n+1}=5u_n$.\\
La proposition à montrer pour tout $n\in\N$ est $\mathscr P(n)$ : \og $u_{n+1}=5u_n$ \fg.\\

\textbf{Initialisation :} Pour $n=0$\\
D'après l'énoncé, on a $u_0=3$ et $u_1=15$. Donc on a bien $u_1=5u_0$.\\
La proposition est vraie au rang $0$.\\

\textbf{\textit{Attention à la présentation ! On vérifie que l'on a l'égalité en regardant }séparément\textit{les valeurs de ses membres pour $n=0$, puis en 
les comparant.}}\\

\textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe $k\in\N$ tel que $u_{k+1}=5u_k$.\\
On veut montrer que cela entraine $u_{k+2}=5u_{k+1}$.\\
Or on sait d'après l'énoncé que 
\begin{eqnarray*}
u_{k+2} & = & 3u_{k+1}+10u_k \\
&=& 3u_{k+1}+2 \times 5u_k\\
&=& 3u_{k+1} + 2 u_{k+1} \qquad \text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=& 5 u_{k+1}
\end{eqnarray*}
Donc la proposition est héréditaire à partir de $0$.\\

\textbf{Préciser où l'on utilise l'hypothèse de récurrence et où l'on utilise l'énoncé évite les confusions}\\

\textbf{Conclusion :} La proposition est initialisée à $0$ et héréditaire à partir de $0$. \\
Elle est donc vraie $\forall n \in\N$.
 \item %En déduire la nature de la suite $(u_n)$, puis l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.\\
$\forall n\in\N$ on a $u_{n+1}=5u_n$, donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=5$. \\
On sait alors que $\forall n\in\N$ on a $u_n=u_0 \times q^n = 3 \times 5^n$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
 \item %Démontrer par récurrence que pour tout $q\neq 1$ et pour tout $n$ on a 
%$\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
La proposition à montrer pour tout $n\in\N$ est $\mathscr P(n)$ : \og $\sum_{k=0}^n q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ \fg.\\
ou encore $1+q+q^2+ \dots q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.\\

\textbf{Initialisation :} Pour $n=0$\\
\textit{Là encore, on regarde  \textbf{séparément} les valeurs des membres de l'égalité pour $n=0$ puis on les compare.}\\
$\sum_{k=0}^0 q^k= q^0 = 1$ \quad et \quad  $\dfrac{1-q^{0+1}}{1-q}=\dfrac{1-q}{1-q}=1$. \quad 
Donc on a bien $\sum_{k=0}^0 q^k = \dfrac{1-q^{0+1}}{1-q}$.\\
La proposition est vraie au rang $0$.\\

\textbf{Hérédité :} On suppose qu'il existe $p\in\N$ tel que $\sum_{k=0}^p q^k = \dfrac{1-q^{p+1}}{1-q}$.\\

\textit{La lettre $k$ étant déjà utilisée, on doit donc en prendre une autre pour notre hypothèse, 
ou encore changer celle dans la somme}

On veut montrer que cela entraine $\sum_{k=0}^{p+1} q^k = \dfrac{1-q^{p+2}}{1-q}$.
\begin{eqnarray*}
\text{Or } \quad \sum_{k=0}^{p+1} q^k &=& 1+q+q^2+ \dots + q^p + q^{p+1}\\
&=&  \dfrac{1-q^{p+1}}{1-q} + q^{p+1} \qquad \text{ d'après l'hypothèse de récurrence}\\
&=&  \dfrac{1-q^{p+1}}{1-q} + \dfrac{(1-q)q^{p+1}}{1-q}\\
&=&  \dfrac{1-q^{p+1}+q^{p+1}-q^{p+2}}{1-q} \\
&=&  \dfrac{1-q^{p+2}}{1-q} 
\end{eqnarray*}
Donc la proposition est héréditaire à partir de $0$.\\

\textbf{Conclusion :} La proposition est initialisée à $0$ et héréditaire à partir de $0$. \\
Elle est donc vraie $\forall n \in\N$.
 \item %En déduire alors la formule connue sur la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ 
%et de raison $q\neq 1$: 
%$$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
On a 
\begin{eqnarray*}
 \sum_{k=0}^{n} u_k &=& u_0 + u_1 + \dots + u_n \\
&=& u_0 + u_0\times q + u_0 \times q^2 + \dots + u_0 \times q^n \qquad \text{ car $(u_n)$ est une suite géométrique}\\\\
&=& u_0 \left( 1+q+q^2+ \dots + q^n \right) \\\\
&=& u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} \qquad \text{ d'après le 1)}
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{ExoF}




\end{document}