\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}
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\newcommand{\ch}{Chapitre 11}
\newcommand{\Ch}{Les maths : l'int\'egrale !}	
\newcommand{\Cl}{TS}	
\newcommand{\Annee}{2012-2013}	
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%		Package
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\setcounter{NumLecon}{11}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%	Premiere page
\begin{document}
 

\Chacha{blackswan.eps}{Black Swan}{Darren Aronofsky}{Télécharger c'est tuer l'industrie, tuons les tous}{Thurston Moore (Sonic Youth)}{
Darren Aronofsky est né le 12 février 1969 dans une famille juive de New York. Il s'intéresse assez vite à l'art et entre à l'université Harvard pour étudier les techniques de réalisation et d'animation. Il y fait la rencontre de Sean Gullette avec qui il tourne son court métrage de fin d'études, Supermarket Sweep.
En février 1996, il parvient à rassembler les 60 000 dollars nécessaires pour la réalisation de son premier long métrage, $\pi$, qui sera un véritable succès, remportant de nombreux prix et souvent classé parmi les 10 meilleurs films de l'année.
Il enchaîne en 2000 avec Requiem for a dream, adaptation du roman éponyme de Hubert Selby : un film choc sur l'addiction sous toutes ses formes, montrant la décadence infernale d'un quatuor noyant son quotidien dans des visions faussées du paradis et de la célébrité, avec Jared Leto, Jennifer Connelly, Ellen Burstyn et Marlon Wayans.\\
En 2010, il sort Black Swan avec Natalie Portman, Vincent Cassel, Mila Kunis, Barbara Hershey et Winona Ryder, qui connaît lui aussi un grand succès et gagne de nombreux prix, notamment l'Oscar 2011 de la meilleure actrice pour Natalie Portman.\\
\textbf{Au sujet de Black Swan :}
\og Ce n'est donc pas par plaisir sadique ou goût de la manipulation qu'Aronofsky filme cette descente aux enfers. Il a une vraie obsession, qui lui tient à coeur, et qui le pousse à filmer : la quête 
 de la perfection. \fg (Cahier du cinéma)
}{0.8}{0.8}{
  \item
}
\TITRE{blackswan2.eps}{0.8}

\begin{abstract}
Le calcul intégrale est l'outil permettant de déterminer l'aire de forme 
géométrique nouvelle. On verra que l'aire sous la courbe d'une fonction est 
lié à la notion de dérivée, il s'agit en quelque sorte du problème inverse puisqu'on 
est ramené à la recherche de primitive pour calculer cette aire. Le rapport avec la dérivée 
n'est pas des plus étonnants, puisqu'il mesure le degré de courbure de la courbe en tout point, 
information qui parait nécessaire pour calculer l'aire sous cette courbe. 
\end{abstract}



Dans tout le chapitre on considère un plan $P$ muni dun repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$.

\section{La notation $ \int_a^b f(x)dx$}
\subsection{Problème : la quadrature de l'hyperbole}
\Act{Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij .\\
  Soit $f$ la fonction définie sur $\R^{+*}$ par $f(t)=\dfrac1x$.
  On a dessiné ci-dessous sa courbe représentative $\mathscr C_f$. }
  \begin{enumerate}
   \item Comment encadrer l'aire $\mathscr A$ comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et 
   les droites d'équation $x=1$ et $x=2$ ?
   \begin{center}
    \psset{xunit=3.0cm,yunit=3.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=orange](0,0)(-0.5,-0.5)(2.25,2.25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psplot[plotpoints=200]{-0.5}{6.0}{1/x}
\end{pspicture*} \qquad \qquad 
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=orange](0,0)(-0.5,-0.5)(2.25,2.25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.25,2.25)
\psplot[plotpoints=200]{-0.5}{6.0}{1/x}
\end{pspicture*}
   \end{center}
   \item On a finalement découpé l'intervalle $[1;2]$ en quatre sous-intervalles de même amplitude 
   $\dfrac14$.
   \begin{enumerate}
          \item Justifier que :
          $$\dfrac{f\left(1+\dfrac14\right)+f\left(1+\dfrac24\right)+f\left(1+\dfrac34\right)+f\left(1+\dfrac44\right)}{4}
         \leq \mathscr A \leq 
         \dfrac{f\left(1\right)+f\left(1+\dfrac14\right)+f\left(1+\dfrac24\right)+ f\left(1+\dfrac34\right)}{4}
          $$
 \begin{minipage}{6.5cm}
 \item On a effectué les calculs ci-contre à l'aide du logiciel Xcas.\\
  En déduire un encadrement de $\mathscr A$ entre deux décimaux avec deux chiffres après la virgule.
   \end{minipage}  \quad 
 \begin{minipage}{10cm}
  \includegraphics[scale=0.6]{XcasActivite1.eps}
 \end{minipage}\\
   \end{enumerate}

     \item Soit $n\geq 1$. On découpe l'intervalle $[1;2]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude.
 \begin{enumerate}
  \item Généraliser la méthode précédente pour obtenir un encadrement de $\mathscr A$ dans ce cas, en fonction de $n$.
  \item Déduire des autres résultats du logiciel Xcas un encadrement plus précis de $\mathscr A$, 
  en précisant en le nombre $n$ utilisé.
    \end{enumerate}
    \begin{minipage}{10cm}
    \item On propose l'algorithme ci-contre. 
        \begin{enumerate}
          \item Qu'affiche l'algorithme quand on rentre la valeur $n=4$ ?
          \item Que fait-il ?
  \item Pour $n=10$, il renvoit la valeur $0.05$, pour $n=20$, la valeur $0.025$, 
  pour $n=50$, la valeur $0.01$.\\
  Justifier que l'amplitude de l'encadrement de $\mathscr A$ lorsque l'on découpe l'intervalle 
  $[1;2]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude est $\dfrac{1}{2n}$.
  \item Quelle était la meilleure amplitude obtenue jusqu'à présent ?
  \item Pour quelles valeurs de $n$ obtient-on un encadrement de $\mathscr A$ à $0.0001$ près ?
  \item Modifier l'algorithme pour qu'il vous en procure un.
         \end{enumerate}
    \end{minipage}\qquad 
\begin{minipage}{8cm}
\begin{cadrecode}
\begin{small}
\begin{verbatim}
1   VARIABLES
2     n EST_DU_TYPE NOMBRE
3     k EST_DU_TYPE NOMBRE
4     U EST_DU_TYPE NOMBRE
5     V EST_DU_TYPE NOMBRE
6     E EST_DU_TYPE NOMBRE
7   DEBUT_ALGORITHME
8     LIRE n
9     U PREND_LA_VALEUR 0
10    V PREND_LA_VALEUR 1/n
11    POUR k ALLANT_DE 1 A n-1
12      DEBUT_POUR
13      U PREND_LA_VALEUR U+1/(n+k)
14      V PREND_LA_VALEUR V+1/(n+k)
15      FIN_POUR
16    U PREND_LA_VALEUR U+1/(2*n)
17    E PREND_LA_VALEUR V-U
18    AFFICHER E
19  FIN_ALGORITHME
\end{verbatim}
\end{small}
\end{cadrecode}
\end{minipage}\\

\vspace{1cm}

 \begin{minipage}{10cm}
 \item Pour tout $t>1$, on note $S(t)$ l'aire de la portion de plan délimitée 
   par l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=1$ et $x=t$ et la courbe $\mathscr C_f$.\\
Soient $a$ et $h$ deux réels tels que $a\geq 1$ et $h>0$. 
\begin{enumerate}
 \item En utilisant deux rectangles bien choisis, montrer que 
 $$\dfrac1{a+h} \leq \dfrac{S(a+h)-S(a)}{h} \leq \dfrac1{a}$$
 \item Proposer une conclusion.
 \item En déduire une valeur exacte possible pour $\mathscr A$ et contrôler sa cohérence avec l'encadrement trouvé précédemment.
 \item Proposer une valeur exacte pour l'aire du dommaine délimité par la courbe $\mathscr C_f$, l'axe des abscisses
 et les droites d'équation $x=3$ et $x=5$. 
\end{enumerate}
 \end{minipage}
\qquad \begin{minipage}{10cm}
\psset{xunit=3cm,yunit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,subgridcolor=orange](0,0)(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.25)(2.25,2.25)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1.4}{1.6}{1/x}\lineto(1.6,0)\lineto(1.4,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.0361954452682667}{4.8085527002630775}{1/x}
\psline(1,0)(1,1)
\end{pspicture*}
       \end{minipage} 
  \end{enumerate}

\subsection{Unité d'aire}

\begin{defi}
Dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O;\vec i, \vec j)$, on considère les points $I$, $J$ et $K$ définis par :
$$ \overrightarrow{OI}=\vec i\qquad \overrightarrow{OJ}=\vec j\qquad \text{et}\qquad \overrightarrow{OK}=\vec i+\vec j$$
L'aire du rectangle $OIKJ$ représente une unité d'aire, on note  :
$$ \mathscr A(OIKJ)=1 \text{ u.a}$$
\end{defi}



\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{integration/figTSc_integrale.1}
\end{center}

\Rqs{\item Lorsque le repère est orthonormal le rectangle $OIKJ$ est un carré.
\item Si par exemple $\mid\mid \vec i\mid \mid=2$ cm et $ \mid\mid \vec j\mid \mid=3$ cm alors 
une unité d'aire correspond à $6$ cm$^2$ i.e $$ 1\text{ u.a}=6\text{ cm}^2$$
\item Dans l'activité précédente, l'unité de chaque axe était de $2$ cm, donc l'unité d'aire
valait $4$ cm$^2$. On pouvait encore dire qu'elle valait 16 petits carreaux. 
\item Cependant, ces conversions ne nous intéressent pas, ne présentant aucune difficulté
et nous exprimerons tous les résultats en unité d'aire.}

\subsection{Somme de Riemann et notation}

\begin{minipage}{8.5cm}
L'objectif du chapitre est donc de déterminer l'aire (en u.a) d'un domaine $\mathscr D$ définit par :
$$ \mathscr D=\{M(x;y) \in \mathscr P\text{ tel que }a\leq x\leq b \text{ et }0\leq y \leq f(x)\}$$
où $f$ est une fonction continue sur l'intervalle $[a;b]$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{integration/integration.13}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{8.5cm}
 On doit à Riemann l'idée d'approcher l'aire de $\mathscr D$ par celles de rectangles sommées.
 \end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{integration/integration.11}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{8.5cm}
 Il s'aperçoit que si l'on divise l'intervalle $[a;b]$ en $n$ sous-intervalles, avec $n$ très grand,
 alors on obtient une valeur approchée de l'aire de $\mathscr D$.\\
 Il choisit des intervalles de même amplitude et il affirme :
 $$\mathscr A(\mathscr D)=\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty} 
 \sum_{i=1}^{n} \dfrac{b-a}{n}\times f(\zeta_i)$$
 En effet, la largeur de chacun des rectangles est $ \dfrac{b-a}{n}$, et 
 leur longueur est donnée par l'image du réel $ f(\zeta_i)$. 
 \end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{integration/integration.12}\\
$n=30$
\end{center}
\end{minipage}

On peut maintenant comprendre la notation choisie par les mathématiciens :
\begin{itemize}
\item Lorsque $n$ tend vers $+\infty$ chaque subdivision sur l'axe des abscisses est infiniment 
petite est vaut $\dfrac{b-a}{n}$. \\
Pour le symboliser on note $dx$.
\item Lorsque $n$ tend vers $+\infty$ on considère donc une somme infinie, que l'on note avec un $ S$ déformé :
$\int_a^b$ 
\item Comme chaque subdivision est infiniment petite, on considère $f(\zeta_i)$ où $\zeta_i$ prend 
toutes les valeurs de $[a;b]$. 
\end{itemize} 
Ainsi on écrit logiquement :
$$ \displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}  \sum_{i=1}^{n} \dfrac{b-a}{n}\times f(\zeta_i)=\int_a^b f(x)dx$$


\section{Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle $[a;b]$}



\subsection{Définition}

\begin{defi}
On considère une fonction $f$ \textbf{continue et positive} sur un intervalle fermé borné $[a;b]$.\\
On appelle \textbf{intégrale de $f$ de $a$ à $b$}, notée $\int_a^bf(x)dx$, l'aire, exprimée en u.a, 
du domaine $\mathscr D$ 
délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les deux droites verticales 
d'équations $x=a$ et $x=b$.
%Autrement dit :
%$$ \mathscr D=\{M(x;y) \in \mathscr P\text{ tel que }a\leq x\leq b \text{ et }0\leq y \leq f(x)\}$$
On parle aussi d'\textbf{aire sous la courbe} entre $a$ et $b$.\\
Les réels $a$ et $b$ s'appellent les \textbf{bornes} de l'intégrale.
 \end{defi}

\begin{minipage}{8.5cm}
 \Rqs{\item La variable $x$ figurant dans l'intégrale est \og muette \fg ; elle n'intervient pas dans le résultat.
On aurait pu tout aussi bien la noter par n'importe quelle autre lettre i.e 
$$ \int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(t)dt\int_a^bf(u)du \ldots $$
\item L'aire de $\mathscr D$ est de mesure finie. En effet, $f$ est continue sur le segment $[a;b]$ donc majorée. Il existe donc un rectangle contenant $\mathscr D$
\item $\int_a^af(x)dx=0$ car alors le domaine correspondant est réduit à un segment.
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{integration/integration.14}
\end{center}
\end{minipage}


\Expls{
  \begin{enumerate}
   \item On considère une fonction $f$ constante égale à $k\geq 0$. 
  %Si le repère est orthonormal avec $\mid\mid\vec i \mid\mid =\mid\mid j\mid\mid=1$ cm.
  \begin{enumerate}
   \item Proposer une valeur pour $\int_a^bf(x)dx$ dans le cas particulier où $k=0$, puis pour $k=1$.
   \item Même question dans le cas général.
  \end{enumerate}
  \item On considère une fonction affine $f$ positive sur le segment $[a;b]$ et définie par $ f(x)=mx+p$
   \begin{enumerate}
   \item Représenter graphiquement la fonction $f$ définie sur $[1;8]$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$.\\
   Déterminer alors $\int_1^{8} \left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\right)dx$
   \item Proposer une valeur pour $\int_a^bf(x)dx$ dans le cas général.
  \end{enumerate}
  \item Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;1]$ par $ f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ est le demi-cercle de centre $O$ et de 
rayon $1$ qui est situé dans le demi-plan des ordonnées positives.
\item En déduire que $$ \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$$
\end{enumerate}
  \end{enumerate}  
}

\Sol{\begin{minipage}{10cm}
   \begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{integration/integration.15}
\end{center}   
     \end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
On a simplement appliqué la formule donnant l'aire d'un rectangle : $\ell\times L$.\\
Si $k=0$, on a :
$$ \int_a^b f(x)dx=0\text{ u.a}$$
Si $k=1$, on a :
$$ \int_a^b f(x)dx=b-a=\text{ longueur du segment }[a;b]$$
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{10cm}
   \begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{integration/integration.16}
\end{center}   
     \end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
On décompose l'aire du trapèze $ABED$ comme la somme des aires du rectangle $ABCD$ et $CDE$, on a alors :
$$ \int_a^b f(x)dx=\mathscr A(ABCD)+\mathscr A(CDE)=f(a)\times (b-a)+\dfrac{f(a)+f(b)}{2}\text{ u.a}$$
\end{minipage}\\
\begin{minipage}{10cm}
   \begin{center}
\includegraphics[scale=1.5]{integration/integration.17}
\end{center}   
     \end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
L'aire d'un cercle de rayon $1$ valant $\pi$, celle du quart de cercle vaut elle $\dfrac{\pi}{4}$ d'où 
$$ \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$$
\end{minipage}
}

\subsection{Conséquences immédiates}

\begin{prop}
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur un intervalle $[a;b]$.
 Alors :
 \begin{itemize}
  \item Pour tout $c\in [a;b]$, on a $\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$ (Relation de Chasles)
  \item $\int_a^b \left(f(x)+g(x) \right) dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$
  \item  Pour tout $\lambda \in\R^+$, on a  $\int_a^b \lambda f(x)dx = \lambda \int_a^b f(x)dx$
  \item Si de plus, pour tout $x\in[a;b]$, on a $f(x)\leq g(x)$ alors : $\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$.
 \end{itemize}
\end{prop}

\begin{center}
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{wwccqq}{0.4 0.8 0}
\newrgbcolor{ffzzww}{1 0.6 0.4}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-3)(3.5,25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=5,ticksize=0pt 0]{->}(0,0)(-1,-10)(3.5,25)
\pscustom[linestyle=dashed,dash=16pt 16pt,linecolor=wwccqq,fillcolor=wwccqq,fillstyle=solid,opacity=0.2]{\psplot{1.5}{3}{x*(x^2-6*x+9)+20}\lineto(3,0)\lineto(1.5,0)\closepath}
\pscustom[linestyle=dashed,dash=16pt 16pt,linecolor=ffzzww,fillcolor=ffzzww,fillstyle=solid,opacity=0.2]{\psplot{-0.5}{1.5}{x*(x^2-6*x+9)+20}\lineto(1.5,0)\lineto(-0.5,0)\closepath}
\pscustom[hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.8]{\psplot{-0.5}{3}{x*(x^2-6*x+9)+20}\lineto(3,0)\lineto(-0.5,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.5}{x*(x^2-6*x+9)+20}
\rput[bl](2.97,-2.3){\blue{$b$}}
\rput[bl](1.49,-2.3){\blue{$c$}}
\rput[bl](-0.54,-2.3){\blue{$a$}}
\rput[bl](1.85,10){\green{$D_2$}}
\rput[bl](0.7,10){\red{$D_1$}}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,5)
\rput[bl](0.5,-2.3){$\vec i$}
\rput[bl](-0.2,1.5){$\vec j$}
\rput[bl](3.3,22){$\mathscr C$}
\end{pspicture*}
\qquad 
 \newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\newrgbcolor{wwccqq}{0.4 0.8 0}
\newrgbcolor{ffzzww}{1 0.6 0.4}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-3)(3.5,25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=5,ticksize=0pt 0]{->}(0,0)(-1,-10)(3.5,25)
\pscustom[linecolor=wwccqq,fillcolor=wwccqq,fillstyle=solid,opacity=0.2]{\psplot{-0.5}{3}{-(x+1)*(x^2-6*x+9)+15}\lineto(3,0)\lineto(-0.5,0)\closepath}
\pscustom[hatchcolor=red,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.8]{\psplot{-0.5}{3}{x*(x^2-6*x+9)+20}\lineto(3,0)\lineto(-0.5,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.5}{x*(x^2-6*x+9)+20}
\psplot[plotpoints=200]{-1.0843825607733022}{7.215967053881166}{-(x+1)*(x^2-6*x+9)+15}
\rput[bl](2.97,-2.3){\blue{$b$}}
\rput[bl](-0.54,-2.3){\blue{$a$}}
\rput[bl](1.6,7){\green{$D_f$}}
\rput[bl](0.7,10){\red{$D_g$}}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,5)
\rput[bl](0.5,-2.3){$\vec i$}
\rput[bl](-0.2,1.5){$\vec j$}
\rput[bl](3.3,11){$\mathscr C_f$}
\rput[bl](3.3,22){$\mathscr C_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{ExoF}
 \begin{enumerate}
 \item Prouvez que, pour tout $t\in[0,1]$,
      $\dfrac{t^2}{2}\leq\dfrac{t^2}{1+t}\leq t^2$.
      \item Déduisez-en un encadrement de
      $I=\ds\int_0^1\dfrac{t^2}{1+t}\,dt$.
\end{enumerate}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;1]$ telle que, pour tout $x\in [0;1]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que :
$$ m\leq f(x) \leq M$$
Déterminer la limite de la suite de terme général :
$$ u_n=\int_0^{\frac{1}{n}} f(x) dx$$ 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
Etudier la limite de la suite de terme général $$ u_n=\int_n^{n+1} e^{-x} dx$$
Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n;n+1]$ en fonction de $n$. 
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
On pose \qquad $ I_n=\dfrac{1}{n !}\int_0^1 (1-x)^ne^{-x} dx\qquad \forall n\in\N$
\begin{enumerate}
 \item Prouver que \qquad $ 0\leq I_n \leq \dfrac{1}{n!}\int_0^1 e^{-x} dx$
\item En déduire $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n$ 
\end{enumerate}
\end{ExoF}

\subsection{De l'aire sur une courbe à la recherche de primitive}
\Act{\\
\begin{minipage}{8.5cm}
 On considère une fonction $f$ continue, positive et 
 croissante sur l'intervalle $[a;b]$. Soit $F$ la fonction suivante :
 $$\begin{array}{ccccl}
    F & : & [a;b] & \longrightarrow & \R\\
      &   &  x & \longmapsto & F(x)=\int_a^x f(t)dt
   \end{array}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1, ticksize=0pt 0]{->}(0,0)(-1.5,-0.5)(3.5,2.5)
\pscustom[fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-1}{2}{1.4^(x-2)+1}\lineto(2,0)\lineto(-1,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=200]{-1.5}{3.5}{1.4^(x-2)+1}
\psline(2.52,0)(2.52,2.19)
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,2)
\rput[bl](-1.05,-0.4){{$a$}}
\rput[bl](1.93,-0.4){{$x$}}
\rput[bl](2.36,-0.4){{$x+h$}}
\rput[bl](0.43,0.8){\blue{$F(x)$}}
\rput[bl](0.44,-0.4){$\vec i$}
\rput[bl](-0.2,1.01){$\vec j$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item Soit $h$ un réel strictement positif.
 \begin{enumerate}
  \item En utilisant la relation de Chasles, montrer que $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(x)dx$. \\
  Hachurer l'aire correspondante sur le graphique.
  \item En utilisant deux rectangles bien choisis, montrer que 
  $$ f(x)\leq \dfrac{ F(x+h)- F(x)}{h}\leq f(x+h) $$
 \end{enumerate}
 \item Répondre aux mêmes question pour $h<0$.
 \item Quelle hypothèse sur $f$ nous permet d'affirmer que $\lim\limits_{h\to 0} f(x+h)=f(x)$ ?
 \item Que pouvez-vous en déduire sur la fonction $F$ ? 
 \item Que vaut $F(a)$ ? 
 \item Conclure.
 \item \textbf{Application} : proposer une valeur possible pour $\int_2^4 t^2 dt$. \\
 Est-on sûr qu'il s'agisse de la bonne ?
\end{enumerate}
}

\Sol{On note $ F(x)=\int_2^x t^2 dt$. On recherche une fonction qui vérifie $ F'(x)=x^2$ et $ F(2)=0$.\\
On obtient $ F(x)=\dfrac{x^3}{3}+k$ avec $ F(2)=0\Longleftrightarrow k=-\dfrac{2^3}{3}=-\dfrac83$.\\
Par conséquent :
$$  F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{8}{3}$$
Ainsi on pourrait avoir $\int_2^4 t^2 dt=\dfrac{4^3}{3}-\dfrac{8}{3}=\dfrac{64-8}{3}=\dfrac{56}{8}$
} 


%Notons $u_n$ l'aire des rectangles minorant $ \int_0^1 x^2 dx$ 
%et $v_n$ l'aire des rectangles majorant l'aire  $ \int_0^1 x^2 dx$. On alors :
%$$u_n\leq  \int_0^1 x^2 dx\leq v_n$$
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que pour tout $n\in\N^*$ on a : 
%$ u_n=\dfrac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2\right)=\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2$
%\item Démontrer que pour tout $n\in\N^*$ on a : 
%$ v_n=s_n+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2$
%\item Démontrer, par récurrence, que : $ \sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
%\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$ puis celle de $(v_n)$.
%\item En déduire que $ \int_0^1 x^2 dx=\dfrac{1}{3}$
%\item 

%\end{enumerate}

\begin{theo}[Fondamental]
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.\\
 Alors la fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par :
 $$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$
 est dérivable sur $[a;b]$ et pour tout réel $x\in[a;b]$ on a $F'(x)=f(x)$.\\
 On dit $F$ est \textbf{une primitive} de $f$ sur $[a;b]$.\\
 Plus précisément, $F$ est \textbf{la primitive} de $f$ sur $[a;b]$ qui s'annule en $a$.
\end{theo}

\Dem{
L'activité démontre ce théorème dans le cas où $f$ est croissante.\\
On peut faire de même dans le cas où $f$ est décroissante.\\
Pour le cas où $f$ n'est pas monotone, il suffit de considérer les sous-intervalles de $[a;b]$ sur lesquels
$f$ est monotone et de les sommer. Comme $(u+v)'=u'+v'$, on retrouve bien le résultat cherché.\\
Par contre, on n'a pas démontré l'unicité de la primitive de $f$ s'annulant en $a$.\\
Pour cela, intéressons-nous de plus près aux primitives d'une fonction.
}

\Rq{Par conséquent, les fonctions continues et positives sur un intervalle $[a;b]$ 
admettent des primitives sur $[a;b]$.
}


\section{Primitive d'une fonction et théorème fondamental}
\subsection{Notion de primitive}

\begin{defi}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. \\
On appelle \textbf{primitive} de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x\in I$ on a $F'(x)=f(x)$.
\end{defi}


\Expls{
$x\longmapsto x^2$ et $x\longmapsto x^2-5$ sont des primitives de $x\longmapsto 2x$ sur $\R$.\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $ f(x)=x^2-2x+\cos x$\\
Déterminons (mentalement) une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.\\
La fonction $F$ définie par $ F(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x$
convient.\\ En effet pour tout $x\in\R$, la fonction $F$ est dérivable (comme somme de fonctions qui le sont) et  
$$F'(x)=\dfrac{3x^2}{3}-2x+\cos x=f(x)$$
Remarquons que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+\sin x+12 $
convient aussi puisque la dérivée d'une constante est nulle.  }

\Rq{
  Si $f$ admet une primitive sur $I$, alors elle en admet une infinité.
}


\subsection{Ensemble des primitives d'une fonction}

\begin{theo}
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ admettant une primitive $F$.
Alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions du type $x \longmapsto F(x)+c$ où $c\in\R$.
\end{theo}

\Dem{Remarquons déjà que pour tout $x\in I$, on a $\left(F(x)+c\right)' = F'(x)+c'=f$.\\
Donc les fonctions données sont bien des primitives de $f$ sur $I$.\\
Montrons maintenant que ce sont les seules.\\
Soit $G$ une primitive de $f$ sur $I$, différente de $F$. \\
Alors $F'=G'=f$ sur $I$.\\
Par conséquent $$ G'-F'=0 \text{ sur } I\Longleftrightarrow (G-F)'=0 \text{ sur } I$$
Or, les seules fonctions qui ont une dérivée nulle sont les fonctions constantes, donc pour tout $x\in I$, on a  :
$$ G(x)-F(x)=c \text{ où $k$ est une constante}$$
D'où $G(x)=F(x)+c$, pour tout $x\in I$.
}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{integration/integration.20}
\end{center}

\begin{coro}
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ admettant des primitives sur $I$. 
 et $x_0$ , $y_0$ deux réels.\\
Il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ satisfaisant la condition initiale $F(x_0)=y_0$
\end{coro}


\Dem{On cherche à montrer l'existence et l'unicité d'une primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$.\\
Soit $G$ une primitive de $f$ sur $I$. Alors toutes les primitives  de la fonction $f$ sont de la 
forme $x \longmapsto G(x)+k\qquad \text{ où }c\in\R$.\\
Donc on cherche $F$ telle que $F=G+k$.\\
On veut de plus $F(x_0)=y_0 \iff G(x_0)+k=y_0$. \\
En choisissant pour $k=y_0-G(x_0)$ on obtient l'existence  d'une primitive $F$ telle que $F(x_0)=y_0$ ,
ainsi que l'unicité d'une telle fonction.\\
Ainsi il existe une unique primitive satisfaisant la condition $F(x_0)=y_0$.}

\Expl{Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$$ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
Trouvons l'unique primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0)=2$.\\
Notons que $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$, autrement dit $\sqrt{u}$ est une primitive de $\dfrac{u'}{2 \sqrt{u}}$.\\
Ici $u(x)=x^2+1$ et donc $u'(x)=2x$, en réécrivant $f(x)=\dfrac{2x}{2 \sqrt{x^2+1}}$, on trouve que $G$ 
définie sur $\R$ par $$ G(x)=\sqrt{x^2+1}$$
est une primitive de $f$ sur $\R$.\\
Par conséquent les primitives de $f$ sur $\R$ sont de la forme $$ F(x)=\sqrt{x^2+1}+c\qquad \text{ où $c$ est une constante }$$
Comme $F(0)=2$ on a $$ \sqrt{0^2+1}+c=2\Longleftrightarrow 1+c=2\Longleftrightarrow c=1$$
Ainsi la primitive cherchée est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\sqrt{x^2+1}+1$
}

\Rqs{\item Nous venons donc de finir la démonstration du théorème fondamental, à savoir que la fonction $F$ définie par 
$\int_a^x f(t)dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $[a;b]$ qui s'annule en $a$.
\item Trouver une primitive d'une fonction $f$ se fait à l'aide des formules de la dérivée que l'on utilise \og dans l'autre sens \fg. Le tableau suivant éclaircira ce point.
\item Une question naturelle se pose, une fonction admet-elle toujours des primitives ? 
La réponse est non en général. Par contre, nous avons déjà vu que les fonctions continues et positives en admettaient.\\
Et si une fonction est simplement continue ? eh bien c'est l'objet de la suite du cours... 
}



\subsection{Corollaires du Théorème Fondamental}


\begin{coro} [Formule de Newton-Leibniz]
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
On a :
$$ \int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a)$$
\end{coro}


\Dem{Soit $G$ la primitive de $f$ sur $[a;b]$ telle que $ G(x)=\int_{a}^x f(t) dt$ .\\
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$ . On sait alors qu'il existe une constante 
$c\in\R$ telle que pour tout $x\in [a;b]$  :
$$F(x)=G(x)+c $$
On a alors \quad 
$ F(b)-F(a)=G(b)+c-\left(G(a)+c\right)=G(b)-G(a)=\int_{a}^b f(t)dt-\int_{a}^a f(t) dt=\int_a^{b} f(t) dt$
}

\Rqs{
\item Ainsi $\int_a^b f(x)dx$ ne dépend pas de la primitive choisie.
\item Lors des calculs, on note dans la pratique $[F(t)]_{a}^b$
}

\Expls{Le corollaire précédent est un résultat puissant qui nous permet de calculer les intégrales (et donc les aires) suivantes avec une grande aisance :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}dx=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^2=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{2}$
\item $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos tdt=\left[\sin t\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2$ 
\item $\int_0^1 e^tdt= [e^t]_0^1=e-1$
\item $\int_x^1e^t dt=[e^t]_x^1=e-e^x$  pour tout $x\leq 1$
\item $\int_1^x \dfrac{1}{t} dt=[\ln t]_1^x=\ln x-\ln 1=\ln x$  pour tout $x\geq 1$
\item $\int_0^1 x^n dx=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\dfrac{1}{n+1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\Rq{
  On vient de voir dans l'exemple précédent que $\int_1^x \dfrac{1}{t} dt=[\ln t]_1^x=\ln x=\ln x$.\\
On retrouve le résultat de la première activité sur la quadrature de l'hyperbole. \\
Histoiriquement, je vous rappelle que c'est comme cela qu'on a découvert le 
logarithme népérien.
}

\begin{coro}[du théorème fondamental]
 Toute fonction continue sur un intervalle $I$  admet des primitives sur $I$.
\end{coro}

\Dem[Type ROC]{Démontrons le cas où $I=[a;b]$.\\
Prérequis : 
\begin{itemize}
 \item le théorème fondamental pour les fonctions continues et positives sur $[a;b]$
 \item On admet que dans ce cas, $f$ admet un minimum $m$ sur $[a;b]$.
\end{itemize}
Soit $g$ la fonction définie sur $I$ par $g(x)=f(x)-m$.\\
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $g$ est continue et positive sur $I$.
 \item En déduire qu'elle admet une primitive $G$ sur $[a;b]$ en en proposant une.
 \item Montrer que $f(x)=G'(x)+m$, pour tout $x\in I$.
 \item En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $[a;b]$.
 \item Conclure.
\end{enumerate}
}




\pagebreak
\subsection{Tableaux de primitives}
Les résultats de ces tableaux s'établissent en vérifiant simplement que l'on a bien $F'(x)=f(x)$ sur l'intervalle considéré.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline
   \multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Primitives des fonctions de référence
\end{LARGE}} } \tabularnewline\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction $f$} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Primitive $F$, $c\in\R$ }} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Intervalle $I$} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $f(x)=k$ (constante) & $F(x)=kx+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=x$ & $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=ax+b$ ($a$ et $b$ réel) & $F(x)=\dfrac{1}{2}ax^2+bx+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$  & $F(x)=-\dfrac{1}{x}+c$ & $\R^*$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=x^n$ ($n\in\Z$ et $n\neq -1$) & $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ & 
Si $n\geq 0$ : $\R$\\
Si $n\leq -2$ : $\R^*$\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\dfrac{1}{x}$ & $F(x)=\ln x+c$ & $]0;+\infty[$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=e^x$ & $F(x)=e^x+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $f(x)=\dfrac{1}{ \sqrt{x}}$ & $F(x)=2 \sqrt{x}+c$ & $]0 ; + \infty[$ \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$f(x)=\cos x$  & $F(x)=\sin x+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=\sin x$ & $F(x)=-\cos x+c$ & $\R$ \tabularnewline\hline
%\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $f(x)=1+\tan^2 x$ & $F(x)=\tan x$ & $\R-\{k \dfrac{\pi}{2};k\in\Z \}$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
 
\begin{center}
 \begin{tabular}{|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|>{\centering}p{5cm}|}
   \hline 
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{6ex}\textbf{\begin{LARGE}
Opération sur les primitives
\end{LARGE}} } \tabularnewline
\multicolumn{3}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{5ex}\textbf{$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$} } \tabularnewline
\hline
\multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|}  {\rule[-3ex]{0pt}{7ex}\textbf{Fonction} } & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Une Primitive}} & \multicolumn{1}{|>{\columncolor[gray]{.9}}c|} {\textbf{Conditions} } \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}  $u'+v'$  & $u+v$ & \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{7ex}$ku'$ ($k$ constante) & $ku$ & \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u' u^n$ \, ($n\in \Z$ et $n\neq -1$  & $ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ & Si $n\geq 0$ : $u(x)\neq 0$ pour tout  $x\in I$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{u'}{ \sqrt{u} }$ & $2\sqrt{u}$ & $u(x)> 0$ pour tout  $x\in I$\tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{8ex} $ \dfrac{v'}{v^2} $ &  $ -\dfrac{1}{v} $ &  $v(x)\neq 0$ pour tout  $x\in I$ \tabularnewline\hline
\rule[-3ex]{0pt}{7ex} $u' e^u $  & $e^u$ &  \tabularnewline\hline
 \rule[-3ex]{0pt}{8ex}$\dfrac{u'}{u}$  & $\ln (\mid u \mid)$ &  $u(x)\neq 0$ pour tout  $x\in I$ \tabularnewline\hline
  \end{tabular}
  \end{center}
  
   \Expls{Déterminer pour chacune des fonctions suivantes une primitive : 
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
	\item $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{6x^2-5x+3}{7}$.
	\item $g$ d\'efinie sur $\R$ par $g(x)=7x(3x^2+5)^4$.
	\item $h$ d\'efinie sur $\left] 2 ; +\infty \right[$ par $h(x)=\dfrac{4x^3+2}{\sqrt{x^4+2x-3}}$. 
	\item $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$
\end{enumerate}	
%\end{multicols}
}
 % \Sol{Trouvons une primitive $F$ de la fonction 
 % La fonction $f$ est de la forme $u'u$. Donc $F$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'u^2$ :
 % $$ F(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2 x+c$$
 % }

\begin{ExoF}
 Soit $F$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$.\\
 Calculer $F'(x)$. Qu'a-t-on démontré ?
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
 Calculer une primitive de $f_i$ sur $]0;1[$ dans les cas suivants :
$$f_1(x)=\dfrac{x+1}{(x^2+2x+2)^2} \qquad\qquad\qquad f_2(x)=\tan x \qquad\qquad\qquad f_3(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$$
\end{ExoF}



\begin{ExoF}
Etudier si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{2x^2+8x-5}{(x^2+x+3)^2}$ \qquad et \qquad  $F(x)=\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x+3}$ \qquad avec $I=\R$.
\item $f(x)=\dfrac{2x-3}{2x\sqrt{x}}$\qquad  et \qquad $F(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x}}$ \qquad avec $I=]0;+\infty[$.
\item $ f(q)=\dfrac{3q-4}{\sqrt{2q-4}}$\qquad  et \qquad $F(q)=q\sqrt{2q-4}$ \qquad avec $I=]2;+\infty[$.
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Si vous reconnaissez une forme du style $u'u^n$, alors une primitive sera \quad $ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$\\
En déduire une primitive de $f$ avec \quad $ f(x)=\dfrac{3}{(x-1)^2}$ \quad sur $]1; + \infty[$.
\end{ExoF}

\begin{ExoF}
$f$ est la fonction définie sur $I[-1;8]$ par $f(x)=\dfrac{2x^3+8x^2+8x-3}{x^2+4x+4} $
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x\in I$ on a $ f(x)=2x-\dfrac{3}{(x+2)^2}$
\item \begin{enumerate}
\item En déduire une primitive $G$ de $f$ sur $I$.
\item Calculer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=2$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
\begin{enumerate}
\item $f$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $f(x)=-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.\\
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]2;+\infty[$.
\item $G$ est la fonction définie sur $]2;+\infty[$ par $G(x)=\dfrac{3x-4}{x-2}$. \\
Calculer la fonction dérivée de $G$.
\item Que peut-on en déduire pour les fonctions $F$ et $G$ ?
\quad 
Vérifier ce résultat en calculant $F(x)-G(x)$. 
\end{enumerate} 
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
Déterminer une primitive sur les intervalles $I$ considérés de :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g:x\longmapsto \dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}$ \quad avec $I=]-1;1[$
\item $h:x\longmapsto \dfrac{e^x+3}{(e^x+3x)^3}$ \quad avec $I=]-\infty;0]$
\item $k:x\longmapsto \dfrac{1}{(ax+b)^2}$\quad avec $I=\left]-\dfrac{b}{a};+\infty\right[$
\item $f:x\longmapsto \dfrac{e^{\frac{1}{x}} }{x^2}$ \quad avec $I=\R^{+*}$
\item $ j: x \longmapsto e^{3x+2}$ \quad avec $I=\R$
\item $ l:x\longmapsto (2x+1)e^{x^2+x+7}$ \quad avec $I=\R$
\item $ m : x\longmapsto \sin(3x)+3\cos(2x)$ \quad avec $I=\R$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
On rappelle que \quad $ \cos^2 t= \dfrac{1+\cos 2t}{2}$ \qquad 
Démontrer que \quad $ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt=\dfrac{\pi}{4}$
\end{ExoF}


\begin{ExoF}
 Calculer les intégrales suivantes :
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $ \int_0^1 xe^{-x^2} dx$
\item $ \int_{\frac{1}{e}}^e \dfrac{\ln t}{t}dt$
\item $\int_2^4 \dfrac{e^t}{e^t+1}dt$
\item $\int_0^2 \dfrac{x}{ \sqrt{x^2+1}}dx$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{ExoF}




\newpage


\section{Extension aux fonctions de signe quelconque}
\subsection{Définition}
\begin{theo}[Définition]
 Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.\\
 Alors pour tous $a$, $b$  de $I$, la différence $F(b)-F(a)$ ne dépend pas du choix 
 de la primitive $F$.\\
 On décide alors, en étendant la formule de Newton-Leibniz aux fonctions continues de 
 signe quelconque, de définir l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ par :
 $$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$ 
\end{theo}

\Dem{
  On sait déjà que si $f$ est continue sur $I$, alors elle admet des primitives sur $I$.\\
  Soit $F$ et $G$ deux d'entre elles.\\
  On sait alors que sur $I$ on a $G=F+c$ avec $c\in\R$.\\
  Ainsi $G(b)-G(a)=F(b)-c-\left(F(a)-c\right)=F(b)-F(a)$. 
}

\Rq{
  Il est clair que, pour tout $a\in I$, on a toujours $\int_a^a f(x)dx=0$. 
  %Mais que devient  l'interprétation de l'intégrale en terme d'aire sous la courbe ??
}


\subsection{Propriétés généralisées}
Dans toute cette partie, $f$ désigne une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$
une primitive de $f$ sur $I$, 
et $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ (rangés dans un ordre quelconque).

\begin{prop}
$$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$$ 
\end{prop}

\Dem{
  Avec la définition généralisée, on a $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a) = - \left(F(a)-F(b)\right) = - \int_b^a f(x)dx$.
}

\Rq{Ainsi, une intégrale n'est plus forcément positive. On continuera à l'interpréter
en terme d'aire sous la courbe mais on parlera d'aire algébrique (et non géométrique). \\
Nous verrons plus loin cette interprétation en détails.
}

\begin{prop}[Chasles]
 Pour tout $c \in I$. Alors :
 $$\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx =\int_a^b f(x)dx$$
\end{prop}
 
\Dem{
$\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = F(c)-F(a) + F(b)-F(c) = F(b)-F(a) = \int_a^b f(x)fx$.
}

\Rq{
  L'ordre de $a$, $b$ et $c$ n'a aucune importance. Ainsi 
  $\int_2^3 f(x)dx + \int_3^1 f(x)dx = \int_2^1 f(x)dx = -\int_1^2 f(x)dx$.
}

\begin{prop}[Linéarité]
 Soit $g$ une fonction continue sur $I$. Alors pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ on a :
 $$\int_a^b \left(\alpha f(x) + \beta g(x) \right) dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx$$
\end{prop}

\Dem{
Soit $G$ une primitive de $g$ sur $I$. Alors une primitive sir $I$ de 
$\left(\alpha f + \beta g \right)$ est $\alpha F + \beta G$.\\
Ensuite, il suffit de calculer et comparer.
}


\Expl{Déterminons :
$$ \int_0^1 5x^2+3xdx$$
D'après la propriété précédente on a :
$$ \int_0^1 5x^2+3xdx=5\int_0^1 x^2dx+3\int_0^1 x dx=5\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^1+
3\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^1=\dfrac{5}{3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{19}{6}\text{ u.a}$$
}


\begin{prop}[Ordre]
Soient $a$ et $b$ tels que $a\leq b$.
 \begin{itemize}
  \item Si $f(x) \geq 0$ pour tout $x\in I$, alors $\int_a^b f(x)dx \geq 0$
  \item Soit $g$ une fonction continue sur $I$ telle que $f(x) \leq g(x) $ pour tout $x\in I$. Alors 
  $\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^bg(x)dx $
  \textbf{Inégalité triangulaire :} 
$$ \left| \int_a^b f(x)dx\right|\leq \int_a^b \mid f(x)\mid dx$$
 \end{itemize}
\end{prop}


\Dem{\begin{enumerate}
\item Comme $f$ est positive sur le segment $[a;b]$, l'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ 
représente une aire et est donc positive ou nulle.
\item On a $f\leq g\Longleftrightarrow g-f\geq 0$ et grâce à la propriété précédente on a donc  :
$$ \int_a^b g(x)-f(x)dx\geq 0$$
Comme l'intégrale est linéaire on a :
$$ \int_a^b g(x)dx - \int_a^b f(x)dx \geq 0\Longleftrightarrow \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$$
\item \underline{Rappel} : $-M\leq f(x)\leq M\Longleftrightarrow \mid f(x)\mid \leq M$\\
On a pour tout $x\in [a;b]$ : $-\mid f(x)\mid \leq f(x) \leq \mid f(x)\mid $ et donc :
$$ -\int_a^b \mid f(x) \mid dx\leq \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b \mid f(x) \mid dx\Longleftrightarrow \left| \int_a^b f(x)dx\right|\leq \int_a^b \mid f(x)\mid dx$$
\end{enumerate}}

%\Expl{Etudions la limite de la suite $(u_n)$, avec $u_n=\int_n^{n+1} e^{-x}dx$.\\
%On a pour tout $x\in [n;n+1]$ :
%$$ 0\leq e^{-x}\leq e^{-n}$$
%d'où $$ 0\leq u_n \leq e^{-n}(n+1-n)=e^{-n}$$
%On en déduit, par le théorème des gendarmes que $\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$ puisque $ \displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty} e^{-n}=0$}

\subsection{Interprétation graphique}

On considère une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$, et $F$ une primitive de $f$
sur $[a;b]$.\\

\begin{itemize}
\begin{minipage}{9cm}
 \item Si $f$ est négative sur $[a;b]$, alors $f=-|f|$ et donc 
$$ \int_a^b f(x) dx= \int_a^b -\mid f(x)\mid dx = -\int_a^b | f(x) |dx$$
Ainsi, $\int_a^bf(x)dx$ est l'aire du domaine habituel, mais comptée négativement.
\end{minipage} 
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{integration/integration.18}
\end{center}
\end{minipage}\\

\begin{minipage}{9cm}
\item Si $f$ est de signe quelconque sur $[a;b]$, on définit $f$ comme somme de 
deux nouvelles fonctions :
$$ f^+(x)=\left\{ \begin{array}{l} f(x) \text{ si }x\geq 0 \\ 0 \text{ sinon}  \end{array} \right.\qquad \text{et}\qquad f^-(x)=\left\{ \begin{array}{l} 0\text{ si }x\geq 0 \\ f(x) \text{ sinon}  \end{array} \right.$$
Ainsi $f(x)=f^+(x) + f^-(x)$ pour tout $x\in I$, avec $f^+$ positive et $f^-$ négative sur $I$.
D'où
\begin{eqnarray*}
\int_a^b f(x)dx &=& \int_a^b \left(f^+(x) + f^-(x)\right)dx\\
&=& \int_a^b f^+(x)dx+\int_a^b f^-(x)dx 
\end{eqnarray*}
En d'autres termes $\int_a^b f(x)dx$ se calcule en comptant positivement 
l'aire des domaines où $f$ est positive et négativement l'aire des domaines où 
$f$ est négative.
\end{minipage} 
\begin{minipage}{10cm}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0.6 0.6 0.7}
\newrgbcolor{zzqqqq}{0.7 0.8 0.7}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=1.2cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(6.5,5)
\pscustom[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{0}{0.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(0.5,0)\lineto(0,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=zzqqqq,fillcolor=zzqqqq,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{0.5}{2.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(2.5,0)\lineto(0.5,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{2.5}{3}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(3,0)\lineto(2.5,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=zzqqqq,fillcolor=zzqqqq,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{3}{4}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(4,0)\lineto(3,0)\closepath}
\pscustom[linecolor=qqqqcc,fillcolor=qqqqcc,fillstyle=solid,opacity=1]{\psplot{4}{5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}\lineto(5,0)\lineto(4,0)\closepath}
\psline{->}(-0.7,-2)(-0.7,4)
\psline{->}(-1,0.01)(6.12,-0.01)
\rput[lt](-1,4.1){\parbox{1.12 cm}{$y$}}
\rput[tl](6.16,-0.14){$x$}
\rput[tl](1.7,4){$\int_a^b f(x) dx=\mathscr A(\mathscr D^+)-\mathscr A(\mathscr D^-)$}
\rput[lt](-0.01,-2){\parbox{6 cm}{
\begin{center}Intégrale d'une fonction $f$ de signe quelconque sur $[a;b]$\end{center}}}
\rput[tl](0.44,2.95){$y=f(x)$}
\rput[tl](1.23,1){$\white{\mathscr D^+}$}
\rput[tl](3.49,0.35){$\white{\mathscr D^+}$}
\rput[tl](0.09,-0.25){$\white{\mathscr D^-}$}
\rput[tl](4.48,-0.65){$\white{\mathscr D^-}$}
\rput[tl](-0.07,0.3){$a$}
\rput[tl](4.95,0.3){$b$}
\rput[tl](4.54,0.30){$I$}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{0.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{0.5}{2.5}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{2.5}{3.0}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{3.0}{4.0}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psplot[plotpoints=200]{4.0}{5.0}{1/8*x*(x-0.5)*(x-2.5)*(x-3)*(x-4)*(x-5)}
\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(5,0)
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\end{itemize}





\Expl{Calculons : $$ \int_0^4 3-x dx$$
$3-x\geq 0\Longleftrightarrow x\leq 3$, par conséquent :
$$\int_0^4 3-x dx= \int_0^3 3-x dx + \int_3^4 3-x dx=\dfrac{3\times 3}{2}-\dfrac{1\times 1}{2}=4 $$}

\Rqs{\item La définition de la valeur moyenne reste inchangée.
\item L'intégrale d'une fonction continue est donc l'aire algébrique.
\item L'objectif de la suite de la leçon est d'établir un moyen simple de calculer 
cette intégrale, on verra que l'on peut effectuer ce calcul à l'aide des primitives.
}


\newpage
\subsection{Valeur Moyenne}


 \begin{minipage}{9cm}
\Act{Un problème d'aplanissement.\\
Loic possède un terrain qu'il souhaite aplanir en rabotant les bosses et en
comblant les creux.\\
Comme il est radin, il ne souhaite pas faire venir de la terre ou des
pierres de l'extérieur, et ne veut pas non plus en évacuer hors de son terrain.\\
En coupe, le terrain ressemble à la figure ci-contre.\\
 A quelle altitude va se trouver le terrain de Loïc ?}
 \end{minipage}\qquad 
 \begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0 0.39 0}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=5.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-3.)(3.5,25)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,linestyle=dashed](-1,-1.)(7,5)
\psset{algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.5,-3.)(3.5,25)
\pscustom[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.2]{\psplot{0}{3}{x*(x^2-6*x+9)+15}\lineto(3,0)\lineto(0,0)\closepath}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-0.6339919683389579}{3.418213828425097}{x*(x^2-6*x+9)+15}
\end{pspicture*}
\end{center}
 \end{minipage}



\begin{defi}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.\\
La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le réel $\mu$:
$$ \mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$$ 
\end{defi}



\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/integration.10}
\end{center}
La valeur moyenne $\mu$ correspond à la hauteur du rectangle de base $(b-a)$ dont l'aire 
algébrique est égale à l'aire sous la courbe sur $[a;b]$.\\
 En effet, $ \int_a^b\mu dx=\mu(b-a)$ est l'aire algébrique  du rectangle de hauteur $\mu$ et 
 de largeur $b-a$.\\
 De plus, compte tenu de la définition de $\mu$, on a alors :
  $$  \int_a^b\mu dx=\mu(b-a)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx\times (b-a)=\int_a^b f(x)dx$$
Les aires sont donc bien égales.
 
 \newpage
 


\section{Calcul d'aire entre deux courbes}

\begin{propo}
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$.\\
On suppose que $g\leq f$ sur $[a;b]$, alors l'aire du domaine $\mathscr D$ défini par :
$$ \mathscr D=\left\{M(x;y)\in \mathscr P \text{ tels que }a\leq x\leq b \text{ et } 
g(x)\leq y\leq f(x)\right\}$$
est donnée, en u.a, par :
$$ \int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x) dx=\int_a^bf(x)-g(x)dx$$
\end{propo}

\Dem{
\begin{minipage}{8cm}
 Cas où $f$ et $g$ sont positives :\\
 
 Si les fonctions $f$ et $g$ sont positives le résultat est élémentaire, la différence des aires des domaines délimités par $f$ et $g$ donne bien l'aire entre les deux courbes et vaut :
$$  \int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x) dx=\int_a^bf(x)-g(x)dx$$
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/figTSc_integrale.2}
\end{center}
\end{minipage}\\

\begin{minipage}{8cm}
Cas où $f$ et $g$ sont de signes quelconques :\\
Par définition $$ \int_a^b f(x)dx=\int_a^b f^+(x)dx+\int_a^bf^-(x)dx$$
Et de la même manière 
$$ \int_a^b g(x)dx=\int_a^b g^+(x)dx+\int_a^b g^-(x)dx$$
\end{minipage} \quad 
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{integration/figTSc_integrale.3}
\end{center}
\end{minipage}
}
\DemS{
Notons $F_1=-\int_a^b f^-(x)dx$ et $F_2=\int_a^b f^+(x)dx$, dans ce cas $F_1$ représente l'aire entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ pour la partie de la courbe située sous l'axe des abscisses, inversement $F_2$ représente l'aire entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ pour la partie de la courbe située au dessus de l'axe des abscisses.\\
On définit de même $G_1=-\int_a^b g^-(x)dx$ et $G_2=\int_a^b g^+(x)dx$. Notons $\mathscr A$ l'aire située entre les deux courbes, on a alors :
$$ \mathscr A=G_1-F_1+F_2-G_2$$
De plus :
$$  \int_a^bf(x)dx-\int_a^bg(x) dx=\int_a^b f^+(x)dx+\int_a^bf^-(x)dx-\int_a^b g^+(x)dx-\int_a^b g^-(x)dx=F_2-F_1-G_2+G_1=G_1-F_1+F_2-G_2$$
Par conséquent  :
$$ \int_a^bf(x)-g(x)dx=\mathscr A$$
}




\Expl{Soit $f$ et $g$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=x$. Notons que sur $[0;1]$ on a $x\geq x^2$. \\
L'aire $\mathscr A$ entre $\mathscr C_g$ et $\mathscr C_f$ sur le segment $[0;1]$ est :
$$ \mathscr A=\int_0^1 g(x)-f(x)dx=\int_0^1 (x-x^2)dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\text{ u.a}$$}

\begin{center}  
%-------------- unités  
\psset{xunit=9cm,yunit=9cm}  
  
%-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)  
\def\xmin{-0.1}   
\def\xmax{1.1}   
\def\ymin{-0.1}   
\def\ymax{1.1}  
%-------------- définition de la fonction \f et \g  
\def\f{x 2 exp}  
\def\g{x}  
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)  
%-------------- découpage de la boîte  
\psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}  
%-------------- aire sous la courbe  
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=zzqqqq] % aire coloriée  
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt] % aire hachurée  
{  
   \psplot{0}{1}{\f} % {a}{b} la fonction \f  
  
   \psplot{1}{0}{\g} % {a}{b} la fonction \g  
}  
%-------------- [graduations]  
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)  
%-------------- grilles   
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=8,griddots=2](0,0)(0,0)(1,1)  
%-------------- repère Oij  
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)  
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}  
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)  
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}  
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \f sur [a,b]}  
\psplot[plotpoints=200]  
{1}{1}{\f}  
\uput[d](0.5,0.1){$(\mathscr{C}_f)$}  
%------------- {a}{b}{tracé de la fonction \g sur [a,b]}  
\psplot[plotpoints=200]  
{0}{1}{\g}  
\uput[ul](0.75,0.75){$(\Delta)$}  
%---------------- carré  
\psline(1,0)(1,1)(0,1)  
%----------- point particulier A  
\def\x_A{1}  
\def\y_A{1}  
\psdots(\x_A,\y_A)  
\uput[ur](\x_A,\y_A){$A$}  
%------------- fin du découpage  
\endpsclip  
\end{pspicture}   
\end{center}  



\newpage

\section{Compléments}

\begin{LARGE}
\begin{center}
\textbf{Intégrales de Wallis}
\end{center}
\end{LARGE}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
Il s'agit, pour $n\in\N$ des intégrales suivantes :
$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n dt\qquad J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t)^n dt\qquad K_n=\int_{-1}^{1} (1-t^2)^n dt\qquad L_n=\int_{-1}^{1} (t^2-1)^n dt$$

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $I_n$ par IPP}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
On a immédiatement : $I_0=\dfrac{\pi}{2}$ et $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt =1$.\\
Pour tout $n\geq 0$, on a par IPP : $(u(t)=(\cos t)^{n+1}$ et $v'(t)=\cos t)$. :
\begin{eqnarray*}
& I_{n+2}=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^{n+1} \cos t dt=&\left[(\cos t)^{n+1}\sin t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n (\sin t)^2 dt\\\
& I_{n+2}=(n+1)(I_n-I_{n+2})&\\
& I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n&\\
\end{eqnarray*}

Il en résulte immédiatement : $I_2=\dfrac{1}{2}I_0=\dfrac{\pi}{4}$ ; $I_3=\dfrac{2}{3}I_1=\dfrac{2}{3}$ ; $I_4=\dfrac{3}{4}I_2=\dfrac{3\pi}{16}$.\\
D'où la formule générale :
\begin{align*}
\text{Si $n$ est pair ($n=2p$) }&&I_{2p}=\dfrac{2p-1}{2p}\times \dfrac{2p-3}{2p-2}\times \dots \times \dfrac{1}{2}I_0  \\
&&  I_{2p}=\dfrac{(2p)! \pi}{ 2^{2p+1}(p!)^2} \\.
\text{Si $n$ est impair ($n=2p+1$) }&&I_{2p+1}=\dfrac{2p}{2p+1}\times \dfrac{2p-2}{2p-1}\times \dots \times \dfrac{2}{3}I_1  \\
&&  I_{2p+1}=\dfrac{2^{2p} (p!)^2 \pi}{ (2p+1) !}
\end{align*} 

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $J_n$ en se ramenant à $I_n$}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
En posant $u=\dfrac{\pi}{2}-t$, on obtient :
$$ J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t)^n dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-u\right)^n (-du)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} ((\cos u)^n du=I_n$$

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $K_n$ en se ramenant à $I_{2n+1}$}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
En posant $u=\sin^{-1} t$ (fonction de $[-1;1]$ à valeurs dans $\left[\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$). On a donc $t=\sin u$. 
$$ K_n=int_{-1}^{1} (t^2-1)^n dt=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\cos u)^{2n} \cos u du = 2I_{2n+1}=\dfrac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}$$

\begin{large}
\noindent\textbf{Calcul de $L_n$ en se ramenant à $K_n$}
\end{large}
\vspace{1mm}
\hrule
\vspace{3mm}
$$ L_n=\int_{-1}^{1} (t^2-1)^n dt=(-1)^n K_n=\dfrac{(-1)^n2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}$$


\end{document}