\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 6}
\newcommand{\Ch}{Quelle est la probabilit\'e d'avoir son bac ??}
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex


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\setcounter{NumLecon}{6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{cuisine.eps}{Et maintenant on va où ?}{Nadine Labaki}{Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c’est seulement parce qu’ils ne 
réalisent pas combien la vie est compliquée !}{John Louis von Neumann (réaliste$\dots$)}{
Nominé pour plusieurs prix \og \textit{Et maintenant on va où ?} \fg\, , de \textbf{Nadine Labaki}, a remporté le prix du Jury 
Oecuménique – Mention Spéciale à Cannes. Après \og \textit{Caramel} \fg\,, film déjà primé, 
la réalisatrice revient sur un thème extrêmement contemporain : la cohabitation religieuse.\\
Le film s’ouvre sur une scène originale, où, des femmes, drapées de noir, endeuillées, entament une danse 
esthétiquement précise et émotionnellement forte. Les femmes nous regardent comme si elles assistaient à un 
spectacle et que donc nous étions le film ce qui renforce l’aspect contemporain du sujet. 
Il s’agit des femmes d’un village, divisé en deux confessions avec d’un côté les musulmans regroupés derrière leur Cheikh, 
et de l’autre, les catholiques et leur Prêtre. Lors d’une soirée où ils sont tous regroupés devant la télévision, 
les habitants regardent le journal télévisé qui leur apprend des affrontements entre catholiques et musulmans. 
Dès lors, les tensions du passé sont ravivées
 et les hommes ne jurent plus que par leurs religions laissant les femmes abattues par cette situation, mais cherchant
des solutions plus originales les unes que les autres pour garder la paix...
  }{0.75}{0.7}{
 \item Revoir la loi binomiale
 \item 
 \item 
 \item 
}



\TITRE{enterrement.eps}{0.5}


\begin{Intro}{Au fil du temps}
Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des temps, 
et qu'une première présentation rigoureuse, ie \textbf{axiomatique} en a été proposée 
trois siécles avant JC par le grec Euclide, il a fallu attendre le XVI$^{eme}$ siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux 
probabilités, et encore était-ce pour aider les princes à améliorer leurs gains au jeu ...\\
Ainsi, la théorie des probabilités est jeune par rapport aux autres grandes disciplines mathématiques : 
elle prend réellement forme au XVII$^e$ siècle, dans la correspondance entre Blaise Pascal, 
philosophe, théologien et mathématicien, et Pierre de Fermat,
avocat et mathématicien \og amateur \fg comme il se qualifiait lui-même,
alors qu'il est l'une des grandes figures mathmétiques modernes (deux théorèmes d'arithmétiques portent son nom, 
dont l'un ne fut démontré qu'en 1994).\\
Si les probabilités ont attendu si longtemps avant de voir le jour, c'est peut-être à cause de l'étrangeté philosophique
qu'elles véhiculent, à savoir l'idée qu'un événement du monde physique soit pensé non pas dans les termes \og 
il se produit ou il ne se produit pas \fg, mais \og il peut se produire avec $x \, \%$ de chances \fg ...\\
Si on dit qu'il y a $35,4\%$ de chances qu'il pleuve demain à Carcassonne à 11h, cela signifie-t-il qu'il pleuvra
réellement à Carcassonne mais seulement à $35,4\%$ et qu'il fera en même temps soleil à $64,6\%$ ? Cela semble 
un pur non sens ... Ou cela sigifie-t-il que la dynamique atmosphérique porte en elle une indétermination
physique qui interdit de prévoir \og à $100\%$ \fg ? Ou enfin qu'il n'y a aucune indétermination physique mais
que nous, êtres pensants, n'avons pas assez d'informations et de moyens de calculs pour prédire parfaitement son 
évolution ? En fait, ces trois façons d'interpréter un résultat de probabilité sont valables, chacune dans un
certain domaine.\\
Ainsi, en mécanique quantique, une particule peut se trouver \og ici à $35,4\%$ et là-bas à $64,6\%$ \fg tant qu'on n'a pas
mesuré concrètement sa position (et non pas \og ici ou là-bas \fg !). Les physiciens admettent qu'avant
une mesure, une particule unique peut être en plusieurs lieux simultanément...\\
En ce qui concerne les deux autres interprétations, indétermination physique objective ou manque d'informations du physicien,
le débat est ouvert depuis 1958, date à laquelle James Maxwell introduit les probabilités en physique.
Pour lui, la température d'un gaz est liée aux probabilités de mouvement des milliards de particules
qui le composent ... Très choquant pour les physiciens de l'époque : comment un phénomène aussi
réel et objectif que la température d'un gaz peut-il dépendre d'un état de connaissance, c'est-à-dire d'une donnée
 subjective ? Pourtant, cette théorie est l'une des grandes réussites de la physique moderne ...\\
Ainsi, si la théorie mathématique des probabilités est aujourd'hui bien comprise et acceptée, dès qu'on cherche à en comprendre
le sens physique, l'étonnement reprend le dessus et motive des générations de futurs chercheurs.\\

C'est en XVIII$^e$ siècle que les statistiques endossent quant à elles leur premier grand rôle dans la vie moderne : celui
d'un outil de prévision. Le mathématicien Antoine Deparcieu établit dans un livre le \og profil \fg de la mortalité
de populations à partir de données statistiques. En se servant des méthodes d'échantillonnage, de calculs de
moyennes et d'écart-type, il crée les premières \og tables de mortalité \fg permettant d'évaluer le risque moyen
de mort d'un individu en fonction de son profil. Ce risque est alors directement transformé en pécule, rente
versée à quelqu'un durant toute sa vie en contrepartie de l'acquisition de son bien à sa mort. Avec Deparcieu,
la statistique fait son entrée dans le monde de l'économie.\\
Mais ce n'est qu'au XIX$^e$ siècle que la statistique finit de prendre la place qu'est la sienne aujourd'hui :
celle d'une science mathématique mais aussi humaine, omniprésente dans le débat publique. C'est Adolphe Quételet,
astronome belge, qui intègre dans un ouvrage toutes les lois de probabilités développées depuis Pascal et Fermat :
mesure des erreurs, loi binomiale que vous allez découvrir ici, etc.\\
Il tente d'établir des lois statistiques des suicides et des crimes en fonction de paramètres comme l'origine
sociale, l'âge, le sexe, le climat, le niveau d'études, le revenu, etc. Mais Quételet se voit reprocher de faire de 
l'homme un être dont le comportement est prédéterminé par des lois mathématiques...\\
De plus, avec les statistiques sociales, une question se pose : sont-ce les statistiques qui déterminent nos comportements
ou l'inverse ? Par exemple, si le taux de meurtriers dans la population est de $5\%$ par an, cela signifie-t-il
qu'il existe une sorte de loi qui nous dépasse et qui \og oblige\fg $5\%$ de personnes à se transformer en meutriers ?\\
Ce type de questionnement hantera tout le XX$^e$ siècle et conduira à de tragiques dérapages où l'on voudra \og neutraliser\fg
 dès le berceau tout homme né avec les \og paramètres statistiques du crime \fg ... 
\end{Intro}

\begin{Intro}{}
 A-t-on besoin de savoir tout ça pour réussir au Bac ? Par exemple, depuis votre tendre enfance, 
vous calculez avec les nombres entiers sans connaître les axiomes de Peano, vous travaillez en géométrie euclidienne 
même si elle ne correspond pas à la réalité : avez-vous déjà rencontré un véritable triangle rectrangle ? 
Et pourtant vous arrivez quand même à démontrer le théorème de Pythagore.\\
Mais le débat est plus passionné au sujet des  probabilités car il a fallu attendre 1933 et le Russe
Kolmogorov pour enfin les axiomatiser, alors qu'Euclide avait fait cela pour la géométrie 2300 ans plus tôt...

C'est ce sujet encore brûlant que nous allons explorer cette année à travers quelques chapitres qui sauront, 
je n'en doute pas, vous passionner !
\end{Intro}


\section{Avec indépendance}
\subsection{Connaître les lois}

\begin{defi}[Variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli]
Une \textbf{épreuve de Bernoulli} est une expérience aléatoire ne comportant que 2 issues (Succès et Echec). 
On note $p$ la probabilité de Succès. \\
Soit $X$ la variable aléatoire qui est égale à $1$ en cas de succès et $0$ sinon. Alors, on dit que $X$ suit 
une \textbf{loi de Bernoulli de
paramètre  $p$}. On note $X\hookrightarrow B(1;p)$.\quad 
Dans ce cas, on a $$ E(X)=p\qquad \text{et} \qquad V(X)=p(1-p)$$
\end{defi}
\Expls{\begin{itemize}
\item Aimer ou non Mireille Matthieu 
\item Etre ou ne pas être.
\item Lancer un dé et gagner si l'on obtient 5 : $X\hookrightarrow B\left(1;\dfrac16\right)$
 et $E(X)=\dfrac16$, $V(X)=\dfrac16 \times \dfrac56 = \dfrac5{36}$
\end{itemize}
}

\Rq{Interprétation des paramètres : Si l'on répète un grand nombre de fois une expérience de Bernoulli de paramètre $p$, 
de manière indépendante, la fréquence d'un succès sera proche de $p$, avec un écart-type (ou risque) de
$\sqrt{p(1-p)}$.}
\begin{defi}
On dit que deux expériences aléatoires sont \textbf{indépendantes} lorsque les résultats de l'une n'influencent pas les 
probabilités des issues de l'autre.
\end{defi}
\Rq{
Pour résoudre des problèmes étudiant une répétition de $n$ expériences aléatoires indépendantes, on utilise
très souvent un arbre.
}
\begin{defi}[Schéma de Bernoulli et loi binomiale]
Soit $n\in\N^*$. La répétition de $n$ épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes, 
de paramètre $p$, s'appelle un \textbf{schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$}.\\
Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès ($X$ est à valeurs dans $\{0;1;\dots; n\}$). 
Alors, on dit que $X$ suit une \textbf{loi binomiale de paramètres $n$ et  $p$}. 
On note $X\hookrightarrow B(n;p)$.\\
Dans ce cas, pour tout $k\in \{0;1;\dots; n\}$ on a :
$$ P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$
où $\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins réalisant $k$ succès parmi 
les $n$ épreuves de Bernoulli, dans l'arbre représentant la situation. Ce nombre (entier) s'appelle un coefficient binomial et se lit \og $k$ parmi $n$ \fg\\
De plus :
$$E(X)=np\qquad \text{ et }\qquad V(X)=np(1-p)$$ 
\end{defi}


\Expls{Il est clair que : \qquad $\left(\begin{array}{c}
 n \\ 0
 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 n \\ n
 \end{array}\right)=1 \qquad \qquad 
\left(\begin{array}{c}
 n \\ 1
 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
 n \\ n-1
 \end{array}\right)=n$.\\
\begin{minipage}{8cm}
A la calculatrice, pour obtenir $\left(\begin{array}{c}
 10 \\ 2
 \end{array}\right)$ on écrit :\\\\\\\\
  \textbf{Casio 35+ : }\quad $10$ \quad \texttt{nCr}\quad $2$\\
\textbf{nCr} se trouve en appuyant sur \fbox{OPTN} + \fbox{PROB}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
  \textbf{TI 82 : }\quad $10$ \quad\texttt{Combinaison} \quad $2$\\
\textbf{Combinaison} se trouve en appuyant sur \fbox{Math} + \fbox{PBR} \\\\
  \textbf{TI 89 : }\quad \texttt{nCr }$(10,2)$ \quad ou en français \, \texttt{nbrComb }$(10,2)$\\
\textbf{nCr} se trouve en appuyant sur \fbox{Math} + \fbox{7} 
\end{minipage}
\\
\begin{multicols}{5}
\begin{itemize}
 \item[] 
 $\left(\begin{array}{c}
 4 \\ 0
 \end{array}\right)=\dots$
\item[] $\left(\begin{array}{c}
 4 \\ 1
 \end{array}\right)=\dots$
\item[] $\left(\begin{array}{c}
 4 \\ 2
 \end{array}\right)=\dots$
\item[] $\left(\begin{array}{c}
 4 \\ 3
 \end{array}\right)=\dots$
\item[] $\left(\begin{array}{c}
 4 \\ 4
 \end{array}\right)=\dots$
\end{itemize}
\end{multicols}
Remarquons la symétrie dans les valeurs des coefficients ...
}


\Rqs{
\item Si on note $q$ la probabilité d'échec alors $P(X=k)=\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$
\item La probabilité d'avoir $n$ succès est : $P(X=n)=p^n$
\item La probabilité de n'avoir aucun succès est : $P(X=0)=q^n$\\
Par conséquent, on retrouve des résultats déjà connus, comme la probabilité d'avoir au moins un succès est :
$$ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-q^n$$}

\Expl{On lance $5$ dés. 
Notons $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de $4$ obtenus. Remarquons que
$X$ est à valeurs dans $\{0 ;1;2;3 ; 4 ; 5\}$.\\
Calculer $P(X=2)$, puis $E(X)$ et $V(X)$.
}

\subsection{Se rappeler des coefficients}

\begin{prop}
\textbf{Symétrie :} Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $0\leq k \leq n$ on a 
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$
\textbf{Triangle de Pascal :} Pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que $0\leq k \leq n-1$ on a 
$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$$ 
\end{prop}

\begin{ExoF}
Dans lequel des cas suivants $X$ suit-elle une loi binomiale ? 
Si oui, donner les paramètres de la loi et calculer $P(X=3)$ si c'est possible, puis l'espérance et la variance de $X$.
\begin{enumerate}
 \item Dans une classe, on tire au sort sans remise 5 élèves, $X$ est le nombre d'élèves abonnés 
 à Star'Ac mag dans le lot tiré au sort.
\item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, 
on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes noires obtenues.
\item On lance 10 dés, $X$ est le nombre de 5 obtenus.
\item Un circuit comprend 2 lampes en série. Pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de $0.03$. $X$ est le nombres de lampes qui s'allument lorsqu'on
appuie sur l'interrupteur. \\
Même question avec cette fois des lampes en parallèles.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
Un vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle, se décrivant lui-même \og entre deux âges et très 
séduisant\fg, décide de séquestrer des gens, juste pour le fun  (\og Lol ! \fg dixit le vieux prof 
d'histoire-géo à moitié aveugle). \\
Il en a kidnappé huit : ses quatre fils (Enzo, Basile, Hugo et Samuel) et 
quatre de ses collègues (Jéjé, Dédé et deux Lolos qu'il n'arrive pas à distinguer, bien que 
l'un soit un homme et l'autre une femme ...). Bref, il est bien atteint.\\
Le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle considère que son expérience est un Succès 
lorsqu'il séquestre un(e) Lolo, un Echec sinon.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de Succès $S$. 
\begin{enumerate}
 \item Le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle choisit au hasard, successivement et avec remise
trois personnes parmi les huit.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de $X$.
 \item Calculer $P(X=0)$, $P(X=2)$, $P(X\geq 2)$ et la probabilité d'obtenir au moins un Succès.
 \item Calculer l'espérance de $X$ et sa variance. Interpréter.
\end{enumerate} 
 \item Désormais, le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle choisit au hasard, successivement
 et sans remise, trois des personnes kidnappés.
\begin{enumerate}
 \item La variable $X$ suit-elle une loi binomiale ?
 \item Construire l'arbre de probabilité décrivant la situation (les issues étant S et E).
 \item Calculer la probabilité $p$ de l'événement : \og la personne séquestrée choisie en premier est l'un(e) des
 Lolos \fg
 \item On sait désormais que le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle a choisi l'un(e) des Lolos en 
premier.\textsl{}
Calculer alors la probabilité $q$ de l'événement : \og la personne séquestrée choisie en deuxième est l'une 
des Lolos \fg.
\item Les probabilités $p$ et $q$ sont-elles égales ? Expliquer ce résultat.
\item Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance. Interpréter.
\end{enumerate}
\item Le vieux professeur d'histoire-géo à moitié aveugle est désormais complètement aveugle et il 
a décidé de piquer ses otages au cure-dent, juste pour le fun 
(\og Lol ! \fg dixit le vieux prof d'histoire-géo complètement aveugle).\\
L'expérience consiste à choisir au hasard l'un des huit otages, puis tenter de le piquer au cure-dent. \\
Le vieux professeur d'histoire-géo complètement aveugle répète $10$ fois cette expérience,
de manière indépendante. 
La probabilité que le vieux professeur d'histoire-géo complètement aveugle touche sa cible est de $\dfrac12$
 quand il s'agit d'une fille (donc de Lolo) ou de Samuel, et de $\dfrac23$ sinon (la femme Lolo et Samuel
 étant plus menus que Dédé et plus petits que tous les autres, il est plus difficile de les atteindre).\\
 Hugo a eu de mauvais résultats ce trimestre, ainsi cette fois, le vieux professeur d'histoire-géo 
 complètement aveugle décide que son expérience est un Succès lorsqu'il le pique.\\
 On appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de Succès $S$.
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
 \item Calculer $P(Y=4)$
 \item Calculer $E(Y)$ et $V(Y)$. Interpréter.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Dans le métro, il a $9\%$ des voyagueurs qui fraudent. Chaque jour à la station Alésia, on contrôle $200$ personnes. 
 Soit $X$ la variable aléatoire qui représente le nombre de fraudeurs sur ces 200 personnes. On admet que $X$ suit une loi binomiale
 (malgré le fait qu'il n'y ait pas de remise, le nombre de personnes étant très important, on admet qu'il y a indépendance
 entre les personnes contrôlées).
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer les paramètres de la loi de $X$.
  \item Combien de personnes en moyenne vont être signalées en fraude lors de ce contrôle ?
  \item Si le prix du ticket est de $1,70\euro$, quel doit être le prix de l'amende pour qu'en moyenne, l'établissement régissant
  le métro ne perde pas d'argent avec les fraudeurs de la station Alésian, sachant qu'il y a $5\,000$ voyageurs chaque jour dans cette station ?
 \end{enumerate}
 \end{ExoF}

 
 \begin{ExoF}
 Un test comporte $10$ questions. Chaque question contient $4$ réponses possibles, dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard à toutes les questions.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle est la probabilité que le candidat ait bien répondu à la première question ?
  \item Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses du candidat à ce test.
  Quelle loi suit $X$ ?
  \item Combien de bonnes réponses en moyenne obtient le candidat ?
  \item A chaque bonnes réponses, l'examinateur ajoute $2$ points ; à chaque mauvaise réponse, il ne retire pas de point.\\
  Soit $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre totale de points lors de ce test.
  \begin{enumerate}
   \item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
   \item En déduire $E(Y)$.
   \item Le candidat a-t-il intérêt à répondre au hasard ?
  \end{enumerate}
 \item L'examinateur change le barême. A chaque bonne réponse il ajoute $2$ points, à chaque mauvaise, il retire 1 point.\\
 Soit $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre total de points lors de ce test.
 \begin{enumerate}
  \item Exprimer $Z$ en fonction de $X$.
  \item En déduire $E(Z)$.
  \item Le candidat a-t-il intérêt à répondre au hasard ?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes. On regarde sa couleur, puis on la remet dans le paquet. On recommence cette
 expérience $8$ fois de suite.\\
 Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où on a tiré un coeur.
 \begin{enumerate}
  \item Quelle loi suit $X$ ? Donner ses paramètres.
  \item A chaque fois qu'on tire un coeur, on gagne $3\euro$. Dans les autres cas, on perd $1\euro$.\\
  Soit $Y$ la variable aléatoire représentant le gain total lors des $8$ tirages.
  \begin{enumerate}
   \item Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
   \item En déduire l'espérance de $Y$.
   \item Est-il finacièrement intéressant de jouer à ce jeu ?
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{Un peu de dénombrement avec les coefficients binomiaux}\\
Avec mes amis, nous jouons souvent au yam's menteur (5 dés). \\
Il est établi entre nous que l'ordre décroissant de ce que l'on obtient avec les dés est :
\begin{multicols}{2}
 \begin{itemize}
 \item Yams : 5 dés identiques
 \item Carrés : 4 dés identiques
 \item Full : 3 dés identiques + 2 autres identiques
 \item Suite : 5 numéros qui se suivent
 \item Brelan : 3 dés identiques
 \item Double-paire : 2 fois 2 dés identiques
 \item Paire : 2 dés identiques
 \item Rien : Aucune des figures précédentes.
\end{itemize}
\end{multicols}
La puissance d'une figure devrait évidemment dépendre de sa probabilité d'apparition. \\
On cherche à savoir si notre choix est cohérent avec cette règle.\\

\textbf{Partie A : L'univers}\\
Il est évident que l'ordre des dés ne compte pas. Cependant, lorsqu'on en tient compte dans notre modélisation, les issues sont équiprobables, ce qui rend les calculs simples,
de plus on peut alors utiliser les arbres, très pratiques d'utilisation. \\
Nous allons donc commencer par tenir compte de l'ordre, puis \og l'enlever \fg (comme souvent en probabilité).
\\\\%\begin{enumerate}
 %\item 
Imaginer alors un arbre représentant la situation du jeu, afin de déterminer le nombre d'issues total.\\
%\\\\  %\item 

%\end{enumerate}
\textbf{Partie B : Dénombrement des issues}\\
Comme nous sommes dans un cas d'équiprobabilité, plutôt que d'étudier les probabilités de chacune des figures, nous allons \textbf{\textit{dénombrer}}
le nombre de cas favorables de chacune, cela évitera les fractions.
\begin{enumerate}
 \item \textbf{Le Yams : 5 dés identiques}\\
Donner le nombre de yams possibles (ie le nombre de chemins dans l'arbre réalisant le yams).

 \item \textbf{Le carré : 4 dés identiques}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre imaginaire contiennent un carré de 1 et un 3 ?
 \item En déduire le nombre de carrés de 1 possibles.
 \item En déduire le nombre de carrés possibles.
\end{enumerate}

 \item \textbf{Le full : 3 dés identiques + 2 identiques}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre imaginaire contiennent un full de 6 par les 4 ?
   \item En déduire le nombre de full avec un brelan de 6 possibles.
 \item En déduire le nombre de full possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{La suite : 5 dés qui se suivent}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre imaginaire contiennent une petite suite (celles commençant au 1).
 \item En déduire le nombre de suites possibles (grandes et petites).
\end{enumerate}

\item \textbf{Le brelan : 3 dés identiques}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre contiennent un brelan de 5 avec un 2 et un 4 (avec le 2 et le 
 4 dans cet ordre).
 \item En déduire le nombre de brelans de 5 avec un 2 et n'importe quel dé différent 
 de 2 et 5 (le 2 et l'autre dé dans cet ordre).
 \item En déduire le nombre de brelans de 5.
 \item En déduire le nombre de brelans possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{La double-paire}\\
Il s'agit du cas le plus complexe à traiter, car il faut trouver le nombre de manières d'ordonner 3 faces différentes, 
dont \textit{deux} ayant des rôles particuliers
symétriques (les paires) parmi 5 dés. Nous calculerons donc le nombre de double-paires possibles par complémentarité, 
à la fin.

\item \textbf{La Paire}
\begin{enumerate}
 \item Combien de branches de l'arbre contiennent une paire de 4, un 3, un 5 et un 6 (avec le 
 3, 5 et 6 dans cet ordre).
 \item En déduire le nombre de paires de 4 avec un 3, un 5, et n'importe quel dé différent de 4, 3 et 5 (avec le même ordre que précédemment).
 \item En déduire le nombre de paires de 4 avec un 3, et n'importe quels dés distincts, différents de 4 et 3 (avec le même ordre que précédemment).
 \item En déduire le nombre de paires de 4.
 \item En déduire le nombre de paires possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{Rien}\\
Une rapide analyse de la situation permet de comprendre que l'on a rien lorsque l'on a des dés tous différents, 
et qu'il ne s'agit pas d'une suite.
Il s'agit donc de choisir un numéro de face à enlever parmi quatre possibles.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le nombre manières de permuter les nombres 1, 3, 4, 5 et 6.
\item En déduire le nombre de \og rien \fg possibles.
\end{enumerate}

\item \textbf{Retour sur la double-paire}\\
Par complémentarité, trouver le nombre de double-paires possibles.\\
\end{enumerate}

\textbf{Partie C} : Conclusion
\begin{enumerate}
\item Déduire des questions précédentes les probabilités de chaque figure.
\item Avait-on des règles cohérentes avec les probabilités d'apparition des figures ?
\end{enumerate}

\begin{flushright}\rotatebox{180}{
\textbf{\textit{Réponses}} (dans l'ordre) : 6, 150, 300, 240, 1200, 3600, 480, 1800 pour 7776 cas. }
\end{flushright}
\end{ExoF}



\section{Sous certaine(s) condition(s)}
\subsection{Probabilité conditionnelle}

\newcolumntype{M}[1]{|>{\centering}m{#1}}
\Act{
Une enquête est effectuée auprès des 100 éléves d'un lycée syldave concernant le temps de travail hebdomadaire et 
le sexe des éléves.
On a obtenu le tableau suivant 
\begin{center}
\begin{tabular}{*{3}{M{4cm}}|}\hline
\backslashbox{sexe}{travail} & $< $ 5 minutes & $\geq$ 5 minutes \tabularnewline\hline
filles & 20 & 15 \tabularnewline\hline 
garçons & 60 & 5\tabularnewline\hline
\end{tabular} 
\end{center}
Soit $T$ l'ensemble de ceux qui travaillent plus de 5 minutes par semaine et $G$ l'ensemble des garçons. \\
On suppose les éléves syldaves indiscernables à la vue, l'ouïe, le goût, le toucher et l'odorat.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité que l'éléve prélevé travaille plus de 5 minutes.
 \item Calculer la probabilité pour que ce soit un garçon.
 \item Calculer la probabilité pour que l'éléve prélevé 
soit un garçon qui travaille plus de 5 minutes.
 \item Maintenant, \textbf{parmi les garçons}, on en choisit un au hasard. \\
\textit{L'univers a donc changé, mais pas les 
propriétés du tirage, ce qui assure encore l'équiprobabilité.}\\
Calculer la probabilité pour que ce garçon  travaille plus de 5 minutes.\\
\textit{On dit que c'est \textbf{la probabilité conditionnelle de T sachant G} qu'on note $P_G(T)$}
 \item Conjecturer une formule liant $P(G)$, $P(T \cap G)$ et $P_G(T)$.
 \item Traduire en français $P_G(T)$, puis utiliser votre conjecture pour calculer cette probabilité.\\
 Cela est-il cohérent avec le tableau (ie sans utiliser la conjecture) ?
\end{enumerate}
}

\begin{defi}[Proposition (Admise)]
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ muni d'une probabilité $P$, avec $P(A)\neq0$. \\
\textbf{La probabilité de \textit{B} sachant \textit{A}} est définie par : $$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
\end{defi}

\Dem{Montrons que $P_A$ est bien une probabilité sur $\Omega$. 
\begin{itemize}
 \item $P_A$ est à valeurs dans $[0;1]$ ?\\
 Il est clair que $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \geq 0$ comme quotient de nombres positifs ou nuls.\\
 De plus, on a aussi $A\cap B \subset A$ donc $P(A\cap B) \leq P(A)$ et donc $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \leq 1$.\\
 Donc $P_A$ est une application de $\Omega$ dans $[0;1]$.
 \item $P_A(\Omega) = 1 $ ? \qquad 
 $P_A(\Omega) = \dfrac{P(A \cap \Omega)}{P(A)} = \dfrac{P(A)}{P(A)} =1$
 \end{itemize}
 }
\DemS{
\begin{itemize}
 \item Si $B$ et $C$ sont deux parties disjointes de $\Omega$, alors $P_A(B\cup C) = P_A(B) + P_A(C)$ ?
  \begin{minipage}{11cm}
   Soient $B$ et $C$ deux parties disjointes de $\Omega$, alors $B\cap C = \varnothing$ et :
\begin{eqnarray*}
 P_A(B\cup C) &=& \dfrac{P\left(A \cap (B\cup C )\right)}{P(A)} \qquad \text{par définition de } P_A \\
 &=& \dfrac{P\left((A\cap B) \cup (A\cap C\right)}{P(A)}  \qquad \text{par distributivité}\\
 &=& \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} + \dfrac{P(A\cap C)}{P(A)} \quad \text{ car } A\cap B \text{ et } A\cap C 
 \text{ sont disjoints}\\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \text{ (puisque } B \text{ et } C \text{ le sont) }\\
 && \qquad\qquad\qquad\qquad  \text{ et } P \text{ est une loi de probabilité sur } \Omega \\
&=& P_A(B) + P_A(C)
\end{eqnarray*}
Donc $P_A$ est bien une loi de probabilité sur $\Omega$
 \end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
 \scalebox{0.8} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-2.65)(7.1,2.65)
\definecolor{color0b}{rgb}{0.9058823529411765,0.7490196078431373,0.7490196078431373}
\definecolor{color2b}{rgb}{0.10980392156862745,0.9333333333333333,0.807843137254902}
\definecolor{color5b}{rgb}{0.1568627450980392,0.8823529411764706,0.10196078431372549}
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color5b,opacity=0.4](2.4,-0.55)(1.7,2.0)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color2b,opacity=0.4](4.8,-0.4)(2.3,2.25)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid,fillcolor=color0b,opacity=0.4](2.15,1.35)(2.15,1.3)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}\fontsize{15pt}{15pt}
\rput(1.9145312,2.26){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(5.3145313,0.86){$B$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.7245313,-0.94){$C$}
\end{pspicture} 
}
\end{minipage}
 \end{itemize}
}

\begin{prop}
 Si $A$ est un événement de probabilité non nulle et $B$ un événement quelconque de l'univers $\Omega$ on a :
 \begin{multicols}{2}
  \begin{itemize}
   \item $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$
   \item $P_A(A)=1$
   \item Si $A$ et $B$ sont incompatibles $P_A(B)=0$
   \item $P_A\left(\overline{B}\right)=1-P_A(B)$
  \end{itemize}
  \end{multicols}
\end{prop}

\Dem{
Il suffit d'appliquer la définition et/ou le fait que $P_B$ est une loi de probabilité sur $\Omega$.
}

\Rqs{
 %\item On utilisera tout autant cette formule sous la forme : $P(A\cap B)=P(B)P_B(A)=P(A)P_A(B)$
 \item Ceci est cohérent avec ce que l'on sait des arbres de probabilités. \\
 En effet,  $P_A$ étant une loi de probabilité pour n'importe quel événement $A$ de probabilité non nulle, on a bien que 
 la somme des probabilités des branches partant de n'importe quel n\oe ud $A$ est égale à $1$.\\
 De plus, la probabilité $P_A(B)$ se lit directement sur la branche issue de $A$ qui arrive en $B$. Alors que 
 la probabilité $P(A\cap B)$ se calcule en multipliant les probabilités des branches du chemin $AB$, ie :
 $$P(A\cap B)=P(A) \times P_A(B)$$
 \item Ceci nous permettra de \og retourner un arbre \fg. En effet, à partir d'un arbre, on peut calculer $P(A\cap B)$ et 
 $P(B)$.\\
 Si ce nombre est différent de $0$, on peut alors dire $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
}

\Expl{
Prschtr, le champion syldave de danse sous-marine nocturne en scaphandre de 150 kg est inquiet avant la finale 
des Jeux Olympiques. Il a deux figures à réaliser. \\
On note $A$ l'événement \og Prschtr réussit sa première figure \fg et $B$ l'événement
\og Prschtr réussit sa deuxième figure \fg .\\
Il sait, à force d'entraînement, que la probabilité qu'il réussissent la première est de 0,90.\\
Par contre, le moral de Prschtr n'est pas à toute épreuve, et la probabilité qu'il réussisse sa deuxième figure est de 
 $0.8$ s'il a réussi la première, sinon seulement de $0.5$ .
\begin{enumerate}
  \item Traduire les probabilités de l'énoncé sous forme mathématique.
  \item Construire l'arbre de probabilité décrivant l'expérience.
  \item Quelle est la probabilité que Prschtr réussisse ses deux figures ?
  \item Quelle est la probabilité qu'il réussisse la deuxième ?
  \item Prschtr a réussi sa deuxième figure, quelle ait la probabilité qu'il ait raté la première ?
\end{enumerate}
}

\subsection{Formule des probabilités totales}

\begin{defi}
 Des événements non vides $A_1$, $A_2$, \dots, $A_k$ forment une \textbf{partition} de $\Omega$ s'ils sont deux à deux 
 disjoints et que leur réunion forme $\Omega$.
\end{defi}


\Rq{
Cela revient à découper $\Omega$ en événements incompatibles $A_1$, $A_2$, ... , $A_k$,
}

\begin{center}
\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.9)(12.82,3.92)
\psellipse[linewidth=0.04,dimen=outer](6.4,0.0)(6.4,3.9)
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(2.1,2.8)
\lineto(2.45,1.9)
\curveto(2.625,1.45)(2.85,0.775)(2.9,0.55)
\curveto(2.95,0.325)(3.025,-0.05)(3.05,-0.2)
\curveto(3.075,-0.35)(3.05,-0.625)(3.0,-0.75)
\curveto(2.95,-0.875)(2.8,-1.15)(2.7,-1.3)
\curveto(2.6,-1.45)(2.425,-1.7)(2.35,-1.8)
\curveto(2.275,-1.9)(2.15,-2.1)(2.1,-2.2)
\curveto(2.05,-2.3)(1.975,-2.5)(1.9,-2.8)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(6.2,3.9)
\lineto(6.4,3.55)
\curveto(6.5,3.375)(6.925,2.825)(7.25,2.45)
\curveto(7.575,2.075)(8.075,1.475)(8.25,1.25)
\curveto(8.425,1.025)(8.75,0.625)(8.9,0.45)
\curveto(9.05,0.275)(9.575,-0.125)(9.95,-0.35)
\curveto(10.325,-0.575)(10.925,-0.9)(11.15,-1.0)
\curveto(11.375,-1.1)(11.725,-1.25)(11.85,-1.3)
\curveto(11.975,-1.35)(12.15,-1.4)(12.2,-1.4)
\curveto(12.25,-1.4)(12.325,-1.4)(12.4,-1.4)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(2.8,1.1)
\lineto(3.9,1.1)
\curveto(4.45,1.1)(5.175,1.125)(5.35,1.15)
\curveto(5.525,1.175)(5.8,1.275)(5.9,1.35)
\curveto(6.0,1.425)(6.225,1.525)(6.35,1.55)
\curveto(6.475,1.575)(6.725,1.65)(6.85,1.7)
\curveto(6.975,1.75)(7.175,1.85)(7.25,1.9)
\curveto(7.325,1.95)(7.425,2.025)(7.5,2.1)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(5.4,1.1)
\lineto(5.75,0.7)
\curveto(5.925,0.5)(6.2,0.0)(6.3,-0.3)
\curveto(6.4,-0.6)(6.55,-1.1)(6.6,-1.3)
\curveto(6.65,-1.5)(6.725,-1.975)(6.75,-2.25)
\curveto(6.775,-2.525)(6.8,-2.925)(6.8,-3.05)
\curveto(6.8,-3.175)(6.85,-3.375)(6.9,-3.45)
\curveto(6.95,-3.525)(7.075,-3.625)(7.15,-3.65)
\curveto(7.225,-3.675)(7.325,-3.725)(7.4,-3.8)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(6.8,-2.3)
\lineto(7.3,-2.2)
\curveto(7.55,-2.15)(7.95,-2.025)(8.1,-1.95)
\curveto(8.25,-1.875)(8.525,-1.7)(8.65,-1.6)
\curveto(8.775,-1.5)(9.025,-1.3)(9.15,-1.2)
\curveto(9.275,-1.1)(9.5,-0.875)(9.6,-0.75)
\curveto(9.7,-0.625)(9.825,-0.45)(9.9,-0.3)
}
\pscustom[linewidth=0.04]
{
\newpath
\moveto(8.6,3.6)
\lineto(8.85,3.35)
\curveto(8.975,3.225)(9.175,2.975)(9.25,2.85)
\curveto(9.325,2.725)(9.5,2.475)(9.6,2.35)
\curveto(9.7,2.225)(9.9,1.975)(10.0,1.85)
\curveto(10.1,1.725)(10.325,1.475)(10.45,1.35)
\curveto(10.575,1.225)(10.85,1.0)(11.0,0.9)
\curveto(11.15,0.8)(11.45,0.625)(11.6,0.55)
\curveto(11.75,0.475)(12.025,0.3)(12.15,0.2)
\curveto(12.275,0.1)(12.5,-0.05)(12.6,-0.1)
\curveto(12.7,-0.15)(12.8,-0.225)(12.8,-0.3)
}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}\fontsize{20pt}{20pt}
\rput(9.414532,1.31){$A_6$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(10.914532,1.91){$A_7$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.514531,-2.39){$A_5$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.8145313,0.11){$A_4$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(4.514531,2.51){$A_3$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(5.114531,-1.39){$A_2$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.5145313,0.21){$A_1$}
\rput(0.5,3.5){$\Omega$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\Expls{Dire si les séparations suivantes sont des partitions de la classe :
\begin{itemize}
 \item Séparer la classe en groupes suivant le sexe.
 \item Séparer une classe en un groupe fille, un groupe garçon et un groupe d'abonnés au chasseur syldave.
 \item Séparer la classe en groupes suivant la couleur des yeux. 
\item Séparer une classe en un groupe de porteurs de sandales avec chaussettes et
un groupe d'imitateurs du Schblurb syldave.
\end{itemize}
}

\begin{theo}
Soit $A_1$, $A_2$, ... , $A_k$, une partition de $\Omega$ et $B$ un événement quelconque de $\Omega$. 
On a :
$$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_k)$$
Donc :
$$P(B)=P_{A_1}(B)\times P(A_1) + P_{A_2}(B)\times P(A_2)+\cdots+P_{A_k}(B) \times P(A_k)$$
\end{theo}

\begin{center}
\newrgbcolor{ffzzzz}{1 0.5 0.5}
\newrgbcolor{ttffqq}{0.2 1 0}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.69,3.96)(5.43,8.53)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\rput{-6.81}(1.85,6.18){\psellipse[linecolor=ffzzzz,fillcolor=ffzzzz,fillstyle=solid,opacity=0.4](0,0)(3.43,2.07)}
\rput{-3.15}(1.51,6.13){\psellipse[linecolor=ttffqq,fillcolor=ttffqq,fillstyle=solid,opacity=0.35](0,0)(2.57,1.07)}
\psline[linecolor=ffzzzz](-0.16,8.01)(-0.58,4.9)
\psline[linecolor=ffzzzz](0.78,8.23)(0.32,4.43)
\psline[linecolor=ffzzzz](1.32,8.27)(0.8,4.28)
\psline[linecolor=ffzzzz](3.12,8.01)(2.73,4.1)
\psline[linecolor=ffzzzz](4.18,4.48)(4.39,7.37)
\begin{scriptsize}\fontsize{11pt}{11pt}
\rput[bl](-0.9,7.3){\blue{$A_1$}}
\rput[bl](-1.01,6.){\blue{$B\cap A_1$}}
\rput[bl](0.1,7.7){\blue{$A_2$}}
\rput[bl](-0.25,6){\blue{$B\cap A_2$}}
\rput[bl](0.9,7.9){\blue{$A_3$}}
\rput[bl](0.65,6){\rotatebox{81}{\blue{$B\cap A_3$}}}
\rput[bl](2,6.5){$B$}
\rput[bl](-1.3,7.9){$A$}
\rput[bl](2,5.5){\blue{$\dots$}}
\rput[bl](2,7.8){\blue{$\dots$}}
\rput[bl](3.5,7.1){\blue{$A_{k-1}$}}
\rput[bl](3.1,5.9){\blue{$B\cap A_{k-1}$}}
\rput[bl](4.6,6.4){\blue{$A_k$}}
\rput[bl](4.4,5.6){\blue{$B\cap A_k$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\Dem{
  \begin{eqnarray*}
B&=&B\cap \Omega \\
&=& B\cap \left(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_k\right)\\
&=& (B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup\cdots\cup(B\cap A_k)   \qquad \text{ par distributivé}
  \end{eqnarray*}
Cette union étant disjointe, on a donc :
$$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\cdots+P(B\cap A_k)$$
}


\Expl{On considère les urnes $U_1$, $U_2$ et $U_3$ contenant respectivement :
\begin{itemize}
 \item 1 boule rouge et 5 jaunes
 \item 3 rouges et 1 jaune
\item 1 rouge et 2 jaunes
\end{itemize}
On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne.\\
Quelle est la probabilité que la boule tirée soit jaune ?
}

\Rq{
Ceci justifie la dernière règle de calcul sur les arbres :\\
 \og La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins réalisant à cet événement. \fg
 puisque l'on décompose en fait l'événement qui nous intéresse suivant une partition de $\Omega$.
}


\begin{ExoF}
Taupie a mis des oeufs de pâques dans une boîte, les uns contiennent un cadeau, les autres non. On sait que :
\begin{itemize}
 \item $30\%$ des oeufs contiennent un cadeau.
 \item $40\%$ des oeufs avec un cadeau sont bleus, les autres sont roses ;
 \item $75\%$ des oeufs sans cadeau sont bleus, les autres sont roses.
\end{itemize}
Sophie choisit au hasad un oeuf dans la boîte. On admet que tous les oeufs ont la même probabilité d'être choisies. \\
On considère les  événements suivants :
\begin{itemize}
 \item C : \og l'oeuf choisi contient un cadeau \fg
\item B : \og l'oeuf choisi est bleu \fg
\end{itemize}
\begin{enumerate}
 \item Traduire les probabilités de l'énoncé sous forme mathématique.
 \item Représenter la situation par un arbre de probabilités.
%\item Décrire l'événement $A\cap B$ par une phrase. Montrer que sa probabilité est égale à $0.12$.
\item Calculer la probabilité de l'événement B.
 \item Décrire par une phrase l'événement $A \cup B$ par une phrase, puis calculer sa probabilité.
 \item Calculer la probabilité qu'un oeuf bleu contienne un cadeau.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Simplet, Goldorak et Monica Bellucci reviennent de la forêt avec trois paniers contenant respectivement 1, 2 et 3 
champignons. Dans chaque panier, il y a un champignon vénéneux.\\
On choisit un des trois paniers au hasard, et dans ce panier on goûte un des champignons choisi lui aussi au 
hasard. \\
Quelle est la probabilité de se tordre de douleur puis de succomber dans d’atroces souffrances quelques minutes 
après ?\\
Un élève syldave qui passait par là a choisi un panier au hasard puis un champignon dans ce panier. 
On constate qu’il se tord de douleur puis succombe dans d’atroces souffrances : quelle est la probabilité qu’il 
ait goûté un champignon venant du panier de Monica Bellucci ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
Pour réussir une carrière politique en Corrèze, il faut une implantation locale. Dans cette perspective, un jeune énarque
décide d’acquérir un château corrézien. Pour se faire connaître, il hante les commices agricoles du département. Il a ainsi deux
chances sur trois d’être élu député. Si, par dessus le marché, il touche le derrière des vaches, cette probabilité passe à trois
chances sur quatre. Il y a trois chances sur cinq pour que, son conseiller en communication lui ayant refilé le tuyau, il touche
le derrière des vaches.
\begin{enumerate}
 \item Calculer la probabilité pour qu’il soit élu député. 
\item Il est député. Calculez la probabilité pour qu’il ait touché le derrière des vaches.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Marcel est distrait. Quand il part travailler, il oublie parfois de s'habiller et prend le tramway entièrement dévétu. 
 Quand il a voyagé la veille nu, il voyage nu une fois sur cinq le jour même; sinon, une fois sur deux.\\
On note $N_n$ l'événement \og ~il voyage le $n^{\text{ième}}$ jour
nu~\fg et $p_n$ sa probabilité.
\begin{enumerate}
\item Exprimez $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $p_{n+1}=1/2-3p_n/10$}\end{flushright}
\item On pose $u_n=p_n-5/13$ 
\item Exprimez $u_{n+1}$ en
fonction de $u_n$, puis de $u_1$ et $n$.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: $u_n=u_1(-3/10)^{n-1}$}\end{flushright}
\item Exprimez alors $p_n$ en fonction de $n$. \item Montrez que
la suite $(p_n)$ est convergente et calculez sa limite.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 5/13}\end{flushright}
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Des études morphologiques de la Vénus de Milo montrent qu'il y a cinq chances sur sept pour qu'elle soit droitière et deux
chances sur sept pour qu'elle soit gauchère. Si elle est droitière, il y a trois chances sur cinq pour qu'elle épluche des carottes et
deux chances sur cinq pour qu'elle dénoyaute des olives.  Si elle est gauchère, il y a une chance sur deux pour qu'elle épluche des
carottes et une chance sur deux pour qu'elle dénoyaute des olives. 
\begin{enumerate} 
\item Calculez la probabilité pour qu'elle dénoyaute des
olives.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 3/7}\end{flushright}
\item Les noyaux trouvés sur le site archéologique de la statue
permettent d'affirmer sans hésiter qu'elle dénoyaute des olives.\\
Calculez la probabilité pour qu'elle soit gauchère.
%\begin{flushright}\rotatebox{180}{Réponse~: 1/3}\end{flushright}
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Rastatopoulos, célèbre poète grec du XX$^e$ siècle avant GC, nous rapporte l'anecdote suivante.\\
La Vénus de Milo rangeait ses
olives dans trois amphores. Dans la première, il y avait 30 olives
vertes et 20 olives noires. Les deux autres amphores contenaient,
l'une quatre olives vertes (Rastatopoulos ne sait plus laquelle),
l'autre quatre olives noires (Rastatopoulos ignore évidemment de
quelle amphore il s'agit).\\
 Un jour d'éclipse totale du soleil, la
Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore,
puis la place dans une des deux autres amphores. Elle prend
ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleil
réapparait~: l'olive est verte.\\
Calculez la probabilité pour que la dernière amphore visitée
contienne plusieurs olives vertes.\\
\textsl{On pourra considérer les événements suivants
\begin{itemize}
\item $V_1$~: \og la première olive est verte \fg 
\item $A$~: \og la deuxième amphore contenait les quatre olives vertes \fg 
\item $V_2$~: \og la deuxième olive est verte \fg
\end{itemize}}
\end{ExoF}

\section{Précisons ce qu'est l'indépendance}

\subsection{Evénements et variables aléatoires}
\begin{defi}
Deux événements $A$ et $B$ sont dits \textbf{indépendants} si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. 
\end{defi}

\Rqs{
\item Cela revient à dire, si $A$ et $B$ sont de probabilité non nulle, que $P_A(B)=P(B)$ et $P_B(A)=P(A)$ .
\item Ainsi, la réalisation de l'un des événements n'a pas d'influence sur celle de l'autre, ce qui est cohérent
avec la définition de l'indépendance donnée dans la partie I. 
\item Ne pas confondre \textbf{incompatibles} ($P(A\cap B) = 0$) et \textbf{indépendants} ($P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$) !
 }

\Expls{
\begin{itemize}
 \item $\Omega$ est indépendant de tout événement $A$, car $P(\Omega \cap A) = P(A) = P(A) \times 1 = P(A) \times P(\Omega)$.
 \item Montrer que deux événements incompatibles de probabilité non nulle ne sont pas indépendants.
 \item 
 \textit{On peut faire dire ce que l'on veut à des probabilités selon le modèle choisi}.\\
Supposons que sur un groupe de 100 personnes, 20 portent des sous-vêtements en polystirène expansé, 
50 se curent la narine droite avec l'index gauche et 10 font les deux à la fois. \\
On met ces 100 personnes dans une boîte et on en tire une au hasard. 
\begin{enumerate}
 \item Vérifiez que les événements \og~la personne tirée porte des sous-vêtements en polystirène expansé~\fg 
 et \og~ la personne tirée se cure la narine droite avec l'index gauche~\fg sont indépendants.
\item \'Etudiez le même problème en considérant cette fois-ci que 15 personnes se curent la narine droite avec l'index gauche (pourquoi pas).
\end{enumerate} 
\end{itemize}
}

\Rq{De façon générale, la définition probabiliste de l'indépendance est plus large que la notion intuitive.
La seule idée à retenir est que , si $A$ et $B$ sont indépendants, \textbf{avoir observé la réalisation de \textit{A} ne 
modifie pas la probabilité d'une éventuelle réalisation de \textit{B}}.\\
}


\begin{theo}
 Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors il en est de même pour $\overline{A}$ et $B$
\end{theo}

\Dem{
$B= \left(A\cap B \right) \cup \left(\overline{A}\cap B\right)$ \qquad
Donc  $P(B)= P\left(A\cap B \right) +P\left(\overline{A}\cap B\right)$. Ainsi :
\begin{eqnarray*}
P\left(\overline{A} \cap B \right) &=& P(B) - P\left(A\cap B \right)\\
&=& P(B) - P(A) \times P(B) \qquad \text{car } A \text{ et } B \text{ sont indépendants}\\
&=& P(B) \times \left( 1 - P(A) \right) \\
&=& P(B) \times P\left(\overline{A}\right)  \qquad\qquad \text{Donc $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.}
\end{eqnarray*}
}

%\Expl{On lance un dés parfaitement équilibré. On considère les variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur l'univers
%par :
%\begin{itemize}
% \item $X$ prend la valeur 1 si le résultat est pair, $-1$ sinon ;
% \item $Y$ prend la valeur 2 si le résultat est 2 ou 5, la valeur 1 sinon.
%\end{itemize}
%Montrer que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.
%}

\section{Concrètement, le bac, c'est quoi ??}

\begin{ExoF}
On dispose d'un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces 
portent le numéro 3.\\
\noindent  On dispose également d'une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, 
portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).\\
\noindent Un joueur fait une partie en deux étapes :\\
 \textbf{Première étape} : il jette le dé et note le numéro obtenu.\\ 
  \textbf{Deuxième étape} :\\  
$\bullet~$  si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l'urne. Il gagne la partie si cette boule porte 
une voyelle et il perd dans le cas contraire.\\
$\bullet~$	si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. 
Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.\\
$\bullet~$	si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. 
Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.\\
\noindent À la fin de chaque partie, il remet dans l'urne la ou les boules tirée(s).\\
\noindent  On définit les év\`enements suivants :\\
\noindent  D$_{1}$ : \og le dé indique 1 \fg\hspace{1cm}	D$_{2}$ : \og le dé indique 2 \fg 
 D$_{3}$ : \og le dé indique 3 \fg  \hspace{1cm} G : \og la partie est gagnée \fg.\\
\noindent  A et B étant deux év\`enements tels que $p$(A) $\neq 0$, on note $p_{\text{A}}(\text{B})$ la probabilité de 
B sachant que A est réalisé.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
 \item Déterminer les probabilités $p_{\text{D}_{1}}(\text{G}),~ p_{\text{D}_{2}}(\text{G})$,  
 et $p_{\text{D}_{3}}(\text{G})$
\item Montrer alors que $p$(G) = $\cfrac{23}{180}$.
\end{enumerate}
\item Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu'il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\textsl{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, 
une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement  la lettre correspondant â la réponse choisie.}\\
\noindent Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies.\\
Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.\\
\noindent 40\,\% des écrivains de romans policiers sont français et 70\,\% des \'ecrivains de biographies sont français.\\
\noindent Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
\begin{enumerate}
\item La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
\[\textbf{a.}\quad 0,4\qquad \qquad	\textbf{b.}\quad 0,75 \qquad \qquad \textbf{c.}\quad \cfrac{1}{150}\]
\item Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :
\[\textbf{a.}\quad 0,3 \qquad \qquad \textbf{b.}\quad 0,8 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad  0,4\]
\item La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est
\[\textbf{a.}\quad 1,15 \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad 0,4 \qquad\qquad \textbf{c.}\quad  0,3\]
\item La probabilité que le lecteur choisisse un livre d'un écrivain français est :
\[\textbf{a.}\quad 0,9 \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad 0,7\qquad \qquad \textbf{c.}\quad  0,475\]
\item La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est  français est :
\[\textbf{a.}\quad \cfrac{4}{150} \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad \cfrac{12}{19}\qquad \qquad \textbf{c.}\quad  0,3\]
\item Le lecteur est venu 3 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu'il ait choisi au moins un roman policier est :
\[\textbf{a.}\quad 1-(0,25)^{3} \qquad\qquad  \textbf{b.}\quad  3\times 0,75  
\qquad \qquad \textbf{c.}\quad 0,75\times(0,25)^{3}\]
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On considère trois urnes U$_{1}$,~ U$_{2}$, et U$_{3}$.\\
\noindent  L'urne U$_{1}$ contient deux boules noires et trois boules rouges ; l'urne U$_{2}$ contient une 
boule noire et quatre boules rouges  ; l'urne U$_{3}$ contient trois boules noires et quatre boules rouges.\\
\noindent   Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U$_{1}$ et une boule de U$_{2}$, à les 
mettre dans U$_{3}$, puis à tirer au hasard une boule de U$_{3}$.\\
\noindent    Pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par N$_{i}$, (respectivement R$_{i}$) l'év\`enement \og 
on tire une boule noire de l'urne U$_{i}$ \fg (respectivement  \og on tire une boule rouge de l'urne U$_{i}$ \fg).
\begin{enumerate}
 \item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :
\begin{center} 
\begin{pspicture}(6,7)
\psline{->}(0,3.5)(1.9,1.5) \psline{->}(0,3.5)(1.9,5.5)
\psline{->}(2.3,1.5)(3.9,0.5)  \psline{->}(2.3,1.5)(3.9,2.5)
\psline{->}(2.3,5.5)(3.9,4.5)   \psline{->}(2.3,5.5)(3.9,6.5) 
\psline{->}(4.3,6.5)(6,7)   \psline{->}(4.3,6.5)(6,6) 
\psline{->}(4.3,4.5)(6,5)   \psline{->}(4.3,4.5)(6,4) 
\psline{->}(4.3,2.5)(6,3)   \psline{->}(4.3,2.5)(6,2) 
\psline{->}(4.3,0.5)(6,1)   \psline{->}(4.3,0.5)(6,0) 
\rput(2.1,1.5){R$_{1}$}  \rput(2.1,5.5){N$_{1}$} 
\rput(4.1,0.5){R$_{2}$}  \rput(4.1,2.5){N$_{2}$}   
\rput(4.1,4.5){R$_{2}$}   \rput(4.1,6.5){N$_{2}$} 
\rput(6.2,0){R$_{3}$}   \rput(6.2,1){N$_{3}$}  
\rput(6.2,2){R$_{3}$}  \rput(6.2,3){N$_{3}$}  
\rput(6.2,4){R$_{3}$}  \rput(6.2,5){N$_{3}$}  
\rput(6.2,6){R$_{3}$}  \rput(6.2,7){N$_{3}$}                 
\end{pspicture} 
\end{center}
\item \begin{enumerate} 
\item Calculer la probabilité des év\`enements N$_{1}  \cap \text{N}_{2}~\cap  \text{N}_{3}$, 
et N$_{1}  \cap \text{R}_{2}~\cap  \text{N}_{3}$.
\item En déduire la probabilité de l'év\`enement $\text{N}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.
\item Calculer de façon analogue la probabilité de l'év\`enement $\text{R}_{1} \cap  \text{N}_{3}$.
\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente la probabilité de l'év\`enement N$_{3}$.
\item Les év\`enements N$_{1}$ et N$_{3}$ sont-ils indépendants ?
\item Sachant que la boule tirée dans U$_{3}$ est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U$_{1}$ soit rouge ?
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\textsl{On note} $p_{\text{A}}(\text{B})$ \textsl{la probabilité 
conditionnelle de l'évènement} B \textsl{sachant que l'évènement} A \textsl{est 
réalisé.} \\
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au 
toucher. 
\begin{enumerate} 
\item On effectue au hasard un tirage sans remise de deux 
boules de l'urne. \\
On note A$_{0}$ l'évènement ; \og on n'a obtenu aucune boule noire \fg ; \\
On note A$_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire \fg ; \\
On note A$_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires \fg. \\
Calculer les probabilités de A$_{0}$,~ A$_{1}$ et A$_{2}$. 
\item Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. \\
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de 
l'urne. \\
On note B$_{0}$ l'évènement : \og on n'a obtenu aucune boule noire au tirage 
n$\textsuperscript{o}~ 2$ \fg \\
On note B$_{1}$ l'évènement : \og on a obtenu une seule boule noire au tirage 
n$\textsuperscript{o}~ 2$ \fg \\
On note B$_{2}$ l'évènement : \og on a obtenu deux boules noires au tirage 
n$\textsuperscript{o}~ 2$ \fg 
\begin{enumerate} 
\item Calculer $p_{\text{A}_{0}}(\text{B}_{0}),~ 
p_{\text{A}_{1}}(\text{B}_{0})$ et $p_{\text{A}_{2}}(\text{B}_{0})$. 
\item En déduire $p(\text{B}_{0})$. 
\item Calculer $p(\text{B}_{1})$ et $p(\text{B}_{2})$. 
\item On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. 
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du 
premier ? 
\end{enumerate} 
\item On considère l'évènement R : \og il a fallu exactement les deux tirages 
pour que les deux boules noires soient extraites de l'une \fg. \\
Montrer que $p(\text{R}) = \cfrac{1}{3}$. 
\end{enumerate} 
\end{ExoF}



\begin{ExoF}


Un joueur dispose d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes 
U$_{1}$,~ U$_{2}$ et U$_{3}$ contenant chacune $k$ boules, où $k$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.

\noindent ll y a trois boules noires dans l'urne U$_{1}$,deux boules noires dans l'urne U$_{2}$ et 
une boule noire dans l'urne U$_{3}$, et toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches.

\noindent Les boules sont indiscernables au toucher.

\noindent Une partie se déroule de la façon suivante :

\noindent le joueur lance le dé,

$\bullet~$ 	s'il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{1}$, note sa couleur et 
la remet dans l'urne U$_{1}$ ;

$\bullet~$	s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_{2}$, note sa couleur et 
la remet dans l'urne U$_{2}$ ;

$\bullet~$	si le numéro amené par le dé n'est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans 
l'urne U$_{3}$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_{3}$.

\noindent On désigne par A, B, C, et N les év\`enements suivants :

A : \og Le dé amène le numéro 1 \fg ;

B : \og Le dé amène un multiple de trois \fg ;

C : \og Le dé amène un numéro qui n'est ni le lui un multiple de trois \fg ;

N : \og La boule tirée est noire \fg.

\begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie.

\begin{enumerate} \item Montrer que la probabilité qu'il obtienne une boule noire est égale \`a $\cfrac{5}{3k}$.

\item Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.

\item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit supérieure à $\cfrac{1}{2}$.

\item Déterminer $k$ pour que la probabilité d'obtenir une boule noire soit égale à
	$\cfrac{1}{30}$.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilité d'obtenir une boule noire en jouant 
une partie soit égale à $\cfrac{1}{30}$.

 Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
 
  Calculer, sous forme exacte puis arrondie à $10^{-3}$, la probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire.
  
 \end{enumerate}
\end{ExoF}




\begin{ExoF}

\begin{enumerate} \item Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.

On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté $a$,
porté sur le jeton, puis on remet le jeton tiré dans l'urne.

On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note $b$ le
numéro du jeton tiré.

On note $P(a,b)=a(1+b)-5+b(1-a)$


Montez que la probabilité que $P(a,b)$ soit nul est égale à 1/4.

\item Deux personnes $A$ et $B$ jouent au jeu suivant, constitué
d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après~: au
cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux
jetons décrit dans la première question.

Si $A$ obtient un $P(a,b)$ nul et $B$ un $P(a,b)$ non nul, $A$ est
déclaré vainqueur et le jeu s'arrête.

Si $A$ obtient un $P(a,b)$ non nul et $B$ un $P(a,b)$ nul, $B$ est
déclaré vainqueur et le jeu s'arrête.


Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle
partie; le jeu continue.


Pour tout entier $n$, on désigne par~:
\begin{itemize}
\item $A_n$ l'événement~: \og $A$ gagne la $n^{\text{ème}}$ partie
\fg
\item $B_n$ l'événement~: \og $B$ gagne la $n^{\text{ème}}$ partie
\fg
\item $C_n$ l'événement~: \og le jeu continue après la
$n^{\text{ème}}$ partie
\fg
\end{itemize}

\begin{enumerate} \item Calculez les probabilités $p(A_1)$, $p(B_1)$ et
$p(C_1)$. \item Exprimez $p(C_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et
montrez que
$$ p(C_n)=\left(\dfrac{5}{8}\right)^n$$
\item Exprimez $p(A_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et montrez que
$$ p(A_n)=\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{5}{8}\right)^{n-1}$$
\end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminez la limite de $p(A_n)$ quand $n$
tend vers $+\infty$. \item Déterminez le plus petit entier $n$ tel
que $p(A_n)$ soit inférieur ou égal à 0,01.\end{enumerate}\end{enumerate}
\end{ExoF}





\begin{ExoF} 
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant 
l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.

Pour tout entier naturel $n\se1$, on note $E_n$ l'événement~: \og
Amélie est arrêtée par le $n^{eme}$ feu rouge ou orange \fg et
$\overline{E_n}$ l'événement contraire (le feu orange est
considéré comme un feu rouge).

Soit $p_n$ la probabilité de $E_n$ et $q_n$ celle de
$\overline{E_n}$. La probabilité que le premier feu tricolore soit
rouge ou orange vaut 1/8.


On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées
\begin{itemize}
\item la probabilité que le $(n+1)^{eme}$ feu tricolore soit rouge
ou orange, si le $n^{eme}$ feu est rouge ou orange, vaut 1/20.

\item la probabilité que le $(n+1)^{eme}$ feu tricolore soit rouge
ou orange, si le $n^{eme}$ feu est vert, vaut 9/20.

\end{itemize}

\begin{enumerate} \item On s'intéresse tout d'abord aux deux premiers feux
tricolores. Complétez un arbre pondéré rendant compte de la
situation. \item On se place maintenant dans le cas général. \begin{enumerate}
\item Donnez les probabilités conditionnelles $p_{E_n}(E_{n+1})$
et $p_{\overline{E_n}}(E_{n+1})$. \item En remarquant que
$E_{n+1}=(E_{n+1}\cap E_n)\cup(E_{n+1}\cap \overline{E_n})$,
montrez que, pour tout $n\in\N^*$
$$p_{n+1}=\dfrac{1}{20}p_n+\dfrac{9}{20}q_n$$
\item Déduisez-en l'expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
\end{enumerate} \item Soit $(u_n)$ la suite de nombres réels définie pour
tout $n\in\N^*$ par $u_n=28p_n-9$. \begin{enumerate} \item Montrez que
$(u_n)$ est géométrique et déterminez sa raison. \item Exprimez
$u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$. \item Déterminez la limite,
si elle existe, de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Interprétez ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF} On considère l'ensemble $E=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$.

Avec deux chiffres distincts $x$ et $y$ de $E$ on crée un unique
domino simple noté indifféremment $[x,y]$ ou $[y,x]$.

Avec un chiffre $z$ de $E$, on forme un unique domino double noté
$[z,z]$.

\begin{enumerate}\item Combien de dominos peut-on ainsi créer~? \item On tire
au hasard un domino. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité
d'obtenir un domino constitué de chiffres pairs~? \item Quelle est
la probabilité d'obtenir un domino dont la somme des chiffres est
paire~? \end{enumerate} \item On tire au hasard et simultanément deux
dominos.

Un élève affirme~: \og la probabilité d'obtenir un domino double et
un simple dont l'un des chiffres est celui du domino double est
égale à 4/45 \fg.

Son affirmation est-elle vraie ou fausse~?

\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à
choisir une urne parmi les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au hasard, les deux choix sont équiprobables),
puis à effectuer lle tirage d'une boule dans l'urne choisie.

On note $A$ l'événement \og l'urne $a$ est choisie \fg, $B$
l'événement \og l'urne $b$ est choisie \fg et $R$ l'événement \og une
boule rouge est obtenue au tirage \fg.

On note $p_A(R)$ la probabilité conditionnelle de l'événement $R$
par rapport à l'événement $A$. \begin{enumerate} \item Dans cette question,
l'urne $a$ contient une boule rouge et quatre boules blanches,
l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux boules blanches.
\begin{enumerate} \item Déterminez les probabilités $p(A)$, $p_A(R)$, $p(A\cap
R)$. \item Montrez que $p(R)=13/30$. \item Sachant que la boule
obtenue est rouge, quelle est la probabilité que l'urne choisie
soit l'urne $a$~? \end{enumerate} \item Dans cette question , l'urne $a$
contient quatre boules blanches, l'urne $b$ contient  deux boules
blanches. L'urne $a$ contient en outre $n$ boules rouges et l'urne
$b$ en contient $(5-n)$, où $n$ désigne un entier naturel
inférieur ou égal à 5. \begin{enumerate} \item Exprimez $p_A(R)$ et $p_B(R)$
en fonction de $n$. \item Montrez que
$p(R)=\dfrac{-n^2+4n+10}{(4+n)(7-n)}$ \item On sait que $n$ ne prend
que six valeurs entières.

Déterminez la répartition des cinq boules rouges entre les urnes
$a$ et $b$ donnant la plus grande valeur de $p(R)$. \end{enumerate} \end{enumerate}
\end{ExoF}

\newpage
\section{Lien les statistiques aux probabilités : interpréter un échantillon}

Cette partie vous introduit dans le monde des \textsl{Statistiques inférentielles} (\textbf{Inférer} : 
tirer une conséquence de quelque proposition, de quelque fait, etc.) auquel vous êtes en fait constamment confronté(e) en tant que 
citoyen(ne) d'une société hautement médiatisée. 
La statistique inférentielle  est en effet la science qui permet  de \og \textbf{\textit{modéliser une partie
  observable du réel  comme résultant d'un phénoméne  aléatoire pour lequel on envisage  non pas une
  mais toute une famille de lois de probabilités possibles}} \fg\, (J.P. Raoult - dossier APMEP- Déc 2005)\\
C'est un sujet très intéressant, exigeant une réflexion approfondie sur les notions abordées, les conclusions à émettre, 
entraînant un débat intéressant, permettant d'avoir une démarche scientifique partant d'une expérimentation.
Malheureusement, nous sommes loin de disposer du temps nécessaire. Nous nous contenterons donc d'une préparation pure et 
simple aux \textbf{exercices qui sont tous identiques}, mis à part le contexte expérimental. \\
Donc ne paniquez pas en lisant ceci, car il s'agit d'une explication succincte de la théorie que vous aurez 
uniquement à appliquer, ce qui sera en fait très simple.\\
Dans tous les cas, il s'agira d'étudier les résultats d'une série de $n$ expériences ayant 
deux issues possibles (Succès ou Echec), dans laquelle on pense pouvoir affirmer que $P($Succès$)=p$. \\
La question qui se pose alors est :
\textbf{Comment décider que cette affirmation est \og raisonnable \fg ou pas ??}\\
Mais regardons en détail un exemple.\\

\Expl{
Ponpon dispose d'une capsule de coca et il pense que la probabilité d'obtenir la face bombée visible est 
$p=\dfrac14$. Autrement dit, il pense que la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de fois où 
l'on obtient le côté bombé de la capsule sur $n$ lancers suit une loi $B\left(n,\dfrac14\right)$.
Il souhaite évidemment savoir s'il a raison. \\
Pour cela, il la lance $100$ fois (à la main, c'est fastidieux, mais Ponpon est curieux et courageux !). 
Il a obtenu 68 fois la face creuse visible et 32 fois la face bombée. \\
Ponpon a alors envie de penser qu'il s'est trompé et que $p=\dfrac13$. Mais il continue sa quête de la 
vérité et ne s'arrête pas là.\\
Il pense à utiliser sa variable aléatoire $X$, qui suivrait ici, selon son hypothèse, 
la loi $B\left(100,\dfrac14\right)$.\\
Avec un tableur, il calcule chacune des probabilités $P(X=k)$, pour $0\leq k \leq 100$, et 
les représente sous forme de diagramme.\\
\textit{Et oui ! Ponpon est vraiment doué ! Vous, avec vos connaissances de Seconde, vous auriez plutôt 
simulé l'expérience aléatoire de 100 lancers, et observé la fluctuation d'échantillonnage ...}\\
Bref, voici sa feuille de calcul \textit{(remarquez la formule utilisée dans la ligne de saisie)}.
}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{Repart.eps}
\end{center}
Ponpon constate déjà que même sous l'hypothèse $p=\dfrac14$, la probabilité d'obtenir exactement $25$ 
fois le côté bombé est inférieur à $0.1$, ce qui lui semble bien peu.\\
De plus, il constate qu'une certaine probabilité de ces $100$ lancers donne 32 fois le côté bombé
(pas forcément négligeable au vue de la probabilité ci-dessus).\\
Enfin, il constate que $95\%$ des fréquences observées sont l'intervalle $[0.17 ; 0.34]$ (en rouge).\\
Cependant, comme Ponpon ne présume pas de ses connaissances statistiques (qu'il est modeste !), 
il demande à Chacha son avis :
\begin{center}
\textbf{Quels peuvent-être les critères de décisions ?
Quelles sont alors les erreurs commises ? }
\end{center}

Voici leur discussion :
\begin{itemize}
     \item Pour examiner l'hypothèse $p=\dfrac14$, tu as bien fait de réaliser l'expérience un certain 
     nombre de fois.\\
La fréquence d'apparition du dessus de la capsule est de $f=0.32$ (tu me suis là ? parce que j'ai
compté directement).
 \item Mais évidemment que je te suis, je ne suis pas aussi nul que Hugo quand même !
 \item Ok, ok, je te taquinais juste.\\
Bref, si les valeurs de $f$ et $p$ sont \og trop éloignées \fg, on rejettera l'hypothèse.
 \item Oui mais ca veut dire quoi \og trop éloignées \fg ?
 \item J'y viens. Avant je voudrais juste que tu comprennes une chose. 
 En fait, on ne peut jamais être sûr de rien, mais d'un point de vue statistique, 
 on peut avoir une idée de la réponse, avec une certaine marge d'erreur.
 \item Pffff ! Mais c'est nul ton truc, autant répondre au hasard !
 \item Ponpon, écoute-moi au lieu de bouder. C'est exactement parce que les gens ne s'intéresse pas à 
 la suite qu'ils ne comprennent pas les sondages et pensent que les statisticiens se plantent les 3/4 du temps. 
 Pourtant c'est faux. Alors écoute, tout ceci éveillera ta conscience.\\
Je reprends et je m'explique plus clairement. Notre éventuel rejet ne peut pas être fait à coup sûr, 
c'est pour cela que l'on se fixe une marge d'erreur
à l'avance (jamais donnée dans les sondages ceci dit, alors qu'elle est essentielle pour leur interprétation ...).
On parle aussi de seuil.\\
Dans notre cas, on fixera le seuil à $95\%$, ce qui signifie que la probabilité de rejeter l'hypothèse 
$p=\dfrac14$ alors qu'elle est vraie, sera inférieure à $5\%$. Ok ?
 \item Pffff ! Mais pourquoi pas moins ? On ne peut pas $0\%$, ça j'ai compris, mais pourquoi pas $1\%$ ?
 \item Non Ponpon, tu n'as pas bien compris. $5\%$  est la probabilité de rejeter l'hypothèse faite alors 
qu'elle est vraie. Mais évidemment, il y a aussi des cas où on ne rejettera pas l'hypothèse alors qu'elle 
est fausse ! Tout est une question d'équilibre ...\\
Si tu réduis le seuil à $1\%$, tu rejetteras encore moins de fois ton hypothèse, vraie ou pas, 
donc a priori tu l'accepteras beaucoup trop souvent pour accorder du crédit à ta réponse.\\
Soit dit en passant, tu peux aussi faire ton test à $0\%$ d'erreur. L'explication est alors plus 
flagrante encore : cela veut dire que tu ne rejettes jamais ton hypothèse (ce qui 
t'évite effectivement de te planter en la rejetant alors qu'elle est vraie). 
Donc que tu acceptes aussi toutes les fausses. Alors ? Utile comme test ??
\item Non, tu as raison (comme toujours). Bon alors, ce test à $5\%$ d'erreur, comment on le fait ?
\item Je veux pointer une dernière nuance de vocabulaire.
\item Pffff ! Moi je voulais une réponse par oui ou non au départ ...
\item Et rester inculte ! Non, il faut comprendre pour progresser. Donc, je reviens sur ma dernière phrase. 
J'ai dit \og tu acceptes toutes les fausses \fg . En fait, il s'agit d'un abus de langage de ma part
(et même d'une erreur honteuse, mais c'était pour que tu comprennes bien). 
On ne dira jamais que l'accepte l'hypothèse faite, car on ne sait jamais, là non plus, si on a raison ou tort.
Je ne crois pas d'ailleurs pas que l'on puisse déterminer la marge d'erreur dans ce sens, mais c'est un autre débat.\\
On se contentera donc de dire qu'on ne peut pas rejeter l'hypothèse, autrement dit, 
on considérera qu'elle est \og raisonnable \fg (ou pas lorsqu'on la rejette au seuil de $5\%$).
\item Ok. Bon, on le fait ce test ??
\item C'est parti ! Voici mon cours !\\
 \end{itemize}

En classe de seconde, les élèves ont observé que sur un grand nombre d'échantillons de taille $n$ simulés 
(avec $n \leq 25$), 
$95\%$ au moins fournissent une fréquence d'apparition $f$ appartenant à l'intervalle 
$\left[p-\dfrac1{\sqrt{n}} ; p+ \dfrac1{\sqrt{n}}\right]$ (appelé intervalle de fluctuation des 
fréquences à $95\%$), où $p$ est la probabilité connue d'apparition du Succès (et $0.2 \leq p \leq 0.8$).\\\\
Mais depuis la classe de première, on peut utiliser la loi Binomiale (ce à quoi Ponpon a bien sûr pensé), 
et donner un 
intervalle de fluctuation encore plus précis.\\ 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de Succès. 
On a alors $X \hookrightarrow B\left(n;p\right)$.\\
%On pose $Y=\dfrac{X}{n}$, et $Y$ correspond à la fréquence théorique du succès $S$ sur un échantillon de taille $n$.

\begin{defi}
L'intervalle de fluctuation à $95\%$ associé à une variable aléatoire $X$ suivant une 
loi $B(n;p)$ est l'intervalle 
$\left[\dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n} \right]$ où $a$ et $b$ sont les deux entiers naturels définis par :
\begin{itemize}
 \item $a$ est le plus petit entier tel que $P(X\leq a)>0.025$
 \item $b$ est le plus petit entier tel que $P(X\leq b)\leq 0.975$
\end{itemize}
\end{defi}

\Rq{Il est clair que cet intervalle contient bien au moins $95\%$ des fréquences, 
puisqu'on a rejeté les $5\%$ les plus \og obsolètes \fg , 
à savoir  $2.5\%$ à chaque extrême des valeurs possibles prises par $X$.\\
Pour calculer $a$ et $b$, on utilisera souvent un tableur, ou alors les résultats seront donnés dans l'énoncé.
}

\Cadre[Critère de décision]{
On veut examiner l'hypothèse $P($Succès$)=p$. Soit $f$ la fréquence d'apparition observée de l'événement Succès dans un échantillon d'expériences répétées de 
taille $n$.\\
On désigne par $I$ l'intervalle de fluctuation des fréquences à $95\%$ associée à la loi binomiale $B(n;p)$.
\begin{itemize}
 \item Si $f\notin I$, on rejette l'hypothèse avec une probabilité inférieure à $5\%$ de se tromper
 \item Si $f \in I$, on ne rejette pas l'hypothèse car elle est raisonnable 
 (on ne connait pas le risque de se tromper).
\end{itemize}
}

\Expl{
Reprenons l'exemple de Ponpon et de sa capsule. 
\begin{itemize}
 \item Avec le résultat de seconde, il obtient l'intervalle de fluctuation 
$$I=\left[p-\dfrac1{\sqrt{n}} ; p+ \dfrac1{\sqrt{n}}\right] = \left[\dfrac14-\dfrac1{\sqrt{100}} ; 
\dfrac14 + \dfrac1{\sqrt{100}}\right]= [0.15;0.35]$$
\item Sur la copie d'écran ci-dessus, on peut voir que $a= 17$ et $b=34$. Donc l'intervalle de fluctuation 
associé est 
$$J=\left[\dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right] = \left[\dfrac{17}{100} ; \dfrac{34}{100}\right] = [0.17 ; 0.34]$$
Ce qui signifie que si on a bien $p=\dfrac14$, alors dans au moins $95\%$ des expériences à $100$ lancers, 
on obtient entre $17$ et $34$ fois le côté bombé de la capsule.
\item \textbf{Comparaison :} Les deux démarches produisent des intervalles très voisins, 
mais on remarque que $J\in I$, il est donc plus précis.\\
De plus, comme $J$ contient au moins $95\%$ des fréquences, ceci est aussi vrai pour $I$, ce qui 
conforte le résultat vu en seconde qui était sorti de nul part. Un peu comme ici me direz-vous, mais 
en fait pas vraiment. C'est juste que la théorie et la démarche sont compliquées à comprendre, mais au moins 
y a-t-il un semblant de vulgarisation d'explications ...\\
Enfin, on peut remarquer que $I$ est toujours centré en $p$, mais ce n'est pas forcément le cas de $J$, 
comme sur cet exemple.
\item \textbf{Conclusion :} Ponpon avait obtenu 32 fois le côté bombé, donc son hypothèse $p=0.25$ est 
raisonnable au seuil de $5\%$ (elle ne fait pas parti des $5\%$ considérés obsolètes).
\end{itemize}
}

\Rq{
Pour sa seconde hypothèse $p=\dfrac13$, on obtient grâce à la loi $B\left(100,\dfrac13\right)$ et à un tableur,
l'intervalle de fluctuation :
$$J=\left[\dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}\right] = \left[\dfrac{24}{100} ; \dfrac{43}{100}\right] = [0.24 ; 0.43]$$
Donc son hypothèse est encore raisonnable.\\
Conclusion : Ponpon doit lancer encore plus de fois sa capsule pour avoir davantage de précision !
}

\Expl{
A trouver demain !
}

\begin{ExoF}\\
  \begin{minipage}{10cm}
L'algorithme ci-contre permet de déterminer la plus petite valeur $k$ telle que $P(X\leq k) >S$ avec $X$ une variable aléatoire 
qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et $S$ un réel.
\begin{enumerate}
 \item Programmer cette algorithme sur une calculatrice.
 \item Déterminer, pour un seuil de $0.95$, les intervalles de fluctuation obtenus à l'aide du programme précédent d'une fréquence 
 correspondant à la réalisation sur un échantillon aléatoire de taille $n$, d'une variable aléatoire $X$ de loi binomiale
 de paramètres $n=50$ et $p=0.3$.
 \item De même pour $n=300$ et $p=0.02$.
 \end{enumerate}
 \end{minipage}\quad 
\begin{minipage}{8.5cm}
\Algo[Fluctu]{8.5cm}{
  \Var{$S$, $R$ et $P$ sont trois nombres réels ;\\
  $N$ et $K$ sont deux entiers naturels}
  \Deb{
  Saisir $N$, $P$ et $S$\\
  $K$ prend la valeur $0$\\
  $R$ prend la valeur $(1-P)^N$\\
  \While{R<S}{
  $K$ prend la valeur $K+1$\\
  $R$ prend la valeur \\
  \quad Combinaison($N$,$K$)$\times P^K \times (1-P)^{N-K} + R$
  }
  Afficher $K$
  }
}
\end{minipage}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1.2]{TI89.eps} \qquad\qquad \qquad \qquad \includegraphics[scale=1.2]{TI83.eps}
\end{center}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Une machine fabrique des processeurs. On sait que la probabilité d'obtenir un porcesseur défectueux est $p=0.06$.\\
 On contrôle des lots de $300$ processeurs. 
 Soit $X$ une variable aléatoire représentant le nombre de processeurs défectueux sur ce lot.
 On suppose que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $300$ et $0.06$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la valeur du plus petit entier $a$ tel que $p(X\leq a) >0.025$.
  \item Déterminer la valeur du plus petit entier $b$ tel que $p(X\leq b) \geq 0.975$.
  \item En déduire l'intervalle de fluctuation à $95\%$ d'une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon
  aléatoire de taille $300$, de la variable $X$.
  \item Le contrôle de la machine $A$ donne $23$ processeurs défectueux ; le contrôle de la machine $B$ donne $28$ processeurs défectueux.\\
  Que peut-on en conclure ?
 \end{enumerate}

\end{ExoF}



\end{document}
