\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 8}
\newcommand{\Ch}{Vous saviez d\'ej\`a que les math\'ematiques \linebreak[2] \'etaient complexes !}
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex


\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{madonne.eps}{Autoportrait avec cigarette (1895) \fg \, et \\ \og  La madone (1895-1902)}{Edvard Munch}
{La maladie, la folie et la mort sont les anges noirs qui ont veillé sur mon berceau}{Edvard Munch}{Edvard Munch 
(1863 - 1944) est un peintre expressionniste norvégien,
souvent considéré comme le pionnier de l'expressionnisme et très tôt réputé pour son appartenance
 à une nouvelle époque artistique en Europe.
L'importance de son œuvre est aujourd'hui reconnue dans le monde. \\
Les œuvres de Munch les plus connues sont celles des années 1890, notamment  \textit{Le Cri} (1893)
(cf fin du cours), pièce de la série \textit{La Frise de la Vie}, que Munch a assemblée au tournant du siècle. 
Sa production ultérieure attire toutefois de plus en plus l'attention et semble inspirer tout spécialement les artistes actuels.\\
Munch traite d'une manière récurrente des thèmes de la vie, de l'amour, de la peur et de la mort.
La collection la plus importante de ses œuvres se trouve au le Musée Munch dans Oslo. 
Quelques-unes de ses peintures se trouvent à la galerie nationale d'Oslo. 
L'Hotel Continental d'Oslo possède de nombreuses impressions. Enfin, la pinacothèque de Paris a organisé en 2010 la superbe exposition 
\textit{Anti-Cri} regroupant de nombreux tableaux de Munch, issus de collections privées.\\
\textit{ Le Cri } et  \textit{La Madone} ont été volés le 22 août 2004 au musée Munch d'Oslo. Ils ont été récupérés dans des circonstances non connues 
en août 2006 en Norvège... Les deux œuvres ensemble sont estimées à 100 millions de dollars.}
{1.2}{0.4}{
 \item Découvrir de nouveaux nombres et les manipuler
 \item Trouver leurs différentes formes
 \item Utiliser les nombres complexes pour résoudre des équations ou des problèmes géométriques
}


\TITRE{anti-cri.eps}{0.5}

\begin{abstract}
Les  nombres  complexes  portent  bien  leur  nom  !  Ils  interviennent
partout  : en  algèbre, en  analyse, en  géométrie, en  électronique, en
traitement du signal,  en musique, etc. Et en plus,  ils n'ont jamais la
même  apparence  :  tantôt  sous  forme algébrique,  tantôt  sous  forme
trigonométrique, tantôt sous forme  exponentielle, ... Leur succès vient
en fait de  deux propriétés : en travaillant  sur les nombres complexes,
tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils
permettent de calculer  facilement en dimension 2. Ce  n'est pas clair ?
Alors détaillons ! 
\end{abstract}

\section{Découverte de l'ensemble des nombres complexes $\C$}
\subsection{Approche historique}


\Act{\\
\textbf{Partie A :} Activité 3 p 225 (recherche historique sur internet)\\
\textbf{Partie B :} Sur la trace des mathématiciens \\
Au début du XVI$^{\text{ème}}$ siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule 
donnant une solution aux équations du $3^{\text{ème}}$ degré de la forme $x^3+px=q$ 
\footnote{Vous pouvez 
essayer de le prouver en posant $x=u+v$ et en résolvant un système d'équations d'inconnues $u$ et $v$.} :
$$ x=\sqrt[3]{\dfrac{q-\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }+\sqrt[3]{\dfrac{q+\sqrt{q^2+4p^3/27}}{2} }$$
Vous avez déjà rencontré et appliqué ces formules dans un devoir maison, pour résoudre l'équation
$$(E)\,  : \, x+x^2+x^3=1$$
On avait effectué le changement de variable $X=x+\dfrac13$ et on avait 
montré que $(E) \iff X^3+\dfrac23X=\dfrac{34}{27}$. \\
La solution ressemblait à ceci :
$X=\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} \right)$\\
Et donc $x = X - \dfrac13 = 
\dfrac13 \left( ^3\sqrt{17+3\sqrt{33}} +  ^3\sqrt{17-3\sqrt{33}} -1 \right)$. \\
Bref, easy ... Et bien on recommence !
\begin{enumerate}
 %\item Utilisez cette formule pour trouver une solution de l'équation $x^3-36=91$
 %\item \begin{enumerate}
 \item Comme Bombelli à la fin de ce siècle, appliquez cette formule à l'équation $x^3-15x=4$.
 \item Quel problème survient ?
 \item Euler (XVIII$^e$) étant passé depuis Bombelli (XVI$^e$), notons nous aussi $i$ 
 le nombre imaginaire tel que $i^2=-1$ (ce qui nous évite d'utiliser le symbole imaginaire
 $\sqrt{-1}$ qui n'a pas de sens, car contraire à la définition de la racine carré d'un nombre).\\
 Admettons désormais comme Bombelli, juste pour voir ce que cela donne, 
 que l'on puisse prolonger les règles usuelles de calcul aux racines carrés 
 de nombres négatifs et calculons $ \left(2+i\right)^3$ et $ \left(2-i\right)^3$
 \item Quelle serait alors une solution réelle de l'équation ? Le vérifier.
 \item Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $x^3-15x-4=(x-4)(ax^2+bx+c)$
 \item Déterminer alors toutes les solutions de l'équation $x^3-15x=4$.
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
 Une question naturelle s'est alors posée : peut-on légitimement calculer 
avec des symboles imaginaires comme ci-dessus ? C'est ainsi qu'est née la théorie des nombres
complexes, qui a mis bien longtemps à s'imposer et a déchaîné bien des passions $\dots$\\\\
\textbf{Partie C :} A vous de jouer !
\begin{enumerate}
 \item Essayez de compter un peu avec ces nombres, en simplifiant au maximum les expressions suivantes :
$$A=(3+4i)^2 \qquad B=(3-4i)^2 \qquad C=(3+4i)(3-4i) \qquad D=(3+4i)(i-1) $$
$$E=(5-3i)(7-2i) \qquad  F=(i-2)(2+i) \qquad G=(5+7i)(3-i)(2-3i) \qquad H=\dfrac{6-4i}{2+3i}$$
 \item Que constatez-vous ?
\end{enumerate}
}

En 1637, \textbf{Descartes} propose l’appellation de \og nombres imaginaires \fg, mais c’est \textbf{Gauss} en 
1831 qui le premier les nomme les \og nombres complexes \fg. \\
\textbf{Euler}, déclarant que la notation $\sqrt{-1}$ est absurde car elle conduit à une contradiction de 
la définition, introduit la notation $i$ (comme imaginaire) en 1777 pour le nombre  qui vérifie 
$i^2 =-1$. \\
L’ensemble des nombres complexes  $\C$ apparaît alors : ce sont les nombres de la forme 
$a+ib$, avec $a$ et $b$ réels. Les règles de calculs dans  $\R$ sont conservées. \\
Ce n'est qu'au XIX$^e$ siècle que 
les nombres imaginaires prennent leur statut officiel de nombres, grâce au suisse \textbf{Argand}
qui proposa une représentation géométrique de ces nombres. Ainsi, 
le nombre complexe $x+iy$ ($x$ et $y$ réels) est associé au point  
du plan de coordonnées $(x;y)$ , ce qui entraîne l'unicité de l'écriture et l'absence d'ordre dans $\C$. \\
Ces nombres ont notamment servi pour formaliser la théorie de la relativité d’Einstein (1905). 
A votre niveau, ils sont utiles en géométrie et pour la résolution d'équations.


\subsection{Approche ensembliste}

\noindent L'équation $x+1=0$ n'a pas de solution dans $\N$, mais elle admet une solution $-1$ 
dans un ensemble plus grand $\Z$.\\
De même, l'équation $3x=1$ n'admet pas de solution dans $\Z$, mais elle admet $ \dfrac{1}{3}$ 
comme solution dans l'ensemble $\Q$ plus vaste que $\Z$\\
Et puis, l'équation $x^2=2$ n'a pas de solution dans $\Q$ ; il faut chercher dans $\R$ pour en trouver. 
\\
En clair, quand une équation n'a pas de solutions, une démarche naturelle (et historique) 
pour en trouver consiste à en chercher dans un ensemble plus grand. Au stade de vos connaissances, 
l'ensemble numérique le plus grand est $\R$. Pourtant l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solutions 
dans $\R$ $\dots$\\
On va donc, dans ce chapitre \og construire ? \fg enfin plutôt imaginer un ensemble plus 
grand que $\R$ dans lequel l'équation $x^2+1=0$ possède des solutions. 
On l'appellera $\C$ : ensemble des nombres complexes. \\
Le principal élément de $\C$ sera noté $i$ ( $i$ comme imaginaire) et vérifiera $i^2=-1$. L'équation précédente possédera alors deux solutions :
$$ x^2+1=0\Longleftrightarrow (x+i)(x-i)=0\Longleftrightarrow x=i\text{ ou }x=-i$$
On sait qu'il n'existe pas d'autres solutions dans un ensemble encore plus grand, notamment
grâce à l'écriture factorisée (même si la démonstration est bien plus ardue que cela).\\
En fait c'est le cas de toutes les équations polynomiales à coefficients dans $\C$ : elles admettent toutes
leurs solutions dans $\C$ (en fait, autant que le degré de l'équation). On dit que $\C$ est algébriquement clos.\\
Ainsi, je vous rassure, on ne construira pas d'ensemble de nombres plus grand que $\C$. 

\subsection{Approche géométrique}
Comme je l'ai dit précédemment, au XIX$^e$ siècle, Argand associe les nombres complexes aux points du 
plan.\\
Jusqu'à cette époque, l'existence de tels nombres étaient très controversées, malgré le fait qu'on 
leur ait trouvé une utilité certaine (comme résoudre des équations de degré 3).\\
C'est grâce à cela qu'on a pu établir une démonstration rigoureuse de l'existence de $\C$, en 
explicitant sa construction.\\
Cette démonstration n'est absolumment pas au programme, et même si vous pourriez en saisir quelques éléments,
vous ne pourriez pas en saisir l'essence, vos connaissances sur les ensembles et leurs
propriétés étant encore trop obscures et trop peu diversifiées (il existe des ensembles par exemple, 
où la multiplication n'est pas commutative, comme pour les ensembles de nombres : cf les matrices en spécialité). \\
Une idée de cette démonstration est présente en annexe, à la fin de ce cours, pour ceux qui souhaiteraient approfondir.\\
Sinon, retenez simplement la formalisation suivante, en admettant l'existance de $i$, comme vous l'avez fait
quand on vous a parlé des nombres négatifs, ou encore des rationnels, puis des irrationnels, mais
sans pouvoir mettre d'ordre de grandeur à $i$ ni de sens concret.

\subsection{Formalisation}
\begin{theo}[Définition-Admis]
On définit un ensemble $\C$ contenant $\R$ :
\begin{itemize}
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\R$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$
\item tel que chaque élément $z$ de $\C$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme :
$$ z=x+iy\text{ avec $x$ et $y$ des nombres réels}$$ 
\end{itemize}
Les éléments de $\C$ sont appelés \textbf{nombres complexes} ou encore \textbf{nombres imaginaires}.
\end{theo}


\Rqs{
\item Le prolongement des opérations de $\R$ dans $\C$ signifie que l'on garde les propriétés calculatoires de $\R$ (associativité, 
commutativité, distributivité, élément neutre, inverse ...) en remplaçant simplement $i^2$ par $-1$,
à chaque fois que vous le rencontrez.
\item On évitera l'usage abusif du symbole radical $\sqrt{\quad}$ qui reste réservé aux réels positifs.
}

\newpage
\section{L'ensemble $\C$ d'un point de vue algébrique}

\subsection{Forme algébrique d'un nombre complexe}

\subsubsection{Vocabulaire et première propriété}

\begin{defi}
Soit $z\in\C$, alors il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que $z=x+iy$. 
\begin{itemize}
 \item L'écriture $x+iy$ (unique) est appelée \textbf{forme algébrique} du nombre complexe $z$
 \item Le réel $x$ est la \textbf{partie réelle} de $z$ et se note $\re(z)$
 \item Le réel $y$ est la \textbf{partie imaginaire} de $z$ et se note $\im(z)$
\end{itemize}
\end{defi}



\Expls{
Si \quad $z=3-4i$ \quad alors $3$ est sa partie réelle et $-4$ est sa partie imaginaire\footnote{Pourquoi
la vie des hommes est-elle complexe ? Parce qu'elle possède une partie réelle et une partie imaginaire ...}. \\
Soit \quad $z'=2+3i$. 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la forme algébrique de $z+z'$. 
 \item Donner les parties réelle et imaginaire de $zz'$, puis de $iz-3z'$
\end{enumerate} 
}

\Att{La partie imaginaire est un \textbf{nombre réel }.}

\Rqs{
\item Si \quad $\im(z)=0$ \quad alors \quad $z=\re(z)+i0=\re(z)$, \quad donc $z$ est un réel et $\R \subset \C$.
\item Si \quad $\re(z)=0$ \quad alors \quad $z=0+i\im(z)=i\im(z)$. \quad On dit que $z$ est un \textbf{imaginaire pur}. \\
L'ensemble des imaginaires purs est noté $i\R$
}

\begin{theo}[Egalité de deux nombres complexes]Soient $x$, $y$, $x'$ et $y'$ quatre nombres réels, alors :
$$ x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$ 
\end{theo}


\Dem{
\begin{itemize}
\item Montrons dans un premier temps que $$ x+iy=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=0$ et $y=0$ alors $x+iy=0$
\item[$\Rightarrow)$] Supposons que $y\neq 0$, dans ce cas on a : $i =-\dfrac{x}{y}$ et par conséquent $i\in\R$, or il n'existe pas de nombres réels tels que $i^2=-1$. Notre hypothèse est donc absurde, ce qui signifie que $y=0$ et donc $x+0=0\Longleftrightarrow x=0$
\end{itemize}
\end{itemize}
}
\DemS{
 \begin{itemize}
\item Considérons désormais deux nombres complexes $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ tels que et montrons que 
$$ z=z'\Longleftrightarrow x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x' \text{ et }y=y'$$
\begin{itemize}
\item[$\Leftarrow)$] Si $x=x'$ et $y=y'$ alors de manière évidente $z=z'$
\item[$\Rightarrow)$] Si $z=z'$ montrons que $x=x'$ et $y=y'$\\
Comme $z=z'$, on a $z-z'=0\Longleftrightarrow x-x'+i(y-y')=0$, par conséquent d'après la première partie de la démonstration : 
$$ x-x'=0\Longleftrightarrow x=x' \qquad \text{ et }\qquad y-y'=0\Longleftrightarrow y=y'$$
\end{itemize}
\end{itemize}
}

\Rqs{
\item Le résultat précédent peut s'énoncer de la manière suivante : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si
leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
\item Dans $\C$, il n'y a pas de notion d'ordre, on ne pourra donc pas comparer deux nombres imaginaires.
}



%\begin{ExoF}
%On considère deux nombres complexes $z=3+2i$ et $z'=2-i$.\\
% Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants :
% \begin{multicols}{5}
% \begin{enumerate}
%\item $z+z'$
%\item $z\times z'$
%\item $z-z'$
%%\item $z+2z'$
%\item $iz-3z'$
%\item $z^2$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ \textbf{30}-33-35-\textbf{43} p 240
\end{ExoL}



\subsubsection{Conjugué d'un nombre complexe}

\begin{defi}
On considère un nombre complexe $z=x+iy$. \\
On appelle \textbf{conjugué} de $z$
 le nombre complexe, noté $\overline{z}$, tel que $$ \overline{z}=x-iy$$ 
On dit que $z$ et $\overline{z}$ sont des \textbf{nombres complexes conjugués}. 
\end{defi}

\Expl{Le conjugué de $z=4-2i$ est $ \overline{z}=4+2i$, le conjugué de $i$ est $-i$, de $7$ est $7$. }

\Rq{On a $\re(z)=\re(\overline{z})$}

\begin{coro}[Critère pour qu'un nombre complexe soit réel (resp. imaginaire pur)]
On a :
$$ z+\overline{z}=2\re(z)\qquad \qquad \qquad z-\overline{z}=2i\im(z)$$
Et les propriétés suivantes : $$ z\text{ est réel}\Longleftrightarrow z=\overline{z}\qquad 
\text{ et } z\text{ est imaginaire pur }\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$ 
\end{coro}


\Dem[ROC]{Notons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ deux réels. Ainsi : 
$$z+\overline{z}=x+iy+x-iy=2x=2\re(z) \text{ et }z-\overline{z}=x+iy-(x-iy)=2iy=2i\im(z)$$}
\DemS{
On en déduit immédiatement que :
$$ \text{$z$ est réel}\Longleftrightarrow \im(z)=0\Longleftrightarrow z-\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=\overline{z}$$
$$ z \text{ est imaginaire pur} \Longleftrightarrow \re(z)=0\Longleftrightarrow z+\overline{z}=0\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$$
}

\begin{theo}
Pour tout nombre complexe $z=x+iy$, on a : \qquad $ z\overline{z}=x^2+y^2\in\R$
\end{theo}


\Dem[ROC]{$z\overline{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-ixy+ixy-i^2y=x^2+y^2$
}\\

\Cadre[Application]{Pour écrire les nombres complexes fractionnaires sous la forme $x+iy$, i.e sous 
la forme algébrique on multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée.}

\Expl{$$ \dfrac{1}{3-4i}=\dfrac{3+4i}{(3-4i)(3+4i)}=\dfrac{3+4i}{25}=\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}i$$}

%\begin{ExoF}
%Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : \quad $ \dfrac{1-i}{1+i}$ \quad et 
%\quad $ \dfrac{1}{2+i}$  
%\end{ExoF}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ \textbf{39}-40 p 241
\end{ExoL}

\begin{prop}
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, on a : 
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ \overline{z+z'}=\overline{z^{}}+\overline{z'}$
\item $ \overline{-z}=-\, \overline{z}$
\item $ \overline{zz'}=\overline{z^{}}\times \overline{z'}$
\item $ \overline{z^n}=\left(\overline{z}\right)^n$
\item $ \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\overline{z} }{ \overline{z'} }$ \quad (avec $z'\neq 0$) 
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\end{prop}


\Dem[ROC]{Soit $z=x+iy$ et $z'=x-iy$ (avec $x$, $y$, $x'$ et $y'$ réels), et $n\in\N^*$ alors :
$$ \overline{z+z'}=\overline{x+iy+x'+iy'}=\overline{x+x'+i(y+y')}=x+x'-i(y+y')$$
$$ \overline{z}+\overline{z'}=\overline{x+iy}+\overline{x'+iy'}=x-iy+x'-iy'=x+x'-i(y+y')$$
Par conséquent $ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$.
\\
On démontre de manière similaire les autres égalités, avec une petite récurrence pour la quatrième.}

\Expls{
Déterminer les formes algébriques des conjugués des nombres complexes suivants :
$$ z=\dfrac{4-5i}{3+i} \qquad\qquad\qquad \qquad z=\dfrac{1}{2+i}$$
}



\Cadre[Application]{
Si un polynôme, à coefficients réels, admet un nombre complexe $z$ comme racine alors $ \overline{z}$ est aussi une racine de $P$ puisque, d'après les propriétés de la conjugaison (qui commute avec les exposants, les produits et les sommes) : $$ P(\bar{z}))=\overline{P(z)}$$
Et donc si $P( z )=0$ alors $ \overline{P(z)}=0$ d'où $P( \overline{z})=0$  
}

\Expl{On donne $P(x)=x^2+1$. Déterminer les racines de $P$ et vérifier qu'elles sont conjuguées.\\
Vérifier que le nombre complexe $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ est racine de $Q(x)=x^2+x+1$. 
Donner une autre racine de $Q$.}


%\newpage
\subsection{Equations du second degré à coefficients réels}
\subsubsection{Equation $X^2=a$ où $a\in\R$}
\Act{L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de l'équation $X^2=a$,
avec $a\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler les solutions de l'équation $X^2=a$ dans le cas où $a \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=-3$.
 \begin{enumerate}
 \item Vérifier que $i\sqrt{3}$ est solution dans $\C$ de cette équation.
 \item En déduire toutes les solutions dans $\C$ de cette équation.
\end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $X^2=a$ dans le cas $a<0$.
%On suppose que $a<0$. On cherche à résoudre dans $\C$ l'équation $x^2=a$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que  $a=\left(i \sqrt{-a}\right)^2$. 
 \item En déduire que l'équation considérée possède deux solutions complexes que 
 l'on précisera.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{propo}
L'équation $X^2=a$ possède deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $a\geq 0$ ce sont les réels suivants :  $X=\sqrt{a}$ \quad ou \quad $X=-\sqrt{a}$
\item Si $a<0$, ce sont les imaginaires purs conjugués suivants : $X=i \sqrt{-a} 
\qquad \text{ou} \qquad X=-i \sqrt{-a}$
\end{itemize} 
\end{propo}


\Expl{
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
$$ z^2+\dfrac{3}{4}=0\qquad\qquad z^2=\cos^2\theta-1 \qquad\qquad x+\dfrac{1}{x}=0$$
}



\subsubsection{Equations $ax^2+bx+c=0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels avec $a\neq 0$}

\Act{L'objectif de l'activité est de résoudre dans $\C$ de 
l'équation $ax^2+bx+c=0$, avec $a$, $b$ et $c$ réels tels que $a\neq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Rappeler le discriminant $\Delta$ de cette équation, ainsi que 
 les solutions de l'équation $ax^2+b+c=0$ dans le cas où $\Delta \geq 0$.
 \item On cherche ensuite à résoudre dans $\C$ l'équation $2x^2-3x+4=0$.
 \begin{enumerate}
  \item Calculer le discriminant $\Delta$ de cette équation. Quel problème survient ?
  \item Ecrire $\Delta$ sous la forme d'un carré de nombre complexe.
  \item Vérifier que le nombre $x_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ est solution
  de l'équation considérée.
  \item Quelle est alors l'autre solution de l'équation ?
 \end{enumerate}
\item On cherche désormais à généraliser notre raisonnement et à trouver
toutes les solutions dans $\C$ de l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans le cas le discriminant 
$\Delta$ est strictement négatif.\\
On rappelle que l'équation $ax^2+bx+c=0$ $(a\neq 0)$ peut s'écrire de manière équivalente 
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $ \Delta=\left(i \sqrt{-\Delta}\right)^2 $. 
\item En remplaçant $\Delta$ par cette nouvelle écriture, 
résoudre alors l'équation considérée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{theo}
L'équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, $b$ et $c$ réels possède (une ou) deux solutions dans $\C$ :
\begin{itemize}
\item Si $\Delta\geq 0$, ce sont les réels suivants : $$ x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}$$
\item Si $\Delta<0$, ce sont les complexes conjugués suivants : 
$$ x_1=\dfrac{-b-i \sqrt{-\Delta} }{2a}\qquad \text{ et }\qquad x_2=\dfrac{-b+i \sqrt{-\Delta} }{2a}$$
\end{itemize}
\end{theo}


\Expl{
Résoudre, dans $\C$, les équations suivantes :
$$ x^2-2x+2=0\qquad \qquad\qquad\qquad 2z^4+z^2-10=0$$ 
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 44-\textbf{45-46}-47-\textbf{49-52} p 241
\end{ExoL}

\newpage
\section{L'ensemble $\C$ d'un point de vue géométrique}
\subsection{Interprétation géométrique : le plan complexe}

Dans tout le reste du chapitre, on munit un plan orienté d'un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$. 

\begin{defi}
\`A tout nombre complexe $z=x+iy$, avec $(x;y)\in\R^2$, on associe le point $M$ de coordonnées
$(x,y)$ qu'on  appelle \textbf{image} du  complexe $z=x+iy$. On  le note
souvent $M(z)$. \\
Réciproquement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(x,y)$, on associe
l'\textbf{affixe} $z=x+iy$, qu'on note souvent $z_M$. 
\\
Enfin,  à  tout   vecteur  $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$  de  coordonnées
$(x,y)$ on associe  une affixe
$z_{\overrightarrow{u}}=x+iy$ et réciproquement.
\end{defi}

\begin{minipage}{7cm}
\underline{Illustration} :
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.2,3) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline[linewidth=0.05]{->}(0,0)(3,2) 
\psline(-0.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-0.5)(0,2.5) 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](3,0)(3,2) 
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,2)(3,2) 
\rput(-0.3,-0.3){$O$} 
\rput(0.5,-0.3){$\vec{e_1}$} 
\rput(-0.3,0.5){$\vec{e_2}$} 
\rput(1.6,0.7){$\vec{u}$} 
\rput(4.3,2.2){$M(z)$} 
\rput(3,-0.3){\textcolor{red}{$x$}} 
\rput(-0.3,2){\textcolor{blue}{$y$}}
\rput(4,-0.3){axe réel} 
\rput(-1.5,2.6){axe imaginaire} 
\psdot(3,2) 
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.5cm}
\Expls{$z=2-5i$ correspond au point $M(2;-5)$ et réciproquement. \\
L'affixe du point $M$ est le nombre complexe $z_M=2-5i$.\\
L'affixe de $ \overrightarrow{e_1}$ est $z_{\overrightarrow{e_1}}=1$.
celle de 
$ \overrightarrow{e_2}$ est $z_{\overrightarrow{e_2}}=i$.\\
\begin{enumerate}
 \item Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives  $z_A=3+i$, $z_B=-3i$, $z_C=-1$ 
dans un repère orthonormé direct du plan et tracer $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}$.
\item Quelle est l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{OA}$ ? $-\overrightarrow{OA}$ ? $\overrightarrow{AB}$ ?  
\end{enumerate}
}
\end{minipage}

\Rqs{
\item On a ainsi identifié le plan orienté muni d'un repère orthonormé direct et l'ensemble $\C$, 
ce qui justifie l'appellation \textbf{plan complexe} de ce type de plan.
 \item Les réels étaient déjà identifiés depuis la seconde à une droite (incluse dans le plan)
\item Cette identification justifie que l'on ne peut pas prolonger à $\C$ la relation d'ordre 
de $\R$, car cela reviendrait
à comparer deux points du plan, ou deux vecteurs, ce qui n'a pas de sens.
\item L'unicité des coordonnées dans le plan implique aussi l'unicité de la forme algébrique 
d'un nombre complexe (même si nous l'avons déjà démontré autrement).
\item 
\begin{minipage}{7cm}
\underline{Interprétation géométrique du conjugué} : \\
Les images de deux nombres complexes conjugués sont symétriques par rapport à l'axe des réels.\\
En effet, un nombre complexe et son conjugué ont même partie 
réelle (abscisse) et des parties imaginaires opposées (ordonnées).
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{complexe.3}
\end{center}
\end{minipage}
}



\subsection{Premiers calculs géométriques}

\begin{prop}
Soient $M(z)$ et $M'(z')$ les points du plan complexe.\\
Un point $S$ a pour affixe $z+z'$ si et seulement si $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$.\\
Autrement dit : l'affixe d'une somme de deux vecteurs est la somme des affixes de ces deux vecteurs :
$$ z_{\vec u+\vec v}=z_{\vec{u}}+z_{\vec v}$$ 
\end{prop}


\Dem{
On pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$, avec $x$, $y$,$x'$,$y'$ quatre réels. \hfill 
Notons que $z+z'=(x+x') + i (y+y')$
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'} &\Longleftrightarrow & 
 \overrightarrow{OS} =xe_1 + ye_2 + x'e_1 + y'e_2 = (x+x')e_1 + (y+y')e_2 \\
& \Longleftrightarrow & S \textrm{ a pour affixe } (x+x') + i(y+y') %\\
 \quad  \Longleftrightarrow \quad  z_S= z+z'.
\end{eqnarray*}
}

\Rq{Les points $M(z)$ et $M'(-z)$ sont symétriques par rapport à l'origine $O$. \\
En effet $z+(-z)=0$ donc 
$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}=\overrightarrow{OO}=\vec 0$.
}

\begin{minipage}{8.3cm}
\Expl{
  Soient les points $M(2.5+1.5i)$ et $M'(1+2i)$.\\
  Alors le point $S$ d'affixe $z_S=z_M+z_{M'}=3.5+3.5i$ est le point tel que 
  $\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}$.\\
  Le point $M''$ d'affixe $z_{M''}=-z_M=-2.5-1.5i$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'origine $O$.
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9.5cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.6cm , yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-4.6,-2.6)(6.6,4.6)
\def\xmin{-4.5} \def\xmax{6.5} \def\ymin{-2.5} \def\ymax{4.5}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-4.1,-2.1)(5.1,4.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1]
(0,0)(-4.5,-2.5)(6.5,4.5)
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.75cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
 \uput[u](1,2.5){$M'$}
\uput[d](-2.5,-1.5){$M''$}
\uput[r](2.5,1.5){$M$}
 \uput[ur](3.5,3.5){$S$}
\psline[linestyle=dashed](1,2)(3.5,3.5)(2.5,1.5)
\psline{->}(0,0)(1,2)
\psline{->}(0,0)(2.5,1.5)
\psline{->}(0,0)(-2.5,-1.5)
\psline{->}(0,0)(3.5,3.5)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center} 
\end{minipage}



\begin{prop}
Soient les points $A$,  $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$. Alors  :
\begin{itemize}
 \item  L'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est : \quad $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$ 
 \item L'affixe du point $I$ milieu de $[AB]$ est : \quad  $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$
 \item L'affixe du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est : \quad  $z_G=\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}$
\end{itemize}
\end{prop}


\Dem[ROC]{
\begin{itemize}
 \item Notons $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$. \qquad Alors 
 \qquad $z_B-z_A=(x_B+iy_B)-(x_A+iy_A)=x_B-x_A+i(y_B-y_A)$ \\
D'autre part, on sait déjà  que $ \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}
                                                            x_B-x_A \\ y_B-y_A
                                                           \end{array}\right)$, 
donc l'affixe du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}}=\left(x_B-x_A+i(y_B-y_A)\right) $\\
Par conséquent on a bien \qquad $z_{\overrightarrow{AB}}= z_B-z_A$ 
\item Le point $I$ est le point tel que $\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right)$
\item Le point $G$ est le point tel que $\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \right)$
\end{itemize}
}

\begin{minipage}{8cm}
\Expl{
  Soient les points $A(-3+i)$, $B(5+7i)$ et $C(4+i)$.\\
  Alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=8+6i$$
  Le milieu  $I$ de $[AB]$ est le point d'affixe $$z_I=\dfrac{z_A+z_{B}}2=1+4i$$
  Le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ est le point d'affixe $$z_{G}=\dfrac{z_A+z_B+z_C}3=2+3i$$
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
 \psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4.1,-1.1)(8.1,8.6)
\def\xmin{-4} \def\xmax{8} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{8.5}
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=lightgray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, 
subgriddiv=1](0,0)(-4,-1)(8,8.5)
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
 \uput[dr](-3,1){$A$}
\uput[ur](5,7){$B$}
 \uput[dr](4,1){$C$}
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](1,4) \uput[dr](1,4){$I$}
\psdot[dotstyle=x,dotsize=7pt](2,3) \uput[dr](2,3){$G$}
\uput[dr](3,5){$\overrightarrow{AB}$}
\psline{->}(-3,1)(5,7)
\psline{-}(-3,1)(4,1)(5,7)
\endpsclip
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


\Rq{Ces applications permettent de traduire des problèmes géométriques en relations entre 
nombres complexes. 
}


\begin{ExoF}
Déterminer le lieu des points $M$ d'affixe $z$ telle que $ \dfrac{iz-1}{z-i}$ soit réel. 
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 53-54-\textbf{55-57-78} p 242
\end{ExoL}

\subsection{Calculs de distances et d'angles orientés}
\subsubsection{Module d'un nombre complexe}

\begin{defi}[Proposition]
On considère $z$ un nombre complexe tel que $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) et $M$ son image dans le plan complexe.\\
Le \textbf{module} de $z$,  noté $|z|$, est la distance $OM$. \\
$|z|$ est donc un nombre réel positif ou nul et on a $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. 
\end{defi}

\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{complexe.4}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\Rqs{
\item Si $z$ est l'affixe d'un vecteur $ \overrightarrow{AB}$ alors $z=z_B-z_A$ et $|z|$ représente la distance $AB$ :
$$AB=||\overrightarrow{AB}||=|z_{\overrightarrow{AB}}|=|z_B-z_A|$$
%\item $|z| \geq 0 $ pour tout nombre complexe $z$ 
\item On a \quad $|z|=\sqrt{z \overline{z}}$ \quad ou encore  \quad $|z|^2=z\overline{z}$
\item $|z|=|-z|=\left|\,\overline{z}\,\right|=\left|-\overline{z}\right|$
\item Si $z=x+iy$ est réel alors $y=\im(z)=0$ et on a $$|z|=\sqrt{x^2}=|x|$$
Le module d'un nombre réel est donc sa valeur absolue, ce qui justifie la notation, et généralise
la valeur absolue d'un nombre réel.
}
\end{minipage}


\Expls{Si $z=3-4i$, alors $|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$. \qquad Si $z=9i$ alors $|z|=\sqrt{9^2}=9$.\\
On donne les points $A$ et $B$ d'affixe respective $z_A=-1+4i$ et $z_B=2-i$. 
Calculer la distance $AB$.\\
Soient $D(4i)$, $E(3)$ et $F(6+8i)$. Quelle est la nature du triangle $DEF$ ? }

%\Exop{Soient $A(0;4)$ ; $B(3;0)$ et $C(6;8)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? }

\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
Soit $z\in\C$. Alors :
\begin{enumerate}
\item $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$
\item Si $z=x+iy$ alors $|z|\geq max(|x|,|y|)$
\item $|zz'|=|z||z'|$
\item $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}



\Dem[ROC pour 1-3-4]{
\begin{enumerate}
\item $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=0\Longleftrightarrow x=0 \text{ et }y=0$ \quad  car $x,y\in\R$
\item $x\leq \sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$ \quad  et de même \quad  $y\leq \sqrt{y^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}= |z|$
\item $$|zz'|^2=zz'\times \overline{zz'}=zz'\times \overline{z}\times \overline{z'}=z \overline{z} \times z'  \overline{z'}= |z|^2|z'|^2$$
Comme un module est positif on obtient : $|zz'|=|z||z'|$
\item $$ \left|\dfrac{z}{z'}\right|^2=\dfrac{z}{z'}\times \overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right) }=
\dfrac{z \times \overline{z} }{z' \times \overline{z'} }=\dfrac{|z|^2}{|z'|^2}$$
Comme un module est positif on obtient : $ \left|\dfrac{z}{z'}\right|= \dfrac{|z|}{|z'|}$
\item[\textbf{5.}] 
\begin{minipage}{6cm}
Pour comprendre l'inégalité triangulaire il suffit d'observer cette figure ci-contre.\\
On a bien $OP\leq OM+OM'$\\
et donc $|z+z'|\leq |z|+|z'|$
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
  \begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.2}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
}
\DemS{
\underline{Démonstration plus rigoureuse} :\\
Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de 
chaque membre.
$$\text{Or} \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad |z+z'|^2=(z+z')(\overline{z+z'})=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2$$
 $$\text{Et} \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad (|z|+|z'|)^2=|z|^2+2|zz'|+|z'|^2$$
Il s'agit donc de comparer %les \og doubles produits \fg.
\quad $(z\overline{z'} +\overline{z}z')$ \quad et \quad $2|zz'|$.\\
Or \quad 
$z\overline{z'}+\overline{z'}z=z\overline{z'}+\overline{z\overline{z'}}=2\Re(zz')\leq  2|zz'|$ \quad d'après la propriété 2. Donc 
$$|z+z'|^2=|z|^2+(z\overline{z'}
+\overline{z}z')+|z'|^2\leq|z|^2+2|zz'|+|z'|^2=(|z|+|z'|)^2$$
}



\Expl{Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes distincts et de même module $r$. 
Montrer que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. On a :
$$ \overline{\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=\dfrac{\overline{u}+\overline{v} }{\overline{u}-\overline{v} }=\dfrac{uv \overline{u}+uv \overline{v}  }{uv \overline{u}-uv \overline{v}}=\dfrac{|u|^2v+u|v|^2}{|u|^2-u|v|^2}= \dfrac{r^2v+ur^2}{r^2-ur^2}=-\dfrac{u+v}{u-v}$$
Ce qui prouve que $ \dfrac{u+v}{u-v}$ est un imaginaire pur. }

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ \textbf{59-60} p 243
\end{ExoL}

\subsubsection{Argument d'un nombre complexe}

\begin{defi}
Soit $z$ un nombre complexe \textbf{non nul} d'image $M$ dans le plan complexe. \\
On appelle \textbf{argument}  de $z$, noté $\arg(z)$ toute mesure, en radians,  de l'angle orienté
$(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$.
\end{defi}

\begin{minipage}{7cm}
  \begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{complexe.5}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\Rqs{ 
\item Un nombre complexe possède une infinité d'arguments ! \\
En effet si $\theta$ est un argument de $z$, tout autre argument 
est de la forme $\theta+2k\pi$ ($k\in\Z$). \\
L'unique argument appartenant à l'intervalle $]-\pi;\pi]$ s'appelle l'\textbf{argument principal}.\\
On notera par exemple $\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}\quad [2\pi]$ (se lit \og modulo $2\pi$ \fg)
pour signifier que $\arg(z)$ peut-être égal à $ \dfrac{\pi}{4}$ mais aussi à n'importe lequel des 
nombres $ \dfrac{\pi}{4}+2k\pi$ avec $k\in\Z$. 
\item Si $z$ est l'affixe d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$ alors $z=z_B-z_A$. \\
Par conséquent, 
$\left( \overrightarrow{e_1} ; \overrightarrow{AB} \right) = \arg(z_B-z_A) \quad [2\pi]$.
}
\end{minipage}



\Att{Le nombre complexe $z=0$ ne possède pas d'argument car, dans ce cas, 
l'angle $(\overrightarrow{e_1} \ ; \ \overrightarrow{OM})$ ne se définit pas.}

\Expl{On voit clairement, de part leur position dans le plan complexe, que :
$$\arg(i)=\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi] \qquad \arg(1)=0\quad [2\pi] \qquad 
 \arg(-1)=\pi\quad [2\pi] \qquad
\arg(-i)=-\dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi] \qquad
\arg(i+1)=\dfrac{\pi}{4}\quad [2\pi]$$
Mais ce n'est pas toujours aussi simple ! 
}

\Rqs{
\item Si $z\in \R^+$ alors $\arg(z)=0[2\pi]$, si $z\in\R^-$ alors $\arg(z)=\pi[2\pi]$
\item De la même manière un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive 
a un argument égal à $ \dfrac{\pi}{2}[2\pi]$ et un imaginaire pur dont la partie imaginaire est 
strictement négative a un argument égal à $-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$. Par conséquent :
$$ z\in \R^*\Longleftrightarrow \arg(z)=0 \,[\pi]$$
$$ z\in i\R^* \Longleftrightarrow \arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\, [\pi]$$
}

\begin{prop}
Soit $z\in\C^*$ : 
\begin{multicols}{3}
 \begin{enumerate}
 \item $\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg(-z)=\arg(z)+\pi\,[2\pi]$
\item $\arg(-\overline{z})=\pi-\arg(z)\,[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}

\Dem{
Les trois propriétés se déduisent immédiatement de la figure suivante :
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm} 
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5) 
\psaxes{->}(0,0)(1,1) 
\psline{->}(-3,-2)(3,2) 
\psline{->}(3,-2)(-3,2) 
\psline(-3.5,0)(3.5,0) 
\psline(0,-2.5)(0,2.5) 
\pspolygon[linestyle=dashed](3,-2)(3,2)(-3,2)(-3,-2) 
\rput(-0.15,-0.3){$O$} 
\rput(0.72,-0.25){$ \overrightarrow{e_1} $} 
\rput(-0.3,0.5){$ \overrightarrow{e_2} $} 
\rput(3.5,2.3){$M_1(z)$} 
\rput(3.5,-2.3){$M_4(\overline{z})$} 
\rput(-3.5,-2.3){$M_3(-z)$} 
\rput(-3.5,2.3){$M_2(-\overline{z})$} 
\rput(3.3,-0.3){$\textcolor{red}{x}$}
\rput(-0.3,2.3){$\textcolor{blue}{y}$} 
\rput(-3.3,-0.3){$\textcolor{red}{-x}$} 
\rput(-0.3,-2.3){$\textcolor{blue}{-y}$} 
\end{pspicture} 
\end{center}
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 61-62-63-\textbf{64}-66 p 243
\end{ExoL}

\subsection{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}

\subsubsection{Définition}
\begin{theo}
Soient $z\in\C^*$, $r\in\R^{+*}$ et $\theta \in\R$. \\
$z$ a pour module $r$ et pour argument $\theta$ modulo $2\pi$ si et seulement si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.\\
Cette écriture s'appelle une \textbf{forme trigonométrique} de $z$, elle n'est pas unique (puisque $\theta$ ne l'est pas). 
\end{theo}


\Dem{\begin{itemize}
      \item[$( \Rightarrow ) $] On applique Pythagore (cf illustration ci-dessus).
      \item[$( \Leftarrow )$] Si $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ alors 
      $|z|^2=r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r^2\Longleftrightarrow |z|=r$ puisque $r>0$.\\
De plus, si $\theta'$ est un argument de $z$ alors, d'après l'implication précédente :
$$ z=r(\cos\theta'+i\sin\theta')$$
Par conséquent $\theta'=\theta[2\pi]$ et donc $\theta$ est un argument de $z$.
     \end{itemize}
}


\Rqs{
\item Le nombre complexe nul n'a pas de forme trigonométrique (puisque pas d'argument)
\item L'argument d'un nombre complexe n'étant pas unique, il en va de même de la forme trigonométrique, 
contrairement à la forme algébrique.
\item Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et des arguments égaux à un multiple de $2\pi$ près.
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Déterminer deux autres formes trigonométriques du nombre $z=3\left[\cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)+i\sin\left(\dfrac{4\pi}{7}\right)\right]$
 \item Déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z$ de module 
 $\sqrt{5}$ et dont un argument est $\dfrac{2 \pi}{3}$
 \item Déterminer une forme trigonométrique 
 de $z=-2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)\right] $
 \item Déterminer la forme algébrique et une forme trigonométrique de
 $z=-5\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right] $
\end{itemize}
}

\subsubsection{Méthode calculatoire pour trouver l'argument d'un nombre complexe}
\Cadre[Méthode]{Soient $(x;y)\in\R^2$ tels que $z=x+iy$.
\begin{itemize}
 \item On calcule le module de $z$. 
 \item On factorise l'écriture de $z$ par $|z|$ : $z=|z|\left(\dfrac{x}{|z|} + i \dfrac{y}{|z|} \right)$
 \item On reconnait alors la valeur d'un angle remarquable $\theta$ (ou d'un angle associé grâce à la configuration du rectangle dans le cercle trigonométrique)
  tel que $\cos \theta = \dfrac{x}{|z|}$ et $\sin\theta=\dfrac{y}{|z|}$
\end{itemize}
}

\Expl{
Reprenons l'exemple de $z=1+i$. \\
On a $|z|=\sqrt{2}$ et $z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + i \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$.\\
Or $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$. \\
Donc un argument de $z$ est bien $\dfrac{\pi}{4}$ .\\
De même, calculer l'argument principal de $z=\sqrt{3}+i$ ,  $z'=-\sqrt{3}+i$ et de leur conjugués.\\
En déduire leur écriture trigonométrique correspondante.
}

\Rq{Il arrivera rarement que l'argument ne soit pas une valeur remarquable. 
Dans ce cas, on utilisera la calculatrice.}


\Cadre[Résumé]{
Soit $z\in\C^*$ de forme algébrique $z=x+iy$, de module $r$ et d'argument principal $\theta$. Alors :\\
$$\left\{ \begin{array}{l}
x=r\cos\theta  \\ y=r\sin\theta
 \end{array} 
\right. \qquad 
\textrm{ et }
\qquad \left\{ \begin{array}{l}
r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta \textrm{ tel que } \quad \cos\theta = \dfrac{x}{r} \quad \textrm{ et } 
\quad \sin\theta = \dfrac{y}{r}
 \end{array} \right.$$
}


\subsubsection{Conséquences sur l'argument}
\begin{prop}
\begin{multicols}{2}
Soit $z\in\C^*$ et $n\in\Z$ : 
 \begin{enumerate}
\item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')[2\pi]$
\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\times \arg(z)[2\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{prop}



\Dem[ROC]{
\begin{enumerate}
\item Soit $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et $z'=r'(\cos\theta'+i\sin\theta')$,  alors 
$$zz'=rr'[(\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta')+i(\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta')]$$ 
%\end{enumerate}
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition (vu en première), vous en déduisez que 
$$zz'=rr'(\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta'))$$
Ainsi, nous arrivons au résultat capital : $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') [2\pi]$
%\begin{enumerate}
 \item $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)+\arg(z)=\arg(\dfrac{1}{z}\times z)=\arg(1)=0 \,[2\pi]$, donc 
$\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z) \, [2\pi]$\\
Alors $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg\left(z\times\dfrac{1}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$
%\end{enumerate}
%}
%\DemS{
%\begin{enumerate}
 \item Montrons déjà par récurrence la propriété sur les entiers naturels. Soit $\mathscr{P_n} : \arg(z^n)=n\times \arg(z)[2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item Initialisation :\\
Si $n=0$ alors $\arg(z^0)=\arg(1) = 0 \, [2\pi]$. Donc $\mathscr P_0$ est vraie.
 \item Hérédité : Supposons qu'il existe un $k\in\N$ tel que $\mathscr P_k$ soit vraie. Montrons que $\mathscr P_{k+1}$ l'est,
 ie $\arg\left(z^{k+1}\right)=(k+1)\times \arg(z)[2\pi] $.
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(z^{k+1}\right)&= & \arg(z \times z^k ) \, [2\pi] \\
 & = & \arg(z) + \arg(z^k) \, [2\pi] \qquad \textrm{ d'après 4)} \\
 & = & \arg(z) + k\arg(z) \, [2\pi] \qquad \textrm{ (HR) }\\
 & = & (k+1) \arg(z) \, [2\pi]
\end{eqnarray*}
Donc $\mathscr P_{k+1}$ est vraie et $\mathscr P_n$ est héréditaire.
 \item Conclusion $\mathscr P_n$ est vraie pour tout $n\in\N$.
\end{itemize}
Enfin, montrons la propriété $\forall n \in \Z$. Si $n<0$, alors 
$$ \arg(z^n)=\arg\left(\dfrac{1}{z^{-n}}\right)=\arg\left(\left(\dfrac{1}{z}\right)^{-n}\right)
=-n\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=n \arg(z)[2\pi]$$
\end{enumerate}
}

\Rqs{
\item Les formes algébriques sont pratiques pour les additions
\item Les formes trigonométriques sont pratiques pour les multiplications :
\begin{itemize}
 \item[\textbullet] \textbf{Pour multiplier} deux nombres complexes \textit{non nuls}, on \textbf{multiplie les modules} et on \textbf{additionne les arguments}.
\item[\textbullet]  \textbf{Pour diviser} deux nombres complexes \textit{non nuls}, on \textbf{divise les modules} et on \textbf{soustrait les arguments}
\end{itemize}
}

\Expls{
\begin{itemize}
 \item Déterminer une forme trigonométrique de $z=\dfrac{1}{1+i}$ et 
 de $z'=(1+i)\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{4}\right)$
 \item Déterminer une forme trigonométrique de $z=-2 \sqrt{3}+2i$ puis de $z'=3-4i$.\\
 En déduire une forme trigonométrique de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$  
 \item Soit $z=3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$ et 
$z'=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$. Calculer $zz'$.
 \end{itemize}
}


\subsubsection{Notation Exponentielle}

\noindent Soit $f$ est la fonction qui à tout réel $\theta$, associe le nombre complexe 
$z=\cos\theta + i\sin\theta$.\hfill 
Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$ on a :
\begin{eqnarray*}
f(\theta + \theta')&=& \cos\left(\theta + \theta'\right) + i \sin\left(\theta + \theta' \right)\\
&=& \left(\cos\theta + i\sin\theta \right) \times \left(\cos\theta'+i\sin\theta'\right) \qquad \text{ car } \arg(z)+\arg(z')=\arg(zz')\, [2\pi]\\
&=&f(\theta) \times f(\theta')
\end{eqnarray*}
Ainsi, $f$ transforme les sommes en produit et on retrouve la même propriété algébrique que pour la 
fonction exponentielle.
Pour cette raison, on adopte la \textbf{notation} $e^{i\theta}=\cos\theta + i \sin\theta$, qui s'avèrera
fort commode pour les calculs.


\begin{defi}
Pour tout réel $\theta$ on note :
$$e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin\theta$$
le nombre complexe de module 1 et d'argument $\theta$.\\
Ainsi, tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et d'argument $\theta$ admet une écriture du 
type $ z=re^{i\theta}$, appelée \textbf{forme exponentielle} de $z$.
\end{defi}

\Rqs{
 \item Cette écriture n'est pas unique puisqu'elle dépend de l'argument choisi.
 \item Il s'agit d'une notation, pas du calcul de $e^{i\theta}$ ...
 %\item Cette notation n'est pas aléatoire. Elle pourra être justifiée dans le chapitre sur la fonction exponentielle.
\item Remarquons que cette écriture présente de nombreux avantages, 
en plus d'alléger la notation trigonométrique. \\
En effet, considèrons deux nombres complexes $z$ et $z'$ 
de module $r$ et $r'$ et d'argument $\theta$ et $\theta'$, alors on a vu que le module de $zz'$ 
est $rr'$ et l'argument de $zz'$ est $\theta+\theta'$. Observons le calcul suivant :
$$ zz'=re^{i\theta}r'e^{i\theta'}=rr'e^{i\theta+i\theta'}=rr'e^{i(\theta+\theta')}$$
On retrouve donc le module et l'argument du nombre complexe $zz'$ en utilisant les règles de calculs sur les puissances.
%\item On a bien : 
%$|e^{i\theta}|=1$ et $\arg(e^{i\theta})=\theta[2\pi]$
}

\Expls{
$$e^{i0}=\cos 0+i\sin 0=1 \qquad \qquad \qquad e^{i \frac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}=i $$ 
$$e^{2i\pi}=\cos 2\pi+i\sin2\pi=1 \qquad \qquad \qquad e^{-i \frac{\pi}{2} }=\cos \dfrac{-\pi}{2}+i\sin \dfrac{-\pi}{2}=-i $$ 
Dans le plan complexe, placer les points suivants :
$$A\left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)
\qquad B\left(-2e^{i\frac{\pi}{3}}\right)
\qquad C\left(e^{-5i\frac{\pi}{6}}\right)
\qquad D\left(1+e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)$$ 
}

\Rq{Le conjugué de $e^{i\theta}$ est $ \overline{e^{i\theta}}=\cos \theta-i\sin\theta=\cos \theta+i\sin(-\theta)=\cos\left(-\theta\right)+i\sin(-\theta)= e^{-i\theta}$}


\begin{prop}
$\forall \theta$ et $\theta'$ de $\R$ on a :
$$ e^{i\theta}\times e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}\qquad \qquad
 \dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}\qquad \qquad \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}
\text{ pour tout }n\in\Z$$ 
\end{prop}


\Dem{
Simple transcription des propriétés vues sur les arguments.
}

\Expls{
  \begin{itemize}
   \item Soient $z=3e^{i \frac{3\pi}{4} }$ et $z'=5e^{i \frac{\pi}{12} }$, 
   donner une forme exponentielle de $zz'$ et de $ \dfrac{z}{z'}$ 
\item On note $z_1=1+i$ et $z_2=\sqrt{3}-i$. Déterminer les formes exponentielles 
de $z_1$ et $z_2$.\\
 En déduire la forme exponentielle du nombre complexe $z=\dfrac{z_1^4}{z_2^3}$
\item Calculer $(1+i)^{14}$
  \end{itemize}
}


\underline{Enigme} \footnote{Réponse : La relation $\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}$ n'est valable que si $n\in\Z$} : Trouver l'erreur dans le calcul suivant :
\begin{eqnarray*}
& e^{i2\pi}=1\\
\Longleftrightarrow & \left(e^{i2\pi}\right)^x=1^x=1\\
\Longleftrightarrow & e^{i2\pi x}=1\\
\text{ pour $x=\dfrac{1}{4}$ on obtient : }& e^{i \dfrac{\pi}{2}}=1\\
\text{ d'où : }& i=1\\
\end{eqnarray*}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 67-\textbf{68 à 70}-71-\textbf{73-76-84} p 244
\end{ExoL}


\subsection{Applications géométriques}
\subsubsection{Interprétation des modules et arguments}
\begin{prop}
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan distincts deux à deux, d'affixes respectives 
$z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. Alors : 
$$\left|\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{CD}{AB} \qquad \textrm{ et } 
\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD} \right) \, [2\pi]$$
\end{prop}


\Dem{
$\left|\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right|=\dfrac{|z_D-z_C|}{|z_B-z_A|}=\dfrac{CD}{AB}$.\\\\
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)=\arg(z_D-z_C)-\arg(z_B-z_A)=\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{CD}\right) -
\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{AB}\right)=\left(\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{CD}\right) +\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{e_1}\right)  
=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) \, [2\pi]
$}\\

\Cadre[Conséquences]{
\begin{tabular}{rclcl}
 Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés & $ \Longleftrightarrow $ &
$\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right) = 0 \, [\pi] $ 
& $\Longleftrightarrow$ &  $\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} \in \R$ \\\\
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires  & $\Longleftrightarrow$ &
$\arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{2} \, [\pi]$ 
&$\Longleftrightarrow$ & $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in i\R$
 \end{tabular}
}

\Cadre[Caractérisation des cercles et des médiatrices]
{\begin{itemize}
 \item Soit $ \mathscr C$ le cercle de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $R$.
$$M(z) \in \mathscr C \Longleftrightarrow \Omega M = R \Longleftrightarrow |z-\omega| = R$$
 \item Soit $\Delta$ la médiatrice d'un segment $[AB]$ avec $A(z_A)$ et $B(z_B)$.
$$M(z) \in\Delta \Longleftrightarrow MA=MB \Longleftrightarrow |z-z_A|=|z-z_B|$$
\end{itemize}
}

\Expl{
Soit $z$ un nombre complexe différent de $1$ et $M$ son point image dans le plan complexe. On pose $Z=\dfrac{z+i}{z-1}$.\\
Déterminer l'ensemble :
\begin{itemize}
 \item $\mathscr E$ des points $M$ tel que $Z\in\R$.
 \item $\mathscr F$ des points $M$ tel que $|Z|=1$.
 \item $\mathscr G$ des points $M$ tel que $\arg(Z)=\dfrac{\pi}{2}\, [2\pi]$.
\end{itemize}
}

\begin{propo}
Dans le plan complexe, on considère le cercle $\mathscr C$ de centre $\Omega(\omega)$ et de rayon $r$ et un point
$M$ d'affixe $z$. Alors : 
$$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z=\omega + re^{i\theta} \quad \textrm{avec} \theta \in[0;2\pi[$$
\end{propo}

\Dem{
On sait que $M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow M\Omega = r \Longleftrightarrow |z-\omega | = r$.\\
On appelle $\theta$ la mesure principal $\left(\overrightarrow{e_1}; \overrightarrow{\Omega M} \right)$. Alors :
$M(z) \in\mathscr C \Longleftrightarrow z-\omega  = re^{i\theta}$.\\
}

\Rq{Cette égalité est appelée équation paramétrique du cercle $\mathscr C$.
}

\Expl{L'ensemble des points d'affixes $z=4i+2+3e^{i\theta}$ avec $\theta \in[0;2\pi[$ représente 
le cercle de centre $\Omega(4i+2)$ et de rayon $3$.
}

\Exop{
On désigne par $I$, $A$ et $B$ les points d’affixes respectives $1$, $2i$ et $3 + i$.
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
 \item Calculer l’affixe $z_C$ du point $C$ image de $A$ par la symétrie de centre $I$.
 \item Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}$\\
En déduire le module et un argument de ce nombre ; ainsi qu’une interprétation
géométrique.
 \item Soit $D$ le point d’affixe $z_D$ telle que $z_D-z_C = z_A-z_B$, montrer que $ABCD$ est
un carré.
 \item Pour tout point $M$ du plan, on considère le vecteur $\vec u =\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\vec u$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{MI}$
% \item Montrer que le point $K$ défini par $\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{KB} + \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{KD} = 2 \overrightarrow{AB}$
 %est le milieu du segment $[AD]$.
 \item Déterminer l’ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tel que : $||\vec u||=2||\overrightarrow{AB}|| $.\\
Construire $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ \textbf{75-77}-80-81-\textbf{82-85-86}-87\textbf{88-89-92-93}-94 p 245
\end{ExoL}

%\newpage
\subsubsection{Lieux de points typiques}

%Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.\\
On cherche le lieu géométrique des points $M(z)$ tels que :

\begin{enumerate}
 \item $|z-z_1|=k$, avec $k\in\R$ : 
 \begin{itemize}
  \item On pose $A(z_1)$ et dans ce cas : \quad $|z-z_1|=k \iff AM=k$. 
 \item Donc, les points $M$ cherchés sont tous ceux situés à une distance $k$ du pont $A$.\\ 
 \item \begin{minipage}{8cm}
Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est :
 \end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
 \begin{itemize}
  \item[\textbullet] Si $k>0$ : \textbf{le cercle de centre $A$ et de rayon $k$ }
\item[\textbullet] Si $k=0$ : le point $A$
 \item[\textbullet] Si $k<0$ : l'ensemble vide
\end{itemize}
\end{minipage}
 \end{itemize}
 
\item $|z-z_1|=|z-z_2|$ :
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas \quad  $|z-z_1|=|z-z_2| \iff MA=MB$.
 \item Donc les points $M$ cherchés sont tous ceux situés à égale distance de $A$ et $B$. 
 \item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{la médiatrice du segment $[AB]$}
\end{itemize}

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\pi \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [2\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = \pi \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc les points $A$, $M$, $B$ sont alignés dans cet ordre.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le segment $[AB]$ privé de $A$ et $B$. }\\
\textit{on enlève les points  $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}


\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [2\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = 0 \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc les points $M$, $A$, $B$ sont alignés dans cet ordre. 
ou dans l'ordre $A$, $B$, $M$.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{la droite $(AB)$ privée du segment $[AB]$. }
\end{itemize}


\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=0 \quad [\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = 0 \quad [2\pi] \quad \text{ ou }
\quad \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pi \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc les points $M$, $A$, $B$ sont alignés (peu importe l'ordre).
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{la droite $(AB)$ privée de $A$ et $B$. }\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}


\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \pm\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ (de sens direct ou indirect).
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$. }\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi] 
% &\iff& \arg(z-z_1)-\arg(z-z_2) = 0 \quad [\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = \dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ de sens direct.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le demi-cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ et 
tel que $MAB$ soit direct.}\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}

\item $\arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=-\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.
\begin{itemize}
 \item On pose $A(z_1)$ et $B(z_2)$ et dans ce cas : 
\begin{eqnarray*}
 \arg\left(\dfrac{z-z_2}{z-z_1}\right)=-\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi] 
&\iff& \left(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]\\
&\iff& \left(\overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB}\right) = -\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]
\end{eqnarray*}
\item Donc le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ de sens indirect.
\item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est 
\textbf{le demi-cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ et 
tel que $MAB$ soit indirect.}\\
\textit{On enlève les points $A$ et $B$, car sinon l'argument n'est pas défini}
\end{itemize}


\item $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$, avec $A$ et $B$ deux points du plan complexe.
\begin{itemize}
 \item Les points $M$ cherchés sont ceux tels que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ (direct ou indiret)
 \item Ainsi, l'ensemble des points $M(z)$ cherché est \textbf{le cercle de diamètre $[AB]$ }.
\end{itemize}

\end{enumerate}

%\Rq{Un angle orienté n'est défini que si les deux vecteurs ne sont pas nuls. C'est pourquoi les points $A$ et $B$ doivent être retirés
% le cas échéant, des ensembles ci-dessus.
%}



\begin{epigraphe}
{" J'étais en train de marcher le long de la route avec deux amis - le soleil se couchait - 
soudain le ciel devint rouge sang – j'ai fait une pause, me sentant épuisé, et me suis appuyé contre la grille 
- il y avait du sang et des langues de feu au-dessus du fjord bleu-noir et de la ville - mes amis ont continué à marcher, 
et je suis resté là tremblant d'anxiété - et j'ai entendu un cri infini déchirer la Nature"}
{Munch}{Edvard} 
\end{epigraphe}

%\begin{center}
 \noindent \includegraphics[scale=0.45]{cri.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{edvard-munch-01.eps}
\includegraphics[scale=0.3]{Film.eps}\\\\
\includegraphics[scale=0.251]{munch_enfant_malade.eps}
\includegraphics[scale=2.27]{vampire-1895.eps}
%\end{center}

Dans l'ordre : \vspace{-5mm}
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
 \item \textit{Le cri} (1893)
 \item \textit{L'enfant malade} (1885-86) \\
 \item \textit{?}\\\\
 \item \textit{Film de Peter Watkins} (1973)
 \item \textit{Le vampire} (1893-95)
\end{itemize}

\end{multicols}

\newpage
\section*{Annexe : Construction du corps des nombres complexes (Hors programme)}
\noindent Faute d'outils plus rigoureux 
\footnote{Vous les verrez peut-être un jour$\dots$En général on définit un nombre réel comme étant la 
limite d'une suite d'approximations par des rationnels.} 
on vous a présenté l'ensemble des nombres réels comme étant les abscisses des points d'une droite graduée. 
Additionner et multiplier des réels, c'est donc comme \og compter en dimension 1 \fg.\\
Vous utilisez depuis l'école primaire ces nombres et leurs opérations usuelles associées, 
addition et multiplication sans trop vous poser de questions. Mais elles vérifient les propriétés particulières 
suivantes :  \footnote{Lorsque un ensemble possède ces propriétés et quelques autres, on dit que c'est un corps. Certains de vos parents ont 
étudié la notion de corps en classe de $4^{ème}$, cette étude se fait désormais après le lycée$\dots$ $\Q$ est aussi un 
corps mais ce n'est pas le cas de $\Z$ ni de $\N$ (pas d'inverse pour la multiplication)} :\\
Pour tous réels $x$, $y$ et $z$ :
\begin{itemize}
\item L'addition est associative : $x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z)$ et commutative $x+y=y+x$
\item L'addition possède un élément neutre noté $0$ : $x+0=0+x=x$
\item La somme de deux réels est encore un réel.
\item Chaque élément $x$ admet un opposé noté $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$
\item La multiplication est associative 
\item La multiplication possède un élément neutre noté $1$ : $x\times 1=1\times x=x$
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x\neq 0$ admet un inverse noté $x^{-1}$ vérifiant $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x =1$
\item La multiplication est distributive sur l'addition $x(y+z)=x\times y+x\times z$
\end{itemize}
Tout ceci est bien naturel et bien pratique pour compter. Maintenant, on voudrait faire le même travail en dimension $2$
 i.e pouvoir calculer avec des couples de nombres du style $(x;y)$. \\

\noindent On note l'ensemble de ces couples $\R^2$, et on souhaite définir des opérations de manière à faire de $\R^2$ un corps. 
On définit alors l'addition comme suit :
$$ (x;y)+(x';y')=(x+x';y+y')$$
On vérifie aisément que cette opération est associative, commutative, admet un élément neutre $(0;0)$, 
la somme de deux éléments de $\R^2$ est encore un élément de $\R^2$ et tout élément $(x;y)$ admet un opposé $(-x;-y)$. \\

\noindent Définissons maintenant la multiplication ! On a envie de la définir de la manière suivante :
$$ (x,y)\times (x';y')=(xx';yy')\qquad \text{avec $(1;1)$ comme élément neutre}$$
\underline{Problème : } L'inverse de $(x;y)$ est $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}\right)$ ce qui veut dire tous 
les couples du type $(x;0)$ avec $x\neq 0$ n'admettent pas d'inverse. Or on voudrait que seul le couple
$(0;0)$ n'admettent pas d'inverse. Il faut donc changer de définition$\dots$\\

\noindent On décide d'adopter la définition suivante, moins naturelle :
$$ (x;y)\times (x';y')=(xx'-yy';xy'+x'y)$$
On vérifie aisément que cette opération est associative, admet un élément neutre $(1;0)$, 
le produit de deux éléments de $\R^2$ est encore un élément de $\R^2$ et tout élément $(x;y)\neq (0;0)$
admet un inverse. Nous voici donc avec un nouveau corps. \\

\noindent  Il est temps d'établir le lien entre $\sqrt{-1}$ et $\R^2$ tel qu'on l'a construit. On remarque que : 
$$ (0;1)^2=(0;1)\times(0;1)=(0-1;0+0)=(-1;0)$$
$(0,1)$ est alors le nombre que l'on a noté $i$, et $(-1;0)$ c'est $-1$, et on a alors $i^2=-1$. \\

\noindent Pour mieux comprendre, imaginons l'ensemble des réels comme une droite graduée 
(ici représenté par l'axe des absisses), ajoutons-y un axe des ordonnées pour passer en dimension $2$, 
alors le réel $-1$ est associé au point de coordonnées $(-1;0)$, et le nombre dont la racine carré est $-1$ est 
lui associé au point de coordonnée $(1;0)$. Nous notons $i=\sqrt{-1}$  pour
qu'il fasse moins peur. On remarque qu'en  particulier,  tous   les  nombres  réels  sont  des  nombres
complexes : $\R\subset\C$. \\
Ainsi nous avons les correspondances 

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le   point   M   &$\longleftrightarrow$    &   Le   couple   $(x,y)$   &
$\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\ 
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\mathscr P$  & $\longleftrightarrow$ & $\R^2$ &$\longleftrightarrow$
& L'ensemble des nombres complexes 
\end{tabular}
\end{center}
L'ensemble des nombres complexes se note $\C$. La multiplication n'était pas naturelle dans $\R^2$, mais
observez  comme  les  calculs deviennent  faciles  dans $\C$ (pourtant équivalent) avec la règle $i^2=-1$ et en prolongeant
les règles de de calcul $\R$. 
$$(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$$
comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$.\\
Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$ mais n'oubliez pas que $i^2=-1$. Alors 
$$(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$$
comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$, mais en plus simple. 
 \\
 

Dans ce chapitre, nous avons découvert ces nouveaux nombres et associer à chacun de ces nombres un point du
plan,  donc associer  des transformations du  plan à des  calculs dans
$\C$. Tout ceci nous permet de résoudre des problèmes de géométrie par le calcul, ce que nous approfondiront dans un 
deuxième chapitre...






\end{document}
