\documentclass[4apaper,11pt,french]{article}
\linespread{1}

\newcommand{\ch}{Chapitre 3}
\newcommand{\Ch}{Les vecteurs \`a la \linebreak conqu\^ete de l'espace}
\newcommand{\Cl}{TS}
\newcommand{\Annee}{2012-2013}
	

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package

\input macro_final.tex


\geometry{tmargin=2cm,bmargin=2.4cm,hmargin=2cm}

\setcounter{NumLecon}{3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 
\Chacha{kid_a.eps}{Kid A}{Radiohead}{I wish I was special}{Radiohead (Extrait de Creep)}{Kid A est le quatrième album du groupe de rock britannique Radiohead, il est sorti en 2000.
Alors que les albums précédents (tel OK Computer) restent dans un style rock alternatif, les albums suivants sont beaucoup plus psychédéliques : Kid A marque l'apogée de ce style expérimental de Radiohead. Pour cette raison, il est considéré par beaucoup comme un chef-d'œuvre. Dans cet album, les guitares ont quasiment disparu au profit de synthétiseurs et de sampleurs.
Le nom donné à l'album, Kid A (littéralement « Enfant A »), évoque pour certains un premier enfant cloné. Pour d'autres, il laisse penser que le groupe le considère comme son premier enfant. Avec Kid A, l'album suivant de Radiohead, Amnesiac, forme un diptyque de musique expérimentale, un prolongement : Kid A et Amnesiac forment en réalité le diptyque Kid Amnesiac.
Ce disque comporte une majorité de chansons composée principalement de synthétiseurs et de boîtes à rythmes (Kid A, Idioteque, Everything in Its Right Place...), tout en gardant des sonorités pop/rock (In Limbo) et en explorant d'autres univers comme le free-jazz (The National Anthem).
Selon Thom Yorke et Jonny Greenwood cet album est inspiré en partie par le livre No Logo de la journaliste canadienne 
Naomi Klein. Les membres du groupe pensaient d'ailleurs au départ à appeler l'album No Logo, en hommage à ce livre qui décrit 
la société de consommation.}{0.5}{0.8}{
\item Connaître les diverses positions relatives de l'espace
 \item Trouver des sections de cubes par un plan
 \item Utiliser les vecteurs dans l'espace
 \item Découvrir la représentation paramétrique d'une droite
}

\TITRE{thom.eps}{0.3}

\begin{abstract}
 
\end{abstract}

\newpage
\section{Le point sur l'espace}
\subsection{Positions relatives des objets}
\Act{$ABCDE$ est la pyramide ci-dessous, telle que sa base $BCDE$ est un 
parallélogramme.\\
$I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$. $K$ est le point du segment $[AD]$ tel 
que $AK=\dfrac{3}{4}AD$.\\
\begin{minipage}{7cm}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer la position relative et les intersections éventuelles
 \begin{enumerate}
 \item des droites :
\begin{itemize}
 \item $(IJ)$ et $(BC)$
 \item  $(JK)$ et $(CD)$
\item  $(JK)$ et $(BC)$ 
\end{itemize}
\item de la droite et :
\begin{itemize}
  \item  $(BC)$ et  $(ADE)$
  \item  $(IJ)$ et  $(BCD)$
 \item  $(JK)$ et  $(ACD)$
\item $(JK)$ et  $(ADE)$
 \item  $(JK)$ et  $(BCD)$  
 \end{itemize}
\item des plans :
\begin{itemize}
 \item  $(BCD)$ et $(AIE)$
 \item $(IJK)$ et $(ABC)$
 \item $(IJK)$ et $(ADE)$
 \item $(ABC)$ et $(ADE)$.
\end{itemize} 
\end{enumerate}
\vspace{3cm}
\item Grâce à certaines des questions précédentes, tracer la section du tétraèdre $ABCDE$ 
par le plan $(IJK)$ sur la figure ci-contre.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{15cm}
  \begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(7,5)
\psline(-2,-1)(4,-2)
\psline(5,-1)(4,-2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](5,-1)(-1,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-1,0)(-2,-1)
\psline(-1,4)(-2,-1)
\psline(-1,4)(5,-1)
\psline(-1,4)(4,-2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-1,4)(-1,0)
%\psline(-1.5,1.5)(1.5,1)
%\psline(1.5,1)(3.5,0.25)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](-2,-1)
\rput[bl](-2.34,-1.24){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](4,-2)
\rput[bl](4.04,-2.42){\blue{$C$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](5,-1)
\rput[bl](5.08,-0.84){\blue{$D$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](-1,0)
\rput[bl](-1.26,0.04){\blue{$E$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](-1,4)
\rput[bl](-0.92,4.16){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=darkgray](1.5,1)
\rput[bl](1.58,1.16){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=darkgray](-1.5,1.5)
\rput[bl](-1.72,1.58){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=darkgray](3.5,0.25)
\rput[bl](3.58,0.4){\darkgray{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(7,5)
\psline(-2,-1)(4,-2)
\psline(5,-1)(4,-2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](5,-1)(-1,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-1,0)(-2,-1)
\psline(-1,4)(-2,-1)
\psline(-1,4)(5,-1)
\psline(-1,4)(4,-2)
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-1,4)(-1,0)
%\psline(-1.5,1.5)(1.5,1)
%\psline(1.5,1)(3.5,0.25)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](-2,-1)
\rput[bl](-2.34,-1.24){\blue{$B$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](4,-2)
\rput[bl](4.04,-2.42){\blue{$C$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](5,-1)
\rput[bl](5.08,-0.84){\blue{$D$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](-1,0)
\rput[bl](-1.26,0.04){\blue{$E$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=blue](-1,4)
\rput[bl](-0.92,4.16){\blue{$A$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=darkgray](1.5,1)
\rput[bl](1.58,1.16){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=darkgray](-1.5,1.5)
\rput[bl](-1.72,1.58){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=+,linecolor=darkgray](3.5,0.25)
\rput[bl](3.58,0.4){\darkgray{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
}

\Cadre[Une droite et un plan]{
Soient  $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
		\item 
%\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\textbf{La droite et le plan sont sécants}.\\
Ils ont un unique point commun.\\		
		\scalebox{0.45} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-5)(10.5,5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,2.0)(0.47,-2.0)(8.47,-2.0)(10.47,2.0)
\psline[linewidth=0.04cm](8.47,5.0)(7.47,0.0)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.47,0.0)(7.07,-2.0)
\psline[linewidth=0.04cm](7.07,-2.0)(6.47,-5.0)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.2,0.2){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.69){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(6.3745313,-4.59){$d$}
\end{pspicture} 
}	 	
		\end{center}
%\end{multicols}
		\item \begin{center} 
\textbf{La droite et le plan sont parallèles}. 
\end{center}
\begin{multicols}{2} \begin{enumerate}
 \item \begin{center} 
\textbf{La droite est incluse dans le plan.}\\
Ils ont une infinité de points communs.\end{center}
		\scalebox{0.5} % Change this value to rescale the drawing.²
{
\begin{pspicture}(1,-2.)(12.49,2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](8.97,0.7)(2.67,-0.1)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(8.574532,1.21){$d$}
\end{pspicture} 
}
%\end{center}
		\item \begin{center}
		\textbf{La droite est strictement parallèle au plan.}\\
Ils n'ont aucun point commun
\end{center}
\scalebox{0.5} % Change this value to rescale the drawing.²
{
\begin{pspicture}(1,-2.)(12.49,2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](10,2.5)(3,2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.5,1.9){$d$}
\end{pspicture} 
}
			%\end{center}
\end{enumerate}
\end{multicols}
	\end{enumerate}
}	 				%\end{center}	

\Cadre[Deux droites]{
Soient $d$ et $d'$ deux droites de l'espace. Il n'existe que 
	deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	   \item   \begin{center} \textbf{Les droites sont non coplanaires.} \\ 
Il n'existe aucun plan contenant ces deux droites.\\
Elles n'ont pas de point commun.\\  
   \scalebox{0.5} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-4)(10.564836,4.4464064)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](8.47,4.4264064)(7.47,0.32640624)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](7.47,0.32640624)(6.97,-1.6735938)
\psline[linewidth=0.04cm](6.97,-1.6735938)(6.47,-3.7735937)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.284531,0.63640624){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.2){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(6.1,-3.6){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.62640625)(8.37,-0.87359375)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.0364063){$d'$}
\end{pspicture} 
}
	   \end{center}
	\item \begin{center} \textbf{Les droites sont coplanaires.}\\
Il existe un plan contenant ces deux droites. \end{center}
\begin{multicols}{2} \begin{enumerate}
 \item \begin{center} \textbf{Les droites sont sécantes.}\\
Elles ont un unique point commun.
\end{center}  
	\scalebox{0.5} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(10.564836,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](1.67,-0.2)(7.47,0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(5.0845313,0.61){$A$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(7.474531,1.01){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.8)(8.37,-0.7)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.21){$d'$}
\end{pspicture} 
}	    
\item \begin{center}
\textbf{Les droites sont parallèles.}\\
Elles n'ont pas de point commun.
\end{center}
\scalebox{0.5} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(10.564836,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](2.47,0.2)(7.37,-1.2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.1745312,0.01){$d$}
\psline[linewidth=0.04cm](3.07,0.8)(8.37,-0.7)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.1145313,1.21){$d'$}
\end{pspicture} 
} 	 
	\end{enumerate}\end{multicols}
\end{enumerate}
}

\Rq{Dans l'espace, 
\begin{itemize}
 \item Deux droites sans points commun ne sont pas forc\'ement parall\`eles ! Elles peuvent \^etre non coplanaires.
\item Deux droites qui ne sont pas parall\`eles n'ont pas toujours de point commun ! Elles peuvent \^etre non coplanaires.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminé par deux droites s\'ecantes.
\item Un plan est enti\`erement d\'eterminé par deux droites strictement parall\`eles.
\end{itemize}
}

\Cadre[De deux plans]{
 Soient $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ deux plans de l'espace. Il n'existe que deux possibilités~:
	\begin{enumerate}
	\item 
\begin{center}  \textbf{Les plans sont sécants.}\\
Leur intersection est une droite.\\
	\scalebox{0.7} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0,-3.77)(9.464835,3.77)
\psline[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadowangle=-45.0,fillstyle=solid,fillcolor=bleuPlan](4.07,1.25)(2.37,1.25)(0.27,-1.75)(7.37,-1.75)(9.37,1.25)(6.17,1.25)(6.19,1.23)
\psline[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,fillstyle=solid,fillcolor=rosePlan](4.77,-1.65)(4.37,-2.25)(1.47,-3.75)(4.47,2.15)(7.37,3.75)(6.17,1.15)(6.17,1.15)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=bleuBord,linestyle=dashed,dash=0.16cm 0.16cm](6.17,1.15)(4.77,-1.65)
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(1.2,-1.5){$\mathscr P_1$}
\usefont{T1}{ppl}{m}{n}
\rput(6.5,2.96){$\mathscr P_2$}
\psline[linewidth=0.04cm](0.47,-3.35)(8.07,2.65)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,linecolor=roseBord,dash=0.16cm 0.16cm](4.17,1.25)(6.17,1.25)
\psline[linewidth=0.04cm,linecolor=bleuBord](2.37,-1.75)(4.77,-1.75)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0745312,-3.34){$d$}
\end{pspicture} 
}		
	\end{center}
\item \begin{center}\textbf{Les plans sont parallèles.}\end{center}
\begin{multicols}{2} \begin{enumerate}
                      \item \begin{center} \textbf{Les plans sont confondus.}\\
Ils ont une infinité de points communs.
	\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(10.564836,1.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
%\psline[linewidth=0.04cm](2.47,0.2)(7.37,-1.2)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.3,-1.19){$\mathscr P_1 = \mathscr P_2$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}

\end{pspicture} 
} 	 	\end{center}
\vspace{5mm}
  	 	\item \begin{center} \textbf{Les plans sont strictement parallèles.}\\
Ils n'ont aucun point commun.\\
		\scalebox{0.6} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(1,-1.5948355)(11.564836,2.8)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](3.47,2.5)(1.47,-0.5)(9.47,-0.5)(11.47,2.5)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,linecolor=bleuBord,dash=0.16cm 0.16cm](2.6,1.5)(10.47,1.5)(9.2,-0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P_1$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.0945313,-0.19){$\mathscr P_2$}

\end{pspicture} 
} 
			\end{center}
\end{enumerate}
 \end{multicols}

	\end{enumerate}
}\\

\Rq{Ainsi deux plans distincts qui dont on connait deux points communs sont sécants suivant la droite définie par 
ces deux points.}

\textit{Distribuer également les schémas sur un cube (Math'x p 306).}

\Expl{
\begin{enumerate}
 \item $ABCD$ est un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ est le point de $[AD]$ tel que $AJ=\dfrac23 AD$.\\
Déterminer l'intersection de la droite $(IJ)$ et du plan $(BCD)$.
 \item $ABCDEFGH$ est un cube. Les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs des arêtes $[EF]$, $[FB]$ et $[FG]$.\\
Déterminer l'intersection des plans $(IJK)$ et $(ABC)$.
\end{enumerate}
 }

\begin{ExoL}[Déclic]
 n$^{\circ}$ 21-22-23-24  p 274 (lecture de positions relatives)
 \end{ExoL}



\subsection{Quelques propriétés de parallélisme}

\begin{prop}
\begin{itemize}
 \item Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.
 \item Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes
de l'autre.
 \item Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
\end{itemize}
\end{prop}

%\parbox[]{6cm}
{\begin{center}
\scalebox{0.5} % Change this value to rescale the drawing.²
{
\begin{pspicture}(1.5,-3)(9,2.7)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(8.47,-1.5)(10.47,1.5)
\psline[linewidth=0.04cm](10,2.5)(3,2)
\psline[linewidth=0.04cm](9,0)(2,-0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(9.5,1.9){$d$}
\end{pspicture} 
}
\scalebox{0.5} % Change this value to rescale the drawing.
{
\begin{pspicture}(0.5,-3)(15,4.5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=bleuBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=bleuPlan](2.47,1.5)(0.47,-1.5)(12.47,-1.5)(14.47,1.5)
\pspolygon[linewidth=0.04,linecolor=roseBord,shadow=true,fillstyle=solid, fillcolor=rosePlan](4.47,4)(2.47,1)(10.47,1)(12.47,4)
%\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,linecolor=bleuBord,dash=0.16cm 0.16cm](2.6,1.5)(10.47,1.5)(9.2,-0.5)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(1.0945313,-1.19){$\mathscr P_1$}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3,1.5){$\mathscr P_2$}
\psline[linewidth=0.04cm](10.5,1.5)(4,3)
\psline[linewidth=0.04cm](3,-0.5)(10,0)
\psline[linewidth=0.04cm](11,2.5)(4,2)
\psline[linewidth=0.04cm](10,-0.5)(3.5,0.5)
\end{pspicture} 
} 
\includegraphics[scale=0.8]{fig2c_espace.8}
\end{center}
}


\Dem{Soient $d$ et $d'$ les droites d'intersection. Elles sont coplanaires, donc soit parall\`eles, soit s\'ecantes. 
Or si elles sont s\'ecantes en un point $M$ alors $M$ appartient \`a $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$, ce qui est absurbde. Donc elles sont strictement parall\`eles.
}


\begin{minipage}{9cm}
\begin{theo}[du toit]
 Soit $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ deux plan sécants selon une droite $\Delta$. Si une droite $d$ de $\mathscr P$ est parallèle à une droite $d'$ de 
$\mathscr P'$, alors $\Delta$ est parallèle à $d$ et $d'$.
\end{theo}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.10}\end{center} 
\end{minipage}\\\\

\begin{ExoL}[Déclic]
 n$^{\circ}$ 25-26-27-28 p274 (démonstration de positions relatives)
\end{ExoL}\\

\Expl{Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $I$ un point de $[EF]$. Déterminer et tracer l'intersection des plans $(EFG)$ et $(ACI)$.
}

\Sol{\begin{multicols}{2}
Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$, qui contiennent les faces $ABCD$ et $AFGH$ du pavé, sont parallèles.\\
$I\in(ACI)$, mais $I\notin(ABC)$, donc les plans $(ACI)$ et $(ABC)$ ne sont pas confondus. Comme $A$ et $C$ sont deux points communs aux plans $(ACI)$ et $(ABC)$, on peut conclure que les plans $(ABC)$ et $(ACI)$ sont sécants selon la droite $(AC)$.\\
On a donc $(ABC)//(EFG)$ et $(ACI)\cap (ABC)=(AC)$. On en déduit que le plan $(ACI)$ coupe également le plan $(EFG)$, selon une droite parallèle à $(AC)$. \\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite parallèle à $(AC)$ passant par $I$.
\begin{center}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1)(8.9,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.3,-0.6)(2.9,2.7)(7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=ccqqqq](1.3,-0.6)(8.1,0.9)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq]{0.8}{8.9}{(--13.8--1.6*x)/6.8}
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](1.3,-0.6)(2.9,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(7.7,3.8)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](7.7,3.8)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzttqq](8.1,0.9)(1.3,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.9,2.7)(1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](3,2.8){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\subsection{Sections}

Tous les résultats énoncés dans cette partie seront admis et aucune démonstration ne sera présentée, de plus on s'intéresse 
au cas où l'intersection est non vide.\\

Pour trouver l'intersection d'un solide avec un plan $\mathscr P$, on cherche l'intersection de chacune des faces du solide 
avec le plan $\mathscr P$.\\
A chaque étape, on doit se poser les questions suivantes dans cet ordre :
\begin{itemize}
 \item Connait-on deux points de $\mathscr P$ sur une même face du solide ?\\
\textit{Dans ce cas, on les relie et on prolonge le segment jusqu'aux arêtes de la face concernée. \\
On obtient deux nouveau points et on revient à la première question.}
 \item Si l'on connait l'intersection de $\mathscr P$ avec 
une face du solide, connait-on un point de $\mathscr P$ sur l'éventuelle face du solide parallèle à la première ?\\
\textit{Dans ce cas, on utilise la troisième propriété, et on trace la parallèle à l'intersection connue passant par le point 
connu. On s'arrête aux arêtes de la face concernée. \\
On obtient deux nouveaux points et on revient à la première question.}
 \item  Si l'on n'est pas dans l'un des cas précédents, on doit construire un point à l'extérieur du solide, qui est 
commun à $\mathscr P$ et à l'un des plans portés par l'une des face du solide. Et cela devient très complexe à expliquer,
donc mieux vaut avoir écouter en cours ...
\end{itemize}


\Cadre[Sections planes d'un cube]{
La section d'un cube par un plan $\mathscr P$ peut être de la nature suivante :
\begin{itemize} 
  \item Un \textbf{triangle} (éventuellement réduit à un point) : on ne se pose que la première question\\
    \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.5}
    \end{center}
  \item Un \textbf{quadrilatère} : on ne se pose les deux premières questions
    \begin{multicols}{3}
      	  \begin{center}
	Un \textbf{Carré} lorsque $\mathscr P$ est parallèle à l'une des faces\\
  \includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.3}
	  \end{center}
	\begin{center}
     Un \textbf{Rectangle} (éventuellement un segment) lorsque $\mathscr P$ est parallèle à l'une des arêtes\\
	\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.4}
	\end{center}
	\begin{center}
      Un \textbf{trapèze}\\
	\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.6}
	\end{center}
    % \end{minipage}
\end{multicols}
\end{itemize}
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
 \item  Un \textbf{pentagone} : on se pose les 3 questions
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.8}
\end{center}
\item Un \textbf{hexagone} : on se pose les 3 questions
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{geomespace_1S.7}
\end{center}
\end{itemize}
\end{multicols}
}

\newpage

\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](9,7)
\rput[bl](9.2,7.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11,2.7)
\rput[bl](11.2,2.9){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11.8,4.7)
\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(BFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
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%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](9,7)
\rput[bl](9.2,7.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11,2.7)
\rput[bl](11.2,2.9){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](11.8,4.7)
\rput[bl](12,4.9){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$J$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $I\in(CDH)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
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%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
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\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
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\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
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%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
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\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(DCG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
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%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\psline(0,0)(10,0)
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\psline(0,6)(0,0)
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\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
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\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
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\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $J$ sont dans $(ABC)$ et $K\in(EFG)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(15.1,9.1)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-4.59,-4.05)(8.69,6.51)
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.17,-8.11)(17.38,13.03)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,opacity=0](0,0)(10,0)(10,6)(0,6)
\psline(0,0)(10,0)
\psline(10,0)(10,6)
\psline(10,6)(0,6)
\psline(0,6)(0,0)
\psline(10,0)(14,2)
\psline(14,2)(14,8)
\psline(14,8)(10,6)
\psline(0,6)(4,8)
\psline(14,8)(4,8)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,8)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](0,0)(4,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=5pt 5pt](4,2)(14,2)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](-0.5,-0.5){$A$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](10,0)
\rput[bl](10.17,-0.5){{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](10,6)
\rput[bl](9.8,6.23){{$C$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](-0.3,6.23){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,2)
\rput[bl](14.17,2.23){{$F$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](14,8)
\rput[bl](14.17,8.23){{$G$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,8)
\rput[bl](4.17,8.23){{$H$}}
%\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4,2)
\rput[bl](4.17,2.23){{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](5,5)
\rput[bl](5.2,5.2){{$I$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](6,1.5)
\rput[bl](6.4,1.2){{$J$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=8pt,linecolor=blue](7,7)
\rput[bl](7.2,7.2){{$K$}}
\end{pspicture*}
 \end{center}
 On considère le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ et les points $I$, $J$, $K$ tels que 
$I$ et $K$ sont dans $(EFG)$ et $J\in(ABF)$, comme sur la figure ci-contre.\\
Dessiner la section du parallélépipède par le plan $(IJK)$.
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item Pouvez-vous le faire sans indication supplémentaire ?
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.\\
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$.
       \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}
\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.5500){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.5500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.1500)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.2000,3.15000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.15000){J}
\uput{0.3000}[-90.0000](3.2000,3.15000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.7321,1.000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}\textbf{(Pour les experts)}
\begin{multicols}{2}
On considère une pyramide de base $ABCD$ et de sommet principal $E$, et $I$ et $J$ deux points de la face $ABE$ et $K$ un point de la face $CDE$,
 comme sur la figure ci-contre.\\
On se propose de tracer l'intersection de $(IJK)$ et de $(ABCDE)$.
\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Caractériser l'intersection $(\Delta)$ des plans $(ABE)$ et $(CDE)$.
 La tracer.
 \item  Placer $L=(IJ)\cap (\Delta)$. Donner trois plans auxquels $L$ appartient.
 \item En déduire $(IJK)\cap (CDE)$. La tracer
       \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Placer $M=(IJ)\cap (ABC)$.
 \item En déduire $(IJK)\cap (ABC)$.
      \end{enumerate}
\item Tracer l'intersection de $(IJK)$ et de la pyramide.
\end{enumerate}

\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.2)(8.2,6.2)
\def\xmin{-2} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{6}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-2.2,-2.2)(8.2,6.2)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\pspolygon(0.0000,0.0000)(5.0000,0.0000)(2.8000,5.0000)
\pspolygon(5.0000,0.0000)(6.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\psline[linestyle=dotted](0.0000,0.0000)(1.7321,1.0000)
\pspolygon[linestyle=dotted](6.7321,1.0000)(1.7321,1.0000)(2.8000,5.0000)
\uput{0.3000}[-120.0000](1.60000,1.700){I}
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](1.6000,1.700)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](2.6000,2.300)
\psdots[dotstyle=x, dotscale=2.0000](3.7000,1.5000)
\uput{0.3000}[-90.0000](2.6000,2.3000){J}
\uput{0.3000}[90.0000](3.7000,1.5000){K}
\uput{0.3000}[-90.0000](000,000){A}
\uput{0.3000}[-90.0000](5.000,000){B}
\uput{0.3000}[90.0000](2.8000,5){E}
\uput{0.3000}[-90.0000](6.7321,1.000){C}
\uput{0.3000}[-90.0000](1.7321000,1.000){D}
\endpsclip
\end{pspicture*}
 \end{multicols}
\end{ExoF}

\begin{ExoF} 
Soit $ABCDEFGH$ un pavé droit. Soit $N$ et $M$ deux points respectivement situés sur les arêtes $[AD]$ et $[AB]$. 
Tracer la section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MNG)$ à l'aide du logiciel géogébra.
\end{ExoF}
\Sol{
Voici les différentes étapes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur la face $ABCD$}\\
$M$ et $N$ sont deux points communs aux plans $(ABC)$ et $(MGN)$.\\
L'intersection de ces deux plans est donc la droite $(MN)$, et la trace du plan $(MGN)$ sur la face $ABCD$ est donc le segment $[MN]$. (en pointillés rouge sur la figure).
\item 
\textbf{Trace du plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$.}\\
Le point $G$ est commun aux plans $(MNG)$ et $(BCG)$. Il suffit de trouver un second point commun aux deux plans.\\
$(MN)\subset (MGN)$ et $(BG)\subset (BCG)$ donc le point d'intersection de $(MN)$ et $(BC)$ appartient à la fois aux plans $(MNG)$ et $(BCG$. Appelons $L$ ce point. On en déduit que l'intersection des plans $(MNG)$ et $(BCG)$ est la droite $(GL)$.\\
Soit $I$ le point d'intersection de $(GL)$ et $(BF)$ : les segments $[GI]$ et $[MI]$ sont les traces du 
plan $(MNG)$ sur les faces $BCGF$ et $ABFE$ respectivement (en traits pleins rouge sur la figure).
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.5,-0.6)
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.7,-2.9)(8.6,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.5,-0.6)
\psplot[linewidth=1.2pt]{0.7}{8.6}{(--11.7-1.6*x)/-1.4}
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(5.1,-2.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{2.5}{8.6}{(--2.8-1.8*x)/2.7}
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.5,-0.6)(6.7,1.1)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\rput[bl](2.6,-1.1){$M$}
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\rput[bl](5.1,-2.8){$L$}
\rput[bl](6.9,1){$I$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}
\Sol{
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] \textbf{Traces du plan $(MNG)$ sur les faces $CGHD$ et $ADHE$}\\
Les plans $(ADH)$ et $(BCG)$ sont parallèles. Le plan $(MGN)$ coupe le plan $(BCG)$ selon la droite $(GI)$. On en déduit que $(MGN)$ coupe $(ADH)$ selon une droite parallèle à $(GI)$.\\
$N\in[AD]\subset (ADH)$ donc $N\in (ADH)$.\\
De plus, par définition $N\in (MGN)$. $N$ appartient donc à l'intersection des plans $(MGN)$ et $(ADH)$.\\
On en déduit que l'intersection de ces deux plans est la droite parallèle à $(GI)$ passant par $N$.\\
Cette droite coupe l'arête $[DH]$ en un point $J$ : les segments $[NJ]$ et $[JG]$ sont donc les traces du plan $(MNG)$ sur les faces $ADHE$ et $CGHD$ respectivement (en traits pointillés rouge sur la figure).
\item[\textbf{4.}] \textbf{Section du pavé $ABCDEFGH$ par le plan $(MGN)$.}
\\
La section du pavé par le plan $(MGN)$ est donc le pentagone $MIGJN$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.8,-1.2)(8.5,4.8)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.3,-0.6)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,-0.6)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](1.3,2.7)(2.7,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](2.7,4.3)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,4.3)(6.7,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(1.3,2.7)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,2.7)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,4.3)(2.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.4,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.4,-0.6)(6.7,1.2)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1.2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2)(1.7,-0.1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,-0.6)
\rput[bl](0.9,-0.8){$A$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](1.3,2.7)
\rput[bl](0.9,2.6){$E$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,2.7)
\rput[bl](6.6,2.8){$F$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,4.3)
\rput[bl](2.4,4.4){$H$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.4,-0.6)
\rput[bl](2.5,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1.2)
\rput[bl](6.9,1.1){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2)
\rput[bl](2.4,1.9){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{center}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.6 0 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1.2,-1.1)(8.6,4.7)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=zzttqq,opacity=0.1](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)(6.7,1)(8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(8.1,0.9)
\psline[linewidth=1.2pt](8.1,0.9)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzqqqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted,linecolor=zzqqqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](6.7,-0.7)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](2.7,1)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](1.7,-0.1)(2.6,-0.6)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.6,-0.6)(6.7,1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](6.7,1)(8.1,4.3)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](8.1,4.3)(2.7,2.1)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttqq](2.7,2.1)(1.7,-0.1)
\psline[linewidth=1.2pt](2.6,-0.6)(6.7,-0.7)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dotted](1.7,-0.1)(2.7,1)
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](6.7,-0.7)
\rput[bl](6.9,-0.8){$B$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,0.9)
\rput[bl](8.2,1){$C$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](2.7,1)
\rput[bl](2.8,1){$D$}
\psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](8.1,4.3)
\rput[bl](8.2,4.3){$G$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.6,-0.6)
\rput[bl](2.7,-1.1){$M$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](1.7,-0.1)
\rput[bl](1.5,0){$N$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](6.7,1)
\rput[bl](6.9,0.9){$I$}
\psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=+](2.7,2.1)
\rput[bl](2.4,2.1){$J$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}
}

\begin{ExoL}[Déclic]
 n$^{\circ}$ 29-30-32  p 274 (sections)
\end{ExoL}


\section{Vecteurs dans l'espace}
%\subsection{Définition et opérations}

\Act{
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de l'arête $[FG]$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le point $M$ tel que : $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{AM}$$
\item Démontrer que $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CB}$$
\end{enumerate} 
}

La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise sans difficulté à l'espace.  Ainsi, on étend à l'espace la 
définition de vecteur dans un plan, et les opérations associées : multiplication par un réel, somme de vecteurs.\\
La relation de Chasles est toujours valable.


\subsection{Vecteurs colinéaires, parallélisme et alignement}

\begin{prop}
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont \textbf{égaux} si et seulement si
$ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati)
\end{prop}

\Rq{Cela signifie que les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur. 
} 


\begin{defi}
Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont dits \textbf{colinéaires} lorsqu'ils ont la même direction.
\end{defi}

\begin{theo}
 Les vecteurs non nuls, $ \overrightarrow{u}$, $ \overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si 
il existe $k\in\R^*$ tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$.
\end{theo}

\Rq{
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur $\vec u$.
}

\Cadre[Conséquences]{
La colinéarité est utile pour démontrer que :
\begin{itemize}
\item deux droites sont parallèles : 
\begin{center}
$ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires $\iff$ les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.  
\end{center}
 (On peut donc aussi en conclure que dans ce cas, les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires)
\item trois points sont alignés : 
\begin{center}
$ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont colinéaires $\iff$
si $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\end{center}
\end{itemize}
}


\Expl{\begin{minipage}{6cm}
$ABCDIJKL$ est un parallélépipède. $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$. 
Démontrer que $J$, $D$ et $G$ sont alignés. 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{13cm}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(7,4.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,3)(4,0)(6,4)
\psline(0,0)(4,0)
\psline(5,1)(4,0)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](5,1)(1,1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0)(1,1)
\psline(0,0)(1,3)
\psline(5,3)(1,3)
\psline(5,3)(4,0)
\psline(5,1)(6,4)
\psline(6,4)(2,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,1)(2,4)
\psline(2,4)(1,3)
\psline(5,3)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1,3)(4,0)
\psline[linecolor=zzttqq](4,0)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(1,3)
\psline[linestyle=dotted](2.5,1.5)(6,4)
\psline[linestyle=dotted](3.5,3.5)(4,0)
\psline[linestyle=dotted](1,3)(5,2)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.19,-0.28){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](3.93,-0.25){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](5.06,0.85){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.85,1.03){\blue{$D$}}
\rput[bl](0.89,3.04){\blue{$I$}}
\rput[bl](5.11,2.84){\blue{$J$}}
\rput[bl](6.06,4.07){\blue{$K$}}
\rput[bl](2.05,4.07){\blue{$L$}}
\rput[bl](2.24,1.39){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](3.36,3.62){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](3.43,2.47){\darkgray{$G$}}
\rput[bl](5.1,1.87){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
}

\Sol{
On constate que 
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{JD}&=&\overrightarrow{JF}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BD} \\
&=& \overrightarrow{JF} + 3 \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{JL}\\
&=& \overrightarrow{JF} + 3 \overrightarrow{FG} + 2\overrightarrow{JF}\\
&=& 3\overrightarrow{JF} + 3 \overrightarrow{FG} \\
&=& 3 \overrightarrow{JG}
\end{eqnarray*}
Donc les vecteurs $\overrightarrow{JD}$ et $\overrightarrow{JF}$ sont colinéaires. Les points $J$, $G$, et $D$ sont alignés.
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 39-40 p 276
\end{ExoL}


\subsection{Caractérisation vectorielle d'une droite et d'un plan de l'espace}

\begin{theo}
On considère $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. 
La droite $(AB)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que les vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{AB}$ sont 
colinéaires i.e l'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}=t \overrightarrow{AB}$, $t$ étant un réel quelconque.  
\end{theo}

\Rq{On dit que $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.}

\begin{center}
\includegraphics{distance.11}
\end{center}


\begin{theo} 
$A$, $B$ et $C$ sont trois ponts de l'espace non alignés. \newline
Le plan $(ABC)$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace définis par 
$$ \overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \qquad \text{$x$ et $y$ étant des réels quelconques}$$
\end{theo}


\begin{center}
\includegraphics{distance.1}
\end{center}

\Rq{
On dit alors que les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont des vecteurs directeurs du plan $(ABC)$
}

\Dem{
\begin{itemize}
\item[$\Rightarrow$] Montrons que si $M\in (ABC)$ alors $\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \qquad \text{$x$ et $y$ étant des réels quelconques}$\newline
Comme $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et forment une base du plan $(ABC)$ et donc $(A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$ est un repère du plan $(ABC)$. Par conséquent, si $M$ est un point du plan $(ABC)$ il existe un unique couple de réels tel que : $$ \overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC}$$
\item[$\Leftarrow$] Montrons que si $\overrightarrow{AM}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} \qquad \text{$x$ et $y$ étant des réels quelconques}$ alors $M\in (ABC)$
\newline
Puisque, $(A; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$ est un repère du plan $(ABC)$, il existe dans ce plan un unique point $N$ de coordonnées $(x;y)$ tel que $\overrightarrow{AN}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AC} $, d'où $ \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AN} \Longleftrightarrow M=N$, on a donc $$ M\in (ABC)$$
\end{itemize}
}

\begin{ExoF}
Démontrons par l'absurde le théorème du toit vu en seconde et rappeler cette année.
On rappelle que l'on considère deux plans $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sécants selon une droite $\Delta$. De plus, on sait 
qu'une droite $d$ de $\mathscr P$ est parallèle à une droite $d'$ de $\mathscr P'$. Pour raisonner par l'absurde, on suppose de plus
que $\Delta$ n'est pas parallèle à $d$ et $d'$.\\
On désigne par $\vec u$ un vecteur directeur de $\Delta$. 
\begin{enumerate}
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec u$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$. 
\item Expliquer pourquoi il existe un vecteur $\vec v$ non nul directeur de $d$ et $d'$.
 \item Expliquer pourquoi $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.
 \item Expliquer pourquoi ce vecteur $\vec v$ est aussi un vecteur directeur de $\mathscr P$ et de $\mathscr P'$.
 \item En déduire une contradiction et conclure. 
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\subsection{Décomposition de vecteurs}

\Act{
On considère un cube $ABCDEFGH$.
\begin{enumerate}
        \item Les droites $(AE)$, $(CD)$ est $(CH)$ sont-elles coplanaires ?
 \item Pensez-vous que les vecteurs $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CH}$ le soient ? Pourquoi ?
 \item Peut-on exprimer le vecteur $\overrightarrow{AE}$ en fonction des $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CH}$ ? 
Dans l'affirmative, donner cette relation.
 \item Justifier que les vecteurs $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont coplanaires.
 \item Peut-on exprimer le vecteur $\overrightarrow{AE}$ en fonction des $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BC}$ ? 
Dans l'affirmative, donner cette relation.
 \item Peut-on trouver trois vecteurs non coplanaires ? Deux vecteurs ? Si oui, donner un exemple.
 \item Est-il possible de décomposer le vecteur $\overrightarrow{AE}$ en fonction des vecteurs 
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
}
\begin{defi}
Des vecteurs sont dits \textbf{coplanaires} lorsque l'on peut trouver 
des représentants de ces vecteurs situées dans un même plan. 
\end{defi}

\begin{center}
\includegraphics{distance.3}
\end{center}
\Rqs{
\item Deux vecteurs sont toujours coplanaires (car trois points le sont toujours).
\item Attention, le fait qu'initialement les premiers représentants choisis ne soient pas dans un même plan n'empêche absolument pas les vecteurs d'être coplanaires. Cela signifie seulement que l'on n'a pas choisi les "bons" représentants. Par exemple, dans un cube, ABCDEFGH, les points A, B, C, G, et H ne sont pas coplanaires mais les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ , $ \overrightarrow{AC}$  et $ \overrightarrow{GH}$  sont coplanaires. Il suffit pour s'en apercevoir de changer de représentant pour le vecteur  $ \overrightarrow{GH}$ et prendre le vecteur $ \overrightarrow{CD}$.
\item En revanche, si on a utilisé 4 points seulement, pour écrire des représentants des trois vecteurs, les trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si les quatre points sont coplanaires.
}

\begin{theo}
On considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.\newline
Les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement si il existe deux 
réels $x$ et $y$ tels que :$$ \vec w=x\vec u+y\vec v$$
\end{theo}

\Dem{Choisissons un point $M$ et considérons les points $A$, $B$ et $C$ tels que :
$$ \overrightarrow{MA}=\vec u \qquad \overrightarrow{MB}=\vec v \qquad \overrightarrow{MC}=\vec w$$
Puisque $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, ce sont des vecteurs directeurs du plan $(MAB)$. Comme les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires, il existe $M$ tel que $C \in (MAB)$, ce qui est équivalent d'après le théorème précédent,  au fait qu'il existe des réels $a$ et $b$ tels que : 
$$ \overrightarrow{MC}=a \overrightarrow{MA}+b \overrightarrow{MB}\Longleftrightarrow \vec w=a\vec u+b\vec v$$ }

\Rq{La notion de vecteurs coplanaires est importante pour prouver :
\begin{enumerate}
\item l'appartenance d'un point à un plan : 
\begin{center}
le point $C$ appartient au plan $(AOB)$ $\iff$ si les vecteurs 
$ \overrightarrow{OA}$, $ \overrightarrow{OB}$ et $ \overrightarrow{OC}$ sont coplanaires\\
\includegraphics{distance.3}
\end{center}
\item le parallélisme d'une droite $d$ de vecteur directeur $\vec u$ et d'un plan $P$ de vecteurs directeurs $\vec v$ et $\vec w$ : 
\begin{center}
la droite $d$ est parallèle au plan $P$ $\iff$ les vecteurs $ \overrightarrow{u}$, $ \overrightarrow{v}$ et 
$ \overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
\end{center}
\end{enumerate}}

\begin{center}
\includegraphics{distance.5}
\end{center}

\Cadre[Conséquences]{
\begin{itemize}
 \item Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
 \item Deux plans ayant un même couple de vecteurs directeurs sont parallèles (éventuellement confondus)
 \item Une droite $\mathscr D$ et un plan $\mathscr P$ sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de $\mathscr D$ est un
vecteur du plan $\mathscr P$.
\end{itemize}

}

\Expl{
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le milieu de $[EB]$ et $J$ le milieu de $[FG]$. \newline
Démontrer que les vecteurs $ \overrightarrow{EF}$, $ \overrightarrow{BG}$ et $ \overrightarrow{IJ}$ sont coplanaires.  
}

\Sol{
Il s'agit d'exprimer l'un des vecteurs  $ \overrightarrow{EF}$, $ \overrightarrow{BG}$ ou $ \overrightarrow{IJ}$ 
en fonction des deux autres. Ceux qui sont sur les faces du cube sont simples à visualiser. Par conséquent, essayons d'exprimer
 $ \overrightarrow{IJ}$ en fonction des $ \overrightarrow{EF}$ et $ \overrightarrow{BG}$.\\
Comme $\overrightarrow{BG}$ est la diagonale d'une face, exprimons-le plutôt en fonction de vecteurs sur des arêtes, et appuyons -nous sur le point $F$
car il apparait dans $\overrightarrow{EF}$ (avec une figure, il semble assez tordu de s'appuyer sur $E$). On a :
$$\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FG}$$
Maintenant, considérons le vecteur $\overrightarrow{IJ}$, en s'appuyant sur le point $F$ qui nous a déjà servi 
pour décomposer $\overrightarrow{BG}$. On a : \\
$$ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IF} + \overrightarrow{FJ}$$
Utilisons désormais les arêtes du cube, toujours en s'appuyant sur $F$. On a :
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{IJ}&=& \dfrac12\overrightarrow{EF} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BF} + \dfrac12\overrightarrow{FG} \\
&=& \dfrac12{EF} + \dfrac12\overrightarrow{BG}
\end{eqnarray*}
Donc les vecteurs $ \overrightarrow{EF}$, $ \overrightarrow{BG}$ et $ \overrightarrow{IJ}$ sont coplanaires. 
}

\begin{ExoF}
 $ABCD$ est un tétraèdre. Le point $I$ est le milieu de $[CD]$ et le point $K$ est défini par 
$\overrightarrow{AK}=\dfrac12 \overrightarrow{AB} + \dfrac14\overrightarrow{AC} + \dfrac14\overrightarrow{AD}$
\begin{enumerate}
 \item Faire une figure et placer $K$.
 \item Exprimer $\overrightarrow{BI}$ puis $\overrightarrow{BK}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BD}$.
 \item En déduire que les points $B$, $K$ et $I$ sont alignés.
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $ABCDEFGH$ est un cube. $M$ et $L$ sont les points tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{EL}=\dfrac14\overrightarrow{EF}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{ML}=\dfrac14\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DH}$
 \item En déduire la position de la droite $(ML)$ par rapport au plan $(DBH)$
\end{enumerate}

\end{ExoF}


\begin{ExoF}
$ABCDEFGH$ est un cube. $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[CD]$ et $[EF]$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(CK)$ est parallèle au plan $(IJH)$
\item Démontrer que les plans $(IJH)$ et $(BCK)$  sont parallèles
\end{enumerate} 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 $SABCD$ est une pyramide à base carré $ABCD$. Le point $O$ est le centre de $ABCD$.\\
$J$ est le milieu de $[SO]$. Le point $K$ est tel que $\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SD}$
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $S$, $B$, $D$, $O$, $J$ et $K$ sont coplanaires.
\item \begin{enumerate}
       \item Démontrer que $\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{SB} + \dfrac13\overrightarrow{SD}$
 \item Justifier que $\overrightarrow{SO}=\dfrac12 \left(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \right)$ et en déduire que
 $\overrightarrow{BJ}=-\dfrac34 \overrightarrow{SB} + \dfrac14\overrightarrow{SD} $
 \item Montrer que $B$, $J$ et $K$ sont alignés.
      \end{enumerate}
\item Positions relatives de plans
\begin{enumerate}
 \item Etudier la position relative du plan $(BJC)$ avec le plan $(ABC)$ et avec le plan $(SCD)$.
\item Etudier la position relative des plans $(BJC)$ et $(SAD)$.
 \item Construire la section de la pyramide $SABCD$ par le plan $(BJC)$. Ne pas justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExoF}



\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 50 à 56 p 277
\end{ExoL}



\section{Repérage dans l'espace}
\subsection{Repère de l'espace}
\begin{defi}
Soient trois points $O$, $I$, $J$ non align\'es et $K$ un point n'appartenant pas au plan $(OIJ)$, autrement dit, 
soient $O$, $I$, $J$ et $K$ quatre points non coplanaires. \\
On dit que $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ (o\`u $\vec i = \overrightarrow{OI}$ , $\vec j = \overrightarrow{OJ}$ et $\vec k = \overrightarrow{OK}$) est un rep\`ere de l'espace.\newline
\end{defi}


\begin{center}
\includegraphics{distance.7}
\end{center}
\Rq{\begin{enumerate}
\item Le triplet $(\vec i, \vec j, \vec k)$ est appelé base des vecteurs de l'espace.
\item Si les droites $(OI)$, $(OJ)$ et $(OK)$ sont deux à deux orthogonales et si $\mid \mid\vec i \mid \mid=\mid \mid \vec j\mid \mid=\mid \mid\vec k\mid \mid=1$ on dit que le repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ est orthonormée
\end{enumerate}}

\Expl{On considère un cube $ABCDEFGH$. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
\begin{enumerate}
 \item $\left(A ~ ; ~ \overrightarrow{AD} ~ ; ~ \overrightarrow{AB} ~ ; ~ \overrightarrow{AE} \right)$ est un repère de l'espace
 \item $\left(A ~ ; ~ \overrightarrow{AC} ~ ; ~ \overrightarrow{AB} ~ ; ~ \overrightarrow{AD} \right)$ est un repère de l'espace
 \item $\left(B ~ ; ~ \overrightarrow{BD} ~ ; ~ \overrightarrow{BA} ~ ; ~ \overrightarrow{BH} \right)$ est un repère de l'espace
 \item $\left(A ~ ; ~ \overrightarrow{ED} ~ ; ~ \overrightarrow{HC} ~ ; ~ \overrightarrow{EC} \right)$ est un repère de l'espace
\end{enumerate}
}



\subsection{Coordonnées d'un point, d'un vecteur}

\begin{theo}[Définition]
Dans un rep\`ere $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ de l'espace, pour tout point $M$ il existe un unique triplet de nombres réels $(x;y;z)$ tel que $$\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$$
On appelle ce triplet les coordonn\'ees de $M$, respectivement nomm\'ees \textit{abscisse}, \textit{ordonn\'ee} et \textit{c\^ote} de $M$.\newline
$(x;y;z)$ sont aussi les coordonn\'ees du vecteurs $\overrightarrow{OM}$. On \'ecrit souvent : $\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}
                             x \\ y \\ z                                                     \end{array} \right)$
\end{theo}

\begin{center}
\includegraphics{distance.12}
\end{center}
\Dem{Les vecteurs $\vec i$, $\vec j$ et $\vec k$ sont non coplanaires donc le plan $(O; \vec i, \vec j)$ et la droite passant par $M$ et dirigée par $\vec k$ ne sont pas parallèles. Considérons $M'$ leur point d'intersection, $M'$ est donc dans le plan $(O;\vec i, \vec j)$, donc il existe deux réels tels que : $$\overrightarrow{OM'}=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} $$
Les vecteurs $ \overrightarrow{MM'}$ et $\vec k$ sont colinéaires, donc il existe un réel $z$ tel que : $$ \overrightarrow{MM'}=z\vec k$$
D'après la relation de Chasles :
$$ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM'}+ \overrightarrow{M'M}$$
ce qui donne :
$$ \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}$$. Nous admettrons l'unicité de cette écriture. }


\begin{defi}
Soit $(O; \vec i, \vec j, \vec k)$ un repère de l'espace. Au vecteur $\vec u$ on associe le point $M$ tel que : 
$ \overrightarrow{OM}=\vec u$.\newline
Les coordonnées du vecteur $\vec u$ sont alors les coordonnées du point $M$. Par conséquent, tout vecteur $\vec u$ s'écrit de manière unique :
$$ \vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k$$ 
On note souvent $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}
                             x \\ y \\ z   \end{array} \right)$
\end{defi}

\subsection{Calculs sur les coordonnées}
Tous les résultats de la géométrie plane concernant les coordonnées s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisème coordonnée. 

\begin{theo}
Soit un repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ de l'espace. 
\begin{itemize}
\item Si deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ont pour coordonnées $\vec u\left(\begin{array}{c}
                             x \\ y \\ z   \end{array} \right)$ \quad ,
 \quad  $\vec v\left(\begin{array}{c}
                             x' \\ y' \\ z'   \end{array} \right)$ \quad et \,  $\lambda \in\R$ , \,  alors :
$$\vec u+\vec v\left(\begin{array}{c}
                             x+x' \\ y+y' \\ z+z'   \end{array} \right) \qquad \text{ et } \qquad 
\lambda\vec u\left(\begin{array}{c}
                             \lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z   \end{array} \right)$$
\item Si deux points $A$ et $B$ ont pour coordonnées $A(x_A;y_A;z_A)$ \, et \,  $B(x_B;y_B;z_B)$ \,  alors  \quad : \quad
$ \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                             x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A   \end{array} \right)$
\begin{itemize}
\item Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :
$$I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$$
\item Si de plus $C$ a pour coordonnées $C(x_C, y_C, z_C)$ alors le centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ a pour coordonnées :
$$G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3};\dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$$
\textit{Dans les deux cas, on fait la moyenne des coordonnées des points concernés.}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{theo}

 

\Dem{A titre d'exemple, voici une démonstration d'une des propriétés ci-dessus (toutes se démontrent de la même manière !!)
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} &=& -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \\
& = &-x_A \vec i -y_A\vec j - z_A \vec k + x_B\vec i + y_B \vec j +z_B\vec k \\
&=& (x_B-x_A)\vec i + (y_B-y_A)\vec j + (z_B-z_A)\vec k  
\end{eqnarray*}
Par conséquent, le vecteur $ \overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $ \overrightarrow{AB} \left(\begin{array}{c}
                             x_B-x_A \\ y_B-y_A \\ z_B-z_A   \end{array} \right)$
}

\Expl{Un repère $(O;\vec i, \vec j, \vec k)$ étant donné, on considère les points $A(1;2;-3)$, $B(-1;3;3)$ et $C(4;-1;2)$. $D$ est un point tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, calculer les coordonnées de $D$, puis celles du centre $I$ de ce parallélogramme.}


\Expl{\begin{minipage}{6cm}
$ABCDIJKL$ est un parallélépipède. $G$ est le centre de gravité du triangle $BIK$. \\
Démontrer, analytiquement, en choisissant un repère, que les points $D$, $G$ et $J$ sont alignés.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{13cm}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(7,4.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(7,5)
\psset{xunit=1.6cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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\psline[linestyle=dotted](1,3)(5,2)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-0.19,-0.28){\darkgray{$A$}}
\rput[bl](3.93,-0.25){\xdxdff{$B$}}
\rput[bl](5.06,0.85){\blue{$C$}}
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\rput[bl](6.06,4.07){\blue{$K$}}
\rput[bl](2.05,4.07){\blue{$L$}}
\rput[bl](2.24,1.39){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](3.36,3.62){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](3.43,2.47){\darkgray{$G$}}
\rput[bl](5.1,1.87){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{minipage}
}

\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 61-62-67-72-73-74-75-76-77-78 p 279
\end{ExoL}



\subsection{Représentations paramétriques d'une droite, d'un plan}

\begin{prop}[Définition]
 Dans un repère de l'espace on considère une droite $\mathscr D$ passant par 
$A\left(x_A,y_A,z_A \right)$ de vecteur directeur $\vec u \left(\begin{array}{c}
                                                           a \\ b \\ c
                                                          \end{array}\right)$.\\
Un point $M(x,y,z)$ appartient à $\mathscr D$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que : $\left\{\begin{array}{l}
                                                                                                          x=x_A+at \\ y=y_A+bt \\ z = z_A + ct
                                                                                                         \end{array}\right.$\\
Ce système, lorsque $t$ décrit $\R$ est appelé une \textbf{représentation paramétrique} de $\mathscr D$.
Ainsi, $\mathscr D$ est l'ensemble des points $M$ vérifiant de coordonnées $\left\{\begin{array}{l}
                                                                 x=x_A+at \\ y=y_A+bt \\ z = z_A + ct
                                                                \end{array}\right. , t\in\R$.\\
\end{prop}

\Rqs{
\item ce système dépend du paramètre $t$, d'où le nom
 \item Une représentation paramétrique eset une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées d'un point permettant
d'affirmer que ce point appartient à la droite ou qu'il n'y appartient pas.
\item Une droite admet une infinité de représentations paramétriques, il suffit de choisir un autre point, ou un autre vecteur 
directeur pour en avoir une différente.
}

\Dem{
On sait déjà que $M\in \mathscr D \iff \vec u $ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.\\
Ce qui équivaut à dire qu'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\vec u$. Or 
$$
 \overrightarrow{AM}=t\vec u  \iff    \left(\begin{array}{c}
                                                           x-x_A \\ y-y_A \\ z-z_A
                                                          \end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}
                                                           a \\ b \\ c
                                                          \end{array}\right) 
 \iff  \left\{\begin{array}{l}
    x=x_A+at \\ y=y_A+bt \\ z = z_A + ct
  \end{array}\right.$$
}

\Expl{
$\left\{\begin{array}{l}
    x=4-5t \\ y=-2+2t \\ z = 1 + 3t
  \end{array}\right., t\in\R$ est une représentation paramétrique de la droite $d$ passant par le point $A(4;-2;1)$ et de vecteur
directeur $\vec u \left(\begin{array}{c}
   -5 \\ 2 \\ 3
  \end{array}\right)$.\\
Le point obtenu en prenant $t=0$ est le point $A$.\\
Celui en prenant $t=-1$ eset $B(9;-4;-2)$. Il appartient à la droite $d$ et on a $\overrightarrow{AB}=-\vec u$.\\
Soit le point $C(-6;2;7)$. Pour savoir s'il appartient à la droite $d$, on cherche $t$ tel que l'on ait : 
$\left\{\begin{array}{l}
    x=4-5t \\ y=-2+2t \\ z = 1 + 3t
  \end{array}\right.$\\
On constate que ce système a pour solution $t=2$. Donc $C\in d$ et on a $\overrightarrow{AB}=2\vec u$. 
}


\begin{prop}
Dans l'espace muni d'un repère, on considère un plan $\mathscr P$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ dirigé par les vecteurs 
$\vec u \left(\begin{array}{c}
    a \\ b \\ c
     \end{array}\right)$ et $\vec v \left(\begin{array}{c}
                                                           a' \\ b' \\ c'
                                                          \end{array}\right)$.
 En raisonnant de même que pour une droite, on peut dire qu'un point $M$ appartient à $\mathscr P$ si et seulement si
il existe deux réels $t $ et $t'$ tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec u + t'\vec v \iff 
 \left\{\begin{array}{l}
    x=x_A+at + a't' \\ y=y_A+bt + b't' \\ z = z_A + ct + c't'
  \end{array}\right.$\\
Ce système, lorsque $t$ et $t'$ décrivent $\R$, est appelé représentation paramétrique du plan $\mathscr P$
\end{prop}

\Expl{Déclic :  n$^{\circ}$ 82 p 281}

\begin{ExoF}
 Dans un repère de l'espace, on considère les points $E(2;-3;5)$, $F(0;-1;1)$, $H(1;-8;8)$ et la droite d'équation paramétrique 
$\left\{\begin{array}{l}
    x=1+t \\ y=4-t \\ z = -2 + 2t
  \end{array}\right., t\in\R$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $d$ et $(EF)$ sont strictement parallèles.
 \item Montrer que $d$ et $(EH)$ sont sécantes et préciser leur point d'intersection $K$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoL}
 Déclic : n$^{\circ}$ 80-81-83-84-87 p 281\\
Objectif bac : n$^{\circ}$ 93-94-95 p 284 ...
\end{ExoL}



\end{document}
