\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 5}
\newcommand{\Ch}{Dans la continuit\'e, \'etudions les fonctions !}
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex


\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{5}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{banksy.eps}{Flower Chucker}{Banksy-Pochoiriste}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{Il combine les techniques du graffiti et du pochoir pour faire passer ses messages, qui mêlent souvent politique, humour et poésie comme Ernest Pignon-Ernest ou Blek le rat. Les pochoirs de Banksy sont des images humoristiques, parfois combinés avec des slogans. Le message est généralement antimilitariste, anticapitaliste ou antisystème. Ses personnages sont souvent des rats, des singes, des policiers, des soldats, des enfants ou des personnes âgées.\\
Il s'est forgé une certaine notoriété dans les milieux alternatifs et les médias traditionnels s'intéressent aussi à lui. Il a notamment travaillé sur le film Les Fils de l'homme2 et a réalisé en 2003 la pochette du disque de Blur, Think Tank.\\
Banksy a fondé le projet \og Santa's Ghetto \fg en réalisant des peintures sur le mur de Gaza afin de redonner espoir aux habitants palestiniens et israéliens. Aidé par d'autres artistes, comme Ron English, un Américain, le mur de séparation prend petit à petit les couleurs d'une toile artistique géante, comme avec l'image de la petite Vietnamienne brûlée au napalm qui tient par la main Mickey Mouse et Ronald McDonald.\\
Concernant ce projet, Banksy raconte dans son livre Wall and Piece, qu'un jour, alors qu'il peignait sur le mur 
de séparation, un habitant est venu lui dire : \og vous embellissez le mur \fg. Banksy, flatté : 
\og Merci, c'est gentil \fg, fut aussitôt coupé par le vieil homme : \og On ne veut pas que ce mur soit beau, 
on ne veut pas de ce mur, rentrez chez vous \fg.}{0.6}{0.4}{
 \item Montrer qu'une fonction est continue en un point
 \item Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
 \item Connaître ses formules de dérivées
 \item Etudier des fonctions trigonométriques
}

\TITRE{femme.eps}{0.5}

\begin{abstract}
\noindent Les notions de continuité et de dérivabilité, et par suite d'intégration sont apparues tardivement 
dans l'histoire des mathématiques ($XVII^\text{ème}$ siècle) et ont permis de résoudre de nombreux problèmes 
auxquels les méthodes classiques n'offraient pas de solution générale, comme le calcul de la vitesse instantanée, 
la recherche de trajectoire d'un objet en mouvement, le calcul de la longueur de la trajectoire d'une planète, 
le calcul de l'aire limitée par des courbes, $\dots$. \\
Ce n'est qu'au siècle dernier que les mathématiciens ont travaillé avec rigueur en utilisant ces nouveaux objets. 
En effet ils se sont longtemps contentés d'utiliser des définitions intuitives...
\end{abstract}
\begin{center}
\textit{Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre sont définies sur $\R$ ou sur une partie de $\R$ et à valeurs 
dans $\R$. Les intervalles considérées sont non vides et non réduit à un réel.}
\end{center}

%\newpage



\section{Continuité d'une fonction}
\subsection{Notion de continuité}

\begin{defi}
Soit $I$ un intervalle contenant un réel $a$, et $f$ une fonction définie au moins sur $I$ (donc en $a$).\\
On dit que $f$ est \textbf{continue en $a$} lorsque : $ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)$.\\
En particulier, dans ce cas on a : $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)=f(a)$.\\
On dit que $f$ est \textbf{continue sur $I$} lorsqu'elle est continue en tout réel $a$ de $I$.  
\end{defi}

\Expl{Vous savez que la fonction carré tend vers $9$ lorsque $x$ tend vers $3$. Et bien cela signifie que la fonction carré 
est continue en $3$ (en fait elle est même continue en tout réel, donc sur $\R$).
}

\Rqs{
\item La plupart des fonctions que vous connaissez sont continues sur leur ensemble de définition.\\
%Par exemple, la fonction $f:x\longmapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\R^+$. 
Mais le démontrer est assez ardu, 
car la définition de la continuité, et donc de celle des limites, n'est pas d'un usage aisé. 
\item On ne voit pas trop ce que signifie cette définition. En fait, le mot \textit{continue} est bien choisi, car les fonctions 
continues sur un intervalle sont celles dont la représentation graphique se trace à l'aide d'un trait continu
(mais attention, ce ne sont pas les seules, il faut donc rester méfiant quant à ce raccourci graphique ...)
\item On a cependant besoin de la définition de la continuité en un point, car il existe des cas où une fonction est clairement 
continue presque partout, et qu'il faut regarder juste en certains points, plus délicats.
}

\textbf{Illustrations }:
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{nivaud2.5}
\end{center}
On peut tracer la courbe $\mathscr C_f$ sans lever le crayon. Elle ne présente pas de \og saut \fg, $f$ est continue en tout point.
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{nivaud2.6}
\end{center}
On ne peut pas tracer la la courbe $\mathscr C_f$ sans lever le crayon, $f$ présente une discontinuité en un point ; on dit qu'elle est discontinue en ce point.
\end{multicols}

\Cexpl[Des limites à droite et à gauche réelles mais différentes]{
\begin{multicols}{2}
Observons la fonction partie entière, notée $E$, définie sur $\R$. Ainsi , $\forall x \in \R$ on a :
$$ E(x)=\text{le plus grand entier inférieur ou égal à } x$$
Par exemple $E(\pi)=3$, $E(-\pi)=-4$\footnote{On remarquera que la fonction partie entière des mathématiciens n'est pas 
symétrique par rapport à $0$, contrairement à celle des informaticiens qui considèrent que $E(-\pi)=-3$}\\
Ci-contre, nous avons tracé $\mathscr C_E$. \\
Il est clair que $E$ est continue sur tout intervalle du type $]x;x+1[$ où $x\in\Z$.\\
Par contre, $E$ admet des discontinuités en tout entier. En effet on a par exemple :
$$ \lim\limits_{x \to 2^+} E(x)=E(2)=2\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 2^-} E(x)=1$$
Les limites à droite et à gauche étant différentes, la fonction partie entière n'admet pas de limite en $2$. \\
Elle est donc discontinue en $2$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm , yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-3.6,-3.6)(4.1,3.6)
\def\xmin{-3.5} \def\xmax{4} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.6,-3.6)(4.1,3.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{1}{\F}
\def\G{1}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{1}{2}{\G}
\def\H{2}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{2}{3}{\H}
\def\I{3}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{3}{4}{\I}
\def\J{0 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{0}{\J}
\def\K{0 2 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{-1}{\K}
\def\L{0 3 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-2}{\L}
\psdot(0,0)\psdot(1,1)\psdot(2,2)\psdot(3,3)\psdot(-1,-1)\psdot(-2,-2)\psdot(-3,-3)
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[d](-2,-2.6){[}
\uput[d](-1,-1.6){[}
\uput[d](0,-0.6){[}
\uput[d](1,0.4){[}
\uput[d](2,1.4){[}
\uput[d](3,2.4){[}
\uput[d](4,3.4){[}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\Rq{
Il est nécessaire que la fonction $f$ soit définie en $a$ pour parler de continuité, car sinon, la notation $f(a)$ n'a pas de sens ! 
(alors que $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ peut en avoir un et exister). \\
Par exemple, on ne peut pas parler de la discontinuité de la fonction inverse en $0$, car la fonction n'est pas définie en $0$.\\
\begin{multicols}{2}
Par contre, définissons la fonction $f$ sur $\R$ par 
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                  \dfrac1x & \text{ si } x\neq 0 \\ 0 & \text{ sinon }
                                                                 \end{array}\right.$$
On constate que $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x \to 0^-}f(x)=-\infty$ et 
$f(0)=0$. Donc cette fonction n'est pas continue en $0$.
\begin{center}
 \psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-0.0001}{\F}
\def\G{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.000001}{3}{\G}
\def\H{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{0}{\H}
\psdot[linecolor=blue](0,0) 
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\subsection{Continuité des fonctions usuelles}
%\begin{theo}[Admis]
%Soit $a\in\R$.
%Une fonction définie en $a$ et admettant une limite finie en $a$ est continue en $a$. 
%\end{theo}

\begin{theo}[Admis]
Les fonctions polynômes, la fonction racine carrée, la fonction valeur absolue, 
les fonctions sinus et cosinus sont continues là où elles sont définies.
\end{theo}



\begin{theo}[Admis]
Soient $f$, $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $\lambda \in\R$. Alors :
\begin{itemize}
 \item $f+g$ est une fonction continue sur $I$
\item $f\times g$ est une fonction continue sur $I$
\item $\lambda f$ est une fonction continue sur $I$
\item Si de plus $g$ est une fonction non nulle sur $I$, alors $ \dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$
\item Si $g$ est continue sur un intervalle contenant $f(I)$, alors $f\circ g$ est continue sur $I$
\end{itemize}
\end{theo}


\begin{coro}
Toute fonction rationnelle à coefficients réels est continue sur son ensemble de définition. 
\end{coro}

\Expls{
  \begin{itemize}
   \item La fonction $f$ définie sur $\R$ par : $ f(x)=\dfrac{\sqrt{x^4+2x^2+1}}{x^2+1}$ est continue sur $\R$,
   comme composée de fonctions continues (polynômes, racine carré et quotient)
 \item On considère la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)=1+x-2x^2$. Etudier la continuité des fonctions suivantes :
$$f:x\mapsto |u(x)| \, , \quad g:x\mapsto \dfrac{1}{u(x)} \, \textrm{ et } \quad h:x\mapsto \sqrt{u(x)}$$
\item Soit $A$ un réel fixé et $f$ la fonction  définie sur $\R$ par : $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                      \dfrac{\sin(x)}{x} & \textrm{ si } x \neq 0 \\ A & \textrm{ sinon.} 
                                                                     \end{array}\right.$
\begin{multicols}{2}
 En observant la représentation graphique de $f$ ci-contre, on peut conjecturer que $A$ doit valeur $1$ pour que 
$f$ soit continue sur $\R$.\\
\textit{On dit que l'on a prolongé $f$ par continuité en $0$.\\
Pour l'instant, nous ne pouvons faire qu'une conjecture, mais nous pourrons bientôt démontrer ce résultat.}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.8]{sin.eps}
\end{center}
\end{multicols}
  \end{itemize}
}

\Rq{On dit souvent qu'une fonction continue est une fonction que l'on peut représenter par un trait 
continu (obtenu sans relâcher le crayon). Il faut rester méfiant par rapport à cette interprétation, 
car il existe en mathématiques des fonctions \og monstres \fg comme :
\begin{multicols}{2}
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x \text{ si }x\in\Q \\ 0 \text{ sinon } \end{array} \right.$$
En apparence on pourrait croire que cette courbe se trace sans lever le crayon et pourtant la 
fonction présente une infinité de discontinuités.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-1.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-1.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\F{x}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\F}
\def\G{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1}{3}{\G}
\endpsclip
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}


\begin{prop}
Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$. \textbf{La réciproque est fausse}.
\end{prop}


\Rqs{
\item La fonction valeur absolue est continue en $0$, mais elle n'est pas dérivable en $0$.
\item La continuité d'une fonction en $a$ traduit l'absence de \og saut \fg en son point d'abscisse $a$\\
La dérivabilité d'une fonction en $a$ si sa courbe représentative admet une tangente non verticale en son point d'abscisse $a$.
 \item Par convention, les flèches d'un tableau de variations d'une fonction $f$ traduisent la continuité et 
la stricte monotonie de $f$ sur les intervalles considérés. }


\subsection{Quelques contre-exemples}

\subsubsection*{Des limites à droite et à gauche réelles mais différentes}
C'est le cas de la fonction partie entière ou encore de la fonction 
$f$ définie sur $[0;2]$ par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                                               \cos(x) & \text{si } x \in[0;1] \\ \cos(x-1) & \text{si } x\in]1;2]
                                              \end{array}\right.$$
On sait déjà que $f$ est continue sur  $[0;1[$ et sur $]1;2]$ comme composée de fonction continue.\\
De plus, on a $\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \cos(0)=1$ et $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \cos(1) \neq 1$.\\
Ainsi, $f$ n'admet pas de limite en $1$ : elle est discontinue en $1$ donc sur $[0;2]$.

\begin{center}
 \includegraphics[]{cos.eps}
\end{center}

\subsubsection*{Des limites à droite et à gauche infinies}
\begin{multicols}{2}
On a déjà traité un exemple de ce type avec la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si }x=0 \\ \dfrac{1}{x} \text{ si } x\neq 0  \end{array} \right.$$
La fonction $f$ n'est pas continue en $0$.\\
\psset{xunit=0.7cm , yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\xmin{-3} \def\xmax{3} \def\ymin{-3} \def\ymax{3}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-3.1,-3.1)(3.1,3.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-3}{-0.0001}{\F}
\def\G{1 x div}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0.000001}{3}{\G}
\def\H{0}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{0}{\H}
\psdot[linecolor=blue](0,0) 
\endpsclip
\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{multicols}
\Att{Il ne faut pas confondre cette fonction avec la fonction inverse qui est continue en tout point 
de son ensemble de définition !}


\subsubsection*{Des limites à droite et à gauche réelles, égales mais différentes de la valeur de la fonction}
\begin{multicols}{2}
Modifions légèrement un exemple déjà traité. \\
Soit $f$ la fonction  définie sur $\R$ par : $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                      \dfrac{\sin(x)}{x} & \textrm{ si } x \neq 0 \\ 0 & \textrm{ sinon.} 
                                                                      \end{array}\right.$$
On peut montrer que 
$$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=1\quad \text{et}\quad \lim\limits_{x \to 0^-} =1
\quad \text{Mais} f(0)=0$$ 
Donc cette fonction n'est pas continue en $0$.
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.9]{sin.eps}
\end{center}
\end{multicols}



\subsubsection*{Les limites à droite et à gauche n'existent pas}
\begin{multicols}{2}
Il faut avouer que dans la pratique, presque toutes les fonctions admettent une limite à droite et à gauche. 
Mais il est intéressant d'avoir vu quelques contre-exemple dans sa vie.\\
Soit $f$ la fonction  définie sur $\R$ par : $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
                                                                      \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) & \textrm{ si } x \neq 0 \\ 0 & \textrm{ sinon.} 
                                                                      \end{array}\right.$$
Il n'existe pas de limite à droite et à gauche de $0$ pour la fonction $f$. Par contre $f(0)=0$.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{cos_inverse.eps}
\end{center}
\end{multicols}


\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 77 p 76 (graphique)\\
 n$^{\circ}$ 79 à 81 p 77 (calculs simples)\\
n$^{\circ}$ 115-116-120 p 84 (approfondissement)
 \end{ExoL}


\subsection{Applications de la continuité}
\subsubsection{Limite d'une suite}
\begin{theo}[du point fixe - Admis]
Soient $f$ une fonction \textbf{continue} sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite de réels de $I$ convergente  
vers  $\ell\in I$.\\
Alors la suite $(f(u_n))_n$ converge vers $f(l)$, autrement dit : 
$$ \lim\limits_{n \to +\infty} f(u_n)=f(l)$$
\end{theo}


\Rq{
Nous connaissions déjà ce théorème lorsque la fonction ne contenait que des opérations sur les limites connues et nous l'utilisions
pour déterminer la limite de suite récurrente. Désormais, il sera plus simple de le justifier.
}

\Dem[Hors Programme]{Comme $f$ est continue en $\ell$, on a : $$ \lim\limits_{x \to \ell} f(x)=f(l)$$
Considérons un intervalle ouvert $J$ centré autour de $f(l)$. Il existe un intervalle ouvert  $L$ centré autour de $\ell$ tel que $f(x)\in J$ pour tout $x\in L$\\
Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, à partir d'un certain rang $n_0$ on aura $u_n \in L$ et donc $f(u_n)\in J$.}


\begin{multicols}{2}
\Expl{
 On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier $n$, par :
 $$ \left\{ \begin{array}{l} u_0=1 \\ u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5} \end{array} \right.$$}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{xunit=0.8cm , yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\xmin{-1.5} \def\xmax{8} \def\ymin{-1} \def\ymax{6}
\newrgbcolor{couleurcadre}{0.99 0.99 0.99}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=couleurcadre](-2,-1.6)(8.5,6.6)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,0)(1,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(1,3)(0,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,3)(3,3)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,3)(3,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,0)(3,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(3,4.1231)(0,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.1231)(4.1231,4.1231)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.1231)(4.1231,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,0)(4.1231,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.1231,4.63599)(0,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(0,4.63599)(4.63599,4.63599)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=blue,linestyle=dotted]{-}(4.63599,4.63599)(4.63599,0)
\def\F{4 x mul 5 add sqrt}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{-1.25}{8}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-1.25}{8}{\F}
\uput[0](3,5){$C_f$}
\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=5,Dy=5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec i$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec j$}
\uput[-90](1,0){\small $u_0$}
\uput[180](0,3){\small $u_1$}
\uput[-90](3,0){\small $u_1$}
\uput[180](0,4.1231){\small $u_2$}
\uput[-90](4.1231,0){\small $u_2$}
\uput[180](0,4.63599){\small $u_3$}
\uput[-90](4.63599,0){\small $u_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la représentation graphique ci-dessus, où $f$ est définie par $f(x)=\sqrt{4x+5}$, 
conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est majorée par $5$. 
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
 \item En déduire que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.
\end{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}



\subsubsection{Nombre de solutions d'une équation}
\begin{theo}[des valeurs intermédiaires - Admis]
Soit $f$ une fonction \textbf{continue} sur un intervalle $I$ et  $a$ et $b$ deux réels de $I$. \\
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, 
il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$
\end{theo}


\textbf{Illustrations }:
\begin{multicols}{2}
Cas d'une fonction non monotone :
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.1}
\end{center}
Cas d'une fonction monotone :
\begin{center}
\includegraphics{nivaud2.2}
\end{center}
\end{multicols}


\Rqs{
\item L'hypothèse de continuité est essentielle, essayer d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour la fonction partie entière avec $a=0$, $b=1$ et $k=\dfrac{1}{2}$ ! 
\item Le TVI permet d'affirmer l'existence de solution(s) mais ne permet pas de les trouver ! \\
En général, on en cherche une approximation par balayage à la calculatrice ou par dichotomie.}

\Dem[HP]{Supposons $a<b$. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a;b]$ et $k$ un nombre réel tel que $f(a)\leq k\leq f(b)$ (le cas $f(b)\leq k\leq f(a)$ se traite exactement de la même manière).\\
On construit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que :
\begin{itemize}
\item $a_0=a$ et $b_0=b$
\item Si $f\left(\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)\right)\leq k$, on prend $a_1=\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)$ et $b_1=b_0$\\
sinon, on prend $a_1=a_0$ et $b_1=\dfrac{1}{2}(a_0+b_0)$.
\item On réitère le même processus pour construire tous les termes de la suite i.e si $f\left(\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)\right)\leq k$ on prend $a_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)$ et $b_{n+1}=b_n$, sinon on prend $a_{n+1}=a_n$ et $b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n+b_n)$
\end{itemize} 
}
\DemS{
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 0$, $$b_n-a_n=\dfrac{1}{2^n}(b_0-a_0)$$
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante, puis que la suite $(b_n)$ est décroissante.\\
En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes.
\item On note $\ell$ la limite commune des suites $(a_n)$ et $(b_n)$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout $n\in \N$, $$ f(a_n)\leq k\leq f(b_n)$$
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\Expl{Démontrer que l'équation $2\cos x=x-1$ admet un moins une solution dans $\R$}


\Applic{Toute fonction polynôme $P$ de degré impair admet au moins une racine réelle.}

\Sol{Dans le cas où le coefficient devant le monôme de plus haut degré est positif (l'autre cas est identique) on a :
$$  \lim\limits_{x \to -\infty} P(x)=-\infty$$
donc il existe $a\in\R^-$ tel que $P(x)<0$. De même : 
$$ \lim\limits_{x \to +\infty} P(x)=+\infty $$
donc il existe $b\in\R^+$ tel que $P(x)>0$. \\
$P$ est une fonction polynôme donc $P$ est continue sur $[a;b]$ avec $P(a)<0$ et $P(b)>0$, 
donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe $c\in\R$ tel que $P(c)=0$
}\\



\begin{coro}[Théorème de la bijection]
Si $f$ est une fonction \textbf{continue} et \textbf{strictement monotone} sur $[a;b]$ alors 
pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ a une solution \textbf{unique} dans $[a;b]$.
\end{coro}


\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{nivaud2.2}
\end{center}

\Rqs{
\item En ajoutant l'hypothèse de la monotonie, on récupère l'unicité de l'antécédent de $k$.
\item Ce théorème s'étend au cas où $f$ est définie sur un intervalle ouvert, semi-ouvert, borné ou non 
(les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle étant supposées connues).
 \item On convient que les flèches obliques dans un tableau de variations d'une fonction $f$ traduisent la continuité et la stricte 
 monotonie de $f$ sur l'intervalle correspondant.
}

\Dem{\begin{itemize}
 \item D'après le TVI, il existe un réel $c \in[a;b]$ tel que $f(c)=k$, d'où l'existence.
 \item Considérons le cas où $f$ est une fonction strictement croissante sur $[a;b]$.\\
Pour tout $x<c$ on a $f(x)<f(c)=k$ et pour tout $x>c$ on a $f(x)>f(c)=k$.\\ 
Donc pour tout $x\neq c$ de l'intervalle $[a;b]$ on a $f(x)\neq f(c)$, par conséquent $c$ est unique.
\end{itemize}}



\Expl{
La fonction $f$ définie sur $[1;2]$ par $f(x)=x^3+x$ est strictement croissante.\\
De plus, $f(1)=2$ et $f(2)=10$. Donc l'équation $f(x)=3$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[1;2]$. \\
On cherche à connaître $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
\begin{itemize}
\item \textbf{Par balayage}
Cela consiste à calculer $f(x)$, pour $x$ allant de 1 à 2, tous les $10^{-1}$. On fait donc un tableau de valeurs.\\
On cherche deux valeurs succesives de $x$ pour lesquelles les images encadrent 3.\\
On trouve $f(1.2)\simeq 2.93$ et $f(1.3)\simeq 3.50$. Donc $\alpha \simeq 1.2$
\item \textbf{Par dichotomie}
Cela consiste à calculer $f(x)$ en prenant pour $x$ le centre de l'intervalle de départ. On peut alors se ramener à
un intervalle d'amplitude réduite de moitié, en fonction de si on a dépassé ou non la valeur cherchée. \\
On réitère le processus jusqu'à l'amplitude voulue (à la $n^{eme}$ étape, on aura réduit l'amplitude de $2^n$).\\
Ici on fait $f(1,5)=4,875 >3$. Donc $\alpha \in [1;1.5]$.\\
Puis $f(1.25) \simeq 3.2>3$ donc $\alpha \in [1;1.25]$. \qquad\qquad
$f(1.125)\simeq 2.55<3 $ donc $\alpha \in [1.25;1.125]$.\\
$f(1.1875) \simeq 2.86$ donc  $\alpha \in [1.1875;1.125]$. L'amplitude de cette intervalle est inférieur à $0.1$, donc $\alpha \simeq 1.2$.
\end{itemize}
}

\Rq{
Grâce à la calculatrice, la méthode de balayage est souvent plus rapide. Cependant, quand l'amplitude de départ est grande, ou l'approximation
très petite, il est intéressant de combiner les deux méthodes, en commençant par la dichotomie, et finissant par le balayage.
}

\Expl{
Dénombrer les solutions réelles de l'équation $x^5-5x=-1$ et en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
}


\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 18 p 64 (algo)\\
 n$^{\circ}$ 86 (tbx) - 89 à 91 p 77 (applications simples)\\
n$^{\circ}$ 95-96 p 78 (nombre de solutions en fonction d'un paramètre + graphique différent du calcul)\\
n$^{\circ}$ 129 p 87 (point fixe)\\
DM : n$^{\circ}$ 94-98 p 78 (algo + problème autour d'une bille)
 \end{ExoL}

 \newpage
\section{Dérivabilité}
\subsection{Le nombre dérivé}

\begin{defi}
%Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a\in\R$, noté $f'(a)$, est la limite du taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
%lorsque $h$ tend vers $0$, si elle existe (ie s'il s'agit d'un nombre réel).
Rappelons simplement qu'une fonction $f$ est \textbf{dérivable en un réel }$a$ si 
%On dit que $f$ est\textbf{ dérivable en $a\in\R$} si
le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un réel lorsque $h$ tend vers $0$.\\
Dans ce cas, cette limite est appelée \textbf{nombre dérivé de $f$ en $a$}, et est notée $f'(a)$ :
$$f'(a)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
Une fonction $f$ est \textbf{dérivable sur un intervalle $I$} lorsqu'elle est dérivable en tout $a\in I$.\\
Dans ce cas, on appelle \textbf{fonction dérivée} de $f$, notée $f'$, la fonction qui à tout $x \in I$ associe 
le nombre $f'(x)$.
 \end{defi}

\Rq{En Première, on vous a introduit le nombre dérivé d'une fonction $f$ en $a$ comme le coefficient directeur de
la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $A$. Rappelons alors la propriété suivante.} 
 
\begin{prop}
Soit $f$ une fonction, de courbe  représentative $\mathscr C_f$, dérivable en $a\in\R$ et $A$ le point d'abscisse $a$ de $\mathscr C_f$. \\
L'équation réduite de la tangente à $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $a$ est : 
$$y=f'(a)(x-a)+f(a) $$
\end{prop}

\Dem{
L'équation réduite de la tangente $T_a$ à $\mathscr C_f$ passant par $A$ est de la forme : 
$$ y=mx+p\qquad \text{ avec }m=f'(a)$$
De plus, comme $A(a;f(a))$ est un point de $T_a$, les coordonnées de $A$ vérifient l'équation de $T_a$ :
$$ f(a)=f'(a)a+p\Longleftrightarrow p=f(a)-f'(a)a$$
Au final l'équation de $T_a$ est $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a\Longleftrightarrow y=f'(a)(x-a)+f(a)$
}

\Expl{
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
\begin{enumerate}
        \item 
        \begin{enumerate}
        \item Faire afficher sur la calculatrice le nombre dérivée de $f$ en $0$.
        \item Vérifier que le calcul de $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ conduit à une forme indéterminée.
        \item Utiliser la quantité conjuguée de $\sqrt{h^2+1}-1$ pour montrer que 
        $\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h}{\sqrt{h^2+1}+1}$ et conclure.
	\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représantative de $f$ au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	       \item En vous inspirant de la méthode précédente, déterminer $f'(1)$.
	       \item Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représantative de $f$ au point d'abscisse $1$.
	       \item Vérifier le résultat à la calculatrice.
	      \end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\subsection{Fonctions dérivées}
\Act{\begin{enumerate}
      \item Soit $u$ une fonction positive et dérivable sur un intervalle $I$ 
 et $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x)=\sqrt{u(x)}$. \\
On cherche à savoir si la fonction $g$ est dérivable sur $I$ et à connaître son éventuelle fonction dérivée.\\
Soit $a \in I$.
\begin{enumerate}
 \item Vérifier que $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h}$ conduit à une forme indéterminée.
 \item S'inspirer de la méthode de l'exemple précédent pour montrer que $\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}}$.
  \item Conclure.
\end{enumerate}
\item Soit $u$ une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un intervalle $I$. On cherche à savoir si la fonction
$u^n$ est dérivable sur $I$, et à connaître son éventuelle fonction dérivée en fonction de $n$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel non nul $n$, on a 
 $(u^n)'=nu'u^{n-1}$.
 \item Soit $m>0$. 
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\left(\dfrac{1}{u^m}\right)'=\dfrac{-mu'}{u^{m+1}}$
  \item En déduire que pour tout $n<0$, on a $(u^n)'=nu'u^{n-1}$
 \end{enumerate}
\item Conclure. 
\end{enumerate}
     \end{enumerate}
}

Les dérivées des fonctions de référence sont, je l'espère, déjà acquises. Aussi, nous ne rappelons et complétons ici que les règles
pour les composées de fonctions.\\

Dans le tableau suivant, $u$ et $v$ désignent deux \textbf{fonctions} d\'erivables 
sur un intervalle $I$ et $k$ d\'esigne un nombre r\'eel.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\centering}p{3cm}|>{\centering}p{6cm}|>{\centering}p{6cm}|}
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-2ex]{0pt}{6ex} \textbf{Fonctions}} 
& \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{D\'eriv\'ees} }
& \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Domaine de dérivabilité} }
%& \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {Ensemble de dérivabilité}
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ku$ & $ku'$ & $I$
%& Si $f(x)=5x^3$ \quad alors \quad $f'(x)=5\times 3x^2 = 15x^2$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u+v$ & $u'+v'$ & $I$
%& Si $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1+\left(-\dfrac1{x^2} \right) = 1-\dfrac{1}{x^2}$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u\times v$ &  $u'v+uv'$ & $I$
%& Si $f(x)=x\sqrt{x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=1 \times \sqrt{x}+x \times\dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x+x}{2\sqrt{x}} = \dfrac32\sqrt{x}$  
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $u^n$, $n \in \Z^*$ &  $nu'u^{n-1}$ & $I$
%& Si $f(x)=(5x+3)^7$ \quad alors \quad  $f'(x)=7\times 5 \times (5x+3)^6 = 35(5x+3)^6$  
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{1}{v}$ & $-\dfrac{v'}{v^2}$ & $I$
%& Si $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ \quad alors \quad  $f'(x)=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\dfrac{u}{v}$ &$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ & $I$
%& Si $f(x)=\dfrac{3x+2}{4-2x}$ \quad alors \quad  $f'(x)=\dfrac{3(4-2x)-(3x+2)\times(-2)}{(4-2x)^2}=\dfrac{16}{(4-2x)^2}$ 
\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $\sqrt{u}$ &$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ & $I$ privé des $x$ tels que $u(x)=0$.
%& à changer \quad alors \quad  $f'(x)=\dfrac{3(4-2x)-(3x+2)\times(-2)}{(4-2x)^2}=\dfrac{16}{(4-2x)^2}$ 
\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}


\Expls{
Si $f(x)=(5x+3)^7$ sur $\R$  alors $f$ est dérivable sur $\R$ et  
$f'(x)=7\times 5 \times (5x+3)^6 = 35(5x+3)^6$.\\
Si $g(x)=\sqrt{5x+3}$ sur $\left[\dfrac35 ; +\infty\right[$  alors $g$ est dérivable sur 
$\left]\dfrac35 ; +\infty\right[$ et  $g'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x+3}}$.
}
 
\Dem{
Démontrons uniquement les résultats nouveaux (Cf travail de l'élève précédent) 
\begin{itemize}
 \item $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ pour $n\in \Z^*$\\
Raisonnons par récurrence sur $\N^*$. \\
Pour $n=1$, on a $(u^n)'=(u^1)'=u'$  et $nu' u^{n-1} = 1 \times u' \times u^{1-1} = u'$.\\
Donc la proposition est vraie au rang $1$.\\
Supposons qu'il existe un $k\in\N^*$ tel que $(u^k)'=nu'u^{k-1}$.\\
Alors on a $u^{k+1} = u^k \times u $. \\
On applique la formule pour dériver un produit et on obtient 
$$(u^{k+1})' = ku'u^{k-1} \times u + u^k \times u' = ku'u^k+u'u^k = (k+1)u'u^k$$
Donc la proposition est héréditaire. Elle est vraie pour tout $n\in\N^*$.\\
Supposons désormais que $n<0$, alors $m=-n$ est strictement positif. Ainsi 
$$u^n = \dfrac1{u^{-n}}=\dfrac{1}{u^m}=\left(\dfrac{1}{u}\right)^m$$
avec $m>0$.
\end{itemize}
}
\DemS{
D'après ce qui précède, et la formule de dérivée de l'inverse, on a alors :
\begin{eqnarray*}
(u^n)' &=& \left(\dfrac{1}{u^m}\right)'\\
&=&\dfrac{0 \times u^m -mu'u^{m-1}\times 1}{u^{2m}}\\
&=& \dfrac{-mu'}{u^{2m-(m-1)}}\\
&=& \dfrac{-mu'}{u^{m+1}}\\
&=& \dfrac{nu'}{u^{-n+1}}\\
&=& nu' \times u^{n-1} 
\end{eqnarray*}
Donc la proposition est vrai aussi pour tout $n<0$. Au final, elle est vraie sur $\Z^*$.
\begin{itemize}
 \item $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$\\
 Soit $a\in I$. Le taux d'accroissement de $\sqrt{u}$ en $a$ est :
 \begin{eqnarray*}
  \tau(a)&=&\dfrac{\sqrt{u(a+h)}-\sqrt{u(a)}}{h}\\
  &=& \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h\left(\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}\right)} \quad \text{multiplication par l'expression conjuguée)}\\
\end{eqnarray*}
On obtient alors 
$$\lim\limits_{h \to 0} \tau(h) 
= \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}} 
= u'(a) \times \dfrac1{2\sqrt{u(a)}}$$
Ceci est bien un réel car $u(a) \neq 0$, et ceci est vrai pour tout $a\in I$ telle que $u(a)\neq 0$.
Donc on obtient le résultat du tableau.
\end{itemize}
}

 
\subsection{Composée d'une fonction affine suivie d'une fonction $f$}
 
\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et $a$, $b$ deux réels. On note $J$ l'intervalle
 formé des réels $x$ tels que $(ax+b)\in I$ et $\begin{array}{ccccc} 
                      g & : & J &\longrightarrow & \R              \\
                        &   & x &\longmapsto & f(ax+b)
                                                \end{array}$.\\
La fonction $g$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x\in J$ on a $g'(x) = a \times f'(ax+b)$
\end{theo}
 
\Expl{
On constate que les exemples précédents peuvent être retrouvés grâce à ce théorème. Il nous sera par contre indispensable
pour les fonctions affine suivie d'une fonction cosinus ou sinus.
} 
 
\Dem{
Soit $t\in J$. Le taux d'accroissement de $g$ en $t$ est :
\begin{eqnarray*}
 \tau(h)&=&\dfrac{g(t+h)-g(t)}{h}\\
 &=&\dfrac{f\left(a(t+h)+b\right)-f(at+b)}{h} \\
 &=& \dfrac{f(at+b+ah)-f(at+b)}{h}
\end{eqnarray*}
On pose $T=at+b$ et $H=ah \iff h=\dfrac{H}{a}$. Alors on a :
\begin{eqnarray*}
 \tau(h)&=&\dfrac{f(T+H)-f(T)}{\dfrac{H}{a}}\\
 &=&a\times \dfrac{f(T+H)-f(T)}{H} 
\end{eqnarray*}
Comme $t\in J$, on a $T\in I$ par définition de $J$. Donc $f$ est dérivable en $T$. \\
De plus, quand $h$ tend vers $0$, $H=ah$ aussi. D'où :
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{h\to 0} \tau(h)&=& \lim\limits_{H \to 0} a\times \dfrac{f(T+H)-f(T)}{H} \\
&=&a \times \lim\limits_{H \to 0} \dfrac{f(T+H)-f(T)}{H} \\
&=& a f'(T) \\
&=& a f'(at+b)
\end{eqnarray*}
D'où $g'(t)=af'(at+b)$. Ceci étant vrai pour tout $t\in J$, on a bien le théorème.
}
 

\Rq{
Les trois cas démontrés cette année sont en fait des cas particuliers 
de la dérivée d'une fonction composée $g=f\left(u(x)\right)$. \\
On admettra le résultat général (non au programme) suivant :
$$g'(x)=u'(x) \times f'\left(u(x)\right)$$
} 
 
 \begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 101-112 p 80 (fonctions rationnelles + Xcas)\\
n$^{\circ}$ 107 p 83 (asymptote oblique)\\
n$^{\circ}$ 108 p 83 (fonction auxiliaire classique)\\
n$^{\circ}$ 127 p 87 (suite des polynômes de Tchebychev)
 \end{ExoL}

\newpage
\section{Etude des fonctions trigonométriques de référence} 
 \subsection{Variations et propriétés}
\Act{\textit{On utilise le logiciel Géogébra.}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Figure de base}
\begin{enumerate}
       \item Ouvrir Géogébra et faire afficher le repère orthonormé $(O;I;J)$. 
 \item Choisir le radian comme unité d'angle dans \og Options \fg.
 \item Tracer le cercle trigométrique de centre $O$.
  \item Créer un curseur $t$, variant entre $-5\pi$ et $5\pi$.
 \item On veut placer un point $M$ associé au réel $t$ sur le cercle. \\
 Pour cela, dans la ligne de commande, saisir l'instruction suivante : $M=(1;t)$\\\\
 \Rq{Attention, le point-virgule est essentiel ! En effet, le couple $(1;t)$ ne désigne pas pour Géogébra 
 les coordonnées cartésiennes de $M$ dans le repère $(O;I;J)$, mais lui indique que $M$ sera à une distance $1$
 de l'origine $O$ du repère (donc il sera bien sur le cercle), et tel que $\left(\overrightarrow{OI} ; 
 \overrightarrow{OM} \right)= t$ radians. On parle de coordonnées \textbf{ polaires}.}
 \item Créer en ligne de commande le point $C$ de coordonnées $(x_M,0)$ et le point $S$ de coordonnées $(0,y_M)$
      \end{enumerate}
 \item \textbf{Variations} \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'abscisse du point $M$ dans le repère $(O;I;J)$ ? Son ordonnée ?
 \item Avec le curseur, déplacer le point $M$. \\
 Décrire son trajet, ainsi que ceux de $C$ et de $S$ correspondants.
  \item En déduire les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur $[-5\pi ; 5\pi]$.\\
  \textit{On précisera les valeurs où ces fonctions s'annulent.}
        \end{enumerate}
 \item \textbf{Courbes représentatives}
 \begin{enumerate}
  \item Compléter la figure précédente en crééant les points $R$ et $Q$ de coordonnées respectives 
  $(t,x_M)$ et $(t,y_M)$.
  \item Faire afficher leurs traces. Quelles courbes représentatives voient-on se dessiner ?
  \item Vérifier la cohérence entre les courbes obtenus et vos tableaux.
 \end{enumerate}
\item \textbf{Propriétés}
\begin{enumerate}
 \item Quelles propriétés constatez-vous pour les deux courbes ? Pouvez-vous la justifier ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction cosinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
 Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
 \item Quelle symétrie observez-vous pour la courbe représentative de la fonction sinus ? Pouvez-vous la justifier ?\\
Connaissez-vous d'autres fonctions de référence possédant cette propriété ?
\end{enumerate}
 \end{enumerate}
} 

\Act{En complément pour la parité (en AP ??) : Activité 3 p 93 (Déclic)} 
 
Le plan étant muni d'un repère orthonormé direct $\left(O ; \vec i ; \vec j \right)$, on peut associer à tout réel $x$ un unique
point $M$ sur le cercle trigonométrique (orienté, de rayon 1 avec une origine).\\

\begin{defi}
 La fonction qui à tout réel $x$ associe l'abscisse de $M$ est la fonction cosinus, notée cos. Ainsi $x \longmapsto \cos(x)$
 est définie sur $\R$.\\
La fonction qui à tout réel $x$ associe l'ordonnée de $M$ est la fonction sinus, notée sin. 
Ainsi $x \longmapsto \sin(x)$  est définie sur $\R$.
 \end{defi}

\begin{prop}[Définitions]
 Pour tout réel $x$, les points du cercle trigonométrique associés aux réels $x$ et $(x+2\pi)$ sont confondus. 
 Ainsi, $\forall x \in \R$ on a :
 $$\cos(x+2\pi) = \cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(x+2\pi)=\sin(x)$$
 On dit que les fonctions cosinus et sinus sont \textbf{périodiques}, de période $2\pi$.
\end{prop}
 
\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction périodique, de période $T$ (ie telle que $f(x+T)=f(x)$
pour tout $x\in D_f$) sur l'intervalle $[0;T]$ est la même que sur tout intervalle du type $[kT;(k+1)T]$, où $k\in\Z$.
\item Grâce à cette propriété, il suffira d'étudier ces fonctions sur un intervalle de taille $2\pi$ 
de notre choix, par exemple $[-\pi ; \pi]$.} 

\begin{prop}[Définitions]
 Pour tout réel $x$, les points $M$ et $M'$ du cercle trigonométrique, associés respectivement à $x$ et $-x$ 
 sont symétriques par rapport  à l'axe des abscisses. 
 Ainsi, $\forall x \in \R$ on a :
 $$\cos(-x) = \cos(x) \qquad \text{et} \qquad \sin(-x)=-\sin(x)$$
 On dit que la fonction cosinus est \textbf{paire} et la fonction sinus est \textbf{impaire}.
\end{prop}

\Rqs{
\item Graphiquement, la courbe représentative d'une fonction paire (ie tel que $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in D_f$)
est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.\\
Celle d'une fonction impaire (ie telle que $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in D_f$) est symétrique par rapport à 
l'origine du repère.
\item Grâce à cette propriété, on peut limiter l'étude de ces fonctions à un intervalle de longueur $\pi$, par exemple
$[0;\pi]$}

Reproduire les tableaux et les illustrations de la page 94 du Déclic, pour résumer les résultats précédents.

\subsection{Dérivées}

\Act{Déclic : Activité 2 p 92}

\begin{theo}
 Les fonctions cos et sin sont dérivables sur $\R$ (donc continues sur $\R$ aussi) et pour tout réel $x$ on a :
$$\cos'(x)=-\sin(x) \qquad \text{ et } \qquad \sin'(x)=\cos(x)$$ 
\end{theo}

\Dem{Exo 44 p 108}

\begin{prop}
 On en déduit la limite suivante à connaître :
 $$\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x) }{x} = 1$$
\end{prop}

\Dem{
On a $\lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x) }{x}= \lim\limits_{x\to 0 } \dfrac{\sin(x)-\sin(0) }{x-0}  
= \lim\limits_{h\to 0 } \dfrac{\sin(0+h)-\sin(0) }{h} 
=\sin'(0) =1$
}




 \begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 12 p 99 (fct tangente, en DM ?)\\
n$^{\circ}$ 23 + 28 à 31 + 45 + 47 + 59 + 60 p 105 (dérivées et limites)\\
n$^{\circ}$ 50-51-53-65 p 108 (étude de fonctions, tangente)\\
n$^{\circ}$ 66-72 p 111 (avec une fonction auxiliaire)
n$^{\circ}$ 68 p 113 (suite de fonctions)
n$^{\circ}$ 71 p 111 (TVI avec trigo)
\end{ExoL}

\end{document}